南宁市2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题
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南宁市2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题
一、选择题
1．已知随机变量(6,1)XN，且(57),(48)PXaPXb，则(47)PX
A.2ba B.+2ba C.12b D.12a
2．某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3．又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为x，方差为2s，则（ ）
A.5x，23s B.5x，23s C.5x，23s D.5x，23s
3．下列命题中，假命题是( )
A．， B．，
C．的充要条件是 D．，是的充分不必要条件
4．已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，采用的算法是（ ）
A．a＝b，b＝a B．a＝c，b＝a，c＝b
C．a＝c，b＝a，c＝a D．c＝a，a＝b，b＝c
5．“”是“在上是增函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知集合|22Mxx，|1Nxyx，那么NM( )
A.|12xx B.|21xx
C.|2xx D.|2xx
7．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数fx，如果0'0fx，那么0xx是函数fx的极值点．因为函数3fxx在0x处的导数值'00f，所以0x是函数3fxx的极值点．以上推理中（ ）
A．小前提错误 B．大前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
8．由曲线2(0)yxx和直线0x，1x，2yt（01t）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为( )．
A.12 B.23 C.14 D.13 9．若曲线y=21,12,11xxxx与直线1ykx有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A.,526 B.,526
C.,00,526 D.,00,526
10．已知向量a与向量b的模均为2，若327ab，则它们的夹角是（ ）
A.60 B.30° C.120 D.150
11．已知1,21,0,2,,attbtt，则ab的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．2 D．3
12．总体由编号为01，02，03，...，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（ ）
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01
A．05 B．09 C．07 D．20
二、填空题
13．若定义在R上的函数有三个不同的单调递增区间，则实数m的取值范围是______．
14．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.
甲说：我在1日和3日都有值班；
乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是_________．
15．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,BE，连成一条弦BE，则弦长超过圆内接正BCD边长的概率是__________．
16．若圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，则直线l的斜率的取值范围是______．
三、解答题
17．如图，在梯形中，,对角线,,.
（I）求的长；
（Ⅱ）若,求梯形的面积. 18．随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.
该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：
公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？
19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，,.
（Ⅰ）若是的中点，求证：平面；
（Ⅱ）若，，求三棱锥的高.
20．已知函数．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）已知，求证．
21．（本小题满分12分）
在等比数列中，.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
22．已知函数f（x）=lnx。
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：当x>0时，f（x）≥l-；
（3）若x-1>alnx对任意x>1恒成立，求实数a的最大值。
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一、选择题 题号 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11
12
答案 B
B C D
A D
B C D
A C
C
二、填空题
13．
14．6日和11日
15．13
16．
三、解答题
17．(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】
试题分析：（I）根据正弦定理求的长；（Ⅱ）先根据余弦定理求，再利用余弦定理求,最后求梯形的高，代入梯形面积公式即可.
试题解析：（I）因为,所以
所以
由得：
解得：
（Ⅱ）法一：
由余弦定理，得
即解得：或（舍去）.
在中，由余弦定理，得
即：解得,
又梯形的高
所以
法二：同法一求得，
又故
故
18．（1）（2）①平均值可估计为15元. ②公司不应将前台工作人员裁员1人.
【解析】
分析：（1）利用古典概型概率公式可估计样本中包裹件数在之间的概率为，服从二项分布，从而可得结果；（2）①整理所给数据，直接利用平均值公式求解即可；②若不裁员，求出公司每日利润的数学期望，若裁员一人，求出公司每日利润的数学期望，比较裁员前后公司每日利润的数学期望即可得结果. 详解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率，
故可估计概率为，
显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数服从二项分布，
即，故所求概率为
（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位：）
1 2 3 4 5
快递费（单位：元） 10 15 20 25 30
包裹件数 43 30 15 8 4
故样本中每件快递收取的费用的平均值为，
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.
②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数范围
0～100 101～200 201～300 301～400 401～500
包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450
实际揽件数 50 150 250 350 450
频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1
50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260
故公司平均每日利润的期望值为（元）；
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数范围
0～100 101～200 201～300 301～400 401～500
包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450
实际揽件数 50 150 250 300 300
频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1
50×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235
故公司平均每日利润的期望值为（元）
因，故公司不应将前台工作人员裁员1人.
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：
①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； ③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度
19．（1）见解析； （2） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,中位线 ,且平面,平面,∴平面；（Ⅱ）由,可得与底面垂直，在中，设的中点为，连接，则是三棱柱的高，计算出三角形与面积，利用可求得点到平面的距离为.
试题解析：
（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,
中位线 ,
且平面,平面,
∴平面.
（Ⅱ）在中，设的中点为，连接，则，又，
∴,又∵，
∴，∴ ，解得.
所以点到平面的距离为：.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥的高，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
本题（1）是就是利用方法①证明的.
20．(1) .
(2)证明见解析.
【解析】
