高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件导学案北师大版选修2_1

高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件学案北师大版选修211.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充分条件与判定定理1.2.3 必要条件与性质定理1.理解充分条件、必要条件的概念.(重点)2.掌握充分条件、必要条件的判断.(难点)[基础·初探]教材整理充分条件与必要条件阅读教材P6～P7的部分，完成下列问题.命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了结论成立的充分条件性质定理给出了结论成立的必要条件1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件.( )(2)若p是q的充分条件，则﹁p是﹁q的充分条件.( )(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( )【解析】(1)若p是q的必要条件，则p⇐q，∴q是p的充分条件，正确.(2)p⇒q﹁p⇒﹁q，错误.(3)两角不相等⇒两角不是对顶角，充分条件.【答案】(1)√(2)×(3)×2.“a＞1”是“a＞－1”的( )A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.以上都不对【解析】a＞1⇒a＞－1，∴a＞1是a＞－1的充分条件.【答案】 A3.若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件. 【解析】∵p⇒q，q⇒r，∴p⇒r.【答案】充分4.p：a＜1，q：|a|＜1，则p是q的________条件.【解析】∵a≤|a|＜1，∴|a|＜1⇒a＜1，∴p是q的必要条件.【答案】必要[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________[小组合作型]充分条件的判断(1)下列各题中，p是q的充分条件的是________.①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；③p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根.【自主解答】①∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分条件.②∵两个三角形相似，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件.③∵m＜－2，∴12＋4m＜0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件.【答案】③(2)“a＞b，b＞2”是“a＋b＞4，ab＞4”的________条件.【自主解答】由a＞b，b＞2⇒a＋b＞4，ab＞4，∴是充分条件.【答案】充分(3)设命题甲为0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的________条件.【自主解答】解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5，∵0＜x＜5⇒－1＜x＜5，∴甲是乙的充分条件.【答案】充分1.判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题.2.除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件.必要条件的判断在以下各题中，分析p与q的关系：(1)p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5；(2)p：y＝x2，q：函数是偶函数；(3)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形.【精彩点拨】要判断p与q的关系，主要看是p⇒q，还是q⇒p.【自主解答】(1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件.(3)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件.1.判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件.2.也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”.条件乙“x∈B”.若A⊇B，则甲是乙的必要条件.[再练一题]1.分析下列各项中p 与q 的关系. (1)p ：α＝π3，q ：cos α＝12；(2)p ：(x ＋1)(x －2)＝0，q ：x ＋1＝0.【解】 (1)由于p ⇒q ，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. (2)由于q ⇒p ，故q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件.充分条件与必要条件的应用是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x 2－x －2＞0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；若不存在，请说明理由.【导学号：32550003】【精彩点拨】 分别求出不等式的解集A ，B ，再根据条件判断A 与B 的关系即可. 【自主解答】 由x 2－x －2＞0⇒x ＞2或x ＜－1；4x ＋p ＜0⇒x ＜－p4，当－p 4≤－1，即p ≥4时，x ＜－p4≤－1⇒x ＜－1⇒x 2－x －2＞0，故当p ≥4时，4x ＋p ＜0是x 2－x －2＞0的充分条件.1.涉及求参数的取值范围与充分必要条件有关的问题，常借助集合的观点来处理.2.此类题的步骤为首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系，然后构建满足条件的不等式组，再进行求解.[再练一题]2.将本例中的“充分条件”改为“必要条件”，其他不变.【解】 由x 2－x －2＞0/⇒4x ＋p ＜0，所以不存在实数p 使4x ＋p ＜0是x 2－x －2＞0的必要条件.[探究共研型]充分条件和必要条件探究1 【提示】 充分、必要条件都具有传递性，具体如下：若p 是q 的充分条件，q 是s 的充分条件，即p ⇒q ，q ⇒s ，则有p ⇒s ，即p 是s 的充分条件；若p 是q 的必要条件，q 是s 的必要条件，即q ⇒p ，s ⇒q ，则有s ⇒p ，即p 是s 的必要条件.探究2 从集合的角度如何判断充分条件、必要条件？【提示】 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若x 具有性质p ，则x ∈A ；若x 具有性质q ，则x ∈B .若A ⊆B ，就是说x 具有性质p ，则x 必具有性质q ，即p ⇒q ，p 是q 的充分条件.同理，若B ⊆A ，即q ⇒p ，p 是q 的必要条件.从集合的角度判断条件，可加深我们对充分条件与必要条件的理解. 探究3 在寻求条件时，要注意什么？【提示】 在判断充分条件、必要条件时，要特别注意哪一个是“条件”，哪一个是“结论”，否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p 是q 的……条件，则p 是条件，q 是结论；若p 的……条件是q ，则p 是结论，q 是条件.“0＜x ＜5”的一个必要条件是( )A.x ＞5B.x 2－5x ＞0 C.0＜x ＜4D.x ＜5【精彩点拨】 “p 的必要条件是q ”分不清哪是条件哪是结论，易出现q ⇒p 的错误情况.【自主解答】 ∵0＜x ＜5⇒x ＜5， ∴x ＜5是0＜x ＜5的一个必要条件.故选D. 【答案】 D [再练一题]3.使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分条件是( ) A.x ＜0 B.x ≥0 C.x ∈{－1,3,5} D.x ≤－12或x ≥2【解析】 因x ∈{－1,3,5}⇒2x 2－5x －3≥0， 故选C. 【答案】 C[构建·体系]1.已知：p ：x ＞1；q ：x ＞2；则p 是q 的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.即不充分也不必要条件D.以上答案均不正确【解析】 ∵x ＞2⇒x ＞1，∴p ⇐q . ∴p 是q 的必要条件. 【答案】 B2.下列p 是q 的必要条件的是( ) A.p ：a ＝1，q ：|a |＝1 B.p ：a ＜1，q ：|a |＜1 C.p ：a ＜b ，q ：a ＜b ＋1 D.p ：a ＞b ，q ：a ＞b －1 【解析】 ∵|a |＜1，a ≤|a |， ∴a ＜1，即|a |＜1⇒a ＜1. 【答案】 B3.“tan α＝－1”是“α＝3π4”的( ) A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.以上都不对 【解析】 因α＝3π4⇒tan α＝－1，故选B.【答案】 B4.已知p ：x 2－x ＜0，那么命题p 的一个充分条件是( )A.0＜x ＜2B.－1＜x ＜1C.12＜x ＜23D.12＜x ＜2 【解析】 ∵12＜x ＜23⇒x 2－x ＜0，∴p 的充分条件是12＜x ＜23.【答案】 C5.p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ，则p 是q 的________条件. 【解析】 ∵x ＝y ⇒|x |＝|y |，即q ⇒p ， ∴p 是q 的必要条件. 【答案】 必要我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。

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1．2 充分条件与必要条件学习目标１.知识与技能（1)结合具体实例,理解充分条件、必要条件的意义。

(2）会判断某些条件之间的关系.2。

过程与方法通过从命题的真假、推出关系、集合间的包含关系多角度理解充分条件、必要条件.3。

情感、态度与价值观通过从命题的真假、推出关系、集合间的包含关系多角度理解充分条件、必要条件，使思维活动更加严谨．学习重点：充分条件、必要条件的概念．学习难点：必要条件的概念。

学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法.学习过程（一）课前预习任务：(阅读教材9—１0页完成下面问题）1.一般地，如果既有p⇒q,又有q⇒p，就记作.此时，我们说,p是ｑ的充分必要条件,简称 .2.如果p是ｑ的充要条件，那么ｑ也是p的条件．即如果,那么ｐ与q互为充要条件.(二)预习检测已知p:整数a是６的倍数,q:整数a是2和3的倍数,那么p是q的什么条件?q又是ｐ的什么条件？二、新课学习：探究任务一：充要条件若p、q互为充要条件，设Ａ＝｛x｜ｘ满足p｝,Ｂ={x|x满足q｝,思考两个集合A、B的关系．学后检测1下列各题中,哪些p是q的充要条件?(1)p：b＝0,q:函数f(x）=aｘ２＋bx＋ｃ是偶函数;(２)ｐ：x>0,y〉０,ｑ：xｙ〉0；（３）p:a〉b,q:ａ+c〉b+c。

- Math Stack Exchange（数学问答社区）
二、拓展建议
1.阅读相关书籍：通过阅读上述推荐书籍，学生可以更深入地了解数学逻辑和证明的基本概念和方法。
2.参加在线课程和讲座：学生可以通过参加在线课程和讲座，学习更多关于数学逻辑和证明的知识，并且可以通过互动讨论，提高自己的理解能力。
3.阅读学术期刊和论文：学生可以通过阅读学术期刊和论文，了解数学逻辑和证明的前沿研究和发展动态。
c.逻辑推理：学生对于如何运用充分条件和必要条件进行逻辑推理和论证存在困惑。
i.举例：在证明“如果一个数是偶数，那么它可以被2整除”这个命题时，学生可能不清楚如何运用充分条件和必要条件来构建论证。
d.数学建模：学生难以将充分条件和必要条件应用于数学建模，特别是在构建复杂数学模型时。
i.举例：在构建一个关于气温和降雨量的数学模型时，学生可能不知道如何运用充分条件和必要条件来描述两者之间的关系。
-提供拓展资源：提供与“充分条件和必要条件”课题相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。
-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。
学生活动：
-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。
-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。
-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。
e.数学运算：学生在运用充分条件和必要条件进行数学运算时，可能出现混淆和错误。
i.举例：在计算“如果一个数的平方是偶数，那么这个数是偶数”这个命题的概率时，学生可能不清楚如何运用充分条件和必要条件进行运算。
教学资源准备
1.教材：确保每位学生都有《北师大版选修1-1》教材，以便跟随教学进度进行学习和复习。

§1.2充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．知识点一充分条件与必要条件命题真假若“p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件知识点二充分条件、必要条件与集合的关系思考“x<2”是“x<3”的__________条件，“x<3”是“x<2”的__________条件．答案充分必要梳理A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件q是p的必要条件A⊈Bp是q的不充分条件q是p的不必要条件B⊆Aq是p的充分条件p是q的必要条件B⊈Aq是p的不充分条件p是q的不必要条件特别提醒：(1)p⇒q，q⇏p，p是q的充分不必要条件；(2)p⇏q，q⇒p，p是q的必要不充分条件；(3)p⇏q，q⇏p，p是q的既不充分也不必要条件．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．( ×)2．若q是p的必要条件，则p是q的充分条件( √)3．“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件．( √) 4．若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．( √)类型一 充分条件与必要条件的概念例1 (1)判断下列说法中，p 是q 的充分条件的是____________________________________． ①p ：“x ＝1”，q ：“x 2－2x ＋1＝0”；②已知α，β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，p ：a 与b 无公共点，q ：α∥β； ③设a ，b 是实数，p ：“a ＋b >0”，q ：“ab >0”． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断 答案 ①解析 对①，p ⇒q ；②p ⇏q ；③p ⇏q ，故填①. (2)下列各题中，p 是q 的必要条件的是________． ①p ：x 2>2016，q ：x 2>2015；②p ：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，q ：0<a <1； ③已知a ，b 为正实数，p ：a >b >1，q ：log 2a >log 2b >0. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 ②③解析 ①q ⇏p ；②p ：0≤a <1，故q ⇒p ； ③log 2a >log 2b >0⇒a >b >1， ∴q ⇒p ，故填②③. 引申探究例1(1)中p 是q 的必要条件的是________． 答案 ①②解析 ①x 2－2x ＋1＝0⇒x ＝1，即q ⇒p ；②⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，a ⊂α，b ⊂β⇒a 与b 无公共点，即q ⇒p ；③q ⇏p ．故填①②.反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1 (1)a>b的一个充分不必要条件是( )A．a2>b2B．|a|>|b|C.1a<1bD．a－b>1考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 D解析a－b>1⇒a－b>0而a－b>0⇏a－b>1，故选D.(2)如果命题“若p，则q”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则p是q的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”)考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案必要不充分解析由逆命题与否命题是等价命题知q⇒p，由原命题与逆否命题的等价性得p⇏q，故p是q的必要不充分条件．类型二充分条件与必要条件的应用例2 已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p 是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围解由x2－4ax＋3a2<0且a<0，得3a<x<a，所以p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为綈q ⇒綈p ，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0，解得－23≤a <0，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 引申探究本例中条件“a <0”改为“a >0”，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 解 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a >0，得a <x <3a ， 所以p ：a <x <3a ， 即集合A ＝{x |a <x <3a }． 由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 所以q ：－2≤x ≤3， 即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为綈p ⇒綈q ，所以q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >3，a <－2，a >0，解得a ∈∅.反思与感悟 (1)设集合A ＝{x |x 满足p }，B ＝{x |x 满足q }，则p ⇒q 可得A ⊆B ；q ⇒p 可得B ⊆A ；p ⇔q 可得A ＝B ，若p 是q 的充分不必要条件，则A B .(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪训练2 已知p ：x <－2或x >10，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0，若p 是q 的必要条件，求负实数a 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 ∵a <0，解不等式得q ：x <1＋a 或x >1－a ， ∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤－2，1－a ≥10，a <0，解得a ≤－9.故负实数a的取值范围是(－∞，－9].1．“x>0”是“x≠0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析∵x>0⇒x≠0，而x≠0⇏x>0，∴x>0是x≠0的充分不必要条件．2．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的( ) A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，又不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析∵a∥b，∴(x－1)(x＋1)－8＝0，解得x＝±3，∴x＝3是a∥b的充分条件．3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．∴“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件．4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空： (1)“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________． (2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的________． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断答案 (1)必要条件 (2)充分条件5．是否存在实数p ，使得x 2－x －2>0的一个充分条件是4x ＋p <0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1. 令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－p4. 由题意得B ⊆A ，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的一个充分条件．1．充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p ⇔q ”表示p 等价于q ，等价命题可以进行转换，当我们要证明p 成立时，就可以去证明q 成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 相应的集合分别为A 和B ，那么若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 既是q 的充分条件又是q 的必要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.一、选择题1．“x为无理数”是“x2为无理数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B解析当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B3．“x>0”是“x2＋x>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析由x2＋x>0⇔x<－1或x>0，知A符合要求．4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析k＝1⇒圆心到直线x－y＋k＝0的距离d＝12<1，即相交，而直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交D⇏k＝1，故选A.5．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是( )A．x＞4 B．x＜4C．x＞3 D．x＜3考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 C6．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )A．充分条件B．必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案 B解析原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q⇒p，所以p是q的必要条件．7．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝32，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析因为sin 60°＝32，故p⇒q，但sin A＝32时，A＝60°或120°.8．给出三个条件：①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2.其中能成为x>y的充分条件的是( ) A．①②③B．②③C．③D．①考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 D解析 ①由xt 2>yt 2可知t 2>0，所以x >y ，故①对； ②当t >0时，则x >y ，当t <0时，则x <y ，故②错； ③由x 2>y 2，得x >y 或x <y ，故③错．9．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x |－a <x －b <a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( ) A ．[－2,0) B ．(0,2] C ．(－2,2)D ．[－2,2]考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 答案 C解析 A ＝{x |(x ＋1)(x －1)<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为a ＝1，所以B ＝{x |b －1<x <b ＋1}， 若A ∩B ＝∅，则b ＋1≤－1或b －1≥1， 即b ≤－2或b ≥2， 所以A ∩B ≠∅时，－2<b <2. 二、填空题10．设A ，B 是非空集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的______条件．(填“充分”“必要”) 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 必要解析 由A ＝B ⇒A ∩B ＝A ，A ∩B ＝A ⇏A ＝B ， 可知“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的必要条件． 11．下列说法正确的是________．(填序号) ①“x >0”是“x >1”的必要条件；②已知向量m ，n ，则“m ∥n ”是“m ＝n ”的充分条件； ③“a 3>b 3”是“a >b ”的必要条件；④在△ABC 中，“a >b ”不是“A >B ”的充分条件． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案①③解析①中，当x>1时，有x>0，所以①正确；②中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以②不正确；③a>b能推出a3>b3，即a3>b3是a>b的必要条件，所以③正确；④中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以④不正确．12．命题p ：|x |<a (a >0)，命题q ：x 2－x －6<0，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________，若p 是q 的必要条件，则a 的取值范围是________．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围答案 (0,2] [3，＋∞)解析 p ：－a <x <a ，q ：－2<x <3，若p 是q 的充分条件，则(－a ，a )⊆(－2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥－2，a ≤3，∴a ≤2，又a >0，∴a 的取值范围是(0,2]．若p 是q 的必要条件，则(－2,3)⊆(－a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≤－2，a ≥3，∴a ≥3，∴a 的取值范围是[3，＋∞)．三、解答题13．已知p ：x 2－2x －3<0，若－a <x －1<a 是p 的一个必要条件，求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 由于p ：x 2－2x －3<0⇔－1<x <3，－a <x －1<a ⇔1－a <x <1＋a (a >0)．依题意，得{x |－1<x <3}⊆{x |1－a <x <1＋a }(a >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－1，1＋a ≥3，a >0.解得a ≥2，则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是b <2，即(－∞，2)．四、探究与拓展14．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．(填“充分”或“必要”)考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 充分条件的判断答案 充分解析 因为“a ≥b ⇒c >d ”为真，所以它的逆否命题“c ≤d ⇒a <b ”也为真命题， 又“a <b ⇒e ≤f ”也是真命题，所以“c ≤d ⇒a <b ⇒e ≤f ”，故“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分条件．15．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义，q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 (1)因为命题p 为真，则－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52， 所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为命题p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪ 1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集， 因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2，所以只需a ＋2≥52，解得a ≥12， 即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。