有理数的乘方概念

- 1 - 有理数乘方

有理数乘方的概念是十九世纪末二十世纪初才确立的，在此之前都称为“开方”。它的原理早在公元前六世纪古希腊的阿基米德那里就已经发现了，他根据三角形面积和与其边长成正比的定理求出了一个正三角形面积的公式。这个公式虽然不很完善，但在当时也算得上是十分重要的成果。古人所说的“开方”实际上指的是在未知数的系数中添加一个适当的“负号”，使乘法运算转化为加法运算，从而使问题得以简化。但是，只要把这种简化的思想进一步发展下去，就可以发现这个思想同乘法运算本身是没有任何矛盾的。

例如， 1、 3、 5、 9这几个有理数按顺序加起来为2n，把它们写成乘法算式时，若只看到结果则认为得数是1n，可实际上却等于加法，即2n；而若看到结果为3n，则误认为得数是3，实际上应该得3n，即3n；…这样，乘方后就变成1、 3、 9n，得数是3、 9、

27。由此可见，在加法的后面添加一个“负号”，并不会引起得数的改变，因此，这种解决问题的办法叫做“开方”，也叫“增乘开方”。这是因为“开方”的目的是为了求某些数，而不是为了求某些数的积。当然，这种方法也并非全无优点，它最大的优点是可以通过试探性的运算，证明一些比较复杂的数学问题的答案。

例如， 2、 3、 5、 7、 9、 11、 13、 17、 19这几个有理数按顺序乘起来得2×3×5×7×9×11×13×17×19，将它们写成乘法算式时，若只看到结果则认为得数是35，可实际上却等于加法，即20，即35×20；而若看到结果为23，则误认为得数是23，实际上 - 2 - 应该得23×20，即23×20×20；…这样，乘方后就变成1、 3、 5、

7、 9、 11、 13、 17、 19×20，得数为35、 23、 23、 17、 20，而“开方”的结果仍然是这些数，这就充分显示了乘方的优越性。此外，还有许多数可以通过对乘法的这种处理得到另一种形式的表达，比如说1×1×2×3×4×5×6×7×8×9×10，或者2×3×5×7×9×11×13×17×19×21×22…，等等。由此可见，用乘方方法来表示这些数，可以使数字排列整齐，又能节省表达空间，更容易让人接受，是一个十分好的方法。

1.4.1有理数的乘法（1）

平定县东关中学 翟瑞梅

【学习目标】:1、理解有理数的运算法则;能根据有理数乘法运算法则进行有理的简单运算；

2、能说出有理数乘法的符号法则，能用例子说明法则的合理性。

【重点】：两个有理数相乘的符号法则

【难点】：如何观察给定的乘法算式，从哪些角度概括算是的规律。

【教学过程】：

一 创设情境，引入新知

问题一 我们知道，有理数分为正数，零，负数三类，按照这种分类，两个有理数的乘法运算会出现几种情况？

师生活动：教师引导学生从有理数分类的角度考虑，区分有理数乘法的情况。

二 观察归纳，学习法则

问题二 观察下面的乘法算式，你能发现什么规律？

3×3 3×2 3×1 3×0

追问1：你认为问题要我们“观察”什么？应该从哪几个角度去观察，发现规律？

追问2：根据这个规律，下面的积是什么？

3×（-1） 3×（-2） 3×（-3）

追问3：从符号和绝对值两个角度观察这些算式，你能说说它们的共性吗？

问题三 观察下列算式，类比上述过程，你又能发现什么规律？

3×3 2×3 1×3 0×3

师生活动：鼓励学生模仿正数乘负数的过程，自己独立得出规律。

追问1：要是这个规律再引入负数后仍然成立，你认为下面的结果是什么?

（-1）×3 （-2）×3 （-3）×3

追问2：类比正数乘负数的规律的归纳过程，从符号和绝对值两个角度观察这些算式，你能说说它们的共性吗？

追问3：正数乘负数，负数乘正数两种情况下的结论有什么共性？你能概括出来吗？

问题四 利用上面归纳的结论计算下面的式子，你能发现其中的规律吗？

（-3）×3 （-3）×2 （-3）×1 （-3）×0

追问：根据上述规律填空，并说说其中的规律？

（-3）×（-1） （-3）×（-2） （-3）×（-3）

师生活动：由学生自主探究得出负数乘负数的结论。 问题五 总结上面所有的情况，你能试着自己给出有理数乘法法则吗？

师生活动：学生独立思考后进行课堂交流，师生共同完成，得出结论后再让学生看书。

有理数的乘方概念

有理数的乘方是指一个有理数的底数和指数都是有理数的运算。其中底数是一个有理数，指数也是一个有理数。乘方的结果是一个有理数。

乘方的计算可以使用以下规则：

1. 如果指数是正整数，可以将底数连乘多次。

例如：2的3次方等于2×2×2=8。

2. 如果指数是负整数，可以将底数取倒数，然后连乘多次。

例如：2的负3次方等于1/(2×2×2)=1/8。

3. 如果指数是0，无论底数是多少，结果都是1。

例如：2的0次方等于1。

4. 如果底数是0，指数是正整数，则结果为0。因为0的任何正整数次方都等于0。

例如：0的5次方等于0。

5. 如果底数是0，指数是负整数，则结果不存在。因为0的倒数是不存在的。

例如：0的负5次方是不存在的。

6. 如果底数是1，无论指数是多少，结果都是1。

例如：1的任何次方都等于1。

7. 如果底数是负数，指数是分数，则结果可能是有理数也可能是无理数。

例如：(-1)的1/2次方等于根号下(-1) = ±i (虚数单位)。

需要注意的是，有理数的乘方结果可能是有理数也可能是无理数。如果结果是无理数，可能无法精确表示，并且只能通过接近值或近似值来表示。

1 / 12 主

题 有理数乘方及混合运算

学习目标 1．理解有理数乘方的意义；知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂。 2．培养学生观察、归纳能力；培养学生互相讨论、合作交流的能力；培养学生思考问题、解决问题的能力，切实提高学生的运算能力，培养学生勤思，认真和勇于探索的精神。

教学内容

精讲提升

题型一：有理数乘方

【知识梳理1】

1、定义:n个相同因数a相乘,即a·a·…·a(个),记作an,读作a的n次方. 求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂,在an中,a叫做底数,n叫做指数.读作a的n次方或a的n次幂.

2、运算法则：

负数奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.

【例题精讲】

例1 判断下列乘方的幂的符号.

（1）223 （2）3(0)aa （3）21(2)n

例2 计算

（1）31(1)2 （2）3(0.75) （3）4(2)

（4）23(2) （5）548(2) （6）32(2)(3)

解：（1）331327(1)()228 （2）33327(0.75)()464 （3）4(2)16

（4）23(2)3412 （5）5348(2)48(32)2 （6）32(2)(3)8972

例3 当2a，23b，14c时，求222abc的值。

解：当2a，23b，14c时，

222222214155(2)()()4434916144abc

例4 （1）如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（ ）