人教新课标版数学高二-人教数学选修2-2练习 1.3.3函数的最大(小)值与导数

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高中数学 选修2-2 第一章 1.3 1.3.3

一、选择题

1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )

A．12；－8 B．1；－8

C．12；－15 D．5；－16

[答案] A

[解析] y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1；x＝－1时y＝12；x＝1时y＝－8.

∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.

2．(2014·北京东城区联考)如图是函数y＝f(x)的导函数f ′(x)的图象，则下面判断正确的是( )

A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数 B．在(1,3)上f(x)是减函数

C．在(4,5)上f(x)是增函数 D．当x＝4时，f(x)取极大值

[答案] C

[解析] 由导函数y＝f ′(x)的图象知，f(x)在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x＝4是f(x)的极小值点，故A、B、D错误，选C.

3．(2014·安徽程集中学期中)已知函数f(x)(x∈R)满足f ′(x)＞f(x)，则( )

A．f(2)

C．f(2)＝e2f(0) D．f(2)>e2f(0)

[答案] D

[分析] 所给四个选项实质是比较f(2)与e2f(0)的大小，即比较f2e2与f0e0的大小，故构造函数F(x)＝fxex解决．

[解析] 设F(x)＝fxex，则F′(x)＝f ′x－fxex>0，

∴F(x)在R上为增函数，故F(2)>F(0)， 打印版

高中数学 ∴f2e2>f0e0，

即f(2)>e2f(0)．

4．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )

A．239 B．229

C．329 D．38

[答案] A

[解析] f ′(x)＝1－3x2＝0，得x＝33∈[0,1]，

∵f33＝239，f(0)＝f(1)＝0.

∴f(x)max＝239.

5．(2014·河南淇县一中模拟)设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( )

A．a>－3 B．a<－3

C．a>－13 D．a<－13

[答案] B

[解析] y′＝aeax＋3，由条件知，方程aeax＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－3a<1，∴a<－3.

6．(2014·开滦二中期中)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )

A．(0,1) B．(－∞，1)

C．(0，＋∞) D．(0，12)

[答案] D

[解析] f ′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)内有极小值，

∴在(0,1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f ′(x)<0，在(x0,1)内f ′(x)>0，由f ′(x)＝0得，x2＝2b>0，

∴ b>02b<1，∴0

高中数学 7．(2014·抚顺市六校联合体期中)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f ′(x)>0的解集为( )

A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(1,2)

C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)

[答案] D

[解析] 由f(x)的图象知，在(－∞，－1)上f ′(x)>0，在(－1,1)上f ′(x)<0，在(1，＋∞)上f ′(x)>0，

又x2－2x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－3<0的解集为(－1,3)．

∴不等式(x2－2x－3)f ′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．

二、填空题

8．(2014·三亚市一中月考)曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．

[答案] 22－1

[解析] y′|x＝1＝－12x－12|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，

∴所求最近距离为22－1.

9．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．

[答案] 6

[解析] f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，

f ′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f ′(2)＝0解得c＝2或6.

当c＝2时，f ′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，

故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去；

当c＝6时，f ′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)

＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值． 打印版

高中数学 三、解答题

10．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.

(1)求a、b的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．

[解析] (1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，

∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，

又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，

而由切线y＝3x＋1的斜率可知f ′(1)＝3，

∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，

由 a＋b＝－2，2a＋b＝0.解得 a＝2，b＝－4，

∴a＝2，b＝－4.

(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，

f ′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，

令f ′(x)＝0，得x＝23或x＝－2.

当x变化时，f(x)，f ′(x)的变化情况如下表：

x －3 (－3，－2) －2 (－2，23) 23 (23，1) 1

f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) 8 增 极大值 减 极小值 增 4

∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f(23)＝9527，

又f(－3)＝8，f(1)＝4，

∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.

一、选择题

11．函数f(x)＝x4－4x (|x|<1)( ) 打印版

高中数学 A．有最大值，无最小值 B．有最大值，也有最小值

C．无最大值，有最小值 D．既无最大值，也无最小值

[答案] D

[解析] f ′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．

令f ′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，

∴该方程无解，

故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.

12．(2013·海淀区高二期中)函数f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为( )

[答案] C

[解析] 由图象知，f(x)在x<0时，图象增→减→增，x>0时，单调递增，故f ′(x)在x<0时，其值为＋→－→＋，在x>0时为＋，故选C.

13．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )

A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3

C．－2

[答案] B

[解析] 因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0打印版

高中数学 得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2

14．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )

A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)

C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)

[答案] B

[解析] ∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，

即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，

又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3，

∴a≥－3，故应选B.

二、填空题

15．(2013·苏州五中高二期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x>0时，有xf ′x－fxx2>0，则不等式x2f(x)>0的解集是________．

[答案] (－1,0)∪(1，＋∞)

[解析] 令g(x)＝fxx(x≠0)，

∵x>0时，xf ′x－fxx2>0，

∴g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，

又f(1)＝0，∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上g(x)>0的解集为(1，＋∞)，∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴在(－∞，0)上g(x)<0的解集为(－1,0)，由x2f(x)>0得f(x)>0，∴f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．

三、解答题

16．(2013·陕西师大附中一模)设函数f(x)＝ex－k2x2－x.

(1)若k＝0，求f(x)的最小值；

(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．

[解析] (1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f ′(x)＝ex－1.

当x∈(－∞，0)时，f ′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单