2018版高中数学人教B版选修1-1学案3.2.1 常数与幂函数的导数-3.2.2 导数公式表

选修1-2 3.2.1~3.2.2常数与幂函数的导数

导数公式表

一、选择题

1．抛物线y＝14x2在点(2,1)处的切线方程是( )

A．x－y－1＝0

B．x＋y－3＝0

C．x－y＋1＝0

D．x＋y－1＝0

[答案] A

[解析] ∵y′＝12x，y′|x＝2＝12×2＝1，

∴抛物线y＝14x2在点(2,1)处的切线斜率为1，

方程为x－y－1＝0.

2．若y＝lnx，则其图象在x＝2处的切线斜率是( )

A．1

B．0

C．2

D.12

[答案] D

[解析] ∵y′＝1x，∴y′|x＝2＝12，故图象在x＝2处的切线斜率为12.

3．若y＝sinx，则y′|x＝π3＝( )

A.12

B．－12

C.32

D．－32

[答案] A

[解析] y′＝cosx，y′|x＝π3＝cosπ3＝12. 4.limΔx→0 (1＋Δx)2－1Δx表示( )

A．曲线y＝x2的斜率

B．曲线y＝x2在点(1,1)处的斜率

C．曲线y＝－x2的斜率

D．曲线y＝－x2在(1，－1)处的斜率

[答案] B

[解析] 由导数的意义可知，limΔx→0 (1＋Δx)2－1Δx表示曲线y＝x2在点(1,1)处的斜率．

5．若y＝cos2π3，则y′＝( )

A．－32

B．－12

C．0

D.12

[答案] C

[解析] 常数函数的导数为0.

6．下列命题中正确的是( )

①若f′(x)＝cosx，则f(x)＝sinx

②若f′(x)＝0，则f(x)＝1

③若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx

A．①

B．②

C．③

D．①②③

[答案] C

[解析] 当f(x)＝sinx＋1时，f′(x)＝cosx，

当f(x)＝2时，f′(x)＝0.

7．正弦函数y＝sinx上切线斜率等于12的点为( )

A．(π3，32)

B．(－π3，－32)或(π3，32) C．(2kπ＋π3，32)(k∈Z)

描述：

例题：高中数学选修1-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案

第三章导数及其应用 3.3 导数的应用

一、学习任务

1. 能利用导数研究函数的单调性；会求一些函数的单调区间．

2. 掌握利用导数求函数的极值．

3. 掌握利用导数求连续函数在闭区间上的最值．

二、知识清单

利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值 利用导数求函数的最值

三、知识讲解

1.利用导数研究函数的单调性

一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：

在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果

，那么函数 在这个区间内单调递减．

注：在 内可导的函数 在 上递增（或递减）的充要条件是 （或

）， 恒成立，且 在 的任意子区间内都不恒等于 ． (a,b) (x)>0f′ y=f(x)

(x)<0f′ y=f(x)

(a,b)f(x)(a,b)(x)⩾0f′

(x)⩽0f′

x∈(a,b)(x)f′(a,b)0

求下列函数的单调区间：

（1） ；（2）；

（3）．

解：（1）函数的定义域为 ．

令 ，解得

令 ，解得

所以 的单增区间为 ，；单减区间为 ．

（2） 的定义域为 ．f(x)=−3−9x+5x3

x2f(x)=x−lnx

f(x)=−+2x+11

3x3

x2

R

(x)=3−6x−9=3(x−3)(x+1),f′

x2

(x)>0f′

x<−1或x>3,

(x)<0f′

−1

f(x)(−∞,−1)(3,+∞)(−1,3)

f(x)(0,+∞)

(x)=1−=,f′1

xx−1

x

令 ，解得

令 ，解得

所以 的单增区间为 ，单减区间为 ．

（3） 的定义域为 ．

在 上恒成立，所以 在 上恒增．

(

x

)>0f′

x>1;

(x)<0f′

0

f(x)(1,+∞)(0,1)

f(x)R

(x)=−2x+2=(x−1+1,f′

x2)2

(x)>0f′Rf(x)R

若函数 在 内单调递减，求实数 的取值范围．

解：求导，得

因为 在 内单调递减，所以不等式 在 内恒成立，即

令 ，则

3.3.3 函数的最大（小）值与导数

一、教学目标

1．核心素养

通过学习函数的最大（小）值与导数，形成基本的逻辑推理和数学运算能力，能围绕讨论问题的主题，观点明确，论述有理有据，并依据运算法则解决数学问题．

2．学习目标

（1）借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值的概念。

（2）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉)(xf必有最大值和最小值的充分条件。

（3）掌握求在闭区间],[ba上连续的函数)(xf的最大值和最小值的思想方法和步骤。

3．学习重点

利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

4．学习难点

函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

任务1

结合函数2)(xxf在]2,1[上的图像，想一想：函数2)(xxf在]2,1[上的极小值是多少？函数2)(xxf在]2,1[上的最大值、最小值分别是多少？

任务2

预习教材P96—P98，完成P98相应练习题，并找出疑惑之处.

2．预习自测

1．下列说法正确的是( )

A．函数的极大值就是函数的最大值 B．函数的极小值就是函数的最小值

C．函数的最值一定是极值 D．在闭区间上的连续函数一定存在最值

解：D 最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的．

2．函数)(xf在区间],[ba上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则)(xf( )

A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．以上都有可能

解：A 由题意知函数在闭区间上所有函数值相等,故其导数为0．

3．函数xxey在]4,2[x上的最小值为 ． 解：44e xxxxexexeey1)(2，当]4,2[x时，0y，即函数xxey在]4,2[x上单调递减，故当4x时，函数有最小值为44e．

函数的概念

【学习目标】

1．理解函数的概念，明确函数的三要素。

2．能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域。

3．会求一些简单函数的定义域、值域。

【学习重难点】

1．学习重点：能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域。

2．学习难点：会求一些函数的定义域、值域。

【学习过程】

1．函数

（1）设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________。其中x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的________。

（2）值域是集合B的________。

2．区间

（1）设a，b是两个实数，且a

①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；

②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；

③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________。

（2）实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”。

我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x

【达标检测】

一、选择题

1．对于函数y＝f（x），以下说法正确的有（ ）

（1）y是x的函数

（2）对于不同的x，y的值也不同

（3）f（A）表示当x＝a时函数f（x）的值，是一个常量

（4）f（x）一定可以用一个具体的式子表示出来

A．1个 B．2个