概率论与数理统计习题二及答案

第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。

第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。

《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

概率论与数理统计习题二参考答案1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。

解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、123616161)1,1()2(1=×===P X P36261616161)"1,2""2,1(")3(1=×+×=∪==P X P 363616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=×+×+×=∪∪==P X P …… 所以X 1的分布律为X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P k 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 X 2可取的数有1、2、3、4、5、6P （X 2=1）=P （）="1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪3611所以X 2的分布律为 X 2 1 2 3 4 5 6 P k 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。

解：X 可取0、1、2{}310380C C X P ==157={}15713102812===C C C X P {}15123101822===C C C X P3、进行重复独立试验。

1． 试分别给出随机变量的可能取值为可列、有限的实例．解 用X 表示一个电话交换台每小时收到呼唤的次数，X 的全部可能取值为可列的 0,1,2,3，…，；用Y 表示某人掷一枚骰子出现的点数，Y 的全部可能取值为有限个 1,2,3，4,5,6 ；2． 试给出随机变量的可能取值至少充满一个实数区间的实例．解 用X 表示某灯泡厂生产的灯泡寿命（以小时记），X 的全部可能取值为区间 （0，+∞）3． 设随机变量X 的分布函数()F x 为()F x = 2 1, >20, 2A x xx ⎧-⎪⎨⎪≤⎩ 确定常数A 的值，计算(04)P X ≤≤.解 由(20)(2),F F +=可得10, =44AA -= (04)(04)(4)(0)0.75P X P X F F ≤≤=<≤=-=.4．试讨论：A 、B 取何值时函数()arctan3xF x A B =+ 是分布函数． 解 由分布函数的性质，有()()0,1F F -∞=+∞=，可得0,211,,21,2A B A B A B πππ⎧⎛⎫+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒==⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩于是()11arctan ,.23xF x x π=+-∞<<+∞1．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的概率分布．解 由题意知，X 的取值可以是0,1,2,3.而X 取各个值的概率为{}{}70,103771,10930P X P X ====⨯= {}{}32772,1098120321713.10987120P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯= 因此X 的概率分布为012 377711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．从分别标有号码1 ，2 ，… ，7的七张卡片中任意取两张， 求余下的卡片中最大号码的概率分布．解 设X 为余下的卡片的最大号码 ，则X 的可能取值为5、6、7，且1{5}21P X ==5{6}21P X ==15{7}21P X ==即所求分布为567 1515212121X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3．某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数的概率分布．解 设此人将门打开所需的试开次数为X ，则X 的取值为1,2,3,...,k n =，事件{}{}1X k k k ==-前次未打开，第次才打开，且{}11P X n ==， {}11121n P X n n n-==⋅=-，… …，{}()121112111,2,....,n n n k P X k n n n k n k k n n ---+==⋅⋅⋅⋅--+-+== 故所需试开次数的分布为12~111X n nn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ... n .... 4．随机变量X 只取1 、2 、3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求X 的概率分布．解 设{}{}{}1,2,3P X a P X b P X c ======，则由题意有1a b c c b b a ++=⎧⎨-=-⎩解之得2313a c b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设三个概率的公差为d ，则11,33a d c d =-=+，即X 的概率分布为 12 3111333X d d⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，103d << 5．设随机变量X 的全部可能取值为1 ，2 ，… ，n ，且()P X k = 与k 成正比，求X 的概率分布．解 由题意，得{}() 1,2,,k P X k p ck k n ====其中c 是大于0的待定系数．由11nkk p==∑，有12....1nk k cp c c n c ==+++=∑ 即()112n n c +=，解之得 ()21c n n =+.把()21c n n =+代入k p ，可得到X 的概率分布为{}()2,1,2,...,.1kP X k k n n n ===+6．一汽车沿街道行驶时须通过三个均设有红绿灯的路口．设各信号灯相互独立且红绿两种信号显示的时间相同，求汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布．解 设汽车未遇红灯通过的路口数为X ，则X 的可能值为0，1，2，3．以()1,2,3i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”，则123,,A A A 相互独立，且()()1,1,2,32i i P A P A i ===．对0,1,2,3k =，有{}()1102P X P A ==={}()()()1212211142P X P A A P A P A ===== {}()123311282P X P A A A ==== {}()123311382P X P A A A ==== 所以汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布为012 311112488X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦7．将一颗骰子连掷若干次，直至掷出的点数之和超过3为止．求掷骰子次数的概率分布．解 设掷骰子次数为X ，则X 可能取值为1，2，3，4，且31{1}62P X === 141515{2}6666612P X ==⨯+⨯+=；115111117{3}6666666216P X ==⨯⨯+⨯+⨯=； 1111{4}666216P X ==⨯⨯=所以掷骰子次数X 的概率分布为123 415171212216216X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8．设X 的概率分布为试求（1）X 的分布函数并作出其图形；（2） 计算{11}P X -≤≤ ，{0 1.5}P X ≤≤ ，{2}P X ≤ ． 解（1）由公式 (){}()k kx xF X P X x p x ≤=≤=-∞<<+∞∑，得()0,00.2,010.5,120.6,231,3x x F X x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩（2） {}11(1)(10)0.500.5P X F F -≤≤=---=-= {}0 1.5(1.5)(00)0.500.5P X F F ≤≤=--=-={}2(2)0.6P X F ≤==9．设随机变量X 的分布函数为010.210()0.70212x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，，，，试求（1） 求X 的概率分布；（2） 计算1322P X ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，{1}P X ≤- ，{03}P X ≤< ，{1|0}P X X ≤≥解 (1)对于离散型随机变量，有{}()()0P X k F k F k ==--，因此，随机变量X 的概率分布为10 2 0.20.50.3X -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) 由分布函数计算概率，得13310.52222P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<≤=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭；{}()110.2P X F ≤-=-=；{}()0330(00)10.20.8P X F F ≤<=---=-=； {}{}{}{}{}1,0100010.50.625.00.8P X X P X X P X P X P X ≤≥≤≥=≥≤≤===≥10．已知随机变量X 服从0—1分布，并且{0}P X ≤=0.2，求X 的概率分布 ． 解 X 只取0与1两个值，{0}P X =={0}P X ≤－{0}P X <＝0.2,{1}1{0}0.8P X P X ==-==11．已知{}P X n == nP ，n =1,2,3,⋯,求P 的值 ．解 因为1{}1,n P X n ∞===∑ 有 11=,1n n pp p∞==-∑解此方程，得0.5p =. 12．商店里有5名售货员独立地售货．已知每名售货员每小时中累计有15分钟要用台秤．（1） 求在同一时刻需用台秤的人数的概率分布；（2） 若商店里只有两台台秤，求因台秤太少而令顾客等候的概率．解 (1) 由题意知,每名售货员在某一时刻使用台秤的概率为150.2560p ==, 设在同一时刻需用台秤的人数为X , 则()~5,0.25X B , 所以{}550.250.75(0,1,2,3,4,5)kk k P X k C k -===(2) 因台秤太少而令顾客等候的概率为{}{}55553320.250.75k k k k k P X P X k C -==>===∑∑332445550.250.750.250.750.250.1035C C =++≈13．保险行业在全国举行羽毛球对抗赛，该行业形成一个羽毛球总队，该队是由各地区的部分队员形成．根据以往的比赛知，总队羽毛球队实力较甲地区羽毛球队强，但同一队中队员之间实力相同，当一个总队运功员与一个甲地区运动员比赛时，总队运动员获胜的概率为0.6，现在总队、甲队双方商量对抗赛的方式，提出三种方案：（1）双方各出3人； （2）双方各出5人； （3）双方各出7人．3种方案中得胜人数多的一方为胜利．问：对甲队来说，哪种方案有利？解 设以上三种方案中第i 种方案甲队得胜人数为(1,2,3),i X i =则上述3种方案中，甲队胜利的概率为（1）{}331322(0.4)(0.6)0.352k k k k P X C -=≥=≈∑（2）{}552533(0.4)(0.6)0.317k k k k P X C -=≥=≈∑（3）{}773744(0.4)(0.6)0.290kk k k P X C -=≥=≈∑因此第一种方案对甲队最为有利．这和我们的直觉是一致的。

习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========故所求分布律为 X 3 4 5 P0.1 0.3 0.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； （3）133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P （X =0）=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P （X =0）+P （X =1）=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（3）1122()(),2235333434(1)()(1)02235353312(1)(1)(1)2235341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=−=−=≤≤==+<≤=<<=−−==−−=3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为X 0 1 2 3 P0.008 0.096 0.384 0.512分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!kak λ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑i故 ea λ−=（2） 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b （3,0.7）（1） ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+ 0.32076=（2） ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01（每条跑道只能允许一架飞机降落）？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b （200,0.02），设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k k k N −=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==×=41e 4()0.01!kk N P X N k −∞=+≥<∑查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=−=−=0.10.11e0.1e −−=−−×8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则1422355C (1)C (1)p p p p −=−故 13p =所以 4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X −=≥==∑（2） 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y −=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X −== （2） 52(1)1(0)1e P X P X −≥=−==−11.设P {X =k }=kkkp p −−22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p −−44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===− 故得 24(1),9p −=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=−==−−=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b （2000,0.001）.利用泊松近似计算,20000.0012np λ==×=得 25e 2(5)0.00185!P X −=≈=13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k −==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+ 321131313()()444444k −=++++i 213141451()4==−14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b （2500,0.002），则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=−≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k −=>≈−≈∑（2） P （保险公司获利不少于10000） (30000200010000)(10)P X P X =−≥=≤510e 50.986305!kk k −=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上　P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =−≥=≤55e 50.615961!kk k −=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%　15.已知随机变量X 的密度函数为f （x ）=A e −|x |, −∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; （3） F （x ）. 【解】（1） 由()d 1f x x ∞−∞=∫得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞−−−∞===∫∫故 12A =. （2） 11011(01)e d (1e )22x p X x −−<<==−∫（3） 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x −∞==∫当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x xx F x x x x −−−∞−∞==+∫∫∫11e 2x−=−故 1e ,02()11e 02xx x F x x −⎧<⎪⎪=⎨⎪−≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==∫ 33128[(150)]()327p P X =>==（2） 1223124C ()339p ==（3） 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t −∞=∫100100()d ()d x f t t f t t −∞=+∫∫2100100100d 1xt t x==−∫ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧−≥⎪=⎨⎪<⎩17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a−∞====∫∫∫当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他5312(3)d 33P X x >==∫故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+=19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x −⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x −∞−>==∫2~(5,e )Y b −,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y −−−−==−=≥=−==−−=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则 406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ−−⎛⎞<=<==⎜⎟⎝⎠若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ−−⎛⎞<=<==⎜⎟⎝⎠++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若X~N （40，102），则 404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ−−⎛⎞<=<==⎜⎟⎝⎠若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ−−⎛⎞<=<=−⎜⎟⎝⎠1(1.25)0.1056Φ=−= 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22）， （1） 求P {2<X ≤5}，P {−4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P −−−⎛⎞<≤=<≤⎜⎟⎝⎠11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎞⎛⎞=−−=−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=−+=433103(410)222X P X P −−−−⎛⎞−<≤=<≤⎜⎟⎝⎠770.999622ΦΦ⎛⎞⎛⎞=−−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<−323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ−−−−−⎛⎞⎛⎞=>+<⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−−+−=+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠=+−=333(3)(1(0)0.522X P X P Φ−>=>=−=- （2） c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛−⎞−>=>⎜⎟⎝⎠1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=−+−=−=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200＝≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ−−−⎛⎞<≤=<≤⎜⎟⎝⎠ 404040210.8ΦΦΦσσσ−⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−=−≥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠故4031.251.29σ≤= 24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ−⎧+≥>⎨<⎩（1） 求常数A ，B ；（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→−=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=−⎩ （2） 2(2)(2)1eP X F λ−≤==−33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ−−>=−=−−=（3） e ,0()()0,0x x f x F x x λλ−⎧≥′==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t −∞−∞==+∫∫∫20d 2xx t t ==∫当1≤x<2时()()d xF x f t t −∞=∫1011122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x −∞==+=+−=+−−=−+−∫∫∫∫∫当x ≥2时()()d 1xF x f t t −∞==∫故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪−+−≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1） f （x ）=a e −　|x |,λ>0;（2） f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）.【解】（1） 由()d 1f x x ∞−∞=∫知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞−−−∞===∫∫故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ−⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx xF x f x x x λλλ−∞−∞===∫∫当x >0时0()()d e d e d 22xxxx F x f x x x x λλλλ−−∞−∞==+∫∫∫11e 2x λ−=−故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ−⎧−>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩ （2） 由1221111()d d d 22b f x x bx x x x ∞−∞==+=+∫∫∫得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x −∞−∞==+∫∫∫2d 2xx x x ==∫当1≤x <2时012011()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x −∞−∞==++∫∫∫∫312x=− 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪−≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ−= 即 ()0.09z αΦ=故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ−=即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α−Φ=即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α= 28.设随机变量X 的分布律为 X −2 −1 0 1 3 P k1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y =X 2的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======−+==+====−=====故Y 的分布律为Y 0 1 4 9 P k1/5 7/30 1/5 11/3029.设P {X =k }=（12）k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨−⎩当取偶数时当取奇数时 求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()(222111()/(1)443k =++++=−=2(1)1(1)3P Y P Y =−=−==30.设X ~N （0，1）.（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x −∞=∫故2/2ln (),0y Y f y y −=> （2）2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤2P X X ⎛=≤≤≤⎜⎝()d X f x x =故()Y XX f y f f ⎤⎛=+⎥⎜⎜⎥⎝⎦(1)/4,1y y −−=>（3） (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=−≤≤()d yX yf x x −=∫故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+−2/2,0y y −=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =−2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )XY F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==∫当y ≥e 时()(e )1XY F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=−≤/2(ln )(e )2z z P X P X −=≤−=≥/21/2ed 1e z z x −−==−∫即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z −⎧>⎪=⎨⎪≤⎩0 32.设随机变量X 的密度函数为f （x ）=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他 试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+−≤< arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x −=+∫∫222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上（1）,（2）,（3）项. 【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。

当时，F 故X 的分布函数(X)=P (XWx) =10,X < 022—,0<x<I 35 34 - A —,1 < x < 2 35x>2习题3•设在15只同类型零件中有2只为次品，在英中取3次，毎次任取1只，作不放回抽样. 以X 表示取出的次品个数，求： (1) (2) (3) X 的分布律： X 的分布函数并作图; P{X<lhP{I<X <-),P)I<%<-),P{l<x<2}・ 2 2 2 【解】 x=at2・CP(X=O) = »±・C ；5 35 心)半』C ； 35C" 1P(X=2) =卑=丄・C ：5 35故X 的分布律为(2)当 xvO 时，F (X)=P (X<x) =0当OWxvl 时, 当lWxv2时,22 F (X)=P(XWx) =P(X=O)= —3534F (X)=P (XWx) =P(X=O)+P{X=1)= —1 I 22P (X<l) = F(i) = —,2 2 353 3 34 34P (KX <-) = F(-)-F(l) = --- — = 02 2 35 353 3 12P (1<X <-) = P(X = 1) + P(1<X<-)亠2 2 3534 1 P(1<X<2)=F(2)-F(1)-P(X =2) = 1-衣-务=0.4•射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布 律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数•则X<K 1. 2, 3.p(x = 0) = (0.2)3 =0・008 p(x =1) = C ；O.8(O.2)2 = 0.096 P(X = 2) = C^(0.8)'0.2 = 0.384 p(x= 3) = (0.8)3 =0.512故X 的分布律为 XP分布函数0, 0.00&F(X ) = W ・104.0.48&P(X > 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0.8965. （1）设随机变量X 的分布律为P(X=.}=Z.k\尖中后0, r 2,…，人>0为常数，试确定常数G （2）设随机变虽X 的分布律为 p{X=k ）=a/N, k=l. 2,…，N,x<0 0<%<1 1<%<2 2<x<3x>3试确世常数G【解】（1）由分布律的性质知1=》P(X =k) = u》——=ad D k!{2)由分布律的性质知N N\ = ^P{X=k}=^- = aA-l £-1 N即 a =6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为“今^$投3次，求:(1)两人投中次数柑等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率•【解】分别令X、y表示甲、乙投中次数，则XF (3,) y~b(3.(1)p(x = r)= p(x=o,y=o)+p(x=ty = i)+p(x = 2,r=2)+p(X=3.y=3)=(0・4)'(0・3)' + C"0.6(0.4)-C"0.7(03)- +C；(O・6)2O・4C；(O・7)2O・3 + (O・6)3(O・7)3=0.32076⑵ p(x>y)= p(x = i,r=o)+p(x = 2,y=o)+p(x=3,r = o)+p(x = 2,y=i)+p(x=3,y = i)+p(x=xr = 2)=C；O・6(O・4)2(O・3)3 +C；(O・6)2O・4(O・3)3 +(O・6)3(O・3)3 +C；(O・6)2O・4C；O・7(O・3)2 +(O・6)3C；O・7(O・3)2 + (O・6)3C；(O・7)2O・37•设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设齐飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑逍的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200八设机场需配备W条跑逍，则有P(X > TV) <0,01200为 C 爲(0.02)气0.98严"vO.Olt-N'+i利用泊松近似A = np = 200 X 0.02 = 4. » 宀4*P(X>N)= Z ——<0.01 jt-A+i k!査表得WM9.故机场至少应配备9条跑道.8.已知在五重伯努利试脸中成功的次数X 满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为P,则P(X=4) = Ct(-/- = —. '3 3 2439.设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当人发生不少于3次时，指示灯发出信号, (1) (2) 【解】 所以进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率：进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. (1)设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X~6(5,) 5P(X >3) = XC ；(O ・3)Z(O ・7)I =0.16308(2)令y 表示7次独立试验中人发生的次数，则Y-b (7r)P{Y > 3) = 2^C ；(03/ (0・7)F = 0.35293X-310•某公安局在长度为f 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(坨)t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).<1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； (2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率..3【解】(1) P(X=0) = e"^5(2) P(X >1) = 1-P(X =0) = l-e"^11•设 P{X=k}=C*/(l-p)--\ 后012P{y=m}=CS"(l - 〃)m=0,1,23/4分别为随机变Sx, y 的概率分布，如果已知P{xMi}=#,试求p{Y^i},54【解】因为P(X>l) = j,故P(X<1) = £.P(X<1) = P(X=O) = (1 — “)2(1-卩)冷,P （r> I ） = l-P （r = 0） = 1-（1-/?/= — «.0.802478112•某教科书岀版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有 5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则XF （2000,・利用泊松近似计算，A = np = 2000 X 0.001 =2p(x= 5” ^^ = 0.00185!3 I13•进行某种试验，成功的概率为一,失败的概率为丄•以X 表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.【解】X =12…人…P(X = 2) + P(X=4)+…+ P(X=2幻 + … =1.2+(1/2+...+(丄严4 4 4 4 4 43 4 1 =—• =— 4-（$5414. 有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡 的概率为，毎个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险 公司领取2000元赔偿金•求： （1） 保险公司亏本的概率；（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元. 设1年中死亡人数为X,则X~b （25g,则所求概率为故得从而P(2000X >30000) = P(X>15) = \-P(X < 14)由于I)很大，p很小• A=np=5.故用泊松近似，有M e时P(X > 15)^1-工^^总0・000069*•<)k!(2) P(保险公司获利不少于10000)=P(3OOOO-2OOOX > 10000) = P(X < 10)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于 20000) = P(30000-2000X > 20000) = P(X <5)5 ■呻迄一“.6窗即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为/(x)=^e ni, 8*+8. 求：(1〉人值：(2) P{O<X<1}; (3)F(x)・【解】(1)由/(x)d.r = 1得=J = 2J0 Ae"*d.v = 2A/?(0 < X < 1)=丄[「dx =丄(1 一 e")2" 2当 x<0 时，F(x) = J — e*dv = — e"2 2当心0时，F(x) = J ■^e~'^Av = J ¥&+[£「血十产F(x) =17•在区间[0, o]上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在[0, g] 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意知X-U[0.o],密度函数为八1 2P(X>3) = J^-dv = -故所求概率为厂C 净出；(討=等19•设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布£(-).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开•他一个月要到银行5次，以y 表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P{g?l}・ 【解】依题意知X~E(-) •即英密度函数为^5-e 蔦 X > 0 0,x<0该顾客未等到服务而离开的概率为1 2P(X>10) = p-e"'dLv = e-'y~b(5・r),即其分布律为f(x) = 一，0<x<« a0, 其他故当xvO 时F (X)=0当 0 WxWo 时 F(x)=『f(t}dt = J ； yaM =J^idZ = - 当 x>a 时，F (X)=1 即分布函数0,x<0F(x)=Q<x<a x>a18•设随机变量X 在［2, 值大于3的概率. 【解】XP ⑵5),即5］上服从均匀分布•现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测2<%<5/W = b'0, 其他P （y = £） = C （mi-r ）Lk =0,12345P （r> I ） = l-P （y = 0） = l-（l-e--/=0.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服 从W （40, 102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从W （50, 4?）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些 （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些 【解】（1）若走第一条路，X-N （40. 102）,则若泄:第二条路，X-N （50, 42）,则p(X<60) = Px-40 60-40----- < ------- 10 10= 0(2) = 0.97727P(X<60) = P(X-5Q 60-50、---------- <I 4= 0(2.5) = 0.9938 卄故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若 X"/（40, 102〉，贝I]P{X < 45) = pf X二° <45 j = 0(0.5) = 0.6915若 X~N (50, 42〉，则p(X <45) = P(X-5Q 45-501---------- <I 4= 0(-1.25)= 1-0(1.25) = 0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21•设 X~N (3, 22),CD 求 P{2<X<5}» P{ 4<X<10}> P{|X| >2}, P{X>3}; (2)确总 c 使 P{X>c}=P{X^c}.【解】（1）P （2<X<5） = P=0(1) — 0 —一 =0 ⑴-1 + 0 -I 2丿 (2 = 0.8413-1 + 0.6915 = 0.5328 12P(-4<X <10) = P(-4-3X-3 10-3、 -------- < ----------- < -----------I 2 22 J2 12丿=0.9996P(l Xl>2) = P(X>2) + P(X <-2)P(X>3) = P(^^^>—) = 1-0(0) = 0.52 2⑵C=322•由某机器生产的螺栓长度（cm ） X-N C ）,规定长度在±内为合格品,求一螺栓为不合格品 的概率•=1-0(2) + 0(-2) = 2[1- 0(2)] =0.045623•—工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160, 02）,若要求P{120VXW200} 允许。

习题二1．掷两枚匀称的骰子，X＝{点数之和}，求X的分布．解概率空间{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}点数和等于2 （1，1），点数和等于3 （1，2），（2，1），点数和等于4 （1，3），（2，2），（3，1）点数和等于5 （1，4），（2，3），（3，2），（4，1）点数和等于6 （1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）点数和等于7 （1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（6，1），（5，2）点数和等于8 （2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）点数和等于9 （3，6），（4，5），（5，4），（6，3）点数和等于10 （4，6），（5，5），（6，4）点数和等于11 （5，6），（6，5）点数和等于12 （6，6）}答案是：2．设一个盒子中装有5个球，标号为1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3个，用X表示取出的球的最大号码数，求随机变量X的分布律．解X的可能取值为3，4，5．从5个球中任取3个的取法有3510C=种．则事件{X=3}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，3）”，1 {3}10P X==．事件{X=4}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4）”，3{4}10P X==．事件{X=5}就相当于“取出的3个球的标号为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）”，63{5}105P X===．故X的分布律为3．已知离散型随机变量X的可能取值为-2，0，21a，32a，54a，7 8a ，试求概率{||2|0}P X X≤≥．解41{}iiP X x ==∑=1a +32a+54a+78a3718a==解得 837a =故的分布律为{||2|0}P X X ≤≥{||2,0}{0}P X X P X ≤≥=≥=2229=4．设某电子产品正品率为0.75，次品率为0.25．现对该批电子产品进行测试，以随机变量X表示首次测得正品，，求随机变量X 的分布律． 提示，参考例2．6．答1{}0.750.25k P X k -==⨯，k =1，2，…5. 设100件产品中有95件合格品，5件次品，现从中有放回的取10次，每次任取一件．求：（1）所取10件产品中所包含次品数的概率分布；（2）10件产品中恰有2件次品的概率；（3）10件产品中至少有2件次品的概率． 解 因为是有放回的抽取，所以10次抽取是独立、重复进行的，每次取得次品的概率为0.05，因此这是一个10重伯努利试验．（1）设所取的19件产品中所含有的次品数为X ，则~(10,0.05)X B ，其概率分布为1010{}(0.05)(0.95)kk k P X k C -==⨯，k =1，2， (10)（2）所求的概率为2210210{2}(0.05)(0.95)0.0746P X C -==⨯≈（3）所求的概率为 {2}1{2}P X P X ≥=-<001011910101(0.05)(0.95)(0.05)(0.95)0.0861C C =-⨯-⨯≈6．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5．在袋中同时取3只球，用X 表示取出的3只球中的最小号码数，求X 的分布函数． 解 X 的可能取值为3，2，1．232323253545136(3)/,(2)/,(1)/,101010P X C C P X C C P X C C =========从而X 的分布函数为0,1,6,12,10()9,23,101, 3.x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩7．设离散型随机变量X 的分布函数为0,10.4,11()0.8,131,3x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩试求：（1）X 的概率分布；（2）{2|1}P X X <≠．解的可能取值为-1，1，3．{2,1}{2|1}{1}P X X P X X P X <≠-<≠-=≠-{1}0.42{1}{3}0.40.23P X P X P X =====+++求Y ＝X ＋1的概率分布．解 由y i ＝2i x ＋1(i ＝1，2，…，5)及X 的分布，得到把f (x i )＝2i x ＋1相同的值合并起来，并把相应的概率相加，便得到Y 的分布，即1(5)(2)(2),2P Y P X P X ===-+==3(2)(1)(1),10P Y P X P X ===-+==1(1)(0)5P Y P X ====⋅所以应配制几台秤？解 设X i ＝{第i 个售货员使用秤}，则X i ～B (1，0.25)．令41i i S X ==∑，于是S ～B (4，0.25)．考虑到P (S ≤2)＝1－P (S ＞2)＝1－P (S ＝3)－P (S ＝4)33441(0.25)(0.75)(0.25)C =--＝1－0.0469－0.0039≈0.95故该商店通常情况下应配制2台秤． 10.设二维随机向量(X ，Y )共有6个取正概率的点，它们是：(1，－1)，(2，－1)，(2，0)(2，2)，(3，1)，(3，2)，并且(X ，Y )取得它们的概率相同，求(X ，Y )的联合分布 解 由于6个点取得的概率相同，均为1，而6个1的和为1，因此其余概率为0．11试求：（1)13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤． 解：（1)13{,04}22P X Y <<<<{1,1}{1,2}{1,3}P X Y P X Y P X Y ===+==+==110044=++= （2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==1150016416=+++= 12．设二维随机向量(X求 (1)X 与Y 的边缘分布．(2)X 关于Y 取值y 1＝0.4的条件分布． (3)Y 关于X 取值x 2＝5的条件分布． 解 (1)由公式()(1,2,3),i i ijjp p X x p i ⋅====∑()(1,2),j j ijip pY y p j ⋅====∑(2)计算下面各条件概率：1121112111(,)(,)0.1530.303(|),(|),()0.8016()0.808p x y p x y p x y p x y p y p y ======31311(,)0.357(|)()0.8016p x y p x y p y ===⋅因此，X 关于Y(3)同样方法求出13.设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X ，Y )联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入下表中的空白处．分析 应注意到X 与Y 相互独立． 解 由于P (X ＝x 1，Y ＝y 1)＝P (Y ＝y 1)－P (X ＝x 2，Y ＝y 1)111,6824=-= 考虑到X 与Y 相互独立，有P (X ＝x 1)P (Y ＝y 1)＝P (X ＝x 1，Y ＝y 1)，11124{}46P X x ===⋅所以同理，可以导出其他数值．故XY 的联合分布律为14.求二维随机向量的函数Z 的分布：（1）=+;(2)=．合并Z 值相同的概率可得 （1）Z =X +Y 的概率分布为101~111424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，01~1122Y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭而且{0}1P XY ==．（1）求X 和Y 的联合分布；（2）问X 与Y 是否相互独立？为什么？ 解 （1）由{0}1P XY ==，即{00}1P X Y ===或，所以{11}{1,1}0P X Y P X Y =-=====，因此X 与Y 的联合分布和边缘分布有如下形式根据联合分布与边缘分布的关系，不难把表中打“*”号的位置上的数值求出，于是，得到（2）因1{1,0}4P X Y=-==，而111{1}{0}424P X P Y=-==⨯≠所以X与Y不独立．。