【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业69

Earlybird

课时作业72 坐标系

1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．

(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

解：(1)由ρcosθ－π3＝1得

ρ12cos θ＋32sin θ＝1.

从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y＝2.

当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．

当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.

(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为0，233.

所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．

2．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为 x＝－1＋t，y＝t(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝3π4.

(1)求圆C和直线l的极坐标方程；

(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长． Earlybird

解：(1)∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

圆C的直角坐标方程为

x2＋y2＋2x－2y＝0，

∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，

∴圆C的极坐标方程为

ρ＝22sinθ－π4.

又直线l的参数方程为 x＝－1＋t，y＝t(t为参数)，

消去t后得y＝x＋1，

∴直线l的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ.

(2)当θ＝3π4时，|OP|＝22sin3π4－π4＝22，

∴点P的极坐标为22，3π4，|OQ|＝122＋22＝22，

∴点Q的极坐标为22，3π4，

故线段PQ的长为322.

3．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝31＋2sin2θ，点R22，π4.

(1)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，点R的直角坐标；

(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时点P的直角坐标．

解：(1)由于x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，则曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程为x23＋y2＝1.

点R的直角坐标为(2,2)．

(2)设P(3cos θ，sin θ)， Earlybird

根据题意，可令Q(2，sin θ)，

则|PQ|＝2－3cos θ，|QR|＝2－sin θ，

所以|PQ|＋|QR|＝4－2sinθ＋π3，

当θ＝π6时，(|PQ|＋|QR|)min＝2.

所以矩形PQRS周长的最小值为4，且

P32，12.

4．(2019·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x＝2＋cos α，y＝2＋sin α(α为参数)，直线C2的方程为y＝3x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|＋1|OB|.

解：(1)由曲线C1的参数方程为

 x＝2＋cos α，y＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，

则C1的极坐标方程为

ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，

由于直线C2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)．

(2)由 ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3

得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，

则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7， Earlybird

∴1|OA|＋1|OB|＝|OA|＋|OB||OA|·|OB|＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.

5．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为 x＝2cos φ，y＝sin φ(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C2交于点D2，π3.

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，Bρ2，θ0＋π2，若A，B都在曲线C1上，求1ρ21＋1ρ22的值．

解：(1)∵C1的参数方程为 x＝2cos φ，y＝sin φ，

∴C1的普通方程为x24＋y2＝1.

由题意知曲线C2的极坐标方程为

ρ＝2acos θ(a为半径)，

将D2，π3代入，得2＝2a×12，∴a＝2，

∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，

∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.

(2)曲线C1的极坐标方程为

ρ2cos2θ4＋ρ2sin2θ＝1，

即ρ2＝44sin2θ＋cos2θ.

∴ρ21＝44sin2θ0＋cos2θ0， Earlybird

ρ22＝44sin2θ0＋π2＋cos2θ0＋π2＝4sin2θ0＋4cos2θ0.

∴1ρ21＋1ρ22＝4sin2θ0＋cos2θ04＋4cos2θ0＋sin2θ04＝54.

6．(2019·山东淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程是x＝4.曲线C的参数方程是 x＝1＋2cos φ，y＝1＋2sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；

(2)若射线θ＝αρ≥0，0

解：(1)由ρcos θ＝x，得直线l的极坐标方程为ρcos θ＝4.

曲线C的参数方程为 x＝1＋2cos φ，y＝1＋2sin φ(φ为参数)，消去参数φ得曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2－2x－2y＝0，

将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin

θ，

所以曲线C的极坐标方程为

ρ＝2cos θ＋2sin θ.

(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则

ρ1＝2cos α＋2sin α，ρ2＝4cos α，

所以|OA||OB|＝ρ1ρ2＝2cos α＋2sin αcos α4

＝sin αcos α＋cos2α2＝14(sin 2α＋cos 2α)＋14

＝24sin2α＋π4＋14， Earlybird

因为0

所以22

所以12<24sin2α＋π4＋14≤1＋24.

故|OA||OB|的取值范围是12，1＋24.

7．(2019·福建福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ－π6＝2.已知点Q是曲线C1上的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|·|OP|＝4，动点P的轨迹为C2.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值．

解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，Q的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，

则|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝2cosθ－π6，

由|OQ|·|OP|＝4得C2的极坐标方程为

ρ＝2cosθ－π6(ρ>0)，

所以ρ＝3cos θ＋sin θ，

两边乘ρ得ρ2＝3ρcos θ＋ρsin θ，

因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，

所以x2＋y2－3x－y＝0，

所以C2的直角坐标方程为

x－322＋y－122＝1(x2＋y2≠0)．

(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)， Earlybird

由题设及(1)知|OA|＝2，

ρB＝2cosα－π6，

于是△AOB的面积

S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB

＝2cosα－π6·sinα－π3＝

232cos α＋12sin α12sin α－32cos α

＝2sin2α－34≤32，

当α＝0时，S取得最大值32.

所以△AOB面积的最大值为32.

8．(2019·河南名校联盟联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(3cos θ＋sin θ)＝5.

(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；

(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标．

解：(1)x2＋(y－1)2＝1即x2＋y2－2y＝0，

因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，

所以圆C的极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ，

即ρ＝2sin θ.

ρ(3cos θ＋sin θ)＝5即3ρcos θ＋ρsin θ＝5，

因为ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，

所以直线l的直角坐标方程为y＝－3x＋5.

(2)曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆．

设圆上点A(x0，y0)到直线l：y＝－3x＋5的距离最短，所以圆C在点A处的切线与直线l：y＝－3x＋5平行．