2019大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义第4章 第01节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 Word版含答案

海口市高三上学期语文第一次月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共1题；共6分)1. （6分） (2019高三上·遂宁开学考) 阅读下面的文字，完成下面小题。

模糊性是诗歌语言最突出的特点。

这种语言具有两重性，即在本质上是明确的，在表象上是模糊的；在内容上是确指的，在形式上是灵活的。

因而能构成诗歌作品丰富多彩的审美意象，吸引鉴赏者去咀嚼、去品味。

鉴赏者尽可以根据自己的生活___________和审美__________去揣度那一个个谜底，填充那一道道艺术留白，__________获得对诗歌作品的审美享受。

如果不能发现诗歌文本的艺术留白，不能填充这些留白。

那么阅读诗歌便___________。

从这个意义上讲，（）这就使得诗歌语言和表达的意义之间形成了不少的“空白”点，只有通过鉴赏去增补这些空白，才能在诗歌语言与其象征意义的沟通之间架起桥梁，深刻领会作品的寓意。

（1）依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）A . 体验经验从而味同嚼蜡B . 经验体会从而食不甘味C . 体会经历因此味同嚼蜡D . 经历体验因此食不甘味（2）依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）A . 体验经验从而味同嚼蜡B . 经验体会从而食不甘味C . 体会经历因此味同嚼蜡D . 经历体验因此食不甘味（3）下列在文中括号内补写的语句，最恰当的一项是（）A . 诗歌是一种通过有限的词汇、有限的组合规则来表现诗歌作者自己无限的心灵世界的超级语言复合体。

B . 诗歌语言是一种超级复合体，诗歌作者总是通过有限的词汇、有限的组合规则去表现自己无限的心灵世界。

C . 诗歌作者总是通过有限的词汇、有限的组合规则去表现自己无限的心灵世界，所以诗歌语言是一种超级复合体。

D . 诗歌作者自己无限的心灵世界总是通过有限的词汇、有限的组合规则来表现的，所以诗歌语言是一种超级复合体。

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第四章 第一节
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象限角、三角函数值的符号判断
[例1] (1)(2014·福州质检)已知θ是第一象限角，那
么必有( )
A．sinθ2>0
B．cosθ2<0
C．tanθ2>0
D．sinθ2>cosθ2
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第四章 第一节
当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限 角．
答案：A
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第四章 第一节
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2．已知角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝( )
5 A. 5
25 B. 5
C．－
5 5
D．－2 5 5
解析：由三角函数定义得sinα＝
－122＋22＝2
secα＝co1sα＝xr
角α的余割
cscα＝si1nx＝yr
角α的余切
cotα＝ta1nα＝yx
注：当α＝2kπ±
π 2
(k∈Z)时，tanα，secα没有意义；当x
＝2kπ(k∈Z)时，cotx，cscα没有意义．
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第四章 第一节
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[探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么意义？ 提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值， 方向表示三角函数值的正负．
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答案 1．正角 负角 零角 象限角 α＋k·360°(k∈Z)
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答案：D
(3)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，
那么角的终边在第几象限，就称这个角是
第几象限．角
(4)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成角的集合是 {β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
3. 任意角的三角函数 设 α 是一个任意角，α 的终边上任意一点 P 的坐标 是(x，y)，它与原点的距离为 r(r＝ x2＋y2)，那么 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
(2)扇形半径为r，圆心角的弧度数是α，则这个扇 形的弧长l＝ |α|r ，面积S＝|α|r2，周长＝ |α|r＋2r .
2. 角的概念的推广
(1)任意角的定义 角可以看成平面内一条射线 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所
成的图形．
(2)按逆时针方向旋转形成的角叫做 正角 ；按顺时针方向旋转形成 的角叫做负角 ；一条射线没有作任何旋转形成的角叫做 零角．
是第二象限角，则
α 2
在标有数字2的区域内，
依次类推，则很容易确定α2所在的象限．
考点二 扇形弧长、面积公式的应用 【例 2】 一个扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时， 这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 解 设扇形的半径为 r，则弧长为 l＝(20－2r) cm，于是扇 形的面积：S＝12(20－2r)r＝－(r－5)2＋25.当 r＝5 时，l＝
4. 单位圆与三角函数线 用单位圆中的有向线段表示三角函数(如图)．
sin α＝ MP ，cos α＝ OM ，tan α＝ AT .
5. 三角函数值在各象限的符号
函数符号象限
Ⅰ
sin α
＋
cos α

1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．各角的终边与角α的终边的关系3.六组诱导公式【知识拓展】1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sinα－cos α)2＝4sin αcos α.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．( √ )1．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 答案 D解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.2．(教材改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )A ．±12 B.12 C.32 D ．±32答案 D解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12.∴sin α＝－12，cos α＝±1－sin 2α＝±32.3．(2016·东营模拟)计算：sin116π＋cos 103π等于( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D.12－32答案 A 解析 ∵sin 116π＝sin(π＋56π)＝－sin 5π6＝－12， cos103π＝cos(2π＋4π3)＝cos 4π3＝－12， ∴sin116π＋cos 103π＝－1. 4．(教材改编)若tan α＝2，则sin α＋4cos α5sin α－2cos α＝ .答案 34解析sin α＋4cos α5sin α－2cos α＝tan α＋45tan α－2＝2＋45×2－2＝34.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －18，x >2 000，则f (f (2 018))＝ .答案 －1解析 ∵f (f (2 018))＝f (2 018－18)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 23π＝－1.题型一 同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34(2)化简：(1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝ . 答案 (1)B (2)1 解析 (1)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)(1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝(1＋sin 2αcos 2α)·cos 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝1.思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( )A ．－1B ．－22 C.22D ．1 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.题型二 诱导公式的应用例2 (1)(2016·长春模拟)已知f (x )＝sin (2π－x )·cos (32π＋x )cos (3π－x )·sin (112π－x )，则f (－21π4)＝ .(2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 (1)－1 (2)C解析 (1)f (x )＝－sin x ·sin x－cos x ·(－cos x )＝－tan 2x ，f (－21π4)＝－tan 2(－21π4)＝－tan 234π＝－1.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.∴A 的值构成的集合是{2，－2}． 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.(1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin (α－3π2)cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝ .(2)已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos (π2＋α)·sin (－π－α)cos (11π2－α)·sin (9π2＋α)的值为 ．答案 (1)－1 (2)－34解析 (1)原式＝tan αcos αsin[－2π＋(α＋π2)]cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin (π2＋α)(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)原式＝(－sin α)sin α(－sin α)cos α＝tan α， 根据三角函数的定义得tan α＝－34.题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3 (1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13答案 C解析 2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，① tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3. 又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝31010.(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15.①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15，sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.由－π<x <0，知sin x <0， 又sin x ＋cos x >0， ∴cos x >0，sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.引申探究本例(2)中若将条件“－π<x <0”改为“0<x <π”，求sin x －cos x 的值． 解 若0<x <π，又2sin x cos x ＝－2425，∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，故sin x －cos x ＝75.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( ) A.35 B ．－35C.45 D ．－45答案 D解析 由已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，得cos α＝35， ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝45， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－45.7．分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝ .(2)(2016·湛江模拟)已知k ∈Z ，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝ .思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k 是奇数或偶数进行讨论． 解析 (1)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55， 原式＝1sin αcos α＝52.②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.综上①②知，原式＝52或－52.(2)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1. 综上，原式＝－1. 答案 (1)52或－52(2)－11．(2016·西安模拟)已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )A.43B.34 C ．－43 D ．－34 答案 B解析 ∵α∈(0，π)， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－(45)2＝35，由tan α＝sin αcos α，得tan α＝34. 2．已知tan(α－π)＝34，且α∈(π2，3π2)，则sin(α＋π2)等于( )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35 答案 B解析 由tan(α－π)＝34，得tan α＝34，∴α∈(π，3π2)，由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1及α∈(π，3π2)， 得cos α＝－45， 而sin(α＋π2)＝cos α＝－45. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2 α＋2sin α1－cos 2 α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1答案 B解析 由角α的终边落在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3. 4．若sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α的值等于( ) A ．－25 B ．－15 C.25或－25 D.25答案 A解析 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 5．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3答案 D解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3. 6.(2016·揭阳模拟)若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )A ．1＋ 5B ．1－ 5C ．1±5D ．－1－ 5答案 B解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2， 解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7．已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝ . 答案 －74解析 因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74， 所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74. 8．若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)＝ .答案 －32解析 f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 9．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin (3π2＋θ)＋cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝ . 答案 2解析 由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2. 10．(2016·长春模拟)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝ .答案 0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α sin 2α＋cos 2αsin 2α ＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|， 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解 由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16. (2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 12．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵(sin A ＋cos A )2＝125， ∴1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225. (2)∵sin A cos A <0，又0<A <π，∴cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．(3)(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝4925. 又sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75， ∴sin A ＝45，cos A ＝－35， 故tan A ＝－43. 13.已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f (π2 014)＋f (503π1 007)的值． 解 (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2 ＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f (π2 014)＋f (503π1 007)＝sin2π2 014＋sin21 006π2 014＝sin2π2 014＋sin2(π2－π2 014)＝sin2π2 014＋cos2π2 014＝1.。