充满奥秘的自然数
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充满奥秘的自然数
——完全数、亲和数
自然数是我们最熟悉的数了。
几乎从记事起，人们就与自然数打交道，但认真想起来，我们对自然数的认识却是很肤浅的。
计数意识起源于人类对于一一对应关系的直觉.，当一个原始人发现有两只狼同时逼近时，他在惊呼的同时可能会不自觉地伸出两个手指将这一坏消息传达给他的同伴。
这样，利用一只手的手指，就可表达从1到5这5个数，因此两只手就可表达10个数。
为了知道一群牛有多少头、一堆鸡蛋有多少只，用手指头数个数。
首先，伸出大拇指对准一头牛，再伸出食指对准另一头牛，继而用中指对准下一头牛，如此继续，便知道这群牛的头数。
亚里士多德就曾经指出：“十进制的广泛使用，是由绝大多数人生有10个手指和10个脚趾这一生理特征决定的。
”为了将重要的数目保存下来，人类摸索出多种记数方法，有的运用小石子或小树枝记数，有的在树干或骨管上刻痕记数，有的则用打绳结的办法记数。
我国古书《易系辞》说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。
”就是说我国祖先早在使用文字之前，曾经用过结绳记数的办法。
古希腊数学家和哲学家认为，自然数1、2、3、4、5……是上帝创造的，它主宰宇宙万物，这也许是因为自然数本来存在于自然界，并非人造的事物；或许是因为自然数是生产其它一切数的原料；或许是因为自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地……这个文明古国的数学家和哲学家们，对自然数顶礼膜拜，并不遗余力地探索它的规律。
所有文明古国的数学家，都投入到征服自然数的行列。
自然数好像无所不在，无所不能，人类须臾不能离开；它又那么美妙，那么和谐；它好像很简单，可又神秘莫测。
人类受到进取精神的激发，在征服自然界的进程中，首先要向自然数的奥秘发起攻击。
如同探索生命与宇宙的奥秘一样，至今人们已经揭示出自然数中的许多规律，树立了一座座丰碑。
但是，时至今日，在原始的、朴素的自然数面前，人们仍然显得软弱无力。
寻求自然数内部的本质规律，是对宇宙中智慧生物的严峻挑战。
早在几千年前，人们就知道每一个自然数都可分解为素数的乘积。
而且知道，如果不计因数的顺序，分解形式是唯一的。
这个定理后人称之为“算术基本定理”，是欧几里得最早证明的。
但是这个定理没有告诉我们如何分解，而且至今都没有找到一种简捷的方
法。
为分解一个数，只能用2、3、5、7、11……所有的素数，从小到大一一去试除。
这个方法虽然笨拙，却是唯一普遍适用的方法。
用这种方法去分解自然数是非常累人的，分解较小的数，可以手工操作，而分解较大的数，手工就力不能及了。
自然数之间还有一些有趣的特别关系。
古人发现，有些自然数除了本身以外的所有因数的和恰好等于本身。
如
6=1+2+3，
28=1+2+4+7+14，
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248，
它们如同人间的全家福，因此美其名曰“完全数”。
有许多数学家研究过“完全数”。
到了十八世纪，瑞士大数学家欧拉证明了所有的偶完全数必为如下形式：
` 2^(n-1)（2^n-1），2^n-1`为素数。
经过250多年的沤心沥血，到二十世纪末，人类总共找到了33个偶完全数。
是否存在无限多个完全数不得而知。
值得一提的是，如果谁能找到一个奇完全数，那将是一项了不起的数学成就。
古人发现的自然数之间的另一神奇的关系是：220的所有因数1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110之和等于284，而284的因数1、2、4、71、142之和恰好等于220。
这样的数人称“亲和数”。
但是，经过近二千年的努力，人们才发现了几十对亲和数，多么曲折，多么有趣。
自然数处处充满奥秘与神奇，无论是著名的数学家，还是青年学生，都会被它们吸引。
【附录】
一、【巴比伦的数学泥版书简介】
巴比伦文明发源于底格里斯河与幼发拉底河流域。
巴比伦王国兴起于公元前1894年，到了汉谟拉比时代，巴比伦王国变得空前强大，首都巴比伦城成为两河流域的经济和文化中心。
巴比伦人在这段时期前后创造了辉煌的物质文明和精神财富。
后来经历多次王朝更迭，巴比伦屡遭兵灾，终于在公元前二世纪被彻底毁坏，此后，巴比伦文化迅速衰
落，以致湮没无闻。
十九世纪，考古学家对两河流域的遗址进行系统发掘，发现大量泥版书。
泥版书是用一种木制硬笔在泥土板上刻写的，书成后经过焙烧或晒干，就成为坚硬的泥版书。
经鉴定，在出土的50多万块泥版书中，有300多块记载着数学内容为数学泥版书。
这些泥版书多数产生于公元前1800年到1600年之间。
由于泥版书是用古代巴比伦人使用的楔形文字书写的，难以识破，这些数学泥版书直到1935年以后才逐渐被译成现代文字发表。
巴比伦数学泥版书上记载了巴比伦的数制和算术运算、巴比伦的代数、巴比伦几何等内容。
在现存的300块数学泥版书中，大约200块左右是数表，有乘法表、平方表、立方表和倒数表等。
在所有的巴比伦数学泥版书中最引人注目的也许是普林顿322号，即在哥伦比亚大学普林顿收集馆的第322号收藏品。
据考证，这块泥版书的书写时间在公元前1900年到公元前1600年之间，起初人们以为它只不过是什么账单罢了，没有引起重视，后来，考古学家诺伊格包尔和萨克斯于1945年解释了它的数学意义。
普林顿322号上共有15行，它们是15组勾股数（具体见《几何学中的瑰宝》）。
由此可知，巴比伦人在3600年前就掌握了勾股定理，而且对勾股数组有着比较透彻的研究。
二、【埃及的数学纸草书简介】
埃及文明发源于尼罗河中下游谷地。
约公元前3200年，大致在现今的埃及疆土上兴起一个统一的王国，史称埃及第一王朝。
在第三王朝到第六王朝期间，埃及统治者相继驱使奴隶们为自己建造了壮观的金字塔墓，金字塔的浩大工程和很高的精度，使人深信古代埃及一定具有可观的数学水平。
古代埃及人使用象形文字书写，书写材料是尼罗河流域出产的一种叫做纸草的植物。
纸草质地坚韧，蒸制处理后可以做成长幅“纸片”，用它缮写的书稿卷在杆轴上，叫做纸草书卷，简称纸草书。
被发现得最早的记载数学内容的纸草书是莱因德纸草书，发现于埃及古都
的废墟中，1858年被英国人莱因德从埃及购得，因此而得名，原物长约5.
5米，宽约33厘米，现存伦敦博物馆。
据考证，莱因德纸草书抄写于公元前1650年左右，抄写者为埃及祭司阿梅斯，据信原著要比阿梅斯生活年代早几百年。
书中收集了自大金字塔时代以来的一些数学知识，分算术、几何和杂题三个部分，共含85个问题，此书于1929年译成英文发表后，成为研究埃及数学的最重要的文献。
莱因德纸草书的算术部分记载了埃及数制、算术运算和一次方程；几何部分包括求三角形、梯形和圆的面积等内容；杂题部分涉及比例和数列。
埃及数学纸草书还有莫斯科数学纸草书、卡洪数学纸草书、开罗纸草书、阿克敏纸草书等。
莫斯科数学纸草书是1893年俄国人戈列尼切夫在埃及购得，现存莫斯科博物馆。
原件长约5.
5米，宽约8厘米。
全书包括25个数学问题，于公元前1850年左右由无名氏抄写。
此书于1930年译出发表。
内容和莱因德纸草书比较接近。
卡洪纸草书原物年代约为公元前1950年，在埃及的卡洪发现，现存于伦敦。
开罗纸草书原物年代约为公元前300年，发掘于1936年，直到1962年才译出发表。
在全部40个具有数学性质的问题中，有9题是关于勾股定理的应用问题。
阿克敏纸草书，原件发掘于尼罗河中上游阿克敏镇，用希腊文书写，年代约为公元500年～800年。
令人惊讶的是，阿克敏纸草书的年代虽然比莱因德纸草书晚2000多年，而它的数学内容基本上没有什么变化。
