2012届徐州高三数学模拟考试试卷(七)
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12012届高三模拟考试试卷(七)
数学
(满分160分，考试时间120分钟)
2012．5
参考公式：柱体体积公式为V柱体＝Sh，其中S为底面积，h为高
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.若集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{3，4}，则∁U(A∪B)＝______________．
2.若(1－2i)(x＋i)＝4－3i(i为虚数单位)，则实数x的值为______________．
3.某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：
分数段[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，95)
人数1366211
若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为____________
分．
S←2
I←1
WhileS≤200
I←I＋2
S←S×I
EndWhile
PrintI
(第4题)
4.已知一个算法的伪代码如图所示，则输出的结果为____________．
5.若实数m，n∈{－1，1，2，3}，且m≠n，则方程x2
m＋y2
n＝1表示的曲线是焦点在x
轴上的双曲线的概率为____________．
6.已知向量a＝(sinθ，cosθ)，b＝(3，－4)，若a∥b，则tan2θ的值为____________．
7.设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，
则S10的值为____________．
8.若曲线y＝x＋1
x－2在x＝1处的切线与直线x＋by＋1＝0垂直，则实数b的值为
____________．
9.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，且|φ|＜π
2在区间π6，2π
3上是单调减函数，且函数
值从1减小到－1，则fπ
4的值为______________．
10.如图，△ABC是边长为23的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任
意一点，则AP→·BP→的最小值为______________．
(第10题)
11.已知长方体的长，宽，高分别是5，4，3，若用一个平面将此长方体截成两个三棱柱，
则这两个三棱柱表面积之和的最大值为____________．12.已知函数f(x)＝log2x，x＞0，
2x，x≤0，则满足不等式f(f(x))＞1的x的取值范围是
____________．
13.
在平面直角坐标系中，不等式组y≥0，
x－2y≥0，
x＋y－3≤0表示的区域为M，t≤x≤t＋1表示的区
域为N.若1＜t＜2，则M和N公共部分面积的最大值为__________．
14.已知直线y＝x与函数g(x)＝2
x(x＞0)的图象交于点Q，P，M分别是直线y＝x与函数
g(x)＝2
x(x＞0)的图象上异于点Q的两点．若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标
的取值范围是____________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15.(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M为A1B与AB1的交点，N为
棱B1C1的中点．
(1)求证：MN∥平面AA1C1C；
(2)若AC＝AA1，求证：MN⊥平面A1BC.
16.(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC.
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的面积为33
4，且b＝3，求a＋c的值．17.(本小题满分14分)
在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示．设三个
圆柱体积之和为V＝f(h)．
(1)求f(h)的表达式，并写出h的取值范围；
(2)求三个圆柱体积之和V的最大值．18.(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x＋1)2＋y2＝16，点F(1，0)，E是圆C上的一
个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D.
(1)求点B的轨迹方程；
(2)当点D位于y轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；
(3)若G是圆C上的另一个动点，且满足FG⊥FE，记线段EG的中点为M，试判断线
段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)若x∈[－2，－1]时，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|；
(3)设函数g(x)＝f′（x），f（x）≥f′（x），
f（x），f（x）＜f′（x），求g(x)在x∈[2，4]时的最小值．
620.(本小题满分16分)
数列{an}的前n项和为Sn，存在常数A，B，C，使得an＋Sn＝An2＋Bn＋C对任意正整
数n都成立．
(1)若数列{an}为等差数列，求证：3A－B＋C＝0；
(2)若A＝－1
2，B＝－3
2，C＝1，设bn＝an＋n，数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn；
(3)若C＝0，{an}是首项为1的等差数列，设P
＝1＋1
a2i＋1
a2i＋1，求不超过P的最
大正整数的值.2012届高三模拟考试试卷(七)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若
多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A.(选修41：几何证明选讲)
如图，半径分别为R，r(R＞r＞0)的两圆⊙O，⊙O1内切于点T，P是外圆⊙O上任意一
点，连PT交⊙O1于点M，PN与内圆⊙O1相切，切点为N.
求证：PN∶PM为定值．
B.(选修42：矩阵与变换)
已知矩阵M＝21
34.
(1)求矩阵M的逆矩阵；
(2)求矩阵M的特征值及特征向量．
C.(选修44：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系
xOy中，圆C的参数方程为x＝－1＋rcosθ，
y＝rsinθ(θ为参数，r＞0)．以O
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
ρcosθ＋π
4＝22.若直线l
与圆C相切，求r的值．D.(选修45：不等式选讲)
已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1.
求证：1＜a＋b＜4
3.
【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤．
22.假定某人每次射击命中目标的概率均为1
2，现连续射击3次．
(1)求此人至少命中目标2次的概率；
(2)若此人前3次射击都没有命中目标，则再补射一次后结束射击；否则，射击结束．记
此人射击结束时命中目标的次数为X，求X的数学期望．
23.已知数列{an}满足a1＝2，且对于任意n∈N*，恒有nan＋1＝2(n＋1)an成立．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设区间an
3n，an＋1
3（n＋1）中整数的个数为bn，求数列{bn}的通项公式．2012届高三模拟考试试卷(七)(徐州)
数学参考答案及评分标准
1.{1，5}2.23.804.75.1
46.－24
77.1108.－39.3
210.111.144
12.(4，＋∞)13.5
614.(－∞，22]
15.(1)证明：连结AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点，又N
为棱B1C1的中点．所以MN∥AC1，(4分)
又因为AC1平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，
所以MN∥平面AA1C1C.(6分)
(2)因为AC＝AA1，所以四边形AA1C1C是正方形，
所以AC1⊥A1C，又因为ABCA1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，
因为BC平面ABC，所以CC1⊥BC.
又因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，
因为CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，
所以BC⊥AC1，又AC1平面AA1C1C，(8分)
因为MN∥AC1，所以MN⊥A1C，MN⊥BC，(10分)
又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.(14分)
16.解：(1)因为(2a－c)cosB＝bcosC，
由正弦定理，得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，(3分)
即2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC＝sin(C＋B)＝sinA.
在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，所以cosB＝1
2.(6分)
又因为0＜B＜π，故B＝π3.(7分)(2)因为△ABC的面积为33
4，所以1
2acsinB＝334，所以ac＝3.(10分)
因为b＝3，b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2－ac＝3，即(a＋c)2－3ac＝3.
所以(a＋c)2＝12，所以a＋c＝23.(14分)
17.解：(1)自下而上三个圆柱的底面半径分别为：
r1＝1－h2，r2＝1－（2h）2，r3＝1－（3h）2.(3分)
它们的高均为h，所以体积和
V＝f(h)＝πr21h＋πr22h＋πr23h＝π[(1－h2)＋(1－4h2)＋(1－9h2)]h＝π(3h－14h3)．(6分)
因为0＜3h＜1，所以h的取值范围是0，1
3.(7分)(2)由f(h)＝π(3h－14h3)，得f′(h)＝π(3－42h2)＝3π(1－14h2)，(9分)
又h∈0，1
3，所以h∈0，14
14时，f′(h)＞0；h∈14
14，1
3时，f′(h)＜0.(11分)
所以f(h)在0，14
14上为增函数，在14
14，1
3上为减函数，
