高中数学：第三章 直线与方程 (11)

高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程1. 直线的一般方程直线的一般方程可以表示为：Ax + By + C = 0。

其中A、B、C是常数，A和B 不同时为0。

这个方程可以通过直线上任意两点的坐标来确定。

2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y = kx + b。

其中k是直线的斜率，b是y轴截距。

通过斜截式方程，我们可以方便地确定直线的斜率和截距。

3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)。

其中(x1, y1)是直线上的一个已知点，k是直线的斜率。

根据点斜式方程，我们可以通过已知点和斜率来确定直线的方程。

4. 直线的两点式方程直线的两点式方程可以表示为：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。

其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。

通过两点式方程，我们可以直接利用已知点的坐标来确定直线的方程。

5. 直线的斜率公式和截距公式直线的斜率可以通过斜率公式来计算：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)。

直线的截距可以通过截距公式来计算：b = y1 - kx1。

通过斜率公式和截距公式，我们可以方便地计算直线的斜率和截距。

6. 直线的平行和垂直关系如果直线1的斜率等于直线2的斜率，则直线1和直线2平行。

如果直线1的斜率与直线2的斜率的乘积为-1，则直线1和直线2垂直。

7. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点可以通过将y设为0得到，直线与y轴的交点可以通过将x 设为0得到。

8. 直线的倾斜角直线的倾斜角可以通过斜率来计算：θ = arctan(k)，其中k是直线的斜率。

9. 直线的距离公式直线Ax + By + C = 0到点(x0, y0)的距离可以通过公式计算：d = |Ax0 + By0 +C|/√(A²+B²)。

10. 直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为以下三种情况：•直线与线段相交•直线与线段不相交•直线与线段重合通过计算直线与线段的交点，可以确定它们的位置关系。

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(2)直线 5x＋4y－2m－1＝0 与直线 2x＋3y－m＝0 的交点在 第四象限，求 m 的取值范围．
【解析】 由方程组52xx＋ ＋43yy－ －2mm＝－01，＝0，
∴yx＝＝m2m－77＋23. ，
∴交点坐标为(2m7＋3，m－73＜＞00. ，
(2)A，B 分别位于 l 的两侧，设 B 关于 l 的对称点为 B′，则|AB′| 为||AQ|－|BQ||的最大值．
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【解析】 (1)如图 1，设 C 关于 l 的对称点 为 C′(a，b)，
则ba－－20＝－13，且 3·a＋2 2－b＋2 0－1＝0，解 得 C′(－1，1)．
∴AC′所在直线的方程为 y＝1. 由y3＝x－1，y－1＝0，得 AC′与 l 的交点 P(23，1)． 此时，|AP|＋|CP|的值最小且为 5.
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(2)如图 2，设 B 关于 l 的对称点为 B′(m，n)， 则mn－－40＝－13且 3·m＋2 0－n＋2 4－1＝0，解得 B′(3， 3)．
∴AB′所在直线的方程为 2x＋y－9＝0. 由23xx＋－yy－－91＝＝00，， 得 AB′与 l 的交点 Q(2，5)． 此时||AQ|－|BQ||的值最大且为 5.
方法二：∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴设 l 方程为 3x＋y＋d＝0. 又知，直线 l 过点(－35，－75)， ∴3×(－35)－75＋d＝0，∴d＝156. ∴直线 l 的方程为 3x＋y＋156＝0， 即 15x＋5y＋16＝0.
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方法三：∵直线 l 过直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交 点，
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如何设直线系方程？ 答：(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋ m＝0(m≠C)； (2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝0； (3)过直线 A1x＋B1y＋C1＝0 与 A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系 方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其不含直线 A2x＋B2y ＋C2＝0.

高一数学总复习学案 必修2第三章：直线与方程一、知识点 倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. 直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：00y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP .特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d ，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =二、直线方程对应练习 一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y x B.052=-+y x C. 052=-+y x D. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ）A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，切sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜013. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C.2D. 22 14. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________。

课堂讲义
跟踪演练2 求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截 距的2倍的直线l的方程． 解 由题意知，当直线 l 在坐标轴上的截距均为零时， 直线 l 的方程为 y＝25x； 当直线 l 在坐标轴上的截距不为零时， 设 l 的方程为2xa＋ay＝1，
课堂讲义
将点(5,2)代入方程得25a＋a2＝1， 解得 a＝92， 所以直线 l 的方程为 x＋2y－9＝0. 综上知，所求直线 l 的方程为 y＝25x，或 x＋2y－9＝0.
课堂讲义
要点一 直线的两点式方程 例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解 (1)∵BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)， ∴由两点式得－y－2－－－44＝0x－－55， 即 2x＋5y＋10＝0. 故 BC 边的方程为 2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
的二元一次方程都表示_一__条__直__线___．方程_A_x_＋__B_y_＋__C_＝__0_(_其_ ___中__A_、__B_不__同__时__为__0_)________叫做直线方程的一般式．
预习导学
(2)对于直线 Ax＋By＋C＝0，当 B≠0 时，其斜率为__－__AB___， 在 y 轴上的截距为__－__CB____；当 B＝0 时，在 x 轴上的截距 为_____－__CA________；当 AB≠0 时，在两轴上的截距分别为 __－__CA___，__－__CB____.
课堂讲义
②当 a＝b＝0 时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为 3x＋4y＝0. 综上知，所求直线 l 的方程为 x＋y－1＝0 或 x－y－7＝0 或 3x＋4y＝0. 法二 显然直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l 的方程为 y＋3＝k(x－4)，k≠0. 令 x＝0，得 y＝－4k－3；