第一章算法初步一、算法与程序框图1.算法：算法指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。
2.算法与计算机：计算机解决任何问题都要依赖于算法。
只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题。
3.算法的特征：①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的。
②确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果。
③可行性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一个都准确无误才能完成问题。
④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以由不同的算法。
⑤普遍性：一个算法应该适用于求某一类问题的解，而不是只用来解决一个具体的问题。
【注意：有限性、确定性和可行性是算法特征里最重要的特征，是检验一个算法的主要依据。
】4.程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。
5.程序框图的组成：程序框图由程序框及流程线组成；在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序。
6.基本程序框及其功能：【注意：起、止框是任何流程不可少的，表明程序的开始和结束。
输入和输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内。
一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连接。
如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码。
】7.程序框图的画法：①画一个算法的程序框图，应先对问题进行算法分析，必要时可先用自然语言设计该问题的算法，弄清算法的流程，然后把算法步骤逐个转化为框图表示，最后用流程线依步骤顺序连接成程序框图。
②画程序框图的规则：⑴使用标准的框图符号；⑵框图一般按从上到下、从左到右的方向画；⑶除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；⑷一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种公式多分支判断，有几种不同的结果。
⑸在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
8.算法的基本逻辑结构：①顺序结构：顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，其特点是步骤与步骤之间，框与框之间是按从上到下的顺序依次执行，不会引起程序步骤的“跳转”，它是任何一个算法都离不开的基本结构。
②条件结构：⑴概念：在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，这种先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为条件结构。
这是一种依据指定条件选择执行不同指令的指控结构。
⑵结构形式③循环结构：⑴概念：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤称为循环体。
⑵结构形式Ⅰ.直到型循环的结构特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环。
Ⅱ.当型循环的结构特征：在每次执行循环体前，先对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环。
二、基本算法语句1.任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
2.输入语句：输入语句是指程序运行中由用户输入数据的语句。
它的一般格式是【注意：①“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息；②输入语句中，提示内容要写在“”中，并且与变量之间要用“；”隔开；③一个输入语句可以输入多个变量，中间用“，”隔开；④输入语句不仅能够输入具体的常数，还可以输入单个或多个字符，但不能是函数、变量或表达式。
】3.输出语句：输出语句是将程序运行的信息显示出来的语句。
它的一般格式是【注意：①“提示内容”一般是提示用户输出什么样的信息；②输出语句中，提示内容与表达式之间要用“；”隔开；③一个输出语句可以输出多个变量的值，中间用“，”隔开；④输出语句中的表达式是指程序要输出的数据，输出语句可以输出常量、变量或表达式的值，输出语句具有计算功能。
】4.赋值语句“=”叫做赋值号，其作用是先计算“=”右边表达式的值，然后把这个值赋给“=”左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。
【注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式；②赋值号左右两边不能对换。
赋值语句是将赋值号右边的表达式赋给赋值号左边的变量；③不能利用赋值语句进行代数式（或符号）的演算；④赋值号与数学中的等号的意义不同，赋值号左边的变量如果原来没有值，则在执行赋值语句后，获得一个值，如果原已有值，则执行该语句后，以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值，即将原值“冲掉”。
】5.语句中的常用符号①运算符号加减运算：a b+，a b-在程序语句中还是写为a b+，a b-；乘法运算：a b⨯在程序语句中写作a b*；除法运算：a b÷或a在程序语句中写作/a b；b乘方运算：b a 在程序语句中写作^a b ，也可用连乘的形式。
②函数符号算术平方根：()SQR x； 绝对值：()ABS x 表示||x ；取整：()INT x 表示不大于x 的最大整数。
6.条件语句：①概念：条件语句是处理条件结构的算法语句。
②条件语句的格式：其功能是：当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条其功能是：当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果（IF）条件符合，那么（THEN）执行件进行判断，如果（IF）条件符合，那么（THEN）执行语句体1，否则（ELSE）执行语句体2。
语句体，否则执行END IF之后的语句。
③两种条件语句的区别与联系共同点：两种语句都首先对条件进行判断，然后才执行相应的语句体；执行完语句体后退出条件结构。
从形式上看，都以IF开始，最后以END IF结束。
区别：第一种语句包含两个语句体，满足条件时执行一个语句体，不满足条件时执行另一个语句体；而第二种语句只有一个语句体，是满足条件时执行的语句体。
【注意：利用条件语句编写程序应该：⑴明确该程序解决什么问题，这个问题有几种不同的情况，每一种情况成立的条件是什么；⑵确定需要使用几个条件语句来设计程序，每一个条件语句能解决问题的哪一种情况，可以先设计解决问题的算法，画出相应的程序框图，然后把算法步骤及框图内容使用相应语句描述。
】7.循环语句：①循环语句的格式与功能：1.直到型循环结构对应的UNTIL语句⑴与直到型循环结构（图三）相对应的程序语句称为UNTIL ⑵与当型循环结构（图四）相对应的程序语句为WHILE 语句，它的一般格式是： 语句，它的一般格式是：功能：当计算机执行上述语句时，先执行一次DO 和UNTIL 功能：当计算机遇到WHILE 语句时，先判断条件的真之间的循环体，再对UNTIL 后的条件进行判断。
如果条件不 假，如果条件符合，就执行WHILE 和WEND 之间的循符合，继续执行循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍不 环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执符合，再次执行循环体，直到条件符合时为止。
这时，计算机 行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合不再执行循环体，直到跳到UNTIL 语句后，接着执行UNTIL 为止。
这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND 语句之后的语句。
语句后，接着执行WEND 之后的语句。
②WHILE 语句和UNTIL 语句的关系：③几种对应关系：⑴变量初始值与循环体中变量值的对应。
初始值有时会直接影响循环体中的变量值。
⑵变量的初始值与循环条件的对应。
一般来讲，初始值可以确定循环条件。
三、算法案例1.辗转相除法：辗转相除法是求两个正整数的最大公约数的方法。
2.辗转相除法具体算法：用两个数中较大的数除以较小的数判断玉树是否为0，若不为0，则用较小的数除以余数再判断余数是否为0，反复进行上述步骤，直到余数为0为止。
这时的除数就是最大公约数。
3.更相减损术：更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法。
4.更相减损术的内容：任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数。
若是，用2约简；若不是，则以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数。
继续这个操作，直到所得的数相等为止，这个数就是所求的最大公约数。
5.更相减损术与辗转相除法比较：更相减损术是作减法运算，而辗转相除法是作除法运算；更相减损术运算次数较多，但每一次的计算都较简单。
6.秦九昭算法：秦九昭算法是能求多项式函数值的一种算法。
7.秦九昭算法步骤：对于任意一元n 次多项式，首先将多项式改写为()()()()()()()1110121102312101210n n n n n n n n n n n n nn n P x a x a x a x a a x a x a x a a x a xa x a x a a x ax a x a x a ----------=++++=++++=++++=+++++L L L LL令()()()11k n n n k n k v a x a x a x a ----=++++L L 则递推公式为01nk k n kv a v v x a --==+其中1,2,,.k n =L所谓递推，就是在一系列数中已知第一个数，则其后的每一个数都可由前面的数求出。
根据上面的递推公式，我们可由0v 依次求出所有的k v 。
101212323110,,,,,,n n n k k n k n n v v x a v v x a v v x a v v a v v x a ------=+=+=+=+=+L L在上述公式中，1k k n k v v a --=+是反复执行的，因此可用循环结构实现。
8.进位制：①概念：进位制是人们为了计数或计算方便而约定的计数系统。
约定“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几。
如果k 是大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为()()11121000,0,,,,n n k n n k a a a a a k a a a a k ---<<≤<L L⑴为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数。
十进制数一般不标基数； ⑵由于每一种进制的基数不同，所以，每一种进制所用的数字个数也不同； ⑶任何一个k 进制数都可以写成不同位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式；②不同进制之间的互化：⑴k 进制数化为十进制数：先把k 进制数写成不同数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，再按十进制数的运算法则计算出结果。
