人教新课标版数学高二-选修2-2课时作业 1.3.3函数的最大(小)值与导数

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高中数学

1.3.3 函数的最大(小)值与导数

课时目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

1．最大值：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有__________，则称f(x0)为函数在____________的最大值．

2．一般地，如果在区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图象是一条____________的曲线，那么f(x)必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是__________；(2)函数图象在区间上的每一点必须______________．函数的最值是比较整个__________的函数值得出的，函数的极值是比较______________的函数值得到的．

3．一般地，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求f(x)在(a，b)内的________；

(2)将f(x)的各极值与________________________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．

一、选择题

1．下列结论正确的是( )

A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值

B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值

C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得

D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值

2．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值是( )

A．f(1)，f(3) B．f(3)，f(5)

C．f(1)，f(5) D．f(5)，f(2)

3．函数y＝xex在[0,2]上的最大值是(

)

A．当x＝1时，y＝1e B．当x＝2时，y＝2e2

C．当x＝0时，y＝0 D．当x＝12，y＝12e

4．函数y＝x＋1－x在(0,1)上的最大值为( )

A.2 B．1 C．0 D．不存在 打印版

高中数学 5．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为( )

A．1 B．4 C．－1 D．0

6．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为154，则a等于( )

A．－32 B.12

C．－12 D．－12或－32

题 号 1 2 3 4 5 6

答 案

二、填空题

7．函数f(x)＝ln x－x在(0，e]上的最大值为________．

8．函数f(x)＝12ex(sin x＋cos x)在区间0，π2上的值域为________．

9．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为________．

三、解答题

10．求下列各函数的最值．

(1)f(x)＝ln(1＋x)－14x2，x∈[0,2]；

(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．

11.已知f(x)＝x3－x2－x＋3，x∈[－1,2]，f(x)－m<0恒成立，求实数m的取值范围．

能力提升

12．设函数f(x)＝12x2ex.

(1)求f(x)的单调区间； 打印版

高中数学 (2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．

13．已知函数f(x)＝x，g(x)＝aln x，a∈R.

(1)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；

(2)对(1)中的φ(a)和任意的a>0，b>0，证明：

φ′(a＋b2)≤φ′a＋φ′b2≤φ′(2aba＋b)．

1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．

2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．

答案

知识梳理 打印版

高中数学 1．f(x)≤f(x0) 定义域上

2．连续不断 (1)闭区间 (2)连续不间断 定义域 极值点附近

3．(1)极值 (2)端点处的函数值f(a)，f(b) 最大 最小

作业设计

1．D [函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会

在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．]

2．D [f′(x)＝2x－4，令f′(x)＝0，得x＝2.

∵f(1)＝－2，f(2)＝－3，f(5)＝6.

∴最大值为f(5)，最小值为f(2)．]

3．A [y′＝ex－x·exex2＝1－xex，令y′＝0得x＝1.

∵x＝0时，y＝0，x＝1时，y＝1e，x＝2时，y＝2e2，

∴最大值为1e (x＝1时取得)．]

4．A [y′＝12x－121－x.由y′＝0，得x＝12.

又00，12

所以ymax＝ 12＋ 1－12＝ 2.]

5．B [∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.

当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c

＝20，∴c＝4.]

6．C [y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题

意．当－1

－12或a＝－32(舍去)．]

7．－1 打印版

高中数学 解析 f′(x)＝1x－1＝1－xx，令f′(x)>0得01，

∴f(x)在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．

∴当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝－1.

8.12，122e

解析 ∵x∈0，π2，∴f′(x)＝excos x≥0，

∴f(0)≤f(x)≤fπ2.

即12≤f(x)≤122e

9．20

解析 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，

得x＝1，(x＝－1舍去)．

∵f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a.

∴M＝18－a，N＝－2－a.∴M－N＝20.

10．解 (1)因为函数f(x)＝ln(1＋x)－14x2，

所以f′(x)＝11＋x－12x＝－x2－x＋221＋x

＝－x＋2x－121＋x，

令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．

当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表

x 0 (0,1) 1 (1,2) 2

f′(x) ＋ 0 －

f(x) 0 ln 2－14 ln 3－1

∴当x＝1时，f(x)取得最大值ln 2－14，

又∵ln 3－1>0， 打印版

高中数学 ∴当x＝0时，f(x)取得最小值0.

即f(x)在[0,2]上的最大值为ln 2－14，最小值为0.

(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)

＝3(x－1)2＋3，

∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，

∴f(x)在[－1,1]上为增函数．

故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；

x＝1时，f(x)最大值＝2.

即f(x)在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.

11．解 由f(x)－m<0，即m>f(x)恒成立，

知m>f(x)max，

f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，

解得x＝－13或x＝1.

因为f(－13)＝8627，

f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5.

所以f(x)的最大值为5，

故m的取值范围为(5，＋∞)．

12．解 (1)f′(x)＝xex＋12x2ex＝ex2x(x＋2)．

由ex2x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2，

∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的增区间，

由ex2x(x＋2)<0，得－2

∴(－2,0)为f(x)的减区间．

∴f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；

单调减区间为(－3,0)． 打印版

高中数学 (2)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，

∵f(－2)＝2e2，f(2)＝2e2，f(0)＝0，

∴f(x)∈[0,2e2]，

又∵f(x)>m恒成立，∴m<0.

故m的取值范围为(－∞，0)．

13．(1)解 由条件知h(x)＝x－aln x(x>0)，

∴h′(x)＝12x－ax＝x－2a2x.

①当a>0时，令h′(x)＝0，解得x＝4a2，

∴当0

当x>4a2时，h′(x)>0，h(x)在(4a2，＋∞)上递增．

∴x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值

点．

∴最小值φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln 4a2

＝2a(1－ln 2a)．

②当a≤0时，h′(x)＝x－2a2x>0，h(x)在(0，＋∞)上递增，无最小值．

故h(x)的最小值φ(a)的解析式为

φ(a)＝2a(1－ln 2a)(a>0)．

(2)证明 由(1)知φ′(a)＝－2ln 2a，

对任意的a>0，b>0，

φ′a＋φ′b2＝－2ln 2a＋2ln 2b2＝－ln 4ab，①

φ′(a＋b2)＝－2ln(2·a＋b2)＝－ln(a＋b)2

≤－ln 4ab，②

φ′(2aba＋b)＝－2ln(2·2aba＋b)≥－2ln4ab2ab