数学建模2016A题

福州大学第十二届数学建模竞赛题目
请先仔细阅读“论文格式规范”
A题高等院校排课系统的设计
长期以来，高等院校每个学期的排课在整个教务工作中是一项繁重琐碎的工作，基本上靠手工操作，既花费大量的时间和精力，又可能使得排课结果在时间段上不能充分满足教师的个性化需求，且存在许多不尽合理之处，比如教室利用上不够均衡，有的教室使用频率很高，有的教室使用频率却太低。

排课问题早在1975年就被S.Even等证明是一个NP-完全问题，说明排课问题可以通过建立数学模型找到问题的近似最优解。

从公开正式发表的文献来看，目前针对排课的建模主要有涉及遗传算法、图论法、模拟退火算法、蚁群算法以及基于优先级的排课算法等多种方法。

这些方法针对性均太强，且各有优缺点。

某校数学系把学生分成数学实验班与数学普通班两类，具体又分成数学与应用数学、信息与计算科学两个不同专业。

不同班级开设的课程不完全相同，但同一学期中若是由同一教师开设的相同课程都是合班上课的。

下面的表3和表4列出2014—2015学年下学期整个系要开的所有课程。

请你们通过建立数学模型，设计出一种适用于该系的通用排课系统。

给出用你们的模型计算出的排课结果，要求列出每个班的课表（具体应体现各时间段对应的课程、教师和教室编号）。

说明：以下时间段为全校2013级公共课安排时间：08、12、13、16、20，不得占用。

以下时间段为全校2014级公共课安排时间：03、05、06、11、13、18，不得占用。

教务人员在安排教室时，教室一般事先会被分块，数学系的课程只能被安排在10间教室内，具体见表2：
表2 数学系排课教室
表3 数学实验班编号数据。

2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题系泊系统的设计分析初稿，旨在交流，有各种做题思路，大家自由发挥！不保证正确,如有错误,欢迎指正!注意1：程序为最初稿，只是证明解的存在性，可以使用二分法、牛顿法等进行进一步求解！2：剩下的可以使用锚链线等更复杂的理论：请继续查阅文献，给文章加分3：此外可以化下面的流程图，解释求解程序，给文章加分4：剩下题目问题原则上是把问题做的更复杂，考虑更多的受力，请大家自行脑补。

5：第一天说了对系缆力的计算，目前主要有三种模型：悬链线模型（我们下面说的第三种静力学分析）、以多体动力学理论为基础的集中质量一弹簧模型（我们下面说的第二种，需要matlab做常微分方程数值解）以及细长杆模型（我们下面说的第一种，力学有限元分析））。

查阅参考文献《深海系泊系统动力特性研究进展》，请大家自行选择各类方法。

1. 某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。

现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。

若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

1. 某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。

现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。

若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

分析:为简化起见, 按平浮处理，风引起的水平力x F()()220.625,0.6252x F v S h r h h v θ'==⨯-浮力f F 为2f F g r h ρπ'=其中h '为正浮吃水深度。

则对浮标的方程有 1111011011sin ,cos sin ,cos x f x f F T F T G F T F G T θθθθ==+=-= (1)其中0G 为浮标自重，00G m g =，0m 为浮标的质量为1000kg 。

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 城市表层土壤重金属污染分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。

为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS 记录采样点的位置。

应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。

另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？分分工会舒服的规划法规f x c f 是否撒的发生的发生fx c f 是否撒的发生的发生f x c f 是否撒的发生的发生fx c f 是否撒的发生的发生fx c f 是否撒的发生的发生f x c f 是否撒的发生的阿斯顿发斯蒂芬斯蒂芬题 目 A 题 城市表层土壤重金属污染分析摘 要：本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。

2016A减肥计划
多数减肥食品达不到减肥的目标,或者即使能减肥一时,也难以维持下去。

许多医生和专家的意见是,只有通过控制饮食和适当的运动,才能在不伤害身体的条件下,达到减轻体重并维持下去的目的.建立一个简单的体重变化规律的模型,并由此通过节食与运动制订合理、有效的减肥计划。

问题：
(1)、如何估计一顿饭摄入的热量？给出学校食堂几个具体的例子，并计算。

(2)、以自己或者身边的人为例，已一周为周期，计算平均每天的摄入热量。

(3)、如果以半年为时间限制，体重减轻10公斤，问题2中的人，应该如何安排自己饮食，应该如何安排自己的运动。

系泊系统的设计摘要对于问题一，建立模型一，已知题目给出的锚链长度与其单位长度的质量，得到悬链共210环。

对各节锚链，钢桶，四节钢管受力分析得出静力平衡方程，使用分段外推法，可以得到静力平衡下的迭代方程。

其中锚对锚链的拉力大小方向为输入变量，迭代的输出变量为浮标的位置和对钢管的拉力，在给定的风速下，输入和输出满足关系2)2(25.1cos 水v h T -=α，αθcos cos 11T T =，通过多层搜索算法得出最符合的输入输出值，即可得到给定风速下浮标的吃水深度，浮标拉力、锚链与海床夹角。

利用MATLAB 软件编程求解模型得到：风力12m/s 时，钢桶与竖直方向上的角度1.9863度，从下往上四节钢管与竖直方向夹角为1.9652度、1.9592度、1.9532度、1.9472度，浮标吃水0.7173m ，以锚为圆心浮标的游动区域16.5125m ，锚链末端切线与海床的夹角3.8268度。

风力24m/s 时，锚链形状，钢桶与竖直方向上的夹角3.9835度，从下往上四节钢管与竖直方向夹角为3.9420度、3.9301度、3.9183度、3.9066度，浮标吃水0.7244m ，以锚为圆心浮标的游动区域18.3175m 。

锚链末端切线与海床夹角15.9175度。

对于问题二的第一小问，使用模型一求解，当风速36m/s 时，锚链末端切线与海床夹角26.3339度，浮标吃水0.7482m ，浮标游动区域为以锚为圆心半径为18.9578m 的圆形区域，从下往上四节钢管与竖直方向倾斜角度为8.4463度、8.4225度、8.3989度、8.3753度，钢桶与竖直方向倾斜角度为8.5294度。

为满足问题二的要求，在模型一的基础上把重物球质量作为变量，建立模型二，将钢桶倾斜角小于5度和锚链前端夹角小于16度当做两个约束条件，通过MATLAB 编程求解得到满足约束条件要求的重物球质量取值范围为3700kg 到5320kg 。

2016年数学建模竞赛A题优秀论文基于力学分析的系泊系统设计摘要关于系泊系统的设计问题，需要对稳态下的各个物体进行受力分析和力矩分析，建立力学分析模型来求解问题。

针对问题1，先对稳态下的各个物体进行受力分析和力矩分析，建立满足受力平衡和力矩平衡的力学模型。

再以浮标的吃水深度为搜索变量，采用二分法，计算海水深度为18m时所对应的吃水深度和各物体的倾角。

利用MATLAB软件求解可得，风速为12m/s时，钢桶与竖直方向的夹角为1.2319°，钢管与竖直方向的夹角依次为1.2064°,1.2064°,1.2148°,1.2233°。

浮标的吃水深度和游动半径分别为0.6715m,14.6552m。

风速为24m/s时，钢桶夹角为4.6763°，钢管夹角依次为4.5360°,4.5836°,4.6141°,4.6450°；浮标的吃水深度和游动半径分别为0.6857m，17.7614m。

针对问题2，可利用问题1中建立的数学模型，利用MATLAB进行求解，可得风速为36m/s时，钢桶夹角9.6592°；钢管夹角依次为9.4814°，9.4814°，9.5399°，9.5992°；浮标的吃水深度和游动半径分别为0.7086m，18.4906m；最后一节锚链与水平面的夹角为20.9997°故以钢桶夹角小于5°和锚链夹角小于16°为约束条件，逐步增加重物球的质量，采用二分法向水深18m进行逼近。

当重物球的质量为2280kg时，浮标的吃水深度为0.9848m；钢桶夹角为4.4737°；锚链夹角为15.9748°；为使通讯设备的工作效果增强，重物球的质量可以在2280kg的基础上进行适当增加。

针对问题3，可在问题1的受力分析时加入水流力的作用，以最大风速36m/s，最大水流速度1.5m/s为设计指标，通过控制单一变量的方式可确定链条的型号为Ⅴ型的电焊锚链。

1.某型传输节点选用 II 型电焊锚链 22.05m，选用的重物球的质量为 1200kg。 现将该型传输节点布放在水深 18m、海床平坦、海水密度为 1.025×103kg/m3 的海 域。在海水静止时，分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾 斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
将(1)式代入得：
dy mg T1 sin 1
dx
T1 cos1
(2)
对于锚链，m=σs ，其中 s 是 AB 锚链的长度，σ是锚链的线密度，即单位长
度锚链的质量[1]。代入(2)式得：
dy sg T1 sin 1
(3)
dx
T1 cos1
根据勾股定理可以得到弧长公式：
ds
1
dy dx
dp dx
T1
cos1
g
1 p2
然后对 x 和 p 分离变量并对两端进行积分得到：
dp
1 p2
T1
g cos 1
dx
即：sinh 1
p
g T1
x
C1
(4)
其中 C1 可以由 x=0,y=0 时的值确定，原点 A 处 p y ' tan 1 ，可得 C1 为：
当海面风速一定且海水静止时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮 标的吃水深度和游动区域，与锚链线的方程、系泊系统各部分之间的受力平衡和 力矩平衡的约束密切相关。由于传输节点各部分相互影响，根据力学相关知识， 可以按照锚链→钢桶和重物球→钢管→浮标的顺序依次进行受力分析，从而得到 各部分受力平衡时的定量解析式，通过这些表达式可以确定钢桶和各节钢管的倾 斜角度、锚链形状。由于吃水深度与浮标受力直接相关，还可以确定浮标的吃水 深度。对于浮标的游动区域，可以由稳定后系泊系统各个部分在水平方向投影的 总长度来计算游动区域的最大半径。

2016年全国研究生数学建模竞赛A题多无人机协同任务规划无人机（Unmanned Aerial Vehicle，UAV）是一种具备自主飞行和独立执行任务能力的新型作战平台，不仅能够执行军事侦察、监视、搜索、目标指向等非攻击性任务，而且还能够执行对地攻击和目标轰炸等作战任务。

随着无人机技术的快速发展，越来越多的无人机将应用在未来战场。

某无人机作战部队现配属有P01~P07等7个无人机基地，各基地均配备一定数量的FY系列无人机（各基地具体坐标、配备的无人机类型及数量见附件1，位置示意图见附件2）。

其中FY-1型无人机主要担任目标侦察和目标指示，FY-2型无人机主要担任通信中继，FY-3型无人机用于对地攻击。

FY-1型无人机的巡航飞行速度为200km/h，最长巡航时间为10h，巡航飞行高度为1500m；FY-2型、FY-3型无人机的巡航飞行速度为300km/h，最长巡航时间为8h，巡航飞行高度为5000m。

受燃料限制，无人机在飞行过程中尽可能减少转弯、爬升、俯冲等机动动作，一般来说，机动时消耗的燃料是巡航的2~4倍。

最小转弯半径70m。

FY-1型无人机可加载S-1、S-2、S-3三种载荷。

其中载荷S-1系成像传感器，采用广域搜索模式对目标进行成像，传感器的成像带宽为2km（附件3对成像传感器工作原理提供了一个非常简洁的说明，对性能参数进行了一些限定，若干简化亦有助于本赛题的讨论）；载荷S-2系光学传感器，为达到一定的目标识别精度，对地面目标拍照时要求距目标的距离不超过7.5km，可瞬时完成拍照任务；载荷S-3系目标指示器，为制导炸弹提供目标指示时要求距被攻击目标的距离不超过15km。

由于各种技术条件的限制，该系列无人机每次只能加载S-1、S-2、S-3三种载荷中的一种。

为保证侦察效果，对每一个目标需安排S-1、S-2两种不同载荷各自至少侦察一次，两种不同载荷对同一目标的侦察间隔时间不超过4小时。

为保证执行侦察任务的无人机与地面控制中心的联系，需安排专门的FY-2型无人机担任通信中继任务，通信中继无人机与执行侦察任务的无人机的通信距离限定在50km范围内。

2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题系泊系统的设计近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。

某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。

系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。

锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。

钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。

要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度错误！未找到引用源。

，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。

水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。

钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。

钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。

若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。

钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。

为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。

现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。

若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。

三、问题假设
1.假设司机全部都正常驾驶；
2.假设道路上不存在交通事故； 3.假设天气状况不影响司机驾驶； 4.假设道路不存在影响交通障碍物。
四、符号说明 符号说明
cs cslr Tc tg t0 ti
一直行车道的设计通行能力 一条左右车道的设计通行能力 信号灯的周期时间 信号每周期的绿灯时间 绿灯亮后，第一辆车的启动时间 直行或右行车辆通过停车线的平均时间 折减系数 直右车道的设计通行能力 直左车道的设计通行能力 折减后本面进口道的通行能力 本面进口道的设计通行能力 本面各种直行车道数 本面进口道左转车辆设计通行能力 不折减本面各种直行车道设计通行能力的对面左转车数,当交叉口小时为 3n,大时为 4n 左右转车占本面进口道车辆比例 小区外部道路车辆数 小区内部道路车辆数 交通量 自由流速度
（3）
直左右车道设计通行能力计算公式：
Cslr Csl
,
（4）
小区周边交叉路口进口道的设计通行能力不仅等于各进口车道设计通行能力之和, 还可以根据本进口车辆左右转比例计算进口设有专用左转与专用右转车道时， 进口道设 计通行能力有以下公式
Celr Cs 1 1 r
（5）
,
专用左转车道设计通行能力为
C1 Celr 1
,
（6） （7）
专用右转车道设计通行能ຫໍສະໝຸດ 为Cr Celr r
,
（2）进口道设有专用左转车道而未设有专用有专用右转车道时，进口道的设计通 行能力有以下计算公式
C el
C
s
C sr

,
1 l
cl cel l
二、问题分析
本文主要分析了小区开放前后周边道路通行能力的变化情况，根据小区开放前后道 路车流速度及车流密度的关系建立数学模型， 对不同小区开放前后对周边道路的影响作 出定量分析并求解。 针对问题一，要求小区开放对周边道路的影响，首先确立了道路通行能力这一综合 指标，即为在一定的道路和交通条件下，道路上某一路段或某交叉口单位时间内通过某 一断面的最大车辆数，可分为基本通行能力、可能通行能力和设计通行能力三种。小区 开放会改变周边道路交叉口的数量，从而引起道路通行能力的变化，通过对小区开放前 后周边道路直道及交叉口通行能力这一指标的计算加权得到小区开放前后的综合通行 能力，观察比较综合通行能力的变化，得出小区开放对其周边道路通行的影响。 针对问题二，首先，我们先采用道路服务等级理论将小区内外道路进行新的服务等 级划分，将小区周边道路分为六个服务等级，将小区内部分为五个服务等级，由于路面 上的车流是一个动态的过程，随着道路车流量的增加，小区内外道路服务等级会达到平 衡，该动态过程即为动态排队论模型。该模型中车流密度、通行速度与交通量三个重要 指标的关系为交通量为行车速度与车辆密度之积。但是在车流密度不同的情况下，车辆 密度与行车速度有着不同的关系。由于车辆密度与行车速度具有较强的关联性，为了方 便计算，这两个指标的计算可以采用广义格林希尔治模型进行求解。结合建立的动态排 队论模型与格林希尔治模型，通过 C 语言软件进行编程，得到了在道路车辆不断增加的 情况下小区内外行车速度及车流密度的动态变化， 并在不同的车流量的情况下仿真得到 小区内外车流稳定时的小区开放前后通行量的变化。 通过 Excel 对得到的数据进行处理， 清晰地得出在不同情况下小区开放对周边道路的影响。 针对问题三，我们根据周边小区建设的内部结构及外部道路情况，选取了四处最具 代表性的小区，通过 CAD 软件构建出这四种不同类型小区的简化平面图。利用问题二得 到的模型与 C 程序进行仿真，由于四个小区内外结构有一定的差异，所以得到四组不同 交通量的仿真结果。 对每个小区开放前后交通量的增加比例定义为 G,最终在同一坐标系 下得到四组小区开放前后不同车流量与 G 的变化曲线，通过对比这四组曲线的变化，得 出不同类型结构的小区对周围道路通行的影响， 这一影响主要与小区内部和外部道路宽 度与道路状况，不同时间段车流量大小有着紧密的关系。 针对问题四， 我们发现在面对特大车流量时候小区的开放会对周边道路通行能力产 生负面影响，为了避免这种极端情况的发生，我们提出了拥挤收费模型，很好的避免了 这一极端情况的发生， 并在分析了不同类型小区开放对周边道路通行能力贡献程度大小 的不同，给城市规划部门提出优先开放哪些类型的现有小区，以及如何建设未来开放小 区的建议。

2016 年第九届“认证杯”数学中国 数学建模网络挑战赛第一阶段论文
题 目
缠绕率
A 题 洗衣机
广义胡克定律 损伤程度 动力学方程
关 键 词
摘
要：
随着社会生产力的提高，以及国家开展家电下乡、扩大内需的政策，洗衣机已逐渐 成为每家每户必备的家用电器之一。这极大的提高了人们的生活效率。然而不同洗衣机 的几何及运转参数的差异造成净洗效能及对衣物的损伤程度的不同。本文基于已知数 据，通过建立数学模型，研究洗衣机的几何及运转参数对净洗效能和对衣物的损伤程度 的影响。 对于问题一，首先我们对织物的去渍原理进行分析，并结合实际的洗涤情况分析洗 涤过程中影响净洗效果的主要因素，从而将诸多因素归结为机械力对衣物的作用效果。 由于无法通过实验的方式来准确衡量洗衣机的净洗效能，因此我们通过分析洗衣机的几 何参数和运转状态，并结合实际的洗涤情况，对实际洗涤过程中各个阶段的运动状态和 受力情况进行分析， 并运用能量守恒定律和功能原理将净洗效能转化成在单位时间内洗 衣机对衣物的做功效果，从而建立洗衣机对衣物净洗效能的评估模型。 接着我们对织物在洗涤过程中可能受到的损伤进行分类，通过查阅资料可知，衣物 的损伤主要来自外力拉伸导致的变形和摩擦力造成的磨损。对于衣物的拉伸变形，我们 利用广义胡克定律，将洗涤过程中产生的形变对时间进行积分，并将缠绕率作为衡量拉 伸程度的指标；对于衣物的磨损，经过分析得到摩擦力与磨损程度的变化关系，并结合 实际洗涤过程中摩擦力的变化得到一个周期内总的磨损程度，从而建立以缠绕率和磨损 程度两个主要的指标作为衡量洗衣机对衣物的损伤程度的数学模型。 对于问题二，以问题一中的所建立的模型为基础，核心问题是分析洗涤过程中的受 力情况。对于波轮式洗衣机，首先我们将其工作过程分为加速和减速两个阶段，鉴于实 际的受力情况较为复杂，我们运用牛顿内摩擦定律和能量守恒定律，并结合实际的运转 参数，通过分析其运动过程中的速度变化进而反推出合力的变化情况；对于滚筒式洗衣 机，我们将其工作过程分为上升、降落和入水三个阶段，利用牛顿第二定律和机械能守 恒定律，在各阶段分别建立相应的动力学方程，最后利用四阶龙格 -库塔方法求出方程 的数值解，进而得到的合力随时间的变化情况。 最后，在问题一所建立模型的基础上，利用问题二中模型的求解方法，我们得到波 轮洗衣机的净洗效能和损伤程度分别为 0.815 和 0.226,滚筒洗衣机的净洗效能和损伤情 况分别为 0.739 和 0.158。

2016年全国大学生数学建模竞赛A题2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 ,请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”,A题系泊系统的设计近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成(如图1所示)。

某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。

系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。

锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。

钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。

要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。

水声通讯系统安装在一个长1m、外00kg。

钢桶上接第4节钢径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为1 管，下接电焊锚链。

钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。

若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。

钢桶的倾斜角度(钢桶与竖直线的夹角)超过5度时，设备的工作效果较差。

为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

图1 传输节点示意图(仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例)系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

问题1 某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。

现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。

若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

问题2 在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。

针对问题一我们采用集中质量法将系统中的各个物体视为一个质点，对各个 物体建立静力平衡方程，在水深 18m 时给定浮标在海水中所受浮力，从而根据我 们建立的平衡方程求出各物体的倾斜角度，再根据几何关系求出海域的模拟深度， 通过不断修正浮标的浮力使得海域的模拟深度等于 18m，最终求得风速分别为
12m/s 和 24m/s 时浮标的吃水深度 h0 为 0.7397m 和 0.74883m，同时给出不同风
深度无法计算得出，需要给定浮力初始值 F0 ，从而得到T0 和1 。
钢管受力分析 将钢管看作一个质点，对每节钢管一一受力分析，如图 2 所示，由于每节钢
管规格一致，即质量、长度和直径相同，所有每节钢管重力和所受浮力相等。每
节钢管受到的力有钢管自身重力 Ggg 、浮力 Fgg 、上一节钢管拉力Ti,i1 和下一节钢
成负相关，即重物球质量越大， 和 越小，故在 5o, 16o, h0 2 条件下，
可以通过不断调节重物球的质量，找到重物球的最小质量和最大质量。 问题三的分析：
对问题三第一个子问题的分析： 系泊系统的设计问题就是要确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮 标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 沿用问题一的算法，增加一个与风力方向相同的水流力，近海水水流力可以
速下钢桶和各节钢管的倾斜角度及浮标的最远位置（浮标的游动区域视为一个圆 面）。考虑到锚链由 210 节链环构成，通过对每节链环进行受力分析确定了每节 链环的位置，从而给出了链环的形状图像。在求解过程中由于拉力具有不确定性， 我们通过两次角度代换使得程序可以顺利地运行。
针对问题二我们沿用了问题一的算法，求得风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管
3.4 假设近浅海观测网的传输节点位于同一平面。 3.5 假设在海水流动情况下，仅考虑水流力对浮标、钢管和钢桶的影响，对 锚链和重物球的影响忽略不计。 3.6 假设在海水流动情况下，锚受到的水流力不影响锚链末端与锚的链接处 的切线方向与海床的夹角。 3.7 假设链环在拉力作用下形状不发生改变。

同济大学2016年数学建模竞赛A题
去库存问题
某行业货物供应商（Supplier）通过各公司（Fac），进而向下级子公司（Fac）直至零售商发行某种专业商品，货物的流通过程如下图。

一般地，某个发货商有可能同时在其它订单中也作为收货商，所以该图只是显示了某批货物可能的运输销售流程，但不足以表示发货商与收获商的上下级关系，通常它们会形成一个网状结构，如附件。

另一附件数据集“产品流转数据”是一份销售链行为记录表。

数据集的每条观测记录了一次订单情况，即某个上级发货商到下级收货商的某货物批次的情况，包括某上级供应商的某批次产品在某天流通到某个下级收货商的具体信息。

在平日里，各公司都有一个初始库存，假设公司的库存量一旦小于某个r值就会立即向其某个上级下订单补货，订单量为常数q。

而上级供应商要向多个下级供货，因此下级发来的订单请求未必能得到满足，记下级收货商实际收到的货量占其需求量的百分比的值为到货率。

目前该商品较为紧俏，末端收货商（实际使用部门）需求旺盛，到货率也仅有90%。

该行业供应商关心如下问题，邀请你们小组在尚未提高生产能力之前提升到货率，降低流通库存。

（1）库存与到货率之间究竟有什么关系？
（2）求若要满足目前到货率90%不变，并且使所有分销商的库存量总和最小，r和q的值应该为多少？库存总和需要你自己定义。

（3）若生产能力提高，估算能使末端收货商的到货率提高至95%，请重新估算供应商的最优库存。

2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题系泊系统的设计近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。

某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。

系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。

锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。

钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。

要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。

水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。

钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。

钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。

若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。

钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。

为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。

现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。

若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。

2016年数学建模竞赛题目（请先阅读论文格式规范）
A题
在许多生产系统，例如半导体行业、食品、化工和钢铁生产等，为了保证产品质量，产品在任意两个生产环节的生产间隔时间有限制，即不能超过某个时间上限。

考虑两台机器串联的生成线（如图1）。

如果在上游生产出的半成品没有及时进入下游设备进行生产，则该半成品必须返回到上游设备重新生产。

两台设备都有可能发生故障，且发生故障的时间和维修时间是相互独立的。

每次设备维修的时间服从指数分布。

如果生产线的瓶颈没有发生故障，但是由于某种原因不能生产，就会导致整条生产线的产能下降。

为了提高生产线的产能，两台设备之间需要设定缓冲区存放半成品，如果缓冲器满，则上游设备将停止生产，直到缓冲区有空闲才开始生产。

问题：
（1）请分析该生产线由于排队时间太长导致的产品返工率；
（2）请分析系统的产能损失率；
（3）为了提高生产速率需要增大缓冲区，为了降低返工率则需要减少缓冲区，请分析生产线的最优缓冲区的值。

图1 有排队时间限制的串联生产线。

2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

“系泊系统的设计”评阅要点本问题要求学生分析浮标、钢管、钢桶、重物球和锚链的受力情况，建立计算锚链形状、钢桶和钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度和游动区域的数学模型。

在此基础上，确定锚链的型号、长度和重物球的质量，给出不同情况下锚链形状、锚链与海床的夹角、钢桶和钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度和游动区域的表达式和具体数值。

评阅应该以模型为主，数值结果为辅。

问题1 要求学生对给定的锚链型号、长度和重物球的质量，分别计算出当海面风力为12m/s和24m/s的情况时锚链的形状、在锚点锚链与海床的夹角、钢桶和钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度和游动区域。

（参考结果：当海面风力为12m/s时，有6.2m左右的锚链拖地，钢桶的倾斜角度1.2度左右，浮标的吃水深度0.7m左右，游动区域的半径14.7m左右;在海面风力为24m/s时，锚链与海床在锚点的夹角4.5度左右，钢桶的倾斜角度4.6度左右，浮标的吃水深度0.7m左右，游动区域的半径17.8m左右）问题2 对题目中给定的锚链型号、长度和重物球的质量，当海面风力为36m/s时，钢桶的倾斜角度、锚链在锚点与海床的夹角都不满足要求。

需要增加重物球的质量进行调整，论文中要给出调整后重物球的质量、在这个质量下锚链与海床的夹角、钢桶的倾斜角度（参考结果：满足要求的重物球的质量不会小于2160kg）。

问题3 要求学生根据模型在最大风速可达36m/s、海水最大速度可达1.5m/s、海水深度在16m到20m之间变化的情况下给出锚链的型号、长度、重物球的质量，使得在不同情况下锚链与海床的夹角不大于16度、钢桶的倾斜角度不超过5度，且浮标的吃水深度和游动区域较小。

并基于该设计，给出一些典型情况下钢管的倾角、钢桶的倾角、在锚点锚链与海床的夹角、浮标的吃水深度和游动区域。