研究生期末试题矩阵论a及答案

南京航空航天大学研究生考试试卷r 1 1 -2'一、(20 分)设矩阵4= —2 —2 3 ,<-1 -1 1 >(1)求A的特征多项式和A的全部特征值；(2)求A的行列式因子、不变因子和初等因子；(3)求A的最小多项式，并计算A6+3A —2/;(4)写出A的Jordan标准型二、(20分)设Z?2"2是实数域上的全体2x2实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。

(1)求尺2"2的维数，并写山其一组基；(2)设W是全体2x2实对称矩阵的集合，证明：W是/?2x2的子空间，并写出W的维数和一组基；(3)在W中定义闪积G4，B) = Zr(&4),其中人BeW,求出W的一组标准正交基；(4)给出尺〜2上的线性变换7\ T(A) = A+A r, VA G R^2写出线性变换T在(1)中所取基下的矩阵，并求7的核/^r(r)和值域/?(r)。

三、(20分)证明： 是C'w 上的矩阵范数并说明具有相容性（1）求矩阵A 的07?分解；（3）用广义逆判断方程组Av = 6是否相界？若相界，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解 五、（20分）证明：A,, >0, Ar-AgAjAuSO 。

(I-1 1、’2' 1 11，向量/?=11 、0 0b<2>四、（20分）已知矩阵4 =，5 3 2>12、 1）设矩阵汲二3 2 t ，B = 1 1 0.5/t 2； /<2 0.5/ 1 ,，其中f 为实数问当Z 满足什么条件时，A 〉B 成立？Ai A 2 A2 ^22>0,其巾 A u eCkxkau(1)设乂 =2 13 -1 21 ，喇"K, ML, h(2)设4 =(〜)e C ,IX \ 令p=n • max 騸⑶证明：-||<<||<<(2)设 n 阶 Hermite 矩阵 A =(3)己知Hermite 矩陈A =(七)€ (?■ , a ij〉工a ij (= l，2，".，n )，证明：A 正定一、（20 分）(2) VA ，fielV ，V 々e/?，贝ij v (A +B)7= A 7+ B 7= A+B , /. A + B G W ；v (M)7 =kA T = kA ； /.MeW 。

矩阵理论矩阵理论 2006-2007 学年第 一 学期末考试试题（A 卷）及答案一、 填空题（共20分，每空2分）1、 在欧氏空间4R 中，与三个向量(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---都正交的单位向量为：)3,1,0,4(261-±2、 已知122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则12__________;__________;__________;F A A A A ∞====3、 已知三阶方阵A 的初等因子为()()21,1λλ--，则A 的约当标准形为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100100014、 已知cos sin ()sin cos t t A x t t ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则1()______________;()______________;|()|______________;|()|______________.d dA t A t dt dtd dA t A t dt dt-====.1,0,s i n c o s c o s s i n ,s i n c o s c o s s i n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t t t t t 二、解答下列各题(（共48分，每小题8分）1. 用最小二乘法求解线性方程组121312312312021x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪+-=-⎩解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111101011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1021,111021011111b A T，-------------（3’） 所以b A x x x Ax A TT =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=312311164144321-----------------------（7’）求得最小二乘解为.64,613,617321-=-==x x x -------------------------------------（8’） 2. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试计算43()322A A A A E φ=-++。

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

矩阵论期末试题及答案1. 选择题题目1：矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）线性无关的最大个数，下面关于矩阵秩的说法中，错误的是：A. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个行（列）线性无关。

B. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个坐标线性无关。

C. 设A，B为n×m矩阵，若A的秩为r，B的秩为s，则AB的秩至少为max{r,s}。

D. 同一矩阵的行秩与列秩相等。

题目2：对于阶梯形矩阵，以下说法正确的是：A. 阶梯形矩阵的行秩与列秩相等。

B. 阶梯形矩阵的行秩等于主元的个数。

C. 阶梯形矩阵的列秩等于主元的个数。

D. 阶梯形矩阵的行秩与列秩之和等于矩阵的阶数。

题目3：设A为n阶矩阵，下列说法正确的是：A. 若A为可逆矩阵，则A的行秩和列秩都为n。

B. 若A的行秩和列秩都为n，则A为可逆矩阵。

C. 若对于非零向量 x，都有Ax=0，则称矩阵A为零矩阵。

D. 若A为可逆矩阵，则方程Ax=b存在唯一解。

题目4：对于实对称矩阵A，以下说法正确的是：A. A一定有n个线性无关的特征向量。

B. A的所有特征值都是实数。

C. 若A的特征向量构成的特征子空间的维数为n，则称A为满秩矩阵。

D. A一定可以对角化。

2. 计算题题目1：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的转置矩阵。

解答：转置矩阵的行与列互换，故矩阵A的转置矩阵为：A^T = [1, 3; 2, 4]题目2：已知矩阵B = [2, 1; -1, 3]，求矩阵B的逆矩阵。

解答：逆矩阵满足BB^(-1) = I，其中I为单位矩阵。

对于矩阵B，可以使用伴随矩阵法求解：B^(-1) = (1/(ad-bc)) * [d, -b; -c, a]其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素：B^(-1) = (1/(2*3-(-1)*1)) * [3, -1; 1, 2] = [3/7, -1/7; 1/7, 2/7]题目3：已知矩阵C = [1, 2, 3; 4, 5, 6]，求矩阵C的行列式的值。

考研数学a1试题及答案考研数学A1试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2+6x-9B. 3x^2+6x+9C. x^3+3x^2-9D. 3x^2-9x+1答案：A2. 已知矩阵A=\[\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\]，求A的行列式值。

A. 2B. -2C. 1D. -1答案：B3. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。

A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A4. 求定积分∫(0到π) sin(x) dx的值。

A. 2B. 0C. -2D. π答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设等比数列{a_n}的首项为1，公比为2，求第5项a_5的值。

答案：322. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，求圆心坐标。

答案：(3, -4)3. 求函数y=x^2-4x+3在x=2处的切线斜率。

答案：-24. 计算定积分∫(1到2) (2x-1) dx的值。

答案：3三、解答题（每题10分，共60分）1. 证明：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。

答案：证明：假设f(x)在区间[a,b]上没有零点，则f(x)>0或f(x)<0在[a,b]上恒成立。

由连续函数的性质可知，f(a)和f(b)同号。

这与已知条件f(a)f(b)<0矛盾。

因此，假设不成立，即至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。

2. 求函数y=x^3-3x+1的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-3。

令f'(x)=0，解得x=±1。

当x<-1或x>1时，f'(x)>0，函数单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减。