二次函数的应用(1)——最值问题

高中数学教学备课教案二次函数的应用函数的最值问题高中数学教学备课教案二次函数的应用——函数的最值问题一、教学目标1. 理解二次函数的最值问题，包括最大值和最小值的定义及求解方法。

2. 能够利用二次函数的最值问题解决实际生活中的应用问题。

3. 掌握相关的解题技巧和方法。

4. 培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重难点1. 理解最值问题的定义和求解方法。

2. 应用最值问题解决实际问题的能力。

三、教学过程导入：通过与学生的互动讨论，引出最值问题的概念。

1. 什么是最值问题？最大值和最小值有何不同？2. 举例说明最值问题在日常生活中的应用场景。

讲解一：最值问题的基本思路与方法1. 对于一元二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，求最大值或最小值的过程。

2. 最值问题的关键在于找到临界点，即导数为0的点，进而求得函数的最值。

3. 通过二次函数的图像，直观地理解最值的求解过程。

演示一：求解一元二次函数的最值1. 设一个具体的一元二次函数，如 f(x) = x^2 - 4x + 3。

2. 计算导数 f'(x) = 2x - 4，并令其等于0，解方程得到临界点 x = 2。

3. 讨论 x 的取值范围及对应的函数值，确定最大值和最小值。

讲解二：应用二次函数最值解决实际问题1. 通过具体例子，介绍如何将实际问题转化为数学问题，利用最值问题求解。

（例子1：某汽车行驶问题；例子2：抛物线的喷水问题）2. 强调建立数学模型的重要性，培养学生的数学建模能力。

演示二：解决实际问题的步骤及方法1. 选择合适的变量与函数模型。

2. 建立函数模型并确定函数的最值。

3. 根据实际问题的限制条件，确定变量的取值范围。

4. 求解最值并给出合理的解释。

讲解三：其他相关问题的讨论1. 当函数的定义域为有限区间时，如何确定最值？2. 如何处理一元二次函数的最值问题时出现的特殊情况？演示三：解决其他相关问题的方法1. 分析问题，考虑定义域的限制及函数图像的特点。

二次函数的最值问题与问题解决技巧二次函数是高中数学中一个重要的概念，它有许多实际应用并且涉及到最值问题。

解决这类问题需要一定的技巧和方法。

本文将介绍二次函数的最值问题以及解决这些问题的技巧。

一、二次函数的最值问题最值问题在数学中非常常见，它代表了在一定条件下，函数的最大值或最小值。

对于二次函数而言，最值问题可以通过确定二次函数的开口方向以及顶点位置来解决。

1. 二次函数的开口方向对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a，b，c为常数，a不等于0。

通过a的正负可以判断二次函数的开口方向。

当a大于0时，二次函数的开口是向上的，形状像一个U；当a小于0时，二次函数的开口是向下的，形状像一个倒U。

2. 顶点的横坐标和纵坐标二次函数的最值就出现在顶点处，因此需要确定顶点的横坐标和纵坐标。

对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，顶点的横坐标为x=-b/2a，可以通过对称轴求得；顶点的纵坐标为y=f(-b/2a)，即将x=-b/2a代入函数中计算得到。

3. 最值问题的解答根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以得到最值问题的解答。

当二次函数开口向上时，顶点是函数的最小值；当二次函数开口向下时，顶点是函数的最大值。

二、解决二次函数最值问题的技巧解决二次函数最值问题的技巧主要包括图像法、配方法、导数法等。

1. 图像法通过绘制二次函数的图像，可以直观地找出函数的最值。

根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以判断最值是最小值还是最大值。

2. 配方法当二次函数的系数a不为1时，可以使用配方法将其转化为完全平方的形式，从而更容易找到最值。

例如对于二次函数y=ax²+bx+c，可以将x²+bx转化为(x+b/2a)²-b²/4a，然后再根据顶点的位置判断最值。

3. 导数法通过对二次函数求导，可以得到导函数，进而求出极值点。

导数为0处的x值就是函数的极值点，通过计算可以得到相应的y值。

二次函数的综合运用二次函数是一种形式为 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。

二次函数在数学中有广泛的应用，涉及到诸如物理学、经济学和工程学等多个领域。

本文将探讨二次函数在各个领域中的综合运用，包括最值问题、图像分析、实际问题的建模等。

一、最值问题对于二次函数 y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，我们可以通过一些方法求得其最值。

为了简化讨论，我们以函数 y = x² + 2x - 3 为例。

1. 定义域和值域首先，我们需要确定该二次函数的定义域和值域。

对于二次函数 y= x² + 2x - 3，由于 x²的值始终大于等于 0，所以该函数的定义域为全体实数。

而二次函数在开口向上的情况下，其最小值即为函数的值域的下界。

根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点为(-1, -4)，因此该函数的最小值为 -4。

2. 求解极值点我们可以通过求导数的方法求得二次函数的极值点。

对于函数 y =x² + 2x - 3，将其对 x 求导后可得 y' = 2x + 2。

令 y' = 0，解得 x = -1。

将 x = -1 代入函数 y = x² + 2x - 3 中可得 y = -4，即函数在 x = -1 处取得极小值 -4。

同样，对于开口向下的二次函数，可以通过类似的方法求得其极大值。

二、图像分析二次函数的图像一般为抛物线，通过分析图像可以获得更多关于函数的信息。

下面以函数 y = x² + 2x - 3 为例进行具体分析。

1. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是由函数的一阶导数确定的直线，其方程形式为x = -b/(2a)。

对于函数 y = x² + 2x - 3，对称轴的方程为 x = -1。

根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点坐标为 (-1, -4)。

二次函数的应用最值问题二次函数是一个在数学中广泛应用的函数模型。

在实际问题和生产生活中，二次函数的最值问题也经常出现。

本文将介绍二次函数的最值问题，包括实际问题中的二次函数最值、生产生活中的二次函数最值、利用配方法求二次函数的最值、利用导数求解二次函数的最值、利用作图法求解二次函数的最值、利用公式法求解二次函数的最值和利用对称轴求解二次函数的最值等方面。

一、实际问题中的二次函数最值在实际问题中，二次函数最值通常出现在诸如最大利润、最小成本、最高产量等问题中。

例如，一个工厂生产一种产品，该产品的成本包括固定成本和可变成本。

固定成本是不随产量变化的成本，而可变成本是随产量变化的成本。

因此，总成本函数是一个开口向下的二次函数。

为了使总成本最低，需要找到自变量的取值，使得总成本函数的导数为零，并判断导数是否为零，从而确定最值是否存在。

二、生产生活中的二次函数最值在生产生活中，二次函数最值也经常出现。

例如，一个公司投资一个项目，该项目的收益随投资额变化，且收益函数是一个开口向下的二次函数。

为了使收益最大，需要找到投资额的最优解。

最优解可以通过求解收益函数的导数并令其为零得到。

三、利用配方法求二次函数的最值配方法是求二次函数最值的一种常用方法。

该方法的基本思想是将二次函数转化为一个完全平方项和一个常数项之和的形式，然后利用平方的非负性求出最值。

具体步骤如下：（1）将二次函数配方为一个完全平方项和一个常数项之和的形式；（2）根据平方的非负性，求出这个完全平方项的取值；（3）将这个完全平方项的取值代入配方后的二次函数中，求出最值。

四、利用导数求解二次函数的最值利用导数求解二次函数的最值是一种比较简单的方法。

该方法的基本思想是先求出二次函数的导数，然后令导数为零，解出此时的自变量取值，最后比较所有自变量取值对应的函数值，找出最大（或最小）的一个即可。

五、利用作图法求解二次函数的最值作图法是一种直观地求解二次函数最值的方法。

二次函数的最值与应用题解析二次函数是一种常见的函数类型，在数学和实际生活中都有着广泛的应用。

掌握二次函数的最值及其在应用题中的解析方法，对于数学学习和解决实际问题都具有重要意义。

本文将介绍二次函数的最值的概念、求解方法以及应用题的解析方法。

一、二次函数的最值概念与性质二次函数通常具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的表达式，其中a、b和c都是常数且a ≠ 0。

二次函数的图像一般是一个抛物线，开口方向由a 的正负决定。

1. 最小值与最大值对于二次函数f(x)，如果存在一个点x0，使得对于所有的x都有f(x) ≥ f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的最小值；如果存在一个点x0，使得对于所有的x都有f(x) ≤ f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的最大值。

2. 寻找最值的方法（1）若a > 0，即抛物线开口向上，则函数的最小值为抛物线的顶点，可以通过顶点的横坐标求得；（2）若a < 0，即抛物线开口向下，则函数的最大值为抛物线的顶点，同样可以通过顶点的横坐标求得。

二、二次函数最值的求解方法下面将介绍两种常用的方法来求解二次函数的最值。

1. 利用顶点坐标求解对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过求顶点的横坐标来获得函数的最值。

（1）对于抛物线开口向上：顶点的横坐标为 x = -b / (2a)，将该值代入函数中求解即可得到最小值；（2）对于抛物线开口向下：顶点的横坐标为 x = -b / (2a)，将该值代入函数中求解即可得到最大值。

2. 利用二次函数的性质求解利用二次函数的几何性质也可以求解最值。

（1）对于抛物线开口向上：最小值为y轴截距，即 f(0) = c；（2）对于抛物线开口向下：最大值为y轴截距，即 f(0) = c。

三、二次函数在应用题中的解析方法除了求解二次函数的最值，我们还可以通过二次函数来解决一些实际问题。

1. 最优解问题某公司生产一个产品，每个产品成本为C(x) = ax^2 + bx + c，销售价格为p。

二次函数的最值与最值问题的应用二次函数是数学中常见的一类函数，具有很多重要的性质和应用。

其中最值与最值问题是二次函数的重要内容之一。

本文将详细介绍二次函数的最值性质，以及如何利用最值问题解决实际应用中的相关问题。

一、二次函数的基本性质二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负性。

在讨论二次函数的最值之前，我们先了解一些与最值相关的基本性质。

1. 首先，二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。

当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值出现在顶点上；当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值出现在顶点上。

2. 其次，二次函数的顶点即为函数的最值点。

顶点坐标为（h, k），其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为函数的最值（最小值或最大值）。

3. 再次，二次函数的对称轴与顶点的横坐标相同。

对称轴的方程为x = h。

二、二次函数的最值问题二次函数的最值问题是指求解函数的最小值或最大值的问题。

在实际应用中，最值问题经常出现，例如求解投掷问题中的飞行距离最大值或者盈利问题中的最大利润等。

1. 求解二次函数的最值为了求解二次函数的最值，我们可以利用二次函数图像的特点，即找出抛物线的顶点坐标。

通过完成平方项的平方，将二次函数转换为顶点形式，可以轻松地求解最值问题。

例如，对于函数y = x² - 4x + 3，我们可以完成平方项的平方，将其转换为顶点形式：y = (x - 2)² - 1从中可以看出，顶点坐标为（2, -1），函数的最小值为-1。

因此，原二次函数的最小值为-1。

2. 应用最值问题最值问题在实际应用中非常常见，下面以一个具体的应用为例进行解析。

例题：某商品的价格为p（元），销量为x（件），已知该商品的价格和销量满足二次函数关系p = 0.5x² - 2x + 8，求该商品的最佳销量以及最佳价格。

二次函数的最值与应用学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用二次函数的最值与应用二次函数是高中数学中一个非常重要的概念，在学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用之前，我们首先需要了解二次函数的基本形式和性质。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0，x、y为变量。

在此基础上，我们将深入探讨二次函数的最值及其在实际问题中的应用。

一、二次函数的最值性质二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数a的正负决定。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

对于一个二次函数而言，其最值即为函数的最大值和最小值。

1. 最值存在性对于二次函数y=ax^2+bx+c，当抛物线开口向上时，函数存在最小值；当抛物线开口向下时，函数存在最大值。

即最值存在性与a的正负相关。

2. 最值点的横坐标对于二次函数y=ax^2+bx+c，最值点的横坐标可以通过计算二次函数的自变量x的取值来确定。

最值点的横坐标为二次函数的顶点，顶点的横坐标为-x轴的对称轴，即x=-b/2a。

3. 最值点的纵坐标最值点的纵坐标可通过将最值点的横坐标代入二次函数中求得。

将x=-b/2a代入二次函数y=ax^2+bx+c中，可以求出最值点的纵坐标。

二、二次函数最值的应用二次函数的最值性质在实际问题中具有广泛的应用。

下面将介绍二次函数最值的几个常见应用场景。

1. 最值问题通过研究二次函数的最值性质，可以解决许多涉及最值问题的实际情况。

例如，我们要抛掷一个物体，求出其最高点的高度以及达到最高点时的时间。

可以建立一个关于时间的二次函数模型，然后通过最值性质计算出最高点的高度和达到最高点的时间。

2. 优化问题在实际生活中，许多问题可以通过优化函数来解决。

例如，我们要制造一个容积为V的长方体包装盒，为了节省材料成本，我们想使包装盒的表面积最小。

可以建立一个关于长方体各边长的二次函数模型，然后通过最值性质求解出使表面积最小的边长。

二次函数常考三种应用题二次函数是高中数学中的重要内容，它具有广泛的应用场景。

在解答二次函数应用题时，通常需要从实际问题中抽象出数学模型，利用二次函数的性质来解决问题。

在考试中，常见的二次函数应用题主要包括最值问题、图像分析问题和实际问题三类。

下面将分别对这三类题目进行详细的解析，并提供一些例题。

第一类是最值问题。

最值问题是二次函数应用题中比较常见的一类，它主要涉及到二次函数图像的顶点问题以及函数值的最大值和最小值问题。

在解决这类问题时，可以通过变换二次函数的标准形式，找到顶点的坐标，并利用顶点的坐标来求解最值问题。

例题：已知函数y=2x^2-5x+3，求此函数的最大值和最小值。

解析：将函数转化为标准形式，即y=2(x^2-5/2x+3/2)=2(x-5/4)^2-17/8，可以看出函数的图像开口向上，因此函数的最小值即为顶点的纵坐标，最大值为正无穷。

而顶点的横坐标为x=5/4，将其代入函数中得到最小值y=-17/8、因此，函数的最大值为正无穷，最小值为-17/8第二类是图像分析问题。

图像分析问题是通过对二次函数的图像进行详细分析，来求解相关问题。

其中，常见的问题包括判定图像的开口方向、确定顶点坐标、寻找对称轴、研究函数值的正负及函数值的变化趋势等。

例题：已知函数y=-3x^2+6x+9，请判断函数的图像开口方向、确定顶点坐标以及找出对称轴。

解析：通过观察二次函数的各项系数，可以得知此函数的二次项系数为负数，因此函数的图像开口向下。

进一步分析二次项系数为-3，可知此函数的图像较为扁平。

通过求解顶点坐标可得，x=-b/2a=-6/(2*(-3))=1，将其代入函数中，得到y=-3(1)^2+6(1)+9=12、因此，函数的图像开口向下，顶点坐标为(1,12)。

第三类是实际问题。

实际问题是将具体的实际问题转化为数学模型，再通过解析数学模型来求解实际问题。

这类问题较为复杂，常常需要运用一些辅助变量和条件，将问题转化为二次函数的形式。

二次函数的最值与应用二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。

在研究二次函数时，最值是其中一个重要的性质，它能帮助我们解决很多实际生活中的问题。

本文将深入探讨二次函数的最值原理及其应用。

一、二次函数的最值原理1. 最值的定义最值即函数在某个特定区间内取得的最大值或最小值。

二次函数的最值可以通过抽象函数形式来确定。

对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不为零，其图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。

2. 最值的条件二次函数的最值可以通过一些条件来确定。

当二次函数开口方向为开口朝上时，其最值为最小值，当开口方向为开口朝下时，其最值为最大值。

此外，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，最值的横坐标为（-b/2a）。

二、二次函数最值的求解1. 最值的求解方法解决二次函数的最值问题可以通过图像、导数以及配方法来求解。

其中通过图像可以直观地确定最值点的位置，通过导数可以求得最值点的切线斜率为零，而通过配方法则是用完全平方式将二次函数转化为顶点形式，从而确定最值。

2. 图像法求最值图像法通过绘制二次函数的图像来确定最值点的位置。

对于开口朝上的二次函数，最小值点即为图像的顶点；对于开口朝下的二次函数，最大值点即为图像的顶点。

通过观察图像的形状，可以直观地判断出最值点的位置。

3. 导数法求最值导数法通过求二次函数的导函数（一次导数）来确定最值点的位置。

对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其导函数为y' = 2ax + b。

通过求导函数的解，可以得到最值点的横坐标，从而确定最值点的位置。

4. 配方法求最值配方法通过将二次函数用完全平方式转化为顶点形式来确定最值点的位置。

对于二次函数y = ax^2 + bx + c，通过完全平方式将其转化为y = a(x - h)^2 + k的形式，其中(h, k)为顶点的坐标。

通过转化后的函数形式，可以直接确定最值点的位置。

二次函数的应用最值与问题求解在数学中，二次函数是一种形式为f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于0。

二次函数的图像是一个开口方向朝上或者朝下的抛物线。

本文将探讨二次函数在实际问题中的应用，特别是与最值与问题求解相关的应用。

1. 最值与问题求解的概念最值指的是函数在某个特定区间内取得的最大值或最小值。

对于二次函数，最值通常出现在抛物线的顶点处。

问题求解是指通过建立二次函数的数学模型，解决与实际问题相关的数学问题。

最值与问题求解是二次函数的重要应用之一。

2. 最值与问题求解的例子例子1：弧线问题某地的一座桥由一段抛物线形状的钢筋弯曲而成。

假设桥的弧线方程为f(x)=3x^2-4x+10，其中x表示距桥起始位置的距离。

求整个桥的最高点的高度及到达最高点的距离。

解析：由于方程f(x)为二次函数，可以通过求导数得到最高点的横坐标。

对f(x)求导得到f'(x)=6x-4。

令f'(x)=0，解方程可得x=2/3。

将x=2/3代入f(x)中，可得到最高点的高度为f(2/3)=10/3。

因此，整个桥的最高点的高度为10/3，到达最高点的距离为2/3。

例子2：火箭运动问题某火箭从地面垂直起飞，并以速度v1向上运动。

假设空气阻力不考虑，火箭的运动可以用二次函数表示。

已知火箭的高度h与时间t的关系由函数h(t)=-5t^2+v1t表达。

求火箭达到最大高度的时间和最大高度。

解析：由于方程h(t)为二次函数，最大高度对应于抛物线的顶点。

顶点的横坐标可以通过求导数得到。

对h(t)求导得到h'(t)=-10t+v1。

令h'(t)=0，解方程可得t=v1/10。

将t=v1/10代入h(t)中，可得到最大高度为h(v1/10)=-v1^2/20。

3. 最值与问题求解的应用领域最值与问题求解的二次函数应用广泛，包括但不限于以下领域：- 物理学：例如物体的抛射运动、自由落体运动等- 经济学：例如生产成本、利润最大化等- 工程学：例如设计建筑物弧线、汽车行驶的最佳路径等4. 最值与问题求解的解决方法在实际问题中，求解最值与问题求解的方法通常包括以下步骤：1) 建立二次函数的数学模型，根据问题的特点确定函数的系数a、b、c。

二次函数的应用之最值问题教学设计一、教学目标【知识与技能】通过本节学习，巩固二次函数 2y=ax bx c(a 0)++≠的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。

【过程与方法】通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、分类讨论思想。

【情感、态度与价值观】通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。

二、教学重难点分析教学重点：利用二次函数2y=ax bx c(a 0)++≠的图象与性质，求面积最值问题 教学难点：1、正确构建数学模型2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用三教学过程设计(一)复习引入:1.复习：二次函数 2y=ax bx c(a>0)++ 的图象、顶点坐标、对称轴和最值。

2.（1）求函数y ＝ x 2－2x －3的最值。

（2）求函数y ＝x 2－2x －3的最值。

（0≤x ≤ 3）3、你认为抛物线在什么位置取得最值？(二)新课讲解【探究活动一】1、设置问题情境：某水产养殖户用长40m 的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗。

要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？为____________（3）矩形的一边长为_______米时，它的面积最大？最大面积是_______米2。

此时，它的另一边长为__________米。

2.例题讲解例1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米。

(1)若设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 米2。

求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。

说明：解这类问题一般的步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法、配方法或图像法求出二次函数的最大值或最小值．3、练习（1）某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为AD=x(m) ，花园的面积为y(m ²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；(2)根据（1）中求得的函数关系式，问当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？【探究活动二】1、设置问题情境：有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个。

学习好资料 欢迎下载二次函数的实际应用 --- 最值问题2. 某商品现在的售价为每件 60元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映： 每涨价 1元，每 星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元， 如何定价才能使利润最大？ 附答案： 巩固练习：1．( 1)解析：解： y (x 1)2 4当 x 1 时， y 有最小值 4 ，无最大值．2(2)解： y (x 1)2 4∵ 0 x 3 ，对称轴为 x 1∴当 x 0时y 有最小值 3；当 x 3时y 有最大值 12 ．2．解：设涨价(或降价)为每件 x 元，利润为 y 元，y 1 为涨价时的利润， y 2 为降价时的利润 则： y 1 (60 40 x)(300 10x)10(x 2 10x 600) 10(x 5)2 6250当 x 5，即：定价为 65 元时， y max 6250 (元)y 2 (60 40 x)(300 20x)20(x 20)(x 15) 20(x 2.5)2 6125当 x 2.5 ，即：定价为 57.5 元时， y max 6125 (元) 综合两种情况，应定价为 65元时，利润最大．三、知识点梳理 1．二次函数在没有范围条件下的最值再现及巩固 二次函数的一般式 y ax 2 bx c ( a 0) 化成顶点式 y a(x b )2 2a 果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值) b4ac b2 即当 a 0时，函数有最小值，并且当 x b ， y最小值 4ac b 2a4ac b 2，如4a当 a 0时，函数有最大值，并且当 4a2 b 4ac b x ， y最大值 ．2a 4a巩固练习 1. 求下列二次函数的最值： x 2 2x 3的最值． 1)求函数 y 2)求函数 y x 2 2x 3的最值． (0 x 3)2．二次函数在有范围条件下的最值 如果自变量的取值范围是 x 1 x x 2 ，如果顶点在自变量的取值范围 则当 x b ， y 最值4ac b ，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的 2a 最值4a取值范围 内的 增减 性；如 果在此 范围 内 y 随 x 的增大 而增大 ，则 当 x x 2 时， y最大ax 22 bx 2 c ，当 x x 1时， y 最小ax 12 bx 1 c ；如果在此范围内 y 随 x 的 增大而减小， 则当x x 1时，y 最大 ax 12 bx 1 c ，当 x x 2时，y 最小ax 22 bx 2 c ．讲练同步例 1】某商店购进一批单价为 20 元的日用品，如果以单价 30 元销售，那么半个月内可以 售出 400 件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？同步练习】 1. 某旅行社组团去外地旅游， 30 人起组团，每人单价 800元．旅行社对超过 30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低 10 元．你能帮助分析 一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？【例 2】某产品每件成本 10元，试销阶段每件产品的销售价 x （元）与产品的日销售量 y （ 件） 之间的关系如下表：若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数．⑴ 求出日销售量 y （件）与销售价 x （元） 的函数关系式；⑵ 要使每日的销售利润最大， 每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润 是多少元？2b 二次函数的一般式 y ax 2 bxc （ a 0） 化成顶点式 y a （x ） 2a如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）2 b4ac b x ， y 最小值2a 4a b 4ac b 2 x ， y最大值 2a 4a即当 a 0 时，函数有最小值，并且当 当 a 0 时，函数有最大值，并且当4ac b 2，4ax x 2 内， x 1同步练习】 2. 市“健益”超市购进一批 20元/ 千克的绿色食品， 如果以 30?元/ 千克销售， 那么每天可售出 400 千克．由销售经验知，每天销售量 y （千克）? 与销售单价 x （元） （ x 30 ）存在如下图所示的一次函数关系式． （1）试求出 y 与 x 的函数关系式；（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当销售单价为何值时， 每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据市场调查， 该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元，?现该超市经理要求每天 利润不得低于 4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价 x 的范围 （?直接写 出答案 ） ．同步练习 2 图例 3】有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延 长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持 不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹 1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是，放养一天 需支出各种费用为 400 元，且平均每天还有 10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部 销售出，售价都是每千克 20 元．（1） 设 x 天后每千克活蟹的市场价为 p 元，写出 p 关于 x 的函数关系式； （2）如果放养 x 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 kg 蟹的销售总额为 Q 元，写出 Q 关于 x 的函数关系式． （3） 该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润 （利润 =Q －收购总额 ）？同步练习】 3. 研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生 产并销售该产品提供了如下成果： 第一年的年产量为 x （吨）时，所需的全部费用 y （万1元）与 x 满足关系式 y 110x 2 5x 90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价， （万元）均与 满足一次函数关系． （注：年利润＝年销吨，根据（ 1），（ 2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产 销才能获得较大的年利润？1）成果表明，在甲地生产并销售 吨时，表示甲地当年的年销售额，并求年利润2）成果表明，在乙地生产并销售 吨时， ，请你用含 的代数式（万元）与 之间的函数关系式；（ 为常数），且在乙地的值；某投资商计划例 4 】小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10 米的围墙，为了美化生活环境，小 明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃 的围栏， 为了浇花和赏花的方便， 准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及 在左右花圃各放一个 1 米宽的门(木质) ．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面 积最大？同步练习】 4. 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形BF=1．试在 AB 上求一点 P ，使矩形 PNDM 有最大面积。

二次函数的应用题与最值问题二次函数最值问题（一）开口向上：1.当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值；2.当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值．（二）开口向下：1．当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值；2．当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值．1. 求解析式综合题型：例1．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC ＝CD ．（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x ，都有4x ﹣12≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣8x +6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2.二次函数的应用题例1．某商品现在的售价为每件25元，每天可售出50件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件，已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y件，售价为每件x元（x为正整数）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润W（元）最大，最大利润是多少元？1．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？2．某商家在构进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y （元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续60天均以80元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z = x + 15.（1）第25天，该商家的成本是元，获得的利润是元；（2）设第x天，该商家出售该产品的利润为w元.①求w与x之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？．3．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；如果每台设备提价5万元时，则年销售量就减少50台．设该设备的年销售量为y（单位：台），销售单价为x（单位：万元/台）．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，则应把这种设备的销售单价定为多少万元时，该公司所获得的年利润最大？最大的年利润是多少？4．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．例2．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？1．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？（2）若墙体长度为20米，问长方形面积最大是多少？2．如图，用48米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为20米，平行于院墙的一边长为x米，花园的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到180平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由．3．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）求活动区的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？例3．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．1．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．求这条抛物线的解析式．2．如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式．3．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（）A．m B．2m C．2m D．2m4．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s ＝60t ﹣1.5t 2，那么飞机着陆后滑行的最远距离为（ ）A ．600mB ．400mC ．300mD ．200m5．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为()341212+--=x y ，由此可知铅球达到的最大高度是 m ，推出的距离是 m .6．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）直接具有的关系为h ＝24t ﹣4t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s ．7.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为6米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是 米．例4．当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值．1．当21≤≤x 时，求函数12+--=x x y 的最大值和最小值．2．已知二次函数y ＝x 2+2bx +c（1）若b ＝c ，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1？请说明理由；（2）若b ＝c ﹣2，y 在﹣2≤x ≤2上的最小值是﹣3，求b 的值．3．当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．4．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是m ．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．。