《数学分析》考试大纲
一、课程名称：数学分析
二、适用专业: 数学与应用数学
三、考试方法：闭卷考试
四、考试时间：100分钟
五、试卷结构：总分：100分，选择题15分，填空题15分，计算题40分，证明题30分。
六、参考书目：
1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，2010年第4版。
2、中国科学技术大学 常庚哲 史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育出版社，2003年第1版。
七、考试的基本要求：
数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。
八、考试范围
第一章 实数集与函数
（一）考核内容
实数及其性质,绝对值与不等式。区间与邻域，有界集与确界原理。函数概念,函数的表示法。函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。
（二）考核知识点
1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；
2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；
3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；
4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。
（三）考核要求
1、了解实数域及性质；
2、掌握几种不等式及应用；
3、熟练掌握数域，上确界，下确界，确界原理；
4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。
第二章 数列极限
（一）考核内容
数列。数列极限的定义,无穷小数列。收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。子列及子列定理。数列极限存在的条件：数列极限的单调有界定理、柯西收敛准则。
函数项级数和函数列的区别
函数项级数和函数列是数学中的两种重要概念，它们在数学分析和数值计算中有着广泛的应用。虽然它们都涉及到无穷项的求和，但在定义和性质上有一些不同之处。
我们来看函数项级数。函数项级数是指一系列函数按照一定的顺序进行求和的过程。具体地说，给定一个函数项序列{an(x)}，其中an(x)表示第n个函数项，函数项级数可以写成S(x) = a1(x) + a2(x)
+ a3(x) + ...的形式。在函数项级数中，每一项都是一个函数，而求和的结果也是一个函数。函数项级数的求和可以通过逐项求和的方式进行，即对每个函数项分别求和，并将结果相加得到函数项级数的和。函数项级数的收敛性和性质可以通过一系列定理进行研究和判断。
与函数项级数相比，函数列是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。给定一个函数列{fn(x)}，其中fn(x)表示第n个函数，我们可以将函数列写成f1(x), f2(x), f3(x), ...的形式。函数列的性质和收敛性可以通过逐点收敛和一致收敛来刻画。逐点收敛是指对于每个x值，函数列在该点处的极限存在，而一致收敛是指函数列在整个定义域上的极限存在且收敛速度足够快。
从定义上看，函数项级数和函数列有一些相似之处。它们都是一系列函数按照一定的顺序排列的序列。然而，它们的主要区别在于求和的方式和求和的结果。函数项级数的求和结果是一个函数，而函数列的求和结果是一个极限值。此外，函数项级数的求和是逐项进行的，而函数列的求和是对整个函数列进行的。
在应用上，函数项级数和函数列都有着重要的作用。函数项级数在数学分析中常用于研究函数的性质和逼近问题，如泰勒级数和傅里叶级数。函数列在数值计算中常用于逼近函数的值和求解方程，如插值方法和迭代法。
函数项级数和函数列是数学中的两个重要概念。它们在定义和性质上有所不同，但在应用上具有相似之处。函数项级数和函数列在数学分析和数值计算中有着广泛的应用，对于理解和研究函数的性质和逼近问题具有重要意义。通过深入学习和应用函数项级数和函数列，我们可以更好地理解和掌握数学中的无穷和极限概念，提高数学分析和数值计算的能力。
《数学分析（3）》复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科1101 陈弄祺整理
- 1 -《数学分析（3）》复习资料
第十三章 函数列与函数项级数（5%）
1．（1）函数列收敛域为(),1,2,n
nfxxn(1,1]
，极限函数为0,1,
()
1,1.x
fx
x
．
（2）函数列sin
(),1,2,
nnx
fxn
n
收敛域为(,)
，极限函数为()0fx
．
2．（1）函数列在(02
(),1,2,nx
nfxnxen
,)
上不
．一致收敛．
（2
）函数列2
21
(),1,2,
nfxxn
n
在(1,1)
上一致收敛．
（3）函数列
22(),1,2,
1nx
fxn
nx
在(,
上一致收敛． )
（4）函数列(),1,2,
nx
fxn
n
在[0
上不
．一致收敛． ,)
（5）函数列()sin,1,2,
nx
fxn
n
在上不
．一致收敛． (,)
3．（1）函数项级数
0n
nx
在(1
上不
．一致收敛． ,1)
（2）函数项级数
2sinnx
n，
2cosnx
n
在上一致收敛． (,)
（3）函数项级数
(1)!n
x
n
在上一致收敛． [,]rr
（4）函数项级数12
2(1)
(1)n
nx
x
在(,
上一致收敛． )
（5）函数项级数
nn
x在1
1r
xr
r
上一致收敛
上不一致收敛．
（6）函数项级数
2n
x
n
在上一致收敛． [0,1]
（7）函数项级数1
2(1)n
xn
在上一致收敛． (,)
（8）函数项级数2
21
(1)nx
x
在(,
上不
．一致收敛． )
第十四章 幂级数（10%）
1．对于幂级数，若
0n
n
nax
lim
n
n
na
（1limn
n
na
a
）
则（i）当0
时，收敛半径R
，收敛域为(,)
； 《数学分析（3）》复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科1101 陈弄祺整理
- 1 - 函数的一致收敛定义
函数的一致收敛定义是指对于一列函数{f_n(x)}，如果存在一个函数 f(x)，使得对于任意 ε>0，存在一个自然数 N，使得当 n>N 时，对于任意 x∈D，有|f_n(x)-f(x)|<ε，则称函数列 {f_n(x)} 一致收敛于函数 f(x)。其中，D 是函数定义域。
这种一致收敛的定义，要求函数列在任意点 x 处的函数值与极限函数 f(x) 的差异都不会超过一个给定的 ε，且这个差异不依赖于 x。这是一种更加严格的收敛方式，与点态收敛的定义有很大不同。
一致收敛的概念在数学中有着广泛的应用，尤其是在函数级数、积分和微分方程等领域。如果一个函数列一致收敛于一个函数，那么这个函数列的极限函数就能够保证在该函数定义域内是连续的，而这种连续性又成为许多数学问题的重要基础。
