初中八年级(初二)物理 摆球的质量单摆的周期公式 (2)

三一文库（）/初中三年级〔初三物理知识点单摆周期公式推导〕公式推导M = - m * g * l * Sin x.其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。

我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。

由力矩与角加速度的关系不难得到，M = J * β。

其中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x''（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。

于是化简得到x'' * l = - g * Sin x.我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程x'' + Sin x = 0.第1页共5页因为单摆的运动方程（微分方程）是x'' + Sin x = 0 (1)而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是x'' + x = 0 (2)相关解释我们知道（1）式是一个非线性微分方程，而（2）式是一个线性微分方程。

所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。

不过，在x比较小时，近似地有Sin x ≈ x。

（这里取的是弧度制。

即当x -> 0时有Sin x / x = o（1）。

）因而此时（1）式就变为（2）式，单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动。

然后说一下为什么是10°。

由于Sin x ≈ x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。

事实上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。

在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。

但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。

由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度25。

单摆周期公式 T=2Π√L/g 和弹簧振子周期公式 T=2π√m/k的推导过程
1,弹簧振子周期公式 T=2π√m/k的推导过程。

弹簧振子的振动是简谐振动，回复力大小与位移成正比，方向相反。

f=-kx=ma (0)
2，物体运动的加速度：a=d(dx/dt)/dt. 故有：
-kx=ma=m[d(dx/dt)/dt]. 即
[d(dx/dt)/dt]+kx/m=0 (1)
3,我们知简谐振动的位移方程：x=Asin(wt) (2)
dx/dt=d(Asin(wt))/dt=wAcos(wt)
d(dx/dt)/dt=-wwAsin(wt)=-wwx (3)
4.式（1），（3）得：-wwx+kx/m =0 即 ww=k/m (4)
5.从（2）是看，x=Asin(wt)是正弦函数，
正弦函数的周期T=2π/w
W=2fπ=2π/T 把此代入（4）得：
（2π/T)^2=k/m 故得：
T=2π（m/k）^1/2.
这就是“弹簧振子周期公式 T=2π√m/k的推导过程”。

至于单摆周期公式，只是把第（0）式的回复力换成
f=-mgx/l=ma
l
f B
A
mg
摆长l,摆幅AB=x,
x/l=f/mg f=xmg/l 这就是回复力。

依次下来，到第（4）步的式（4）就是：
-wwx+kx/m= -wwx+xmg/l m= -wwx+xg/l=0
即 ww=g/l =(2π/T)^2
T=2π(l/g)^1/2 这就是“单摆周期公式 T=2Π√L/g的推导过程”。

单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。

对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。

因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。

把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。

对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。

这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。

二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。

当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。

让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。

在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。

当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。

因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。

用单摆的周期公式测重力加速度考点（1）摆长的测量：让单摆自由下垂，用米尺量出摆线长L /（读到0.1mm ），用游标卡尺量出摆球直径（读到0. 1mm ）算出半径r ，则摆长L =L /+r（若摆长没有加小球的半径，则重力加速度的测量测量值变小）（2）开始摆动时需注意：摆角要小于10° （保证简谐运动，不形成圆锥摆，形成圆周摆后，测量值变大）（3）从摆球通过最低点时开始计时，测出单摆通过最低点n 次所用时间，算出周期1n t 2T -= （若摆动少计算一次，则周期变大，重力加速度的测量测量值变小）（4）改变摆长重做几次，计算每次实验得到的重力加速度，再求这些重力加速度的平均值。

（5）选取摆长约1米的不可伸长的细丝线；质量大体积小的小球。

（6）做T 2——L 图：①不加小球半径如图1；正常如图2；加了小球直径如图3（7）2121L L T T = 221121221)R R (M M g g T T == hR R h R R g g T T h h +=+==2)(验证机械能守恒定律1．原理：物体做自由落体运动，根据机械能守恒定律有：mgh=221mV 在实验误差范围内验证上式成立。

2．实验器材：打点计时器，纸带，重锤，毫米刻度尺，铁架台，烧瓶夹、低压交流电源(4_6V)3．实验条件：a ．打点计时器应该竖直固定在铁架台上b ．在手释放纸带的瞬间，打点计时器刚好打下一个点子，纸带上最初两点间的距离约为2毫米。

g L T θπcos 2=3．测量的量：a．从起始点到某一研究点之间的距离，就是重锤下落的高度h，则重力势能的减少量为mgh1；测多个点到起始点的高h1、h2、h3、h4（各点到起始点的距离要远一些好）b．不必测重锤的质量5．误差分析：由于重锤克服阻力作功，所以动能增加量略小于重力势能减少量6．易错点：a．选择纸带的条件：打点清淅；第1、2两点距离约为2毫米。

b．打点计时器应竖直固定，纸带应竖直。

单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。

对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。

因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。

把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。

对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。

这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。

二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。

当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。

让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。

在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。

当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。

因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。

单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。

对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。

因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。

把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。

对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。

这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。

二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。

当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。

让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。

在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。

当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。

因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。

单摆公式的推导过程
我们要推导单摆的周期公式。

首先，我们需要了解单摆的运动性质和相关的物理量。

假设单摆的长度为 L，质量为 m，摆角为θ（θ 很小时，可以认为θ ≈ sinθ）。

1. 单摆在摆动过程中，受到重力和绳子的拉力。

由于绳子是刚性的，所以拉力始终与摆线垂直。

2. 重力沿绳子方向的分量提供向心力，而垂直于绳子方向的分量则使摆角减小。

3. 当摆角很小（θ < 10°）时，可以认为sinθ = θ。

4. 重力沿绳子方向的分量大小为mgsinθ，垂直于绳子方向的分量大小为mgcosθ。

5. 摆动的周期是 T，它等于摆角从0° 到最大角度再回到0° 的时间。

6. 在摆动过程中，单摆的动能和势能相互转化。

当摆角为θ 时，摆的动能E_k = (1/2)Iω^2 = (1/2)mL^2(θ')^2，势能 E_p = mgL(1 - cosθ)。

7. 由于摆动是周期性的，所以动能和势能在整个周期内相互转化。

在一个周期内，它们的总和保持不变。

8. 利用能量守恒和微积分的知识，我们可以推导出单摆的周期公式。

综上所述，我们可以通过能量守恒和微积分的知识来推导单摆的周期公式。

物理单摆及其周期试题1.利用单摆测量某地的重力加速度，现测得摆球质量为m，摆长为L，通过传感器测出摆球运动时位移随时间变化的规律为。

①求该处的重力加速度g；②若减小振幅A，则周期（选填“增大”、“减小”或“不变”）。

【答案】①g=ω2L ②不变【解析】①根据简谐振动周期与圆频率的关系可知，该单摆的振动周期为：T＝（1分）单摆的周期公式为：T＝（2分）两式联立解得：g=ω2L（1分）②不变（2分）根据单摆的周期公式T=可知，周期与振幅A无关，所以减小振幅A，单摆的振动周期不变。

2.如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是________．（填正确答案标号，选对1个得3分，选对2个得4分，选对3个得6分；每选错1个扣3分，最低得分为0分）。

A．甲、乙两单摆的摆长相等B．甲摆的振幅比乙摆大C．甲摆的机械能比乙摆大D．在t＝0.5s时有正向最大加速度的是乙摆E．由图象可以求出当地的重力加速度【答案】ABD【解析】由振动图像可知，两单摆的周期相同，根据可知甲、乙两单摆的摆长相等，选项A 正确；由图可知，甲的振幅10cm，乙的振幅7cm，甲摆的振幅比乙摆大，选项B正确；由于两球的质量不确定，所以两球的机械能无法比较，选项C 错误；在t＝0.5s时，乙摆有最大的负向位移，所以乙摆有正向最大加速度，甲摆的位移为零，所以加速度为零，选项D 正确；由图像能读出周期，根据因为不知道摆长，所以无法得到当地的重力加速度，选项 E错误。

3.做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的（）A．频率、振幅都不变B．频率、振幅都改变C．频率不变、振幅改变D．频率改变、振幅不变【答案】C【解析】由单摆的周期公式，可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，由可知，摆球经过平衡位置时的动能不变，因此振幅改变，所以C正确。

等效单摆及等效周期公式杨绪军单摆是由一根不能伸长的细线，系一个视为质点的摆球构成。

在摆角（新教材）时，摆球的运动可视为简谐振动。

在很多情况下，物体的运动可等效为单摆模型，等效单摆的周期公式可以广义地表示为式中为等效摆长（也称等值摆卡），为等效重力加速度（也称视重加速度）。

1.等效摆长的物理意义及其计算等效摆长等于等效摆球的重心到等效悬点的距离。

例1.试用一只秒表和一颗半径为r的小钢球，设计一种估算凹面镜焦距的方法。

解析：设球面镜的曲率半径为R，对于近轴光线，球面镜的焦距为。

如何确定R呢，可利用等效单摆来测量。

将凹面镜水平放置，让小钢球以最低点为平衡位置做小振幅振动，在不计摩擦的条件下钢球的振动与摆球的振动等效。

因此，钢球可视为等效摆球，凹面镜的曲率中心为等效悬点。

所以等效摆长等于钢球的球心到凹面镜曲率中心的距离，即由此可得等效单摆的周期等于解得因此用秒表测出周期就可估算出焦距。

例2.如图1所示，小球C由细线AC和BC共同挂于重力场中，已知AC=l，BC=2l，且两线与竖直方向的夹角均为。

求小球C在垂直纸面方向上做小振幅振动的周期。

图1解析：小球以AB连线为转轴运动，则重力的作用线与转轴的交点O为等效摆长的固定点，即小球的振动等效于悬线OC所系小球的振动。

取BC的中点D，连接AD，则为等边三角形，，等效摆长为等效摆的周期为2.等效重力加速度的物理意义及计算等效重力加速度的大小等于摆球的视重（摆球相对悬点静止时线的拉力F与摆球的质量m之比），即。

求的基本步骤如下：（1）分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置（即平衡位置）。

（2）计算摆球的视重。

（3）利用，求出视重加速度。

应当注意，在计算拉力时，不能将始终沿悬线方向的力（法线方向）包括在内。

因为只有对回复力有贡献的力，才能改变振动周期。

如图2几种情况，振动周期不变。

图2例3.如图3所示的摆球，由于受到横向风力的作用，偏过角。

若绳长为l，摆球质量为m，且风力稳定，当摆球在纸平面内平衡位置附近振动时，其周期为（）。

八年级上学期物理笔记整理（汇总）（让我们起航吧！）——————相信你最棒\(^o^)/^_^o~ 努力！一、物理学：研究物质的基本结构、相互作用及一般运动规律的学科。

二、物理学研究力、热、声、光、电等物理现象。

三、周期T：摆球完成一次往返摆动的时间（单位，秒，S）四、频率f：摆球每秒完成摆动的次数（单位，赫兹，HZ）五、意大利科学家伽利略发现摆的等时性，摆的幅度大些还是小些，完成一次摆的时间。

六、摆线长度不变，摆球质量不同，摆动一次的时间相同摆球质量不变，摆线长度缩短，摆动一次的时间减小上述方法叫做：控制变量法七、单摆周期与摆长的关系T=2πl[g（重力加速度）L（摆长）]g多次测量求平均值减少误差要学好物理,就要重视观察与实验一、测量的意义1、测量的目的：进行可靠的定量比较。

2、测量的要求：（1）首先要有一个公认的比较标准——叫“单位”。

（2）其次要有合适的测量工具、仪器。

3、物理量的测量值包含数值和单位。

1、长度的测量1、si制中，长度的主单位为米，符号“m”2、长度的倍单位为千米（km）长度的分单位为分米(dm)、厘米(cm)、毫米（mm）、微米(μm)3、长度的测量工具（1）基本测量工具：刻度尺。

（2）精密测量工具：游标卡尺、螺旋测微器。

4、使用刻度尺时，要先知道它的量度范围（量程）和最小刻度。

量度范围：指刻度尺的起始读数与最大读数之间的范围。

最小刻度：刻度尺相邻刻度之间的长度。

5、常用刻度尺有厘米刻度尺和毫米刻度尺。

6、正确使用刻度尺注意四点（1）（厚）刻度尺的刻度要贴近被测物体。

（2）刻度尺不能歪斜在物体上。

（3）读数时视线要与刻度尺垂直。

（4）物体的端线要对准刻度尺的零刻度。

7、读数时靠近哪根刻度线，这根刻度线，读到最小刻度位。

8、测量所能达到的准确程度由刻度尺的最小刻度决定。

9、测量所需达到的准确程度与测量的要求有关。

10、误差（1）误差就是测量值与真实值之间的不可避免的差异。

（2）误差产生的原因：与测量的人、测量的物体有关。

利用EXCEL探究:单摆的周期公式与摆球质量、摆角、摆长的关系【前言】：我校开展了课外选修课，信息技术课的开设，利用此机会，我们将计算机辅助教学引入了物理实验的处理数据过程之中，引导学生从物理观察猜测中获得第一手数据和资料，再使用计算机进行运算和处理，以实现建立科学描述物理过程本质特征数学模型的目的。

单摆周期公式在《全日普通高中物理课本》中只给出了周期公式，对公式是如何建立并未作任何的解释说明。

原因可能是，惠更斯得出的这个结论有复杂的数学过程推导，有对数据的猜测并试探性确定公式可能的形式等，而这些是高中生阶段是知识能力所欠缺的，也只能在课外弥补体验科学探索过程。

缺少了过程的探究，学生并不理解公式得确切含义，部分学生会以为公式神秘莫测，或者认为天经地义，而探究意识强的学生对于直接给出公式感觉不解渴。

将数学与物理以及现代技术的整合，使我教学的目标。

庆幸生活于信息时代，计算机的辅助，我们可以帮助学生用很短的时间完成惠更斯多年的成果，既是对传承，更具时代特征，符合学生发展要求。

鉴于以上情况，有了计算机的各辅助，我们觉得可以回避复杂的数学计算与推导，直接利用软件的计算数据拟合功能，简单介绍拟合的知识，让学生体验公式中周期，摆长等的关系是如何得出的。

这也是目前探究式学习的精神本质。

【方案设计】实验探究猜测可能影响周期的因素：质量m，摆长L，摆角θ，振幅A，重力加速度g，其中筛选出：⑴振幅A=摆角θ×摆长L，所以只要研究摆角和摆长的关系就可以了。

⑵在同一地点，重力加速度不可改变，因相应章节未学到，此因素留作后续讨论。

【实验装置仪器】在摆线悬挂点固定一量角器；米尺，游标卡尺，秒表。

注意事项1.为减小误差，测量时间时从摆球经过平衡位置计时，此处摆球速度最大，计时误差相对较小。

2.为提高测量准确度，采取叠加测量，即测量30个周期时间，再除以次数，也可减小测量误差。

【确定研究步骤】1.周期与摆球质量的关系只需要验证结论的正确性即可。