二次函数与一元二次方程教案

复习

1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；①；①；①若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( )

A.①① B.①① C.①①① D.①①①

2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：①；①；①；①．其中正确的结论是( )

A.①①① B.①①① C.①①① D.①①①①

3.已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：①；①b-2a=0；①；①．

其中正确的是( )

A.① B.①① C.①① D.①①

4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；①2a+b=0；①；①．其中正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5.抛物线的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图．则以下结论：①；①；①c-a=2；①方程有两个相等的实数根．其中正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6.已知二次函数的图象经过()，(2，0)两点，且，图象与y轴正半轴的交点在(0，2)的下方．则下列结论：①；①；①；①．其中正确的是( )

A.①① B.①① C.①①① D.①①①①

二次函数与一元二次方程（讲义）

➢ 课前预习

1. 学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应的二元一次方程组的解．

如：已知方程组3302360yxyx的解为431xy，则一次函数y=3x-3与332yx的交点P的坐标是________．

请思考：一元二次方程20axbxc的根，可否看作是二次函数2yaxbxc与x轴交点的横坐标，即方程组20yaxbxcy的解中x的值.

讲 义 内 容 知识概括

知识点一：

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：

(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。

(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，

(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0.

(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。

抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。

方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxca本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

0 抛物线与x轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根

0 抛物线与x轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根

《22．2 二次函数与一元二次方程》教案

【教学目标】

1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．

2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．

3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．

【教学过程】

一、情境导入

如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数与一元二次方程

【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断

下列函数的图象与x只有一个交点的是( )

A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3

C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1

解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D.

【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴

如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．

解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.

方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．

【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围

若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )

A．0 B．0或2

C．2或－2 D．0，2或－2

解析：若m≠0，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点．由(m＋2)2－4m(12m＋1)＝0，解得m＝2或－2，当m＝0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．

九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》教案、教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1. 理解二次函数的概念，掌握二次函数的标准形式、顶点式和交点式，并能熟练地进行相互转换。

2. 能够通过观察、分析实际问题，发现二次函数的图象特点及其与一元二次方程之间的关系。

3. 学会利用二次函数的图象求解一元二次方程，掌握求解一元二次方程的四种方法（直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法）。

4. 能够运用二次函数和一元二次方程解决实际生活中的问题，提高数学应用能力。

（二）过程与方法

1. 通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生合作探究的学习习惯，提高学生的团队协作能力。

2. 通过画图、观察、分析等环节，培养学生直观想象、逻辑推理的能力，提高学生解决问题的能力。

3. 引导学生运用已学的知识解决新问题，培养学生知识迁移、整合的能力，提高学生的自主学习能力。

4. 通过实际问题的引入，培养学生将数学知识应用于生活的意识，提高学生的数学素养。

（三）情感态度与价值观

1. 培养学生对数学的兴趣，激发学生的学习热情，使学生树立正确的学习态度。

2. 通过对二次函数与一元二次方程的学习，让学生体会数学知识之间的联系，培养学生的整体观念。

3. 引导学生感受数学在现实生活中的广泛应用，提高学生利用数学知识解决实际问题的意识。

4. 培养学生面对困难、挑战的精神，鼓励学生勇于尝试、不断探索，树立克服困难的信心。

在本章节的教学设计中，我们将围绕二次函数与一元二次方程的知识点，结合实际生活案例，引导学生通过观察、分析、讨论等过程，掌握相关知识。在教学过程中，注重培养学生的合作精神、自主学习能力和数学素养，使学生在掌握知识的同时，形成正确的价值观和态度。

二、学情分析

九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一次函数、一元一次方程等知识点有了深入的理解和掌握。在此基础上，学生对二次函数与一元二次方程的学习将更加顺利。然而，由于二次函数与一元二次方程的概念较为抽象，学生在理解上可能会遇到一定的困难。此外，学生在解决实际问题时，可能会对知识点的运用感到困惑。