《整式乘法》中的思想方法与思维技巧

整式的乘除运算掌握整式乘除法的基本要点整式的乘除运算是数学中的基本内容，掌握整式的乘除法的基本要点对于解决各类问题具有重要作用。

本文将详细介绍整式的乘除运算的基本概念、要点和解题技巧，以帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、整式的基本概念整式是由常数和变量按照加、减、乘的运算法则组成的代数表达式。

一般形式为：CnX^n + Cn-1X^n-1 + ... + C1X + C0，其中Cn, Cn-1, ...,C1, C0为常数，X为变量，n为非负整数。

二、整式的乘法运算整式的乘法运算通过应用乘法分配律和合并同类项的原则来进行。

具体步骤如下：1. 将两个整式的每一项相乘。

2. 对于乘积的每一项，将其中的同类项合并。

3. 简化合并后的整式，即合并同类项并按照降序排列。

例如，对于表达式2X^2 + 3X - 1与4X + 5的乘法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将每个项相乘得到8X^3 + 10X^2 + 12X + 15X^2 + 20X - 5。

2. 合并同类项，得到8X^3 + 25X^2 + 32X - 5。

3. 简化合并后的整式，得到8X^3 + 25X^2 + 32X - 5。

三、整式的除法运算整式的除法运算通过应用除法运算规则来进行，常用的方法是长除法。

具体步骤如下：1. 将除数和被除数按照降序排列。

2. 将除数的第一项除以被除数的第一项，得到商的首项。

3. 用商的首项乘以被除数，得到一个乘积。

4. 将乘积减去除数，得到一个差。

5. 将差视为一个新的被除数，重复步骤2至步骤4，直到无法继续执行除法运算为止。

例如，对于表达式8X^3 + 25X^2 + 32X - 5除以2X + 4的除法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将除数和被除数按照降序排列，即8X^3 + 25X^2 + 32X - 5 ÷ 2X+ 4。

2. 将除数的首项8X^3除以被除数的首项2X，得到商的首项4X^2。

a ab b 图图 整式乘法中的数学思想数学思想方法是数学问题的灵魂，求解决数学问题的金钥匙，整式的乘法运算也不例外. 整式的乘法运算运算中常见的数学思想方法有以下几种：一、转化思想在整式运算中，多项式乘法是化归为多项式乘以单项式来完成的，多项式乘以单项式又化归为单项式乘以单项式来完成的，而单项式乘以单项式又化归为同底数幂的运算来完成的.例1 化简：(3x +2)(x －1)+3(x －1)(x +1).分析： 根据多项式乘以多项式的法则，将原式展开后化归为单项式乘以单项式，最后化归到同底数幂相乘，从而获解.解： (3x +2)(x －1)－3(x －1)(x +1)＝3x 2－3x +2x －2－3x 2－3x +3x +3＝－x +1.评注： 本题在运用化归思想运算的过程中省略了一些步骤，不过一定要注意避免因为“－”号可能给化简带来的错误.二、整体思想例2 以知3a+2b=2，ab=5，求32 a b [（3a+2b ）2+a 2b 2]的值． 分析：此题没有告诉ab 的具体值，所以必须把原式化为 只含3a+2b 和ab 的式子，即把3a+2b 和ab 分别看作一个整体．解：原式=32a b ·（3a+2b ）2+32（ab ）3把3a+2b=2，ab=5代入，则原式=340+3250=9632． 评注：本题既运用了整体思想进行化简，又运用了整体代入求值.三、数形结合思想例3、如下图1，边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图1的阴影部分拼成了一个长方形，如图2．这一过程用下式表示正确的是( )A 、a 2+b 2-2ab =(a -b )2B 、a 2+b 2+2ab =(a +b )2C 、2a 2-3ab +b 2=(2a -b )(a -b )D 、a 2-b 2=(a +b ) (a -b ) 分析：关键是计算出两个图形中的阴影部分的面积，根据面积相等就可得到正确结果．解：图1中阴影部分的面积是一个边长为a 的正方形和边长为b 的正方形的面积之差，即阴影部分的面积为a 2-b 2，图2中阴影部分是一个以分别以(a +b )， (a -b )为边长的长方形，面积为(a +b ) (a -b )，所以选D ．评注：本题通过简单的几何拼图渗透数形结合思想，考查了同学们的观察能力、分析研究的能力．四、分类讨论思想例4、在整式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并得到的项数可以是----． 分析：对于任意两个一次二项式相乘，最多可以有四项，如（a+b ）（c+d ）；还可以是三项，如（x+1）（x+3）；还可以是两项，如（x-2）（x+2）．解：两项或三项或四项．评注：本题是一道开放型探究题，结论有多个，需要进行分类讨论．。

《整式乘除》教学中渗透的数学思想方法宜宾县育才中学 何伟数学思想方法是数学的精髓，是数学素养的重要构成之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效的应用知识，形成能力。

因此，在教学中，要有意识的让学生领会到其中体现和渗透的数学思想方法。

本文以“整式的乘除”一章的教学，谈谈数学思想方法的渗透和体现。

一、从特殊到一般的认识规律和方法。

本章在研究幂的运算规律时，都是运用从特殊到一般的思想方法。

例如：由以下几个特殊例子：3253232+==⋅⋅⋅⋅=⋅a a a a a a a a a 个个，46104646+==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅a a a a a a a a a a a 个个推出“同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

”再如由(ab)2=(ab)(ab)=a ·a ·b ·b=a 2b 2,(ab)3=(ab)(ab)(ab)=a 3b 3。

推知“积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”。

二、化归思想所谓“化归”就是将所要解决的问题转化为另一个较易解决或已经解决的问题，它是初中数学中最常见的思想方法，在本章的学习和研究中，就多次用到了化归思想。

例如： 单项式乘以单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式和多项式乘以多项式都可化归为单项式乘以单项式的运算；单项式除以单项式可化归为有理数除法和同底数幂的除法运算；多项式除以单项式可化归为单项式除以单项式的运算，等等。

三、整体代换的方法这在乘法公式中表现得特别典型。

公式中的字母a ，b 不仅表示数，而且可以表示代数式。

正是由于整体代换的思想，乘法公式才能得到广泛的应用。

例如，讲多项式乘以多项式法则时，是先把(a+b)或(m+n)看成一个整体，运用单项式乘以多项式法则，得到(a+b)(m+n)=m(a+b)+n(a+b)。

然后再运用“单×多”的运算法则即可得到(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 。

整式乘除中的数学思想作者：赵国瑞来源：《初中生之友·中旬刊》2013年第01期数学思想是数学的灵魂和精髓，是解决数学问题的金钥匙。

在学习数学知识的过程中，同学们要有意识地挖掘提炼其中的数学思想，并运用这些数学思想指导我们解决数学问题。

经常这样做，可以提高同学们分析问题和解决问题的能力，提高数学素养。

下面以整式乘除为例说明。

一、整体思想在推导多项式乘法法则（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn时，我们先把其中的一个多项式（m+n）看成一个整体，即看成一个单项式，这样就将两个多项式相乘问题转化为我们熟悉的单项式与多项式相乘问题，这体现了数学中的整体思想。

例1 （2012年天津市中考题）若实数x、y、z满足（x-z）2-4（x-y）（y-z）=0。

则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y-2z=0 C．y+z-2x=0 D．x+z-2y=0分析注意到（x-y）+（y-z）=x-z，于是可将（x-y）、（y-z）分别看成一个整体。

解因为（x-y）+（y-z）=x-z，所以[（x-y）+（y-z）]2-4（x-y）（y-z）=0。

即（x-y）2+2（x-y）（y-z）+（y-z）2-4（x-y）（y-z）=0。

即（x-y）2-2（x-y）（y-z）+（y-z）2=0。

即[（x-y）-（y-z）]2=0。

所以（x-y）-（y-z）=0。

整理得x+z-2y=0。

故答案选D。

点评本题若按常规方法，需要先将已知等式左边的括号展开，然后再整理、分组，进行因式分解，即（x-z）2-4（x-y）（y-z）=（x2-2xz+z2）-4（xy-xz-y2+yz）=（x2+2xz+z2）-4（xy+yz）+4y2=（x+z）2-4y（x+z）+4y2=（x+z-2y）2。

显然这样比较麻烦，且分组有一定的困难。

当然本题也可应用完全平方公式的变形公式4ab=（a+b）2-（a-b）2，这样便有4（x-y）（y-z）=[（x-y）+（y-z）]2-[（x-y）-（y-z）]2=（x-z）2-（x+z-2y）2。

6633332222))(()])()][()([(y x y x y x y xy x y x y xy x y x -=-+=++-+-+=谈整式乘除中思维能力的培养培养、发展学生的思维能力是数学教学的主要任务之一。

初中阶段是学生形成各种教学思维的重要时期。

数学教学从小学单纯的“模拟”、“运算”转化为“思维”、“推理”是学生思维水平的一次飞跃。

因此，在初一重视学生的思维训练，对于培养学生的数学思维能力，提高学生的思维品质，是十分重要的。

它应该贯穿数学始终。

本文对整式乘除中如何注意培养学生的思维能力提出一些肤浅的看法。

一、从特殊到一般，培养抽象概括思维能力中学生的思维发库存在着不同的阶段，初一是学生从形象思维转化为抽象思维的起始时期，他们的思维仍旧需凭借一定的形象或感性作依靠，属经验型的抽象思维，而抽象思维是数学思维最显著的特征之一。

学生对于整式乘除的法则、公式中的字母的广泛含义会感到很难理解，特别是用字母表示多项式在具体运用时就会束手无策。

这主要是学生对字母的抽象内容缺乏感性认识所导致的。

在教学中可根据学生的思维水平采取从特殊到一般，从具体到抽象有层次逐步概括抽象。

实践证明这样做对学生的抽象思维的培养是很有益处的。

如：在同底数幂法则教学时先从101010)1010()101010(101023⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯5101010=⨯⨯,5232...22==⨯着手作为第一个层次，再从523...x x x ==⨯和n m n m x x x x x x +-=--⋅-==-⋅-)())...(()(...)()(作为第二个层次。

然后提出523)(...)()(y x y x y x +==+⋅+作为第三个层次。

再抽象概括为法则：n m n m a a a +=⋅。

二、一题多解，培养发散思维能力发散思维是人们在解决一个问题时产生尽可能多的选择方案的思维过程。

它是一种不依常规，寻求变异,从多方面寻求答案的思维方法。

整式的乘法运算整式的乘法运算是数学中的基本运算之一，它涉及到多项式之间的相乘。

在本文中，我们将探讨整式的乘法运算原理以及应用。

同时，我们还将介绍一些乘法运算的基本性质和技巧。

一、整式的定义首先，我们需要了解整式的概念。

整式是由常数、变量及其乘积，并通过加法和减法连接而成的表达式。

一般形式为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anxn其中，a0, a1, a2, ..., an为常数系数，x为变量，n为整数。

整式可以包含多个项，每个项都由常数系数乘以变量的幂次构成。

二、整式的乘法原理整式的乘法运算遵循分配律的原则，即整式A乘以整式B的结果等于A的每一项分别乘以B的每一项，然后将结果相加。

具体而言，假设A和B分别为两个整式，其形式如下：A = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anxnB = b0 + b1x + b2x^2 + ... + bmxm则A乘以B的结果为：AB = (a0b0) + (a0b1)x + (a0b2)x^2 + ... + (a0bm)xm + (a1b0)x +(a1b1)x^2 + ... + (a1bm)x^(m+1) + ... + (anbn)x^(n+m)根据以上乘法原理，我们可以进行整式的乘法运算。

三、整式乘法的基本性质整式乘法具有以下几个基本性质：1. 乘法交换律：整式的乘法满足交换律，即A乘以B等于B乘以A。

2. 乘法结合律：整式的乘法满足结合律，即(A乘以B)乘以C等于A乘以(B乘以C)。

3. 乘法分配律：整式的乘法满足分配律，即A乘以(B加上C)等于A乘以B加上A乘以C。

基于这些性质，我们可以灵活运用乘法运算。

四、整式乘法的技巧在进行整式乘法时，我们可以运用一些技巧来简化计算过程。

下面介绍几个常用的技巧：1. 使用加法运算简化：当整式的某些项相乘时，我们可以先将这些项相加，然后再进行乘法运算。

2. 同类项的乘法：如果两个整式中含有相同的变量和相同的幂次，我们可以将它们的系数相乘，然后保留相同的变量和幂次。

整式乘法的转化思想总结整式乘法是初中数学中的一个重要概念，也是数学乘法的一个扩展。

在整式乘法中，我们需要通过运用合并同类项、使用分配律以及乘法运算法则等方法将多项式相乘，得出一个简化的结果。

整式乘法的转化思想涉及到多种技巧和方法，在解答乘法题目时都有着很大的作用。

下面我将针对这些转化思想进行详细的总结。

首先，一个重要的转化思想是合并同类项。

在整式乘法中，我们经常会遇到多个同类项相乘，合并同类项可以简化计算，减少出错的概率。

合并同类项的方法是将所有同类项的系数相加，保留相同的字母和指数。

例如，对于表达式3x + 2x + 4x，我们可以合并同类项得到9x。

其次，我们可以利用分配律来转化整式的乘法。

分配律是数学运算中的一个重要法则，它可以将一个因式对多项式进行分别乘法，然后将乘积进行加法运算。

例如，对于表达式3(x + 2)，我们可以利用分配律将其展开为3x + 6。

利用分配律可以使乘法的过程更加简化，尤其在多项式乘法中有着广泛的应用。

另外，我们还可以利用乘法运算法则来转化整式乘法。

乘法运算法则中包括了一些基本的乘法公式，这些公式是整式乘法中的基础算式，掌握了它们可以更好地解答乘法题目。

常见的乘法法则包括乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等。

利用乘法运算法则，我们可以将表达式进行重组、合并和分解，从而简化整式乘法的计算。

另一个重要的转化思想是整数的乘法规则。

在整式乘法中，我们经常会遇到整数和多项式相乘的情况。

根据整数的乘法规则，我们可以将整数与多项式的每一项分别相乘，然后将乘积进行加法运算。

例如，对于表达式2(x^2 + 3x - 1)，我们可以将乘法展开为2x^2 + 6x - 2。

整数的乘法规则可以使整式的乘法更加顺利，减少出错的风险。

此外，我们还可以运用多项式乘法的转化思想来转化整式的乘法。

多项式乘法中的技巧和方法在整式乘法中同样适用。

例如，我们可以运用两项式相乘的方法，将整式转化为两项式的乘积，然后再将两项式乘积化简。

整式乘除中的数学思想
整式乘除法是解决复杂数学问题的一种常用方法，它涉及不同数字、符号和运算符之间的相互关系，常用于根据有关病理解决各种数学结论。

整式乘除法的最基本原则是结构的统一和清晰的结构，上下文之
间的完整性。

其次，重要的是要有较高的准确度，因为乘除法的常规
计算过程，与现实生活中的大多数计算形式有所不同。

要做好整式乘除的计算，首先要明确一系列基本原则，包括推广和具
体的推导，由高级到低级，顺序不可更改。

比如，在多项式乘除中，
要先乘以最高次幂的变量，然后再乘以其余的变量；在分式乘除中，
要完全算式的乘除之前，先将分式公约处理下。

此外，整式乘除的另一大重点是运用有效的规律，如聚合原则和下面
的基本运算，遵循这些规律有助于更加得心应手地计算出该数学模型，从而解决任何一个复杂数学问题。

例如，如果有两个数，则先聚合，
再乘除；如果是三个数，则先聚合，再乘以剩下的数。

最后，有一般认为，任何一个数学模型都可以用这种整式乘除法来解决，只要熟悉各种乘除规则，并有足够的耐心把握其中的规律，就可
以较容易的应用到实际的数学计算中。

因此，学习整式乘除法不仅可
以提高我们的理解能力，而且有助于强化我们的逻辑推理能力，更能
给我们的数学思维运用提供有力的帮助。

盘点《整式乘法与因式分解》中的数学思想方法思想方法是数学的灵魂和精髓，初中阶段常见的数学思想方法有转化、分类、数形结合等. 在日常学习中，如果同学们能经常从思想方法的高度对所学内容进行审视与思考，这对提升大家的数学素养、发展思维能力是十分有益的.下面结合本单元内容举例说明.一、转化思想“转化”是研究数学问题的一种基本思想.在解决数学问题时，总的指导思想是把所求问题通过变换，化归为在已知条件下能够解决的问题.在本单元中，要求某些特殊类型的多项式的值，可以借助因式分解将多项式变形后再求解，这样做往往能够化繁为简.【点评】本例（1）中的转化可以从条件出发，也可以从结论出发，但目标都是对x3进行降次；（2）是关于大数值的计算问题，若直接计算将十分繁琐，而通过用字母表示数的方法将原问题转化成整式的计算问题，便可帮助我们达到化繁为简、出奇制胜的目的.二、分类讨论分类讨论是十分重要的数学思想.本单元在涉及完全平方式问题时，由于中间项系数可正可负，所以结果往往有两解.【点评】完全平方式可定义为：a2±2ab+b2，这样的多项式都是两个数的平方和加上或减去这两个数积的2倍，因此，完全平方式中间项的系数可正可负，故（1）中m的值应为两解.第（2）小题在分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一，思考要全面.三、数形结合著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”学习整式的乘法和因式分解，我们不仅要能从“数”的角度熟练进行运算，而且要能从“形”的角度理解公式、法则的几何背景，既要学会算法，也要弄清算理，真正做到数形结合，融会贯通.例3 如图1是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图1中的阴影部分拼成图2的形状，由图1和图2能验证的式子是（）.【解析】由题意可知，拼图前后阴影部分的面积保持不变.【点评】完成本题一定要抓住两个图形中阴影部分的面积相等，由图1可知，四个直角三角形的直角边均为m、n，拼图前阴影部分面积可以用大正方形的面积减去小正方形的面积表示，拼图后阴影部分可以分成上下两个三角形，也可以分成左右两个三角形，还可以分成四个三角形，只要抓住拼图前后阴影部分面积相等，就能得出正确答案，体现了数形结合的数学思想.四、整体思想【解析】将已知条件化简得y-x=-2，即x-y=2；把要求的代数式变形得-xy==，再将x-y=2当成一个“整体”代入，结果为2.【点评】解答以上两例的关键是要有整体意识. 例4第（1）小题要将x2-2x当成一个“整体”，由已知条件得这个整体等于3，而2x2-4x在提取出2之后恰好也含有这个“整体”，只需再代入求值即可；第（2）小题将已知条件用完全平方公式展开后，将两式分别相加减，同样要把（a2+b2）和ab当成整体. 在例5中把要求的代数式先通分，再把分子因式分解，通过变换得到（x-y）这个整体.（作者单位：江苏省东台市教育局教研室）。

整式乘法中的思想方法学习整式的乘法应注意以下几种常见的数学思想方法的运用：一、化归思想例1 计算：(a －b )(a 2+ab +b 2).分析 先将其转化为多项式乘以单项式，再将其转化为单项式乘以单项式，此时利用单项式乘以单项式的法则和幂的运算法则化简.解 (a －b )(a 2+ab +b 2)＝a (a 2+ab +b 2)－b (a 2+ab +b 2)＝a ·a 2+ a ·ab + a ·b 2－b ·a 2－b ·ab －b ·b 2＝a 3－b 3.说明 本题在计算过程，实施的一步一步地转化，最终化归到单项式乘以单项式，事实上，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项“遍乘”另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，但要注意系数和符号的变化.二、方程思想例2 若多项式(x 2+mx +n )(x 2－3x +4)展开后不含x 3项和x 2项.试求m ，n 的值.分析 由于多项式(x 2+mx +n )(x 2－3x +4)展开后不含x 3项和x 2项，就是说x 3项和x 2项的系数为0，所以令多项式(x 2+mx +n )(x 2－3x +4)展开后中x 3项和x 2项的系数为0即求.解 (x 2+mx +n )(x 2－3x +4)＝x 4+(m －3)x 3+(n －3m +4)x 2+(4m －3n )x +4n ，因为展开后不含x 3项和x 2项，所以有m －3＝0且n －3m +4＝0，解得m ＝3，n ＝5. 说明 本题利用整式乘法运用中不含某些项，得到系数为0，从而构造出方程求解.三、整体思想例3 化简并求值：81[(a +b +1)(a +b －1)]·98[(a +b －2)(3－b －a )].其中a ＝－1，b ＝2. 分析 本题若用常规的方法采取“遍乘”的办法化简，显然运算量较大，但考虑其结构特点，视(a +b )为一个整体，可降低运算的难度和运算量.解 81[(a +b +1)(a +b －1)]·98[(a +b －2)(3－b －a )]＝－81·98[(a +b )(a +b －1)+1×(a +b －1)][(a +b )(a +b －3)－2(a +b －3)] ＝－91[(a +b )2－(a +b )+(a +b )－1][(a +b )2－3(a +b )－2(a +b )+6] ＝－91[(a +b )2－1][(a +b )2－5(a +b )+6] ＝－91{(a +b )2[(a +b )2－5(a +b )+6]－1×[(a +b )2－5(a +b )+6]} ＝－91[(a +b )4－5(a +b )3+6(a +b )2－(a +b )2+5(a +b )－6] ＝－91[(a +b )4－5(a +b )3+5(a +b )2+5(a +b )－6]. 因为a ＝－1，b ＝2，所以a +b ＝1，所以当a +b ＝1时，原式＝－91[14－5×13+5×12+5×1－6]＝0. 说明 本题既运用了整体思想进行化简，又运用了整体代入求值.四、数形结合思想例4 袁老师要贝贝用一张纸片制作成一个如图②形状的图案.贝贝是这样做的：先画一条线段AC ，如图①，再以AC 为直径画圆，O 是它的圆心，并剪下这个圆，然后在AC 上找一点B ，再分别以AB 、BC 为直径画圆，然后用剪子或其它工具挖去这两个圆，即以O 1、O 2为圆心的圆，再通过适当的剪裁，就可以得到图②.如果被你挖去两个圆中，小圆的半径（即AO 2）比大圆的半径（即CO 1）小1cm ，请你比较余下部分的面积（即图①中阴影部分的面积）和被挖去部分的面积（即两个小圆的面积的和）的大小.分析 要求其解，现在的关键是要能分别求出余下的图形面积和挖去的两个圆的面积，然后再比较各自的大小.解 设小圆的半径AO 2＝r ，则大圆的半径CO 1＝r +1，外面的最大圆的半径则为r +r+1①②＝2r+1，所以图中小圆的面积＝πr2，大圆的面积＝π(r+1)2，小圆和大圆的面积之和＝πr2+π(r+1)2，而图中外面最大圆的面积＝π(2r+1)2，所以图中阴影部分的面积＝π(2r+1)2－[πr2+π(r+1)2]＝4πr2+4πr+π－πr2－πr2－2πr－π＝2πr2+2πr，而图中阴影部分的面积－小圆和大圆的面积之和＝2πr2+2πr－πr2－π(r+1)2＝2πr2+2πr－πr2－πr2－2πr－π＝－π＜0，所以图中阴影部分的面积＜小圆和大圆的面积之和.说明本题在分别计算出图中阴影部分的面积与小圆和大圆的面积之和之后，采用了作差法进行比较.。

整式乘法中蕴含的五个数学思想和方法整式乘法是高中数学中的一种基本运算，它不仅是后续学习中的基础，也是解决实际问题中常见的数学手段之一、在整式乘法中，蕴含以下五个数学思想和方法。

一、代数思想：整式乘法是代数运算的一种形式，通过特定的规则和性质，将多项式相乘得到新的整式。

代数思想要求我们用字母和符号代表数，通过运算规则进行计算，从而解决实际问题和推导出结论。

代数思想在整式乘法中的体现是将多项式分解成乘积的形式，以便于进行计算和运算的简化。

例如，将一个多项式分解为两个因式相乘的形式，可以利用公式进行整式的乘法，避免了繁琐的运算。

二、分配律：整式乘法中的分配律是将一个因式与另一个因式中的每一项相乘，并将这些乘积相加得到最终的结果。

分配律可以将复杂的乘法运算简化为一系列简单的加法和乘法运算，使整式的乘法计算更加高效。

分配律在整式乘法中的体现是将多项式中的每一项都分别与另一个多项式中的每一项相乘，并将这些乘积相加得到最终结果。

通过应用分配律，可以将整式乘法分解成一系列简单的乘法和加法运算，从而简化整式乘法的计算过程。

三、合并同类项：合并同类项是整式乘法中的一个重要步骤，它要求将多个相同的项合并为一个项，并合并系数。

合并同类项的操作可以简化整式的形式，方便进行进一步的化简和计算。

合并同类项在整式乘法中的体现是将多个相同的项合并为一个项，并合并系数。

例如，将多项式2x+3x化简为5x，将多项式3a^2b+2a^2b合并为5a^2b。

四、乘法公式：乘法公式是整式乘法中的重要工具，它是特定形式的整式相乘的结果。

通过使用乘法公式，可以简化整式的计算过程，减少错误和避免重复的计算。

常见的乘法公式包括平方差公式、平方和公式、差积公式等。

平方差公式用于计算两个不同项的平方差，平方和公式用于计算两个不同项的平方和，差积公式用于计算两个不同项的差的平方。

通过合理应用乘法公式，可以在整式乘法中简化计算过程，提高计算效率。

五、结构问题：在整式乘法中，结构问题是指如何合理地组织和安排整式的各个因式，以便于进行快速和准确的计算。

整式乘除中的数学思想方法作者：罗普能来源：《初中生之友·中旬刊》2010年第01期学习数学不仅要学习基础知识,更重要的是学习数学思想方法。

因为数学思想是数学的灵魂,它在指导数学学习中有着十分重要的作用。

下面总结整式乘除中的数学思想方法。

一、化归思想例1 已知ax=2,ay=3,az=6,求a3x+2y-z的值。

分析求解本题的关键在于寻找求值式与已知的关系,可用下面两种解法。

解法一由ax=2,得(ax)3=23,即a3x=8。

由ay=3,得(ay)2=32,即a2y=9。

又az=6,∴ a3x•a2y÷az=8×9÷6=12,即a3x+2y-z=12。

解法二:a3x+2y-z=a3x•a2y÷az=(ax)3•(ay)2÷az=22×32÷6=12。

二、整体思想例2 已知10a=10,10b=6,求102a+3b的值。

分析由于10a=10,10b=6,我们不便将a,b分别求出,但从问题102a+3b入手,我们不难发现102a+3b=(10a)2(10b)3,利用整体代入,将问题解决。

解102a+3b=102a•103b=(10a)2(10b)3=102×63=100×216=21600。

三、分类讨论思想如果问题中包含多种情况,必须按可能出现的所有情况来分别讨论,得出相应的答案,这种解决问题的思想方法叫做分类思想。

例3 已知2a|m-1|b3与-3a2b|n|的和是单项式,求m、n的值。

分析根据两个单项式的和是单项式可知,这两个单项式是同类项,根据同类项的特征可求m、n的值。

解 |m-1|=2,|n|=3,所以m-1=2或m-1=-2,n=3或n=-3,所以m=3或m=-1,n=3或n=-3,可得:m=3,n=3或m=3,n=-3或m=-1,n=3或m=-1,n=-3。

四、字母代数思想字母代数思想即用字母代替数,在解决一些较复杂的数的计算中,如果能恰当地利用字母去代替数值,从而将数字计算转化为数学式子的化简,可使计算明快简捷。

整式乘除中所蕴涵的数学思想数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有利武器，是进行数学发现和创造的工具，数学思想方法又是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学，运用数学的重要保证．整式乘除一章中，隐含着许多重要的数学思想方法，需要我们去挖掘、拓展和应用，现归纳起来主要有以下几种．一、整体代入的数学思想例1 已知a +b =2，求222121b ab a ++的值．分析:将所求的代数式变形，使之成为a +b 的表达式，然后整体代入求值．解: .)(21)2(21212122222b a b ab a b ab a +=++=++ ∵a +b =2∴原式.22212=⨯=例2 已知,610,510==b a 求b a 3210+的值．分析:由于,610,510==b a 我们不便将a ，b 分别求出，但我们从问题b a 3210+入手，不难发现， ,)10()10(103232b a b a =+利用整体代入，将问题解决．解: .54002162565)10()10(10101032326232=⨯=⨯=⋅=⋅=+b a b a b a二、分类讨论的数学思想例3若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值．分析 根据完全平方式求待定系数或公式中的a 与b ．解: .25)4(225)4(222+++=+++x a x x a x∵多项式是完全平方式， ∴2(a +4)x =±2×x ×5， ∴2(a +4)= ±10．∴当2(a +4)= 10时，a =1;当2(a +4)= -10时，a = -9．三、化归的数学思想例4 已知.6,3,2===zy x a a a 求z y x a -+23的值． 分析:求解本题的关键在于寻找求值式与已知的关系，可以用下面两种解法．解法一:由2=x a ，得.2)(33=x a 即83=x a ．由3=y a ，得.3)(22=y a 即.92=y a 又.6=z a 所以.1269823=÷⨯=÷⋅z y x a a a即z y x a -+23=12．解法二: z y x a -+23=.12632)()(232323=÷⋅=÷⋅=÷⋅z y x z y x a a a a a a说明:解法一根据等式两边可以同时n 次方的原理，从已知中构造出求值式中有关的y x a a 23、及z a ，再根据同底数幂的乘法、除法法则构造出求值式z y x a -+23，这种解法的基本思路是由已知向目标转化，即“已知→目标”；解法二利用幂的运算法则的可逆性，即逆用幂的乘方法则、同底数幂的乘法、除法法则，求解过程直截了当，一气呵成，这种解法的基本思路是由目标向已知转化，即“目标→已知”．四、逆向思维的思想方法1、逆用幂的运算性质例5计算：.)8()125.0(1716-⨯分析：若将1716)8(,)125.0(-计算，再相乘，运算非常麻烦，这时若将幂的运算性质逆向运用，就简便多了．解: ()[]171617168)125.0()8()125.0(-⨯=-⨯=.8818)8125.0(88)125.0(8)125.0(161616161716-=⨯-=⨯⨯-=⨯⨯-=⨯-2、逆用完全平方式例6 计算.7655.07655.0469.22345.122+⨯+分析：因数位数多，直接计算难度较大，这时若能抓住数字的结构特征，巧妙逆用完全平方公式，则可简化计算过程．解:原式=.7655.07655.02345.122345.122+⨯⨯+=.42)7655.02345.1(22==+五、构造公式模型的思想方法例7 计算11×101×10001．分析:若直接相乘，计算量很大，但仔细观察到:11=10+1，101=100+1，10001=10000+1，所以在原式中只要乘以(10-1)，即可连续运用平方差公式计算． .111111119999999991110911101109111011011091110000110011011091844422=⨯=-=+-=++-=+++-=）（））（（））（）（（））（）（）（（解：原式。

整式的乘法教案设计与思维导图教学法的应用一、教案设计1.教学目标（1）知识目标：理解整式乘法的基本概念和思想，能够通过列式方法和竖式方法解决整式乘法问题。

（2）能力目标：通过分析问题，选择合适的方法解决整式乘法问题，培养学生的推理和逻辑思维能力。

2.教学重难点（1）教学重点：整式的乘法方法（2）教学难点：竖式方法3.教学内容（1）整式的乘法概念和性质（2）列式方法和竖式方法的乘法运算（3）应用题4.教学方法（1）讲授法（2）示范法（3）思维导图法5.教学过程（1）导入讲师通过简单的例子，引导学生了整式乘法的基本概念和意义。

（2）讲解讲师通过表格、图像和文字的方式，详细地讲解整式乘法：Ⅰ. 整式的乘法概念和性质Ⅱ. 列式方法和竖式方法的乘法运算Ⅲ. 应用题（3）导学讲师通过学生练习课程，引导学生掌握整式乘法的方法。

（4）总结通过课堂讨论、学生答题和案例分析，加深学生对整式乘法的了解，掌握整式乘法的基本思想和方法。

二、思维导图教学法的运用1.思维导图的介绍思维导图是将一系列相互关联的思想和概念清晰地表示出来的图形工具，被广泛应用于各行各业的学习和工作中。

2.思维导图的优点（1）可视化表示：思维导图将抽象的思想和概念转换为有形的图形，更容易被理解。

（2）概括性：思维导图以主题为中心，将相关内容集中起来，表现出思路的完整性。

（3）强化记忆：思维导图能够将重点概念和信息形象化地呈现出来，容易被记住。

（4）提高效率：思维导图能够帮助学生在时间紧迫的情况下快速地掌握课程内容，减少学习难度。

3.思维导图教学法的应用讲师可以将整式的乘法教学内容以思维导图的形式呈现给学生，在课堂上进行讲解，让学生通过画图的方式，更加直观地理解整式乘法的概念、方法和应用。

（1）教学目标通过思维导图教学法，让学生了解整式乘法的基本概念，掌握竖式方法和列式方法解决整式乘法问题，培养学生的逻辑和分析能力。

（2）教学步骤Ⅰ. 整式乘法概念的思维导图通过将不同的元素和概念进行关联，并以整式乘法为中心，构建整式乘法概念的思维导图。

1、《整式》中的思想方法与思维技巧2、整式的乘法新题例析3、完全平方公式要点精析4、因式分解经典试题分析5、因式分解中常见的错误辨析6、整式除法运算新题放送7、正确理解与灵活运用乘法公式8、因式分解在赛题中的应用9、整式的乘法错解剖析10、聚焦特征，活用乘法公式1、《整式》中的思想方法与思维技巧本章中蕴含着丰富的数学思想，下面以例说明如何运用这些数学思想指导我们解决问题．1、“特殊→一般→特殊”的思想方法在本章中，许多性质与法则的得出，都是先举出一些具体的例子，然后找出它们的共同特征，加以推广，概括出一般化的结论，再把所得结论应用于具体的解题过程中。

例如：同底数幂的乘法的性质．2、分类讨论的数学思想方法例如：多项式4x2＋1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么这个单项式是什么？析解：根据已知多项式的特点，我们可以把添加的单项式分为：①四次式(可添4x4)，②二次式(添－4x2)，③一次式(±4x)，④常数(－1)．3、数形结合的数学思想方法多项式的乘法常常可以看作是某种图形的面积，本章有许多这样数形结合的例子．例如：课本P180，根据图形面积说明平方差公式．P182，根据图形面积说明完全平方公式．例．如图是用四张相同的矩形拼成的图形，请你利用图中的阴影部分的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式：．析解：因大正方形的边长为a ＋b ，小正方形的边长为a －b ，所以(a ＋b )2－(a －b )2＝（a 2＋2a b ＋b 2）－（a 2－2a b ＋b 2）＝4a b ．故填：(a ＋b )2－(a －b )2＝4a b ．4、整体代入的思想方法例如课本P185页第7题：已知a ＋b ＝5，a b ＝3，求a 2＋b 2的值．析解：直接求出a 、b 的值有一定的困难，但可对所求代数式a 2＋b2，我们可添项，变为：a 2＋2a b ＋b 2－2a b ＝(a ＋b )2－2a b ，然后整体代入求值．5、逆向思维技巧由于整式的乘除及因式分解都是恒等变形的过程，因此恰当地利用本章的一些性质、法则、公式进行逆向解题，常常可以起到简化运算，化难为易的作用．例如课本P193第7题：已知2m ＝a ，32n ＝b ，求2310m n +．析解：先逆用幂的乘方：mn n m a a =)(，再逆用积的乘方：n n n b a ab =)(．由2m ＝a ，得(2m )3＝a 3，即23m ＝a 3，由32n ＝b ，得(25n )2＝b 2，即210n ＝b 2， ∴ 2310m n +＝23m ·210n ＝a 3b 2．由此可见正确地运用数学思想方法往往可使问题化繁为简、化难为易，起到事半功倍之效．2、整式的乘法新题例析整式的乘法是本章的重要内容，也是中考试题中常见的题型，下面请欣赏几例．一、定义运算类例1．（吉安市） 如果“三角形”表示，“方框”表示，求 ×的值。

《整式的乘法》教案一、教学目标1. 理解整式乘法的概念和意义。

2. 掌握整式乘法的基本方法和步骤。

3. 能够运用整式乘法解决实际问题。

二、教学内容1. 整式乘法的定义和性质。

2. 整式乘法的基本方法和步骤。

3. 整式乘法在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 整式乘法的概念和意义。

2. 整式乘法的基本方法和步骤。

3. 整式乘法在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解整式乘法的概念和意义。

2. 采用示范法，演示整式乘法的基本方法和步骤。

3. 采用练习法，让学生通过实际问题运用整式乘法。

五、教学准备1. 教学课件或黑板。

2. 练习题。

教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入整式乘法的概念，引导学生回顾整式的基本知识。

2. 通过实际例子，让学生感受整式乘法的意义。

二、讲解整式乘法（15分钟）1. 讲解整式乘法的定义和性质。

2. 演示整式乘法的基本方法和步骤。

3. 引导学生通过例子理解和掌握整式乘法。

三、练习整式乘法（15分钟）1. 分组练习，让学生相互讨论和交流。

2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和指导。

四、应用整式乘法解决实际问题（15分钟）1. 给出实际问题，让学生运用整式乘法进行解决。

2. 引导学生总结整式乘法在实际问题中的应用。

五、总结与布置作业（5分钟）1. 对整式乘法进行总结，强调重点和难点。

2. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

六、教学过程1. 复习导入：回顾上一节课的内容，通过几个简单的整式乘法例子，让学生回顾并巩固整式乘法的基本方法和步骤。

2. 讲解新课：讲解整式乘法的进阶概念和技巧，如平方差公式、完全平方公式等。

通过示例和练习，让学生理解和掌握这些概念和技巧。

3. 应用练习：给出一些实际问题，让学生运用整式乘法进行解决。

通过讨论和交流，引导学生总结整式乘法在实际问题中的应用。

七、教学评价1. 课堂练习：在课堂上，让学生完成一些整式乘法的练习题，通过学生的解答情况，了解学生对整式乘法的掌握程度。

整式的运算中的思想方法数学思想是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙，在数学中蕴含着一些重要的数学思想，为帮助大家理解数学思想，以便在解题中灵活地运用，现就几种数学思想分析如下.一、逆向思维思想方法在整式的乘法运算中，有时可以将乘法公式逆向使用，使问题易于解决. 例1已知,21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a 求代数式ac bc ab c b a ---++222的值分析：本题是一道求值问题，如果将a 、b 、c 的值直接代入计算，则非常的麻烦，观察已知条件及所求式子，联想所学习的数学知识，可以通过逆用完全平方式解决. 解：由已知，得a-b=1，b-c=-2，c-a=1，所以ac bc ab c b a ---++222 =)222(21222222c bc b c ac a b ab a +-++-++- =])()()[(21222a c c b b a -+-+-, 将a-b=1,b-c=-2,c-a=1代入，得原式=3.试一试：计算(x-2y+3z)2-(x+2y-3z)2.二、代数思想代数思想即用字母代替数，在解决一些较复杂一些的数的计算中，如果能恰当地利用字母去代替数值，从而将数字计算转化为数学式子的化简，可使计算明快简捷. 例2 已知M=2022×2022-1，N=20222-2022×2022+20222，试比较M 、N 的大小. 分析：为了比较简便，可设2022=a ，那么M=a(a+1)-1=a 2+a-1，N=a 2-a(a+1)+(a+1)2=a 2+a+1,因为M-N=(a 2+a-1)-(a 2+a+1)=-2,所以M<N.试一试：计算2022×20222022-2022×20222022。

答案：0。

三、数形结合思想数形结合思想，就是将数（量）与形（图）结合起来解决问题的一种数学思想方法.利用数形结合思想解决有关问题可化难为易，直观明了.例3 如图1，在边长为a 的正方形中减去一个边长为b 的小正方形（a>b ）,把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,验证了公式_____.图1分析:本题是一道数形结合创新题,通过图形的面积计算,验证乘法公式.从图形中的阴影部分可知其面积是两这个正方形的面积差,即a 2-b 2,又由于图的梯形的上底是2b,下底是2a,高为a-b,所以梯形的面积为))(22(21b a b a -+=(a+b)(a-b),根据面积相等,得乘法公式:a 2-b 2=(a+b)(a-b).解：填a 2-b 2=(a+b)(a-b).试一试：请你观察图2，依据图形的面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个和整式乘法运算相关的等式，这个等式为（ ）(A)(x+y)2=x 2+2xy+y 2 (B)(x-y)2=x 2-2xy+y 2(C)(x-y)2=x 2-2xy-y 2. (D)(x+y)2=x 2+y 2 图2答案：B四、整体思想在整式的加减运算中，整体思想是一种重要是数学思想，解决问题时，将局部放在整体中观察、分析，寻找整体与局部之间的联系，可使问题简便解决。