高中数学第3章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表学案新人教B版选修1_1
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- 1 - 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学
习 目 标 核 心 素 养
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点) 通过利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数的学习，提升学生的数学运算素养.
1．常数与幂函数的导数
原函数 导函数
f(x)＝C f′(x)＝0
f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝1x f′(x)＝－1x2
2.基本初等函数的导数公式表
原函数 导函数
f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xu f′(x)＝uxu－1(x＞0，u≠0)
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax f′(x)＝axln a(a＞0，a≠1)
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax f′(x)＝1xln a(a＞0，a≠1，x＞0)
f(x)＝ln x f′(x)＝1x
1．下列结论：
①(sin x)′＝cos x；②(x53)′＝x23；
③(log3x)′＝13ln x；④(ln x)′＝1x. - 2 - 其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
C [∵②(x53)′＝53x23；③(log3x)＝1xln 3；∴②③错误，故选C.]
2．若函数f(x)＝x，则f′(1)等于( )
A．0 B．－12
C．12 D．1
C [∵f′(x)＝(x)′＝(x12)′＝12x12－1＝12x，
∴f′(1)＝12，故选C.]
3．曲线y＝sin x在π4，22处的切线方程为________．
42x－8y＋2(4－π)＝0 [∵k＝(sin x)′|x＝π4＝cosπ4＝22，
∴切线方程为y－22＝22x－π4，即42x－8y＋2(4－π)＝0.]
利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝5x3；
(4)y＝2sinx2cosx2；(5)y＝log12x.
[思路探究] 先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导．
[解] (1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4x5.
(3)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x35－1 - 3 - ＝35x－25＝355x2.
(4)∵y＝2sinx2cosx2＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y′＝(log12x)′＝1xln12＝－1xln 2.
用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.
提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.
导数公式的综合应用
[探究问题]
1．若y＝c，y＝x和y＝x2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？
提示：若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；
若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；
若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为某物体做变速运动，它在x时刻的瞬时速度为2x.
2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点？
[提示] (1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y＝ex的导数是y＝ax(a>0，a≠1)导数的特例．
(2)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，y＝ln x的导数是y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)导数的特例．
【例2】 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．
[思路探究] 先求导数，再根据导数的几何意义求解．
[解] 因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．
设切点坐标为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，
又切线与PQ垂直， - 4 - 所以2x0＝－1，即x0＝－12，
所以切点坐标为－12，14.
所以所求切线方程为
y－14＝(－1)x＋12，
即4x＋4y＋1＝0.
1．(变结论)若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
[解] 因为y′＝(x2)′＝2x，
设切点为M(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝2x0.
又因为PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，
而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，
即x0＝12.
所以切点为M12，14，
所以所求切线方程为y－14＝x－12，
即4x－4y－1＝0.
2．(变条件)若函数改为y＝ln x，试求与直线PQ平行的切线方程．
[解] 设切点为(a，b)，因为kPQ＝1，
则由f′(a)＝1a＝1，得a＝1，
故b＝ln 1＝0，
则与直线PQ平行的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：1切点处的导数是切线的斜率.2切点在切线上.3切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
- 5 - 1．思考辨析
(1)若函数f(x)＝log2π，则f′(x)＝1πln 2.( )
(2)若函数f(x)＝3x，则f′(x)＝x·3x－1.( )
(3)若函数f(x)＝4x，则f′(x)＝4x2.( )
[提示] (1)× π为常数．
(2)× f′(x)＝3xln 3.
(3)× f′(x)＝－4x2.
2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于( )
A．36 B．0
C．12x D．32
A [∵f′(x)＝12x，∴f′(3)＝123＝36.]
3．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.
1e [∵f′(x)＝1xln a，∴f′(1)＝1ln a＝－1，∴a＝1e.]
4．过曲线y＝sin x上的点Pπ6，12的切线方程为________．
63x－12y－3π＋6＝0 [曲线y＝sin x在点Pπ6，12处的切线斜率为k＝y′|x＝π6＝cosπ6＝32.
所以切线方程为y－12＝32x－π6，即63x－12y－3π＋6＝0.]
5．求下列函数的导数：
(1)y＝cosπ6；(2)y＝1x5；(3)y＝x2x；
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cosπ2－x.
[解] (1)y′＝0.
(2)∵y＝1x5＝x－5， - 6 - ∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－5x6.
(3)∵y＝x2x＝x32.
∵y′＝(x32)′＝32x12＝32x.
(4)y′＝1xln 10.
(5)y′＝5xln 5.
(6)∵y＝cosπ2－x＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x．
