研究生期末试题矩阵论a及答案

1 4
1 3
0 0

的
Jordan
标准形。
1 0 2
解：求 E A 的初等因子组，由于
1 1 E A 4 3
0 0

1
3
0
1 3 4
0 0
1 0 2
0
1
2
0 0 0
五、(15 分)求矩阵
的满秩分解：
1 0 1 2 A 1 2 1 1
2 2 2 1
解：
A
E


1 1
0 2
1 1
2 1

1 0
0 1
0 0
2 2 2 1 0 0 1
1 0 1 2 1 0 0
0 2
1 0
23
于是有
1 A 1
2
110
1 0
0 2
1 0
23 BC
A C H CC H 1 BH B 1 BH
或
A C H B H AC H 1 B H
六、(10
分)求矩阵
A



行 0
2 0 31
1
0
0 0 0 0 1 1 1
可求得：
1 0 0 P 1 1 0
1 1 1
1 0 0
P 1


1
1
0
2 1 1
1 B 1
2
0 1 1
，
C


1 0
对任意 k F ，有 k V1 ，且 k V2 ，因此知 k V1 V2 ，故知V1,V2 为 V 的子空 间。

南京航空航天大学研究生考试试卷r 1 1 -2'一、(20 分)设矩阵4= —2 —2 3 ,<-1 -1 1 >(1)求A的特征多项式和A的全部特征值；(2)求A的行列式因子、不变因子和初等因子；(3)求A的最小多项式，并计算A6+3A —2/;(4)写出A的Jordan标准型二、(20分)设Z?2"2是实数域上的全体2x2实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。

(1)求尺2"2的维数，并写山其一组基；(2)设W是全体2x2实对称矩阵的集合，证明：W是/?2x2的子空间，并写出W的维数和一组基；(3)在W中定义闪积G4，B) = Zr(&4),其中人BeW,求出W的一组标准正交基；(4)给出尺〜2上的线性变换7\ T(A) = A+A r, VA G R^2写出线性变换T在(1)中所取基下的矩阵，并求7的核/^r(r)和值域/?(r)。

三、(20分)证明： 是C'w 上的矩阵范数并说明具有相容性（1）求矩阵A 的07?分解；（3）用广义逆判断方程组Av = 6是否相界？若相界，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解 五、（20分）证明：A,, >0, Ar-AgAjAuSO 。

(I-1 1、’2' 1 11，向量/?=11 、0 0b<2>四、（20分）已知矩阵4 =，5 3 2>12、 1）设矩阵汲二3 2 t ，B = 1 1 0.5/t 2； /<2 0.5/ 1 ,，其中f 为实数问当Z 满足什么条件时，A 〉B 成立？Ai A 2 A2 ^22>0,其巾 A u eCkxkau(1)设乂 =2 13 -1 21 ，喇"K, ML, h(2)设4 =(〜)e C ,IX \ 令p=n • max 騸⑶证明：-||<<||<<(2)设 n 阶 Hermite 矩阵 A =(3)己知Hermite 矩陈A =(七)€ (?■ , a ij〉工a ij (= l，2，".，n )，证明：A 正定一、（20 分）(2) VA ，fielV ，V 々e/?，贝ij v (A +B)7= A 7+ B 7= A+B , /. A + B G W ；v (M)7 =kA T = kA ； /.MeW 。

矩阵理论矩阵理论 2006-2007 学年第 一 学期末考试试题（A 卷）及答案一、 填空题（共20分，每空2分）1、 在欧氏空间4R 中，与三个向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---都正交的单位向量为：)3,1,0,4(261-±2、 已知122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则12__________;__________;__________;F A A A A ∞====3、 已知三阶方阵A 的初等因子为()()21,1λλ--，则A 的约当标准形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100100014、 已知cos sin ()sin cos t t A x t t ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则1()______________;()______________;|()|______________;|()|______________.d dA t A t dt dtd dA t A t dt dt-====.1,0,s i n c o s c o s s i n ,s i n c o s c o s s i n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t 二、解答下列各题(（共48分，每小题8分）1. 用最小二乘法求解线性方程组121312312312021x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪+-=-⎩解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111101011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1021,111021011111b A T，-------------（3’） 所以b A x x x Ax A TT =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=312311164144321-----------------------（7’）求得最小二乘解为.64,613,617321-=-==x x x -------------------------------------（8’） 2. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试计算43()322A A A A E φ=-++。

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

共5页第3页
三（20分）设
（1） 证明： 是 的线性子空间，并求 的基和维数；
（2） 在 中定义变换 ,其中 为 的伴随矩阵， 证明： 为线性变换；
（3） 求 在（1）中所取基下的矩阵表示；
（4） 求（2）中线性变换 的值域 和核 ，并确定它们的维数.
（1）因为 ，则 非空。对任意 都有 则 是 的子空间.
（iii）写出 的Jordan标准形；
（2）设 ，试问A和B是否相似？并说明原因。
（1） ， ；………5分
行列式因子
不变因子
初等因子 ……...8分
A的Jordan标准形为 ……..3分
（2）矩阵A，B的行列式因子均为 , A,B相似.
………4分
或A，B 的特征值均为-1和2，有两个互异的特征值，所以A，B均相似于 ，所以，A,B相似。
………3分
共5页第5页
五（20分）（1）设 ， .
（i）求A的奇异值分解；
（ii）计算广义逆矩阵 ；
（iii）用广义逆矩阵判定线性方程组 是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解;
（2）设 ，判定矩阵级数 是否收敛。若收敛，求其和。
（1）（i） ， 的奇异值为 ， 对应于特征值3和2的标准正交特征向量为 ， 对应于特征值3和2，0的标准正交特征向量分别为 ， ，则 的奇异值分解为
Ni南京航空航天大学2010级硕士研究生
共5页第1页
2010~ 2011学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷答案
考试日期：2011年1月12日，课程编号：A000003，命题教师：阅卷教师：
学院专业学号姓名成绩
一（20分）（1）设 。
（i）求 的特征多项式和 的全部特征值；

；
验证 是 中的向量范数.
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 。
长 春 理Leabharlann 工 大 学研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
计算
，
则得谱分解式
+2 （10分）
六、
．
由于 ，
于是有 ，故
（10分）
七、当 时， ；当 不恒等于零时，由其连续性知 必在 的某个子区间 上不等于零，从而有
，
对于 ，有
，
对于 ，有
，
故 是 中的向量范数.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ， ，于是
由此知 的内插多项式表示为
将矩阵A代入上式得
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分)设 是 的一个基，试求由 ，
， 生成的子空间 的基．
二、(10分)在 中，设 ，定义实数 为 ，判断是否为 中 与 的内积。
．
(2) 在基(Ⅱ)的坐标为 ，由坐标变换公式计算 在基(Ⅰ)下的坐标为
．（10分）
四、首先求出A的Jordan标准形
，
所以行列式因子 ；
不变因子 ；（6分）
那么A的初等因子为 ，故A的Jordan标准形为
．(10分)
五、解：求出 的特征根 （二重），计算对角化相似因子 及其逆 为

矩阵论期末试题及答案1. 选择题题目1：矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）线性无关的最大个数，下面关于矩阵秩的说法中，错误的是：A. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个行（列）线性无关。

B. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个坐标线性无关。

C. 设A，B为n×m矩阵，若A的秩为r，B的秩为s，则AB的秩至少为max{r,s}。

D. 同一矩阵的行秩与列秩相等。

题目2：对于阶梯形矩阵，以下说法正确的是：A. 阶梯形矩阵的行秩与列秩相等。

B. 阶梯形矩阵的行秩等于主元的个数。

C. 阶梯形矩阵的列秩等于主元的个数。

D. 阶梯形矩阵的行秩与列秩之和等于矩阵的阶数。

题目3：设A为n阶矩阵，下列说法正确的是：A. 若A为可逆矩阵，则A的行秩和列秩都为n。

B. 若A的行秩和列秩都为n，则A为可逆矩阵。

C. 若对于非零向量 x，都有Ax=0，则称矩阵A为零矩阵。

D. 若A为可逆矩阵，则方程Ax=b存在唯一解。

题目4：对于实对称矩阵A，以下说法正确的是：A. A一定有n个线性无关的特征向量。

B. A的所有特征值都是实数。

C. 若A的特征向量构成的特征子空间的维数为n，则称A为满秩矩阵。

D. A一定可以对角化。

2. 计算题题目1：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的转置矩阵。

解答：转置矩阵的行与列互换，故矩阵A的转置矩阵为：A^T = [1, 3; 2, 4]题目2：已知矩阵B = [2, 1; -1, 3]，求矩阵B的逆矩阵。

解答：逆矩阵满足BB^(-1) = I，其中I为单位矩阵。

对于矩阵B，可以使用伴随矩阵法求解：B^(-1) = (1/(ad-bc)) * [d, -b; -c, a]其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素：B^(-1) = (1/(2*3-(-1)*1)) * [3, -1; 1, 2] = [3/7, -1/7; 1/7, 2/7]题目3：已知矩阵C = [1, 2, 3; 4, 5, 6]，求矩阵C的行列式的值。

习题一 1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间： （1）设 A 是 n 阶实数矩阵. A 的实系数多项式 f ( A) 的全体，对于矩阵的加法 和数乘； （2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的 乘法； （3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法 ⊕ 和数乘 o 运算：
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ， 则 Fij 是对称矩阵， 易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线 性 无 关 ， 且 对 任 意 n 阶 对 称 矩 阵 A = (aij ) n×n ， 其 中 aij = a ji ， 有
1 −1 −1
= aa −1 = 1
⑥ k o (l o a ) = k o a = (a ) = a
l l k
lk
= (lk ) o a
⑦ (k +;l
= a k a l = a k ⊕ a l = (k o a) ⊕ (l o a )
k k k
⑧ k o ( a ⊕ b) = k o ( ab) = ( ab) = a b = ( k o a ) ⊕ (k o b) 所以 R+对这两种运算构成实数域 R 上的线性空间. （5）否.设 V2 = y ( x ) y ′′ + a1 y ′ + a 0 y = f ( x ), f ( x ) ≠ 0 ，则该集合对函数的 加法和数乘均不封闭.例如对任意的 y1 , y 2 ∈ V2 , y1 + y 2 ∉ V2 .故不构成线性空间. （6）是.集合 V 对函数的加法和数乘显然封闭.零函数是 V 的零元素；对任意

考研数学a1试题及答案考研数学A1试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2+6x-9B. 3x^2+6x+9C. x^3+3x^2-9D. 3x^2-9x+1答案：A2. 已知矩阵A=\[\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\]，求A的行列式值。

A. 2B. -2C. 1D. -1答案：B3. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。

A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A4. 求定积分∫(0到π) sin(x) dx的值。

A. 2B. 0C. -2D. π答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设等比数列{a_n}的首项为1，公比为2，求第5项a_5的值。

答案：322. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，求圆心坐标。

答案：(3, -4)3. 求函数y=x^2-4x+3在x=2处的切线斜率。

答案：-24. 计算定积分∫(1到2) (2x-1) dx的值。

答案：3三、解答题（每题10分，共60分）1. 证明：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。

答案：证明：假设f(x)在区间[a,b]上没有零点，则f(x)>0或f(x)<0在[a,b]上恒成立。

由连续函数的性质可知，f(a)和f(b)同号。

这与已知条件f(a)f(b)<0矛盾。

因此，假设不成立，即至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。

2. 求函数y=x^3-3x+1的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-3。

令f'(x)=0，解得x=±1。

当x<-1或x>1时，f'(x)>0，函数单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减。

2
17 分
⇒ 由（1）的证明知，“=”成立时，有 A 酉相似于一对角阵，根据定理 4.5.2，A 为
正规阵 20 分
2× 2
三．（1） 对任意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都有 X1 + X 2 ∈ W , kX1 ∈ W , 所以， W 是 R ⎛ x11 线 性 子 空 间 ， 设 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 ⎛ x11 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 0 ⎞ ⎟, x11 + x21 ⎟ ⎠
的
x12 ⎞ ⎟ ∈ W , 因 为 AX = XA, 所 以 ， x22 ⎟ ⎠
⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ 5分 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎟ , X = ⎜ 2 ⎜0 1⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 维数是 2. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （ 2 ） 对 任 意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都 有 T ( X 1 + X 2 ) = T ( X1 ) + T ( X 2 ) ， 9分 T ( kX1 ) = kT ( X1 ) ，所以， T 为线性变换 ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （3）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 有： ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 0⎞ ⎛ − 1 0⎞ T ( X 1) = ⎜ ⎜ 0 0⎟ ⎟ = 0X1 + 0 X2 ， T ( X 2 ) = ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ = −1 X1 + 2 X 2 ， ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 0 −1⎞ T ( X 1 , X 2 ) = ( X 1 , X 2 )⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ ， T 在（1）中所取基下的矩阵是 A = ⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ 14 分 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （4）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − b 0⎞ ⎛ 0 0⎞ 若 T ( aX 1 + bX 2 ) = ⎜ ⎟ ⎜ 2b b ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ，则有： b = 0 ， ⎝ ⎠ ⎝ 0 0⎠ 所以， Ker (T ) = {kI2 : k ∈ R )} ，维数为 1, 17 分 ⎛ −1 0⎞ R (T ) = {T ( X ) : X ∈ W } = span{T ( X 1 ), T ( X 2 )} = {k ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ : k ∈ R} ， ⎝ ⎠

昆明理工大学14级工科硕士试卷（A ）14~15学年第一学期学院：专业：科目：矩阵论学号：姓名：题号一二三四五六七总分评分一．填空题（每空3分，共30分）1.已知1001225i A i ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A ∞=，1A =，F A =。

2.已知141130001A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的Jordan 标准型为J =。

3.设11541132A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，是否为收敛矩阵？，其理由为。

4.在3R 中L 是由向量T =(1,0,0)α张成的子空间，则正交投影矩阵L P =，向量T =(3,2,1)x 沿L ⊥到L 的投影。

5.设T 是n 阶Givens 矩阵，H 是n 阶Householder 矩阵，则TH 的行列式为。

6.设11111111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则=)2,1(A 。

（注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。

）推导与计算二（10）设n n S C ⨯∈为可逆矩阵，给定n n C ⨯上的一种矩阵范数 ，证明：1M A S AS -=()n nA C ⨯∀∈是n n C ⨯上的矩阵范数。

三（15）已知200111113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，22()0t t e t e ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ，（1）求At e ，（2）用矩阵函数法求解微分方程()()()d t A t t dt=+x x b 满足条件T (0)(1,1,0)=-x 的解。

四（10）用Householder 变换法求031042212A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的QR 分解。

五（10）用Gerschgorin 定理隔离291111(1)113A i i ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值。

六（15）已知01111002,21131002A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭b ，（1）求A 的满秩分解；（2）求+A ；（3）用广义矩阵方法判断方程组是否相容；（4）求方程组A =x b 的极小范数解或极小范数最小二乘解(要求指出所求的是哪种解)。

第 1 页 共 8 页 （A 卷）考试方式：闭卷太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ）适用专业：2013级硕士研究生 考试日期：2014.1.14 时间：120 分钟 共 8页一、本题共10小题，每小题3分，满分30分.1-5题为填空题：1．如果n 阶矩阵()=ii A diag a ，并且2014≡ii a ，则A 的最小多项式()m λ= . 解答2014(2014)(2014)(2014),()2014n n E A E E E E m λλλλλλλ-=-=-=-=-=-2.如果()ijA a =为n 阶可逆矩阵，则tA e d ττ=⎰.解答10000111110111!(1)!11()(1)!!t t A n n n n n n n n n n At n n e d A d A t n n A A t A A t A e E n n ττττ∞∞+==∞∞-++--====+===-+∑∑⎰⎰∑∑3．已知2阶矩阵1011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则cos A = .解答 1cos 0cos10cos (cos )cos sin1cos1λλλλ=⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭A4.在3R 中，如果1V 是过原点的平面∏，2V 是平面∏上过原点的直线L ,那么12dim()V V += .解答 121212dim()dim()dim()dim()2112V V V V V V +=+-⋂=+-=5．已知()1234A =，则A 的全部奇异值为 . 解答(1234),,,30,T T T T T T A A A A A ααααααααα===== 所以全部奇异值为第 2 页 共 8 页 （A 卷）6-10题为单项选择题：6．下列矩阵中不是正规矩阵的是（ B ）.(A) HA A = （B ）1TA A -=（C ）HAA （D ）HA A =-7．如果A A =2,则下列多项式中不是A 的零化多项式的是（ C ）. (A)A 的特征多项式 （B ）A 的最小多项式（C ）A 的第一个不变因子1()d λ （D ）2()f λλλ=-D ）.(A) 1A （B ）2A （C ） A ∞ （D ）FA9．已知12,V V 都是线性空间V 的子空间，则下列集合不是V 的子空间的是（ B ）.(A) 12V V ⋂ (B) 12V V ⋃ (C) 12V V + (D)12V V ⊕10．矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是（ A ）.(A)A 的初等因子都是一次的 (B) A 的若当标准型中只有一个若当块 (C)A 的最小多项式是一次的 (D) A 的行列式因子都是一次的第 3 页 共 8 页 （A 卷）二、本题共2小题，满分24分.11. （12分）（1）已知{|,0,(1,1,,1)}n n T V X X R X αα⨯=∈==,证明V 是n n R ⨯的一个线性子空间，并求V 的维数及当2n =时V 的一个基.证明 显然0O α=, 所以X O V =∈, 因此V φ≠.设,X Y V ∈, 那么0,0X Y αα==, 所以()000X Y X Y ααα+=+=+=,所以X Y V +∈.设,X V k R ∈∈, 那么0X α=, 所以()()00kX k X k αα===, 所以kX V ∈，所以V n nR ⨯是的一个线性子空间.设()ij X x V =∈, 那么0X α=，所以111212122212000n n n n nn x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，即111212122212nnn n nnx x x x x x x x x =---⎧⎪=---⎪⎨⎪⎪=---⎩，所以2dim()V n n =-，当2n =时，V 的一个基为121100,0011X X -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.（2）在线性空间[]{|,(0)0}n V f f R x f =∈=上定义运算[]1,()()f g f x g x dx ''=⎰，证明,f g 是内积. 当3n =时，求,,a b c使232123(),(),()f x x f x x ax f x x bx cx ==+=++两两正交.证明120,()0f f f x dx '=≥⎰，,0f f =，当且仅当()0f x '=，当且仅当()f x C =, 而(0)0f =，所以()0f x =[][]11,()()()(),''''===⎰⎰f g f x g x dx g x f x dx g f[][][]11111,(()())()(()())()()()()()()()()(),,f h g f x h x g x dx f x hx g x dxf xg xh x g x dx f x g x dx h x g x dx f g h g'''''+=+=+''''''''=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰111,(())()()()()(),kf g kf x g x dx kf x g x dx k f x g x dxk k f g ''''''====⎰⎰⎰所以,f g 是内积.由两两正交，即12,10f f a =+=，13,10f f b c =++=，()()1223013220,2326423234023f f x a x bx c dx x bx cx ax abx ac dx b c a ab ac ⎡⎤=+++⎣⎦⎡⎤=+++++⎣⎦=+++++=⎰⎰, 所以311,,22a b c =-=-=第 4 页 共 8 页 （A 卷）12. （12分）（1）证明T 是nR 上的线性变换当且仅当存在n nA R ⨯∈使得对任意的nx R ∈有Tx Ax =，并且满足Tx Ax =的A 是唯一的.（1）证明 充分性：因为Tx Ax =，所以有()()()()T x y A x y Ax Ay T x T y +=+=+=+，()()()()T kx A kx k Ax kT x ===成立.必要性：因为T 是n R 上的线性变换，所以取n R 中的简单基12,,,n εεε，那么对任意的12(,,,)T n n x x x x R =∈，有1122n n x x x x εεε=+++, 于是112212()()()()((),(),,())n n n T x x T x Tx T T T T x εεεεεε=+++=，令 12((),(),,())n A T T T εεε=, 则Tx Ax =. 如果对任意的n x R ∈有Tx Ax =，Tx Bx =, 那么n x R ∈有()0A B x -=, 所以A B =. 所以满足Tx Ax =的A 是唯一的.Tx Ax =（2）当3n =时，对任意的3123(,,)T x x x x R =∈，定义线性变换122331()(,,)T T x x x x x x x =---,求33A R ⨯∈使得对任意的3123(,,)T x x x x R =∈，有T xA =，并求T 在基123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)T TTααα===下的矩阵A α.（2）解答 112233123110110()(,,)011011101101Tx T x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=---=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以（取123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===T T T 为标准基，有123(,,)εεε=E ） 110011101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 因为123123111111(,,)110(,,)110100100αααεεε⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 1231231231231123123*********(,,)(,,)110(,,)110(,,)110100100100111111110111(,,)110(,,)11001111100100101T T T T T T A A A A A αααεεεεεεεεεεεεααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭0100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭所以1111110111001110111110011110011011110100101100110101100101111011112110021121100011A α---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎭⎝=⎝⎝⎭⎭第 5 页 共 8 页 （A 卷）三、本题共2小题， 满分26分.13. (10分)(1)设20312102810A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，证明A 的特征值都是实数，并在实轴上找出三个互不相交的集合，使得每个集合内有且仅有A 的一个特征值.解答 A 的三个行盖尔圆分别为{1|204}S z z =-≤，{2|104}S z z =-≤，{3|9}S z z =≤，因为1S 是孤立的，所以1S 内有且仅有A 的一个特征值，又A 的三个列盖尔圆分别为{1|2010}T S z =-≤，{2|104}T S z z =-≤，{3|3}TS z z =≤， 因为3T S 是孤立的，所以3TS 内有且仅有A 的一个特征值,综合知道1S ，2S ，3TS 是相互孤立的，而是实A 矩阵，故A 的特征值都是实数，三个互不相交的集合可取为[3,3]-，[6,14]，[16,24],(2) 设A 为n 阶方阵，证明2F A A =当且仅当存在n 维列向量,αβ使得T A αβ=.证明 因为21λ===∑nHi F i A trA A ，其中120λλλ≥≥≥≥n 是H A A 的特征值，所以2212λ==FAA 当且仅当20λ==∑ni i ，而0i λ≥，所以当且仅当230n λλλ===，当且仅当秩()1H R AA ≤, 当且仅当()()1H R A R AA =≤当且仅当T A αβ=.第 6 页 共 8 页 （A 卷）14. （16分）设100020100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求A 的加号逆+A解答 利用0lim(),(0)H Ht A A A tE A t +→=+>，因为101100200020020040000100000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭HA A ,有 20004000+⎛⎫ ⎪+=+ ⎪ ⎪⎝⎭Ht A A tE t t ， 及 110021()004100-⎛⎫⎪+ ⎪⎪+= ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭H t A A tE t t ， 故 111100022210112()000200044000100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+== ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭H Ht t t A A tE A t t t 得到 0lim()H Ht A A A tE A +→=+10110102000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（2）求使得线性方程组Ax β=无解的全体向量123b b b β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，并求矛盾线性方程组Ax β=的极小范数最小二乘解（即最佳逼近解）.解答 因为1122331100100(,)020020100000b b A A b b b b b β⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以123b b b β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，13b b ≠. 无解. 极小范数最小二乘解为11322310111010220000b b b A b b b β++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭第 7 页 共 8 页 （A 卷）四、本题共2小题，满分20分.15. （10分） 已知110220103A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(1) 求A 的Smith 标准型)(λA .解答222110110100220220030103013013100100013010()03000(3)λλλλλλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--→--→- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A A(2) 求A 的Jordan 标准型J .解答因为A 的初等因子为λ，2(3)λ-, 所以000030013J ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭或者300130000J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭第 8 页 共 8 页 （A 卷）16. （10分）已知1111A ⎛⎫=⎪⎝⎭.(1) 求三种方法求Ate . 解答 方法一(最小多项式法) 因为 211()(1)1011λλλλλ-=-==--=-f A E ,120,2λλ==,而最小多项式就是()λf ，所以可设()r a b λλ=+，即=+At e aE bA ，那么022⎧=⎨=+⎩t e a e a b ，所以2112=⎧⎪⎨-=⎪⎩t a e b ，所以21()12te r λλ-=+，所以2222111211⎛⎫+-= ⎪-+⎝⎭t t Att t e e e e e , 解答 方法二(Jordan 法) 对应于特征值120,2λλ== 的特征向量分别为11,11⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以1222222111011111011111111011110112211t t Att t t te e e e e e e --⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解答 方法三(定义法) 1111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12n n A A -=,1011221222211112(2)!!2!11111(2)(1)2!2122111∞∞∞-===∞=⎛⎫+-==+=+-=+=+-=+ ⎪-+⎝⎭=∑∑∑∑Atn n n n nn n n tt t n tn t t eA t E A t E A t n n n e E A t E e e e e A e E A n(2) 求解微分方程组1122121212(0)(0)0dx x x dt dxx x dtx x ⎧=++⎪⎪⎪=++⎨⎪==⎪⎪⎩.解答 因为，所以(0)0=At e X ，故解为2()2()1()2()2()00222()2()022*******()22113(1)31112,32231(1)231(1)4231(1)42t t t t A t t t t t t t t t t x e e e f d d x e e e t e d e e t x e t x e t τττττττττττ-------⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭-+ ⎪⎝⎭⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩⎰⎰⎰。

西南科技大学2016-2017-1学期《线性代数与矩阵分析》研究生期末考试试卷（A 卷）参考答案及评分细则一、单项选择题(每小题5分，共15分) 1、C ；2、B ；3、A 。

二、填空题(每小题5分，共15分)1、()22100010001λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭；2、2；3、1000101012⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭。

三、解答题（每小题10分，共70分） 1、解：4max||||311==∑=i ijjaA ；7max ||||31==∑=∞j ij ia A ；1322,1||||()F ij i j A a ===∑5||||22===A A A T A λλ；3})(max{)(==A A λρ。

2、解：（1）因为OA AO =，所以φ≠V ；假设V Y X ∈,，那么Y AY X AX λλ==,，于是)()(Y X Y X AY AX Y X A +=+=+=+λλλ，所以V Y X ∈+；假设R k V X ∈∈,，那么X AX λ=，所以)()()()(kX X k AX k kX A λλ===，所以V kX ∈。

所以V 是nn R⨯的一个线性子空间。

（2）当1≠λ并且2≠λ时，则}{o V=。

没有基，0dim =V 。

当1=λ时，方程组0)(=-X E A 的解为032==X X ，所以一个基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001，1dim =V 。

当2=λ时，方程组0)(=-X E A 的解为01=X ，所以一个基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100，2dim =V 。

3、解：（1）3R x ∈∀，因为A 为3阶矩阵，所以3R Ax ∈，所以33:R R T →。

3,R y x ∈∀，Ty Tx Ay Ax y x A y x T +=+=+=+)()(； R k R x ∈∀∈∀,3，kTx Ax k kx A kx T ===)()()(。

所以T 是3R 上的线性变换。

重庆邮电大学 级研究生(矩阵分析)考卷( A 卷)参考答案及评分细则一 、 已知 1(1,2,1,0)T α=, 2(1,1,1,1)T α=-, 1(2,1,0,1)T β=-, 2(1,1,3,7)T β=-求12{,}span αα与12{,}span ββ的和与交的基和维数。

( 10分) 解: 因为12{,}span αα+12{,}span ββ=1212{,,,}span ααββ (2分)由于秩1212{,,,}ααββ=3, 且121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的一个极大相信无关组, 因此和空间的维数是3, 基为121,,ααβ。

(2分) 设{}1212{,},span span ξααββ∈于是由交空间定义可知11221122k k l l ξααββ=+=+ 此即121211212111011030117k k l l -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解之得1122122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数） (2分) 于是11222[5,2,3,4]T k k l ξαα=+=-, 1122l l ξββ=+（很显然）因此交空间的维数为1, 基为T [-5,2，3，4] (2分)二、 证明: Jordan 块 10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于矩阵 0000a a a εε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 这里0ε≠为任意实数。

( 10分) 证明: 由于容易求出两个λ-矩阵的不变因子均为31,1,()a λ-, 从而这两个λ-矩阵相似,于是矩阵10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与0000a a a εε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似.三、 求矩阵101120403A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的(1)Jordan 标准型; ( 2) 变换矩阵P ; ( 3) 计算100A 。

1 1 1 1
因此 B = Udiag (λ ,L , λ )U = Vdiag (λ ,L , λ )V H = E 。
H
1 3 1
1 3 n
1 3 1
1 3 n
-------------4
（2）因为 A ≥ 0 ，所以 A 的特征值均非负。设 A 的特征值为 λ1 ,L , λn ，且 λ1 ≥ L ≥ λn ≥ 0 ， 则 A2 的特征值为 λ12 ,L , λn2 ，于是
AT Ax = AT b
的解， 所以不相容线性方程组 Ax = b 的最小二乘解唯一当且仅当 AT A 非奇异， 即 rank ( AT A) = n 。因为 rank ( AT A) = rank ( A) ，所以不相容线性方程组 Ax = b 的最 小二乘解唯一当且仅当 A 列满秩。 -----------4
记 P = U H V = ( pij ) ，则 diag (λ1 ,L , λn ) P = Pdiag (λ1 ,L , λn ) ，从而
λi pij = λ j pij (i, j = 1,L , n) ，
于是
1 1
λi3 pij = λ j3 pij (i, j = 1,L , n) ，
即
diag (λ13 ,L , λn3 ) P = Pdiag (λ13 ,L , λn3 ) ，
A + = C T ( CC
T
-----------------5
1 4 0 1 − 4
)−1 ( B T B )−1 B T
1 − 4 = 0 1 4
0 1 0
---------5
1 （2）因为 AA + b = 2 ≠ b ; 所以不相容的。 -----------3 2 1 4 -----------3 其极小最小二乘通解为 x = A + b = 2 1 − 4 （3）因为 x 是不相容线性方程组 Ax = b 的最小二乘解当且仅 x 是如下相容线性方程组

华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A卷）(2013-2014)一、判断题（每小题2分，共10分）1. 方阵的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。

(X)见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n，后者小于等于n2.性无关的向量,则.正确，线性无关的向量张成一组基3.的线性子空间,的线性子空间.错误，按照线性子空间的定义进行验证。

Aλ4. n阶-()逆的充分必要条件是Aλ的秩是n .()见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数5. n阶实矩阵A是单纯矩阵的充分且必要条件是的最小多项式没有重根.见书90页。

二、填空题（每小题3分，共27分）（6则Jordan标准型为首先写出然后对于若当标准型要求非对角元部分为1.（7的Smith标准型为见书61-63页，将矩阵做变换即得（8）设，则。

见书109页，可将A对角化再计算即得。

（9在基。

见书12页，自然基下坐标为（2,3,4，-5）T，再写出过渡矩阵Ａ，坐标即A的逆乘以自然基下坐标。

对于本题来说。

由于第一行实际上只和前两个基有关，第二行只和后两个基有关。

因此不用那么麻烦，只需要计算（1,1）x+（1,2）y=（2,3）就可得解为1,1.再解（1，-3）x+（2,1）y=（4，-5）就可以得解为2,1.整理一下即得坐标。

（10）设15。

见书100页，计算每行的绝对值的和。

（11）对矩阵中的每个元素求极限。

12设是已知矩阵，则矩阵方程的极小范数最小二乘解是见书113-115页，将矩阵方程拉直，再用广义逆的定义去算。

（12）若n。

见书121以后面的项都为零。

（13）方阵的特征多项式是小多项式是则Jordan标准形是有1阶的若当块。

三(7分)、设证明有唯一解。

见书114页，本题需要验证A和-B没有相同的特征值，具体解法如下。

证明：非奇异。

显然,的特征值为,下证明：不是 的特征值：方法1：三个行圆盘分别是,的特征值，从而0不是的特征可逆，从而有唯一解。