下载文档原格式
三一文库（）/初中三年级〔初三物理知识点单摆周期公式推导〕公式推导M = - m * g * l * Sin x.其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。
我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。
由力矩与角加速度的关系不难得到，M = J * β。
其中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x''（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。
于是化简得到x'' * l = - g * Sin x.我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程x'' + Sin x = 0.第1页共5页因为单摆的运动方程（微分方程）是x'' + Sin x = 0 (1)而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是x'' + x = 0 (2)相关解释我们知道（1）式是一个非线性微分方程，而（2）式是一个线性微分方程。
所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。
不过，在x比较小时，近似地有Sin x ≈ x。
（这里取的是弧度制。
即当x -> 0时有Sin x / x = o（1）。
）因而此时（1）式就变为（2）式，单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动。
然后说一下为什么是10°。
由于Sin x ≈ x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事实上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。
在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。
但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。
由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度25。
单摆周期公式 T=2Π√L/g 和弹簧振子周期公式 T=2π√m/k的推导过程
1,弹簧振子周期公式 T=2π√m/k的推导过程。
弹簧振子的振动是简谐振动，回复力大小与位移成正比，方向相反。
f=-kx=ma (0)
2，物体运动的加速度：a=d(dx/dt)/dt. 故有：
-kx=ma=m[d(dx/dt)/dt]. 即
[d(dx/dt)/dt]+kx/m=0 (1)
3,我们知简谐振动的位移方程：x=Asin(wt) (2)
dx/dt=d(Asin(wt))/dt=wAcos(wt)
d(dx/dt)/dt=-wwAsin(wt)=-wwx (3)
4.式（1），（3）得：-wwx+kx/m =0 即 ww=k/m (4)
5.从（2）是看，x=Asin(wt)是正弦函数，
正弦函数的周期T=2π/w
W=2fπ=2π/T 把此代入（4）得：
（2π/T)^2=k/m 故得：
T=2π（m/k）^1/2.
这就是“弹簧振子周期公式 T=2π√m/k的推导过程”。
至于单摆周期公式，只是把第（0）式的回复力换成
f=-mgx/l=ma
l
f B
A
mg
摆长l,摆幅AB=x,
x/l=f/mg f=xmg/l 这就是回复力。
依次下来，到第（4）步的式（4）就是：
-wwx+kx/m= -wwx+xmg/l m= -wwx+xg/l=0
即 ww=g/l =(2π/T)^2
T=2π(l/g)^1/2 这就是“单摆周期公式 T=2Π√L/g的推导过程”。
单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。
对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。
因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。
把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。
对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。
这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。
二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。
让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。
当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。
因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。
用单摆的周期公式测重力加速度考点（1）摆长的测量：让单摆自由下垂，用米尺量出摆线长L /（读到0.1mm ），用游标卡尺量出摆球直径（读到0. 1mm ）算出半径r ，则摆长L =L /+r（若摆长没有加小球的半径，则重力加速度的测量测量值变小）（2）开始摆动时需注意：摆角要小于10° （保证简谐运动，不形成圆锥摆，形成圆周摆后，测量值变大）（3）从摆球通过最低点时开始计时，测出单摆通过最低点n 次所用时间，算出周期1n t 2T -= （若摆动少计算一次，则周期变大，重力加速度的测量测量值变小）（4）改变摆长重做几次，计算每次实验得到的重力加速度，再求这些重力加速度的平均值。
（5）选取摆长约1米的不可伸长的细丝线；质量大体积小的小球。
（6）做T 2——L 图：①不加小球半径如图1；正常如图2；加了小球直径如图3（7）2121L L T T = 221121221)R R (M M g g T T == hR R h R R g g T T h h +=+==2)(验证机械能守恒定律1．原理：物体做自由落体运动，根据机械能守恒定律有：mgh=221mV 在实验误差范围内验证上式成立。
2．实验器材：打点计时器，纸带，重锤，毫米刻度尺，铁架台，烧瓶夹、低压交流电源(4_6V)3．实验条件：a ．打点计时器应该竖直固定在铁架台上b ．在手释放纸带的瞬间，打点计时器刚好打下一个点子，纸带上最初两点间的距离约为2毫米。
g L T θπcos 2=3．测量的量：a．从起始点到某一研究点之间的距离，就是重锤下落的高度h，则重力势能的减少量为mgh1；测多个点到起始点的高h1、h2、h3、h4（各点到起始点的距离要远一些好）b．不必测重锤的质量5．误差分析：由于重锤克服阻力作功，所以动能增加量略小于重力势能减少量6．易错点：a．选择纸带的条件：打点清淅；第1、2两点距离约为2毫米。
b．打点计时器应竖直固定，纸带应竖直。
单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。
对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。
因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。
把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。
对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。
这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。
二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。
让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。
当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。
因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。
单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。
对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。
因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。
把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。
对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。
这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。
二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。
让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。
当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。
因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。
