基本不等式

基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。

2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。

3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。

2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。

5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。

2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。

3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。

4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。

5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。

基本不等式知识点基本不等式是数学中的重要概念，它可以帮助我们判断数值大小关系，是各种不等式的基础。

在本文中，我们将介绍基本不等式的相关知识点，包括基本不等式的定义、证明方法、应用以及一些例题分析等方面。

1. 基本不等式的定义基本不等式也称为“平均数不等式”，它是数学中一个基本但又重要的不等式。

对于任意的正数 a1、a2、…、an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n其中n表示正整数。

基本不等式描述了一组数的算术平均数和它们的几何平均数之间的关系。

可以看出，算术平均数大于等于几何平均数，且当且仅当所有数相等时等号成立。

2. 基本不等式的证明方法基本不等式的证明方法有很多种，下面列举一种简单易懂的证明方法。

首先，对于所有正数x，y，由均值不等式可得：(x + y) / 2 ≥ √(xy)⇒ x + y ≥ 2√(xy)接着，考虑一个序列a1，a2，……，an，它们的乘积为p。

对于每一对(aj，ak)，有：aj + ak ≥ 2√(ajak)即：a1 + a2 ≥ 2√(a1a2)a1 + a2 + a3 ≥ 3√(a1a2a3)a1 + a2 + … + an ≥ n√(a1a2…an)我们可以将上述不等式相乘，得到：(a1 + a2) * (a3 + a4) * … * (an-1 + an) ≥ 2n/2* √(a1a2) * 2n/2 * √(a3a4) * … * 2n/2 * √(an-1an) 即：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n故基本不等式得证。

3. 基本不等式的应用基本不等式在数学中应用广泛，以下列举几个经典的例子。

（1）一种常见的问题是，给定一个定值的周长，什么形状的图形可以使面积最大。

答案是正方形，因为在所有形状中，正方形的面积和周长之比最大，这个比值为4π。

基本不等式基本不等式是数学中一个重要的概念。

其中，重要不等式指的是a²＋b²≥2ab，当且仅当a=b时等号成立。

而基本不等式则是指a＋b≥2√(ab)，当且仅当a=b时等号成立。

此外，还有一条基本不等式是任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

在利用基本不等式求函数的最大值、最小值时，需要注意函数式中各项必须都是正数，含变数的各项的积或者必须是常数，等号成立条件必须存在。

举例来说，如果0<a<b且a＋b＝1，则a²＋b²＞2ab，a＋b≥2√(ab)，2ab＜2(1/2-a)²，a²＋b²＞(1/2-a)²＋(1/2-b)²，因此b 最大。

又如，如果a、b、c都是正数，则(a＋b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9，即a/b+b/a+b/c+c/b+c/a+a/c≥6，证明过程中利用了基本不等式。

例3、已知$a,b,c$为不等正实数，且$abc=1$。

求证：$a+b+c<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$。

证明：根据柯西不等式，$(1+1+1)(a+b+c)\geq(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$，即$3(a+b+c)\geq(a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca})$。

因为$abc=1$，所以$2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}=2\sqrt{abc}(1/\sqrt{a}+1/\sqrt {b}+1/\sqrt{c})\leq3\sqrt[3]{abc}\cdot3=9$。

所以$3(a+b+c)\geq(a+b+c+9)$，即$2(a+b+c)\geq9$，即$a+b+c\geq\frac{9}{2}$。

又因为$a,b,c$不全相等，所以$a+b+c>\frac{9}{2}$。

4个基本不等式不等式是数学中的一种重要概念，用于描述数值之间的相对大小关系。

在数学中，我们常常会遇到各种各样的不等式，其中最基本的有四个，被称为”四个基本不等式”。

这四个基本不等式分别是：加法不等式、减法不等式、乘法不等式和除法不等式。

在本文中，我们将详细介绍这四个基本不等式及其应用。

1. 加法不等式加法不等式是最简单也是最容易理解的一种不等式。

它用于描述两个数相加后与另一个数的大小关系。

加法不等式的性质：•如果 a > b，则 a + c > b + c （对任意实数 c 成立）•如果 a > b 且 c > d，则 a + c > b + d加法不等式的应用：加法不等式常常被用于解决实际问题。

例如，假设小明去商场购买商品，他手上有100 元钱，并且他想要买一件价格为 x 元的商品。

如果 x 小于或者等于 100 元，则小明能够购买这件商品；反之，如果 x 大于 100 元，则小明将无法购买该商品。

2. 减法不等式减法不等式是加法不等式的一种推广，它用于描述两个数相减后与另一个数的大小关系。

减法不等式的性质：•如果 a > b，则 a - c > b - c （对任意实数 c 成立）•如果 a > b 且 c > d，则 a - c > b - d减法不等式的应用：减法不等式同样常常被用于解决实际问题。

例如，假设小明和小红参加了一次数学竞赛，他们分别得到了 x 分和 y 分。

如果小明得分比小红多 10 分以上，则可以说小明在这次竞赛中获胜；反之，如果小明得分比小红少于或者等于 10 分，则可以说小红在这次竞赛中获胜。

3. 乘法不等式乘法不等式是描述两个数相乘后与另一个数的大小关系的一种不等式。

乘法不等式的性质：•如果 a > b 且 c > 0，则 ac > bc•如果 a > b 且 c < 0，则 ac < bc （注意：当乘以一个负数时，不等号方向会发生改变）乘法不等式的应用：乘法不等式同样经常被应用于解决实际问题。

基本不等式6个公式
基本不等式是初中数学中常见的一类不等式，包括以下6个公式：
1. 两个非负实数的平均数大于等于它们的几何平均数：(a+b)/2≥√ab
这个公式表明，对于两个非负实数a和b，它们的平均数不会小于它们的几何平均数。

2. 两个非负实数的平方和大于等于它们的算术平均数的平方：a²+b²≥(a+b)²/4
这个公式表明，对于两个非负实数a和b，它们的平方和不会小于它们的算术平均数的平方。

3. 两个正实数的积大于等于它们的几何平均数的平方：ab≥(a+b)²/4
这个公式表明，对于两个正实数a和b，它们的积不会小于它们的几何平均数的平方。

4. 两个正实数的积大于等于它们的调和平均数的平方：ab≥4/(1/a+1/b)²
这个公式表明，对于两个正实数a和b，它们的积不会小于它们的调和平均数的
平方。

5. n个正实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数：(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)
这个公式表明，对于n个正实数a1、a2、...、an，它们的算术平均数不会小于它们的几何平均数。

6. n个正实数的调和平均数大于等于它们的算术平均数：n/(1/a1+1/a2+...+1/an)≥(a1+a2+...+an)/n
这个公式表明，对于n个正实数a1、a2、...、an，它们的调和平均数不会小于它们的算术平均数。

基本不等式常用公式四个
嘿，朋友！今天咱来唠唠基本不等式常用的四个公式哈。

第一个公式就是“a+b≥2√(ab)”（a>0，b>0）。

比如说，咱想围一个长方形的篱笆，长是 3 米，宽是 2 米，那这个长方形的周长最小是不是就是2×(3+2)=10 米呀，这就和这个公式有关系呢！
第二个公式是“(a+b)²≥4ab”（a，b 为实数）。

就好像你要盖房子，你得保证材料足够多才能盖得牢固呀，这个公式就像是保证房子牢固的一个条件一样！
第三个公式是“a²+b²≥2ab”。

这就好比两个人比赛跑步，要想跑得快，那自身的实力得过硬呀，这就是一种实力的保障呢！比如说，一个数是5，另一个数是 3，那5²+3² 肯定是大于等于2×5×3 的呀！
第四个公式是“ab≤(a²+b²)/2”。

可以想象成你有一堆糖果要分给小伙伴们，怎么分才能更公平呢，这个公式就能帮助你来衡量！像有两个数字4 和 6，那4×6 肯定是小于等于(4²+6²)/2 嘛！
怎么样，这四个公式是不是挺有意思的呀！好好去琢磨琢磨吧！。

基本不等式专题辅导之阿布丰王创作一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1（22、基本不等式一般形式（均值不等式）3、基本不等式的两个重要变形（1（2总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时,它们的积有最小4、求最值的条件：“一正,二定,三相等”5、经常使用结论（1当且仅那时=”）（2当且仅那时=”）（3当且仅那=”）（4（5）若,则6、柯西不等式 （1）若,则（2则有：（3两组实数,则有题型一：利用基本不等式证明不等式1、,2,求证3、已知,求证：45、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知>≥b a ,求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y +=（2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y（4）)0(1<+=x x x y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ,求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ,求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ,求函数4242-+=x x y 的最年夜值；练习：1、已知54x >,求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最年夜值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、那时,求(82)y x x =-的最年夜值；变式14(82)y x x =-的最年夜值；变式2：设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最年夜值.202<<x ,y x x =-()63的最年夜值；变式40<<x ,)28(x x y -=的最年夜值；3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最年夜值；（提示：平方,利用基本不等式） 数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最年夜值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题1最小值；法一： 法二：变式1：已知,求变式2最小值；变式3：已求.变式4：值；变式5： （1）值；（2）若且,求变式6：使得题型六：分离换元法求最值（了解）1、求函数的值域；变式：2、示：换元法）变式：题型七：基本不等式的综合应用1小值2、（2009天津）已知,求变式1：（2010求关值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知,那时像恒过定点,若点在直线,3、已知,,求变式1：变式2：（2010山东）已知值；（提示：通分或三角换元）变式3：（2011浙江）已知年夜值；4、（2013年山东（理））取得最年夜值时值为（）（）A（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设是正数,满足题型八：利用基本不等式求参数范围1、（2012且,最小值；2、已知且,4）（提示：分离参数,换元法）变式：已若,题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式若,则2、二维形式的柯西不等式的变式3、二维形式的柯西不等式的向量形式4、三维柯西不等式则有：5,。