高中数学函数模型的应用实例教学设计

学科：数学

函数模型的应用实例教学设计

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准试验教科书数学1》第三章函数模型应用实例第一课时，本节课体现了数学文化特色，体现了建模的思想，用函数的方法对实际问题建立数学模型，解决实际应用问题，让学生感知数学来源于生活，应用于生活，激发学生求知欲望。同对函数模型应用实例的学习培养学生用数学知识来描叙和刻画现实世界，同时对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

二、学生学习情况分析

大部分学生自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，对解决数学实际应用问题感到困难和信心不足，通过对这节课的学习，激发学对于实际问题的学习兴趣 ， 学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究简单数学模型的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。

三、设计思路

学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参入机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识分段函数的模型，体会实际应用问题转化为数学模型。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

四、教学目标

1、知识与技能

能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.

2、过程与方法

感受运用函数概念建立模型的过程和方法,对给定的函数模型进行简单的分析评价.

3、情感与价值

体会数学在实际问题中的应用价值.

五、教学重难点

重点 运用一次函数、二次函数、分段函数模型的处理实际问题．

难点 运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．

六、教学过程

1、创设情景，引入新课

杰米是百万富翁，一天，他碰到一件奇怪的事。一个叫韦伯的人对他说，我想和你订个合同，我将在整整一个月(30天）中每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍。杰米欣喜若狂，同意订立这个合同 ，大家认为杰米这样做划算吗？

讨论结果：杰米在一个月内一共得到300万元的同时，第30天付给韦伯 =536870912分，也就是500多万元！杰米这样做不划算。

设计意图:通过一个实例，了解建立一次函数模型和指数函数型模型。一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，不只是理论上的数学问题，它们都与现实世界有着紧密的联系，我们如何利用这些函数模型来解决实际问题？利用这些函数模型预测未来，改造世界。

2、实例分析，讲授新课

实例1、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示:

(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;

设问：图中每一个矩形的面积的意义是什么? 单位时间内行驶的路程。

阴影部分的面积为360，阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km

(2)试建立汽车行驶路程 S km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.

设问：如何建立函数关系式？根据S= vt建立函数关系。单位小时内速度不同，所以构成了一次函数的分段形式.借助于几何画板动画演示：学生独立探索得出结论： v

t (h) 50 80 90

75 65 (km/h)

1 2 3 4 5 O 292

20030040012534to100s●●●●●

（3）假设这辆汽车的里程表在行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时间 t h的函数解析式，与（２）的结论有何关系？

汽车的行驶里程=里程表读数-2004，分段函数的定义域是指每个范围的并集.

542299)4(65432224)3(75322134)2(90212054)1(8010200450ttttttttttS20002100220023002400012345ts(2)解:

设计意图：1.本例所给出的函数模型是一个速度-时间图象，向另一种图象模型和解析式模型转化，建立了50(01)80(1)50(12)90(2)130(23)75(3)220(34)65(4)295(45)ttttStttttt

分段函数模型。

学生归纳2. 解决应用题的一般步骤：

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

③解模：求解数学模型，得出数学结论；

④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

实例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：

下表是1950年~1959年我国的人口数据资料:

年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959

人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;

设问：描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种函数模型需要几个因素?

0y和r

设问：根据表中数据如何确定函数模型?

先求1951-1959年各年的人口增长率,再求年平均增长率r,确定0y的值,从而确定人口增长模型.

得到马尔萨斯人口增长模型：

设问：对所确定的函数模型怎样进行检验?根据检验结果对函数模型又应作出如何评价?

解析：利用计算机作出函数的图像，观察图像得出以下结论：

作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否在图象上. 由图可以看出,所得模型1950-1959年的实际人口数据基本吻合. 0rtyye0.022155196,tyetN

●50000600006500070000o55000y12534t6789●●●●●●●●●

(2)如果按数据表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿?

利用Excel计算，展示。

如果按表中的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年即1989年我国人口将达到13亿。实际上到2006年底才达到13亿，为什么？

学生回答：计划生育政策，自然灾害等

该模型只能大致描述自然状态下的人口增长情况，而对于受到人为影响的人口增长情况，如计划生育。如果不实行计划生育，我国将面临难以承受的压力，计划生育政策，利国利民.

设问：如何根据所确定的函数模型具体预测我国某个时期的人口数,实质是何种计算方法?

已知函数值,求自变量的值.

设问：依据表中增长趋势，你算一算我国2050年的人口数？

学生计算。

利用函数模型既能解决现实问题，也可预测未来走向.

设计意图：：本题体现数学建模的思想，检验模型，更体现模型的实际应用价值。

3、课堂练习，巩固知识

练习1：某人开汽车以60km/h的速率从A地到150km远处的 B 地，在B地停留1小时后，再以50km/h的速率返回A 地。把汽车与A地的距离S表示为从A地出发时开始经过的时间t（小时）的函数，并画出函数的图像。

解析：利用几何画板展示运动轨迹。得出解析式，学生画出函数图像利用投影仪展示。

765432150100150tx60,02.5,150,2.53.5,15050(3.5),3.56.5,ttxttt0

练习2：水库蓄水量随时间而变化，现有t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量V(t)(单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为

(1)该水库的蓄求量小于40的时期称为枯水期.以

表示第 月份 问一年内哪几个月份是枯水期？

解析：

(2)求一年内该水库的最大蓄水量.

由（1）知该水库最大蓄水量只能在（4，10）内取得，

214010()410340401012tttVtttt1iti1,2,,12ii2210()144014400,41041234tVtttttttt当0时，即解得或0于是有，，，这四个月1012()4103404040404103400,10310121112tVttttttt当时，即解得于是有和这两个月.故一共有1，2，3，4，11，12这六个月是枯水期.22()147497()(7)49VtttttVtV当时，有最大值（亿立方米）

想一想：生活中我们该如何节约用水？

设计意图：本题由湖北高考题改编，通过实例练习建立数学模型解决实际问题，培养生活中节约用水意识。

3、小结：

本节重点是：

1、体验函数模型是用来解决客观世界中存在的有关实际问题；

2、建立分段函数的函数模型时，要注意定义域“不重、不漏”的原则；

3、利用函数模型既能解决现实问题，也可预测未来走向。

4、建立（确定）函数模型的基本步骤：

第一步：审题

读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解题中所给的图形、表格的现实意义，进而把握住新信息，确定相关变量的关系。

第二步：建模

确定相关变量后，根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。

第三步：求模

利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。

第四步：还原再转译为具体问题作出解答。

4、作业:

（1）教材107页1、2、4.

（2）社会实践题：找到身边的函数应用模型实例两例。

5、板书设计

课题：函数模型应用实例

例1 练习1 学生板书

例2 练习2

小结 应用题步骤

七、教学反思

本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对函数模型应用实例的兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对函数模型的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对这部分知识的掌握。