高中数学人教A版选修1-1第3章导数及其应用章末综合测评及解析

高中数学人教A版选修1-1 第三章导数

及其应用

章末综合测评(1)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若函数f(x)＝α2－cos x，则f′(α)等于( )

A．sin α B．cos α

C．2α＋sin α D．2α－sin α

【解析】 f′(x)＝(α2－cos x)′＝sin x，当x＝α时，f′(α)＝sin α.

【答案】 A

2．若曲线y＝1x在点P处的切线斜率为－4，则点P的坐标是( )

A.12，2 B.12，2或－12，－2

C.－12，－2 D.12，－2

【解析】 y′＝－1x2，由－1x2＝－4，得x2＝14，从而x＝±12，分别

代入y＝1x，得P点的坐标为12，2或－12，－2.

【答案】 B

3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，归纳可得：

若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则

g(－x)＝( )

A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)

【解析】 观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，所以g(－

x)＝－g(x)．

【答案】 D

4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )

A．－1 B．－2

C．2 D．0

【解析】 由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝

2，所以4a＋2b＝2，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.故选B.

【答案】 B

5．已知函数f(x)＝xln x，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于

1，则x0的值等于( )

A．1 B．－1

C．±1 D．不存在

【解析】 因为f(x)＝xln x，所以f′(x)＝ln x＋1，于是有x0ln x0＋ln x0＋1＝1，解得x0＝1或x0＝－1(舍去)，故选A.

【答案】 A

6．过点(0,1)且与曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线垂直的直线方程

为( ) 【导学号：26160104】

A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋2＝0

C．x＋2y－2＝0 D．2x－y＋1＝0

【解析】 y′＝x＋1x－1′＝x－1－(x＋1)(x－1)2＝－2(x－1)2，

∴y′|x＝3＝－12，故与切线垂直的直线斜率为2， 所求直线方程为y－1＝2x，

即2x－y＋1＝0.故选D.

【答案】 D

7.已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则y

＝f(x)(

)

图1

A．在(－∞，0)上为减函数

B．在x＝0处取得极小值

C．在(4，＋∞)上为减函数

D．在x＝2处取极大值

【解析】 在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函

数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取

极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C对；在x＝

2处取极小值，D错．

【答案】 C

8．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，则a

的取值范围是( )

A．a＞13 B．a≥13

C．a＜13 D．a≤13

【解析】 f′(x)＝3ax2－2x＋1在(－∞，＋∞)上恒非负，故

 a＞0，Δ＝4－12a≤0，解得a≥13.

【答案】 B 9．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最

大值为( )

A．10 B．15

C．25 D．50

【解析】 设内接矩形的长为x， 则宽为25－x24，

∴S2＝x2·25－x24＝y，

∴y′＝50x－x3.

令y′＝0，得x2＝50或x＝0(舍去)，

∴S2max＝625，即Smax＝25.

【答案】 C

10．函数y＝ln xx的最大值为( )

A．e－1 B．e

C．e2 D.103

【解析】 y′＝(ln x)′x－ln x·x′x2＝1－lnxx2，令y′＝0，得x＝e.

当x>e时，y′<0；当00.

故y极大值＝f(e)＝e－1.因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1. 【答案】 A

11．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必

有( )

A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)>2f(1)

C．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1) 【解析】 ①若f′(x)不恒为0，则当x>1时，f′(x)≥0，当x<1

时，f′(x)≤0，

所以f(x)在(1，＋∞)内单调递增，在(－∞，1)内单调递减．

所以f(2)>f(1)，f(1)

即f(0)＋f(2)>2f(1)．

②若f′(x)＝0恒成立，则f(2)＝f(0)＝f(1)，

综合①②，知f(0)＋f(2)≥2f(1)．

【答案】 D

12．若函数f(x)在(0，＋∞)上可导，且满足f(x)＞－xf′(x)，则一

定有( )

A．函数F(x)＝f(x)x在(0，＋∞)上为增函数

B．函数F(x)＝f(x)x在(0，＋∞)上为减函数

C．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数

D．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减函数

【解析】 设G(x)＝xf(x)，则G′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，故G(x)

＝xf(x)在(0，＋∞)上递增，故选C.

【答案】 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在

题中的横线上)

13．函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间为________．

【解析】 令f′(x)＝1x－1＞0，解不等式即可解得x＜1，注意定

义域为(0，＋∞)．所以0＜x＜1.

【答案】 (0,1)

14．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．

【解析】 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.

由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝2a18＝1，所以a＝9.

【答案】 9

15．若函数f(x)＝ln|x|－f′(－1)x2＋3x＋2，则f′(1)＝________.

【解析】 当x>0时，f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x＋2，

∴f′(x)＝1x－2f′(－1)x＋3，

∴f′(1)＝1－2f′(－1)＋3.

当x<0时，f(x)＝ln(－x)－f′(－1)x2＋3x＋2，

∴f′(x)＝－1－x－2f′(－1)x＋3＝1x－2f′(－1)x＋3，

∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，

∴f′(－1)＝－2，

∴f′(1)＝8.

【答案】 8

16．当x∈[－1,2]时，x3－x2－x

是________．

【解析】 记f(x)＝x3－x2－x，

所以f′(x)＝3x2－2x－1.

令f′(x)＝0，得x＝－13或x＝1.

又因为f－13＝527，f(2)＝2，f(－1)＝－1，f(1)＝－1，

所以当x∈[－1,2]时，[f(x)]max＝2，所以m>2.

【答案】 (2，＋∞)

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1与直线l：4x－y－1＝0平行，且点P0在第三象限．

(1)求点P0的坐标； 【导学号：26160105】

(2)若直线l2⊥l1，且l2也过点P0，求直线l2的方程．

【解】 (1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.

令3x2＋1＝4，解得x＝±1.

当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.

又点P0在第三象限，

∴切点P0的坐标为(－1，－4)．

(2)∵直线l2⊥l1，l1的斜率为4，

∴直线l2的斜率为－14.

∵l2过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，

∴直线l2的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.

18．(本小题满分12分)(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a

∈R)在x＝－43处取得极值．

(1)确定a的值；

(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．

【解】 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，

因为f(x)在x＝－43处取得极值，

所以f′－43＝0，

即3a·169＋2·－43＝16a3－83＝0，解得a＝12. (2)由(1)得，g(x)＝12x3＋x2ex，

故g′(x)＝32x2＋2xex＋12x3＋x2ex

＝12x3＋52x2＋2xex

＝12x(x＋1)(x＋4)ex.

令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.

当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；

当－40，故g(x)为增函数；

当－1

当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．

综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和

(0，＋∞)内为增函数．

19．(本小题满分12分)设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)，求g(x)的

单调区间和最小值．

【解】 由题意知f′(x)＝1x，g(x)＝ln x＋1x，

∴g′(x)＝x－1x2.

令g′(x)＝0，得x＝1.

当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间．

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间．

因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值

点．

所以g(x)的最小值为g(1)＝1.

20．(本小题满分12分)(2014·重庆高考)已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x