数学建模竞赛统计回归分析相关练习题

回归分析考试试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 回归分析中，自变量和因变量之间的关系是（）。

A. 确定性关系B. 函数关系C. 相关关系D. 因果关系答案：C2. 简单线性回归模型中，回归系数的估计值是通过（）方法得到的。

A. 最小二乘法B. 最大似然法C. 贝叶斯方法D. 决策树方法答案：A3. 在多元线性回归分析中，如果自变量之间存在完全相关关系，则会导致（）。

A. 多重共线性B. 异方差性C. 自相关D. 非线性答案：A4. 回归分析中，残差平方和（SSE）是用来衡量（）的。

A. 模型的拟合优度B. 模型的预测能力C. 模型的解释能力D. 模型的预测误差答案：D5. 回归方程的显著性检验中，F检验的零假设是（）。

A. 所有回归系数都等于0B. 所有回归系数都不等于0C. 至少有一个回归系数等于0D. 至少有一个回归系数不等于0答案：A6. 回归分析中，调整后的R平方（Adjusted R-squared）用于（）。

A. 调整模型的复杂性B. 调整样本量的大小C. 调整自变量的数量D. 调整因变量的范围答案：C7. 在回归分析中，如果自变量的增加导致因变量的增加，则称自变量和因变量之间存在（）。

A. 正相关B. 负相关C. 无相关D. 完全相关答案：A8. 回归分析中，残差的标准差（S）是用来衡量（）的。

A. 模型的拟合优度B. 模型的预测能力C. 模型的解释能力D. 模型的预测误差答案：D9. 在多元线性回归中，如果一个自变量的t统计量显著，那么我们可以得出结论（）。

A. 该自变量对因变量有显著影响B. 该自变量对因变量没有显著影响C. 该自变量对因变量的影响不明确D. 该自变量对因变量的影响是正的答案：A10. 回归分析中，Durbin-Watson统计量用于检测（）。

A. 多重共线性B. 异方差性C. 自相关D. 非线性答案：C二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些因素可能导致回归模型中的异方差性？（）A. 模型中遗漏了重要的解释变量B. 模型中包含了不应该包含的变量C. 模型中的误差项不是独立同分布的D. 模型中的误差项具有非恒定的方差答案：CD12. 在回归分析中，以下哪些方法可以用来处理多重共线性问题？（）A. 增加样本量B. 移除相关性高的自变量C. 使用岭回归D. 增加更多的自变量答案：BC13. 以下哪些是回归分析中常用的诊断图？（）A. 残差图B. 正态Q-Q图C. 散点图D. 杠杆值图答案：ABD14. 在回归分析中，以下哪些因素可能导致模型的预测能力下降？（）A. 模型过拟合B. 模型欠拟合C. 模型中的误差项具有自相关性D. 模型中的误差项具有异方差性答案：ABCD15. 以下哪些是回归分析中常用的模型选择标准？（）A. AIC（赤池信息准则）B. BIC（贝叶斯信息准则）C. R平方D. 调整后的R平方答案：ABCD三、简答题（每题10分，共30分）16. 简述简单线性回归模型的基本形式。

数学建模练习题一、基础数学知识类某企业生产两种产品，生产每吨产品A需耗用原料1吨、工时4小时，生产每吨产品B需耗用原料2吨、工时3小时。

若企业每月原料供应量为10吨，工时供应量为36小时，求该企业每月生产产品A和产品B的数量。

某湖泊污染问题，已知污染物的降解速度与污染物浓度成正比，求污染物浓度随时间的变化规律。

计算由曲线y=x^2和直线x=2、y=0所围成的图形的面积。

二、统计分析类2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20某地区居民消费水平（y）与收入（x）之间的关系，数据如下表所示，求出线性回归方程。

| 收入（x） | 消费水平（y） || | || 1000 | 800 || 1500 | 1200 || 2000 | 1600 || 2500 | 2000 || 3000 | 2400 |三、优化方法类某企业生产三种产品，产品A、B、C的单件利润分别为5元、4元、3元。

生产每吨产品A、B、C所需的原料分别为2吨、1吨、1吨。

若企业每月原料供应量为10吨，求该企业每月生产产品A、B、C的数量，使得总利润最大。

某企业生产两种产品，产品A、B的单件利润分别为10元、8元。

生产每吨产品A、B所需的工时分别为4小时、3小时。

若企业每月工时供应量为120小时，求该企业每月生产产品A、B的数量，使得总利润最大。

四、离散数学类关系矩阵为：| 1 0 1 0 || 0 1 0 1 || 1 0 1 0 || 0 1 0 1 |A (3)>B (4)> D\ |\ (2)\ /C (1)>五、实际问题建模类某城市交通拥堵问题，分析道路宽度、车辆数量、交通信号等因素对交通拥堵的影响，建立数学模型。

某地区水资源分配问题，考虑农业、工业、生活用水等因素，建立数学模型，并提出合理的水资源分配方案。

六、运筹学方法类一位背包客有最大负重为50公斤的背包，现有五种物品，每种物品的重量和价值如下表所示。

（题目）摘要关键词：Ⅰ 问题重述一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一原点，现测得各样本点对原点的距离x ，与该样本点处某种金属含量y 的一组数据如表14，画出散点图观测二者的关系，试建立合适的回归模型，如二次曲线、双曲线、对数曲线等。

Ⅱ 问题分析本问题中没有给出明确的模型选择，我们先画出其散点图，然后对其分析，建立模型。

从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，我们根据一个样本计算出的那些系数，只是它们的一个（点）估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间太大，甚至包含了零点，那么系数的估计值是没有多大意义的。

另外也可以用方差分析方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。

Ⅲ 模型假设回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：（i ） 建立因变量与自变量2x 1x 21x QUOTEx …mx m QUOTEx 之间的回归模型；（ii ）对回归模型的可信度进行检验； （iii ）判断每个自变量对y 的影响是否显著； （iv ）诊断回归模型是否适合这组数据； （v ）利用回归模型对y 进行预报或控制。

Ⅳ 符号说明Ⅴ 模型建立Matlab 统计工具箱用命令regress 实现多元线性回归，用的方法是最小二乘法，用法是： ),(X Y regress b =其中Y X ,是按照⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=nm x n x m x x X nm n m x x x x X QUOTE ,,1,1，，,1,,1,1111,,,1，，,,,,1，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2y 1y Y 21y y Y QUOTE式排列的数据b 为回归系数估计值为m，1，0m 10，，QUOTEββββββ 通过码头MATLAB 来建立回归模型。

[]()alpha X Y regress r b b ,,stats int,int,,=这里Y X ,同上，alpha 为显著性水平（缺省时设定为0.05 ），int ,b b 为回归系数估计值 和它们的置信区间，, int r 为残差 （向量）及其置信区间，stats 是用于检验回归模型的统计量。

一 问题重述分析4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响，把一块试验田等分成36 小块，对种子和化肥的每一种组合种植 3 小块田，问品种、化肥及二者的交互作用对小麦产量有无显著影响。

二 问题分析在进行小麦产量影响条件实验时，有两个因素A 、B 在变动。

其中化肥为因素A,取r 个不同的水平：r A A A ,,21。

小麦品种为因素B,取3个不同的水平：sB B B ,,21,在水平组合()jiB A ,下ij x 服从正态分布()s j r i N ij ,2,1,2,1,,2==σμ,又在水平组合()J I B A ,下做了t 个实验，所得的结果记作ijk x ，ijk x 服从()t k s j r i N ij ,2,1,2,12,1,,2===σμ ，且相互独立，将这些数据列成表1的形式：表1三 模型假设()tk s j r i H H H kj i ,,2,1,,2,1,,2,10:30:)2(0:)1(030201 ======γβα四 符号说明交互作用的平方和因素的平方和因素的平方和因素误差平方和均值AB S B S A S x AB B A ::::S :E五 模型建立将ijk x 分解为：t k s j r i x ijk ij ijk ,2,1,2,12,1,===+=εμ 其中 ()2,0~σεN ijk ，且相互独立，记∑∑∑====r i s j tk ijk x rs x 1111∑∑∑∑∑====∙∙∙∙=∙===s j r i tk ijk tk j ijk i t k ijk ij x rt x x st x x t x 111111,1,1 将全体数据对x 的偏差平方和 ()∑∑∑===-=ri sj tk ijk T x x S 1112进行分解得：AB B A E T S S S S S +++= 其中 ()∑∑∑===∙-=ri sj tk ij ijk E x x S 1112()∑=∙∙-=ri i Ax x st S12()∑=∙∙-=sj j B x x rt S 12()∑=∙∙∙∙∙+--=ri j i ij AB x x x x st S 12x x x x xx j ij i -=-=-=∙∙∙∙∙γβα建立模型s.t.()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====+++=∑∑∑===tk s j r i N x x ijktk k sj j ri i k j i ijk ,2,1,2,1,,2,1,,0~002111σεγβαγβα六 模型求解利用spss13.0软件通过编写程序（程序见）得出：由表可知：化肥对小麦的产量影响较大，品种次之，交互作用对产量基本没有影响。

题目：矿脉金属含量与距矿脉距离的关系摘要采用回归分析的方法，建立数学模型拟合出数据之间的关系，对于关系类型的数据可以首先画出散点图做初步判断，然后可以建立不同的比较符合实际的模型，而后可以用方差分析方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价，找出最为拟合的模型, 从而实现数据之间的相关关系。

关键词回归分析相关系数剩余标准差112i i O1 OQ1 0811 OG 02 4 6 8 1 O 1 2 14 1 6 1 Q 20I 、 问题重述一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一•原点，现测得各样本点对原 点的距离x ,与该样本点处某种金属含量y 的一组数据，画出散点图观测二 者的关系，试建立合适的回归模型，如二次曲线、双曲线、对数曲线等。

II 、 模型假设题目中没有给出具体的模型建立方法，因此要先画出散点图，对其进行分析, 然后建立模型。

III 、 符号说明IV 、 模型分析具体的说，回归分析是在数据的基础上研究以下几个问题：(1)建立因变量y 和自变量x 之间的回归模型 (2)对回归模型的可信度进行检验 (3)判断每个自变量x 对y 影响是否显著 (4) 诊断回归模型是否适合这组数据V 、模型的建立及求解MATLAB 统计工具箱用命令regress 实现多元线性回归，用的方法是最小二 乘法，用法是b=regress(Y, X)，其中Y, X 为按(22)式排列的数据，b 为回归 系数估计值。

[b, bint, r, rint, stats] =regress (Y, X, alpha),这里Y, X 同上,alpha 为显著性 水平(缺省时设定为0. 05), b,bint 为回归系数估计值和，它们的置信区间， r,rint 为残差(向量)及其置信区间，stats 是用于检验回归模型的统计量， 有四个数值，第-一个是R2 ,第二个是F,第三个是与F 对应的概率p , p<a 拒 绝Ho,回归模型成立，第四个是残差的方差$2。

1. 一个班有7名男性工人，他们的身高和体重列于下表
请把他们分成若干类并指出每一类的特征。

这里身高以米为单位，体重以千克为单位。

2. 有两种跳蚤共10只，分别测得它们四个指标值如表。

１）用距离判别法建立判别准则。

２）问（192, 287, 141, 198）和（197, 303, 170, 205）各属于哪一种？
求y 关于x 的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测x=42℃时产量的估值
4.在研究化学动力学反应过程中，建立了一个反应速度和反应物 含量的数学模型，形式为
3
423125
3
211x x x x x y βββββ+++-
=
其中51,,ββ 是未知参数，321,,x x x 是三种反应物（氢，n 戊烷， 异构戊烷）的含量，y 是反应速度.今测得一组数据如表，试由 此确定参数51,,ββ
序号反应速度y 氢x1 n戊烷x2 异构戊烷x3
1 8.55 470 300 10
2 3.79 285 80 10
3 4.82 470 300 120
4 0.02 470 80 120
5 2.75 470 80 10
6 14.39 100 190 10
7 2.54 100 80 65
8 4.35 470 190 65
9 13.00 100 300 54
10 8.50 100 300 120
11 0.05 100 80 120
12 11.32 285 300 10
13 3.13 285 190 120 5.主成分与卡方检验已课件为主。

统计回归模型摘要本文通过两个关于统计归回问题的解决，理解有关回归问题的解决办法，和对处理统计回归问题是的数学知识加以学习、巩固，学会用MA TLAB处理有关数学模型问题。

通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型；其中，回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型，不涉及回归分析的数学原理和方法，通过实例讨论如何选择不同类型的模型，对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进。

（当然，这是我初次用MA TLAB做回归问题，里面肯定会有很多不理想之处，就请老师多多指点。

）问题一：是有关牙膏的销售量问题。

问题二：软件开发人员的薪金问题。

一、问题的提出问题一一家技术公司人事部门为研究软件开发人员的薪金与他们的资历、管理责任、教育程度等因素之间的关系，要建立一个数学模型，以便分析公司人事策略的合理性，并作为新聘用人员薪金的参考。

他们认为目前公司人员的薪金总体上是合理的，可以作为建模的依据，于是调查来46名软件开发人员的档案资料，如表4，其中资历一列指从事专业工作的年数，管理一列中1表示管理人员，0表示非管理人员，教育一列中1表示中学程度，2表示大学分析与假设 按照常识，薪金自然随着资历的增长而增加，管理人员的薪金应高于非管理人员，教育程度越高薪金也越高。

薪金记作y ，资历记作x1，为了表示是否管理人员，定义：210,x ⎧=⎨⎩，管理人员非管理人员为了表示3种教育程度，定义：31,0,x ⎧⎨⎩中学其它41,0,x ⎧⎨⎩大学其它这样，中学用x3=1，x4=0表示，大学用x3=0,x4=1表示，研究生则用x3=0，x4=0表示。

为简单起见，我们假定资历对薪金的作用是线性的，即资历每加一年，薪金的增长是常数；管理责任、教育程度、资历诸因素之间没有交互作用，建立线性回归模型。

基本模型 薪金y 与资历x1,管理责任x2，教育程度x3，x4之间的多元线性回归模型为011223344y a a x a x a x a x ε=+++++ （1）其中014,,a a a …，是待估计的回归系数，ε是随机误差。

四、广义线性回归应用的实例下面看几个广义线性回归在数模竞赛中应用的实例。

例9（2003年华东地区数模竞赛题）向量场问题有一个正方形的平面区域，在区域中的每一点),(y x 上，都定义了一个向量),(y x V V ，它们构成了一个向量场。

现在已知其中81=n 个点上的向量数据，要求给出向量场的解析表达式。

y x V V ,都是坐标点),(y x 的函数，所以本题也就是要求两个函数表达式),(y x V V x x =，),(y x V V y y = 。

题目中给出了两个数据表。

Table1中的数据点是整齐的网格点，向量值变化也很有规律，可以很容易地求出y x V V ,的表达式：xy y x V x +--=3.03.06.0 ，xy y x V y 5.015.01.03.0+--= 。

这是没有任何误差的精确表达式。

Table2 中的数据点是散乱的，不是整齐的网格点。

从图像可以看出，Table2数据的函数图像与Table1数据的函数图像十分相似，大致上是一个下列形式的双曲抛物面函数：dxy cy bx a y x f +++=),( 。

由于数据有一些误差，不能完全精确地满足上述方程，所以我们可以把它看作一个回归分析问题，y x V V ,的回归方程分别为：ε++++=dxy cy bx a V x ，ε'+'+'+'+'=xy d y c x b a V y 。

其中d c b a d c b a '''',,,,,,,是待定未知常数。

令x z =1，y z =2，xy z =3，就可以把它们化为线性回归方程：ε++++=321dz cz bz a V x ，ε'+'+'+'+'=321z d z c z b a V y 。

用计算机软件可以很方便地求出问题的解。

我们求得：02.001999.0ˆ≈=a ， 2.019997.0ˆ-≈-=b ，05.004996.0ˆ-≈-=c， 5.049989.0ˆ≈=d , 04.003998.0ˆ≈='a， 1.009997.0ˆ-≈-='b ， 4.039999.0ˆ-≈-='c ， 199996.0ˆ≈='d 。

有关某商品与居民可支配收入等四大因素的关系摘要随着社会的快速发展，社会经济的发展势头愈加猛烈，生产者与消费者的关系也更加密切。

因此，产品的销量决定了公司的竞争地位，也反应人们的主要需求。

故调查某一产品的销量对于提高公司的竞争力，更好的满足广大消费者的需求，推动社会的经济发展具有重要意义。

产品的销量并不是受单一因素影响，而是多方面因素影响，主要为居民可支配收入、该商品的平均价格指数、该商品的社会保有量和其他消费品平均价格指数。

对该商品的销量以及四大因素进行数据调查，并通过分析数据建立数学模型，从而得出明确具有说服力的结论。

关键词:主成分分析 spss matlab 标准化Ⅰ问题复述本文对某种商品的销量y 进行调查，并考虑有关的四个因素：1x －居民可支配收入，2x －该商品的平均价格指数 ， 3x －该商品的社会保有量，4x －其它消费品平均价格指数。

利用主成分方法建立y 与1x 、2x 、3x 、4x 的回归方程。

Ⅱ问题分析调查产品销量与其影响因素之间的关系，将会对人们生活，社会经济产生重要影响。

对于本问题的分析，本文利用了多元统计分析中的主成分分析的方法对该商品与居民可支配收入等四大因素的关系进行合理的分析及评价。

该商品销量与四大因素的数据调查表，表2.1（1）将表2.1中的数据进行标准化处理得附录1：（2）进行共线性诊断，得附录2由附录2可看出1x 和4x 的容忍度均为0.008<0.1并且其方差膨胀因子VIF 都很大，说明它们之间存在严重的共线性。

Ⅲ模型假设1.假设题目所给的数据真实可靠；2.调查期间天气等不确定因素均稳定3.假设市场不发生大的波动Ⅳ定义与符号说明λ：特征值*x ：标准化变量ϕ：特征值向量Ⅴ模型的建立与求解首先把设计矩阵X 标准化，对应的标准化变量记作*1x 、*2x 、*3x 、*4x 。

由(*Tx *X )/（n-1）(n=10)得三个特征值分别为1λ=3.944,2λ=0.040,3λ=0.013，4λ=0.004。

基于影响商品销量的多个因素线性回归分析在对商品的销量进行调查时，考虑有关的四个影响因素：居民可支配收入、该商品的平均价格指数、该商品的社会保有量以及其它消费品平均价格指数。

针对此问题，我们先对原始数据进行标准化处理，计算出相关系数矩阵R 相关系数矩阵m m ij r R ⨯=)(，计算出对应的特征值和特征向量，前两个主成分的贡献率为：0.9959因此，我们剔除第三个和第四个主成分，只保留前两个注册主成分，得到关于主成分的回归方程 ,1515.05003.021~z z y -=化为关于标准变量的回归方程~4~3~2~1~1852.03562.01754.02868.0x x x x y +++=最后得到关于原始变量的回归方程为：43211236.01195.00938.00342.08846.16x x x x y ++++-=并且求出该模型的剩余标准差为0.5415。

关键词：回归分析 影响销量的因素 主成分分析 回归方程Ⅰ 问题重述对某种商品的销量 进行调查，并考虑有关的四个因素： -居民可支配收入 -该商品的平均价格指数， -该商品的社会保有量， -其它消费品平均价格指数。

表一是调查数据。

利用主成分方法建立 与 的回归方程。

Ⅱ 问题分析对于某种商品销量进行调查，并且考虑到有关的四个因素，有居民可支配周茹，商品的平均价格指数，商品的社会保有量等多重因素，可归纳用主成分分析方法建立有关的线性回归方程。

Ⅴ 模型建立及其求解（1）对原始数据进行标准化处理4321,,,x x x x 的n （这里n =10）次观测值分别记做10,,2,1),,,,(4321⋅⋅⋅=i x x x x i i i i 将各观测值ij x 转化成标准化值~ij x ，)4,3,2,1;10,,2,1(,~=⋅⋅⋅=-=j i s x x jjij ij μ其中)4,3,2,1(,)(91,10121101=-===∑∑==j x s x j ni ij j i ij j μμ，即j j s ,μ为j x 的样本均值和样本标准差。