概率论与数理统计第八章试题

第八章 假设检验 作业解答

1. 某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。

设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值

为3.25.

解：设测定值总体X～N（µ，σ 2），µ，σ 2均未知

步骤：（1）提出假设检验H

0：µ=3.25; H1：µ≠3.25

（2

）选取检验统计量为)1(~25.3

−−

=nt

nSX

t

（3）H

0的拒绝域为| t |≥).1(

2−nt

α

（4）n=5, α = 0.01

，由计算知01304.0)(

11

,252.35

12=−

−==∑

=iiXX

nSx

查表t0.005(4)=4.6041, )1(343.0

501304.025.3252.3

||

2−<=−

=ntt

α

（5）故在α = 0.01下，接受假设H0

2． 如果一个矩形的宽度ω与长度l的比618.0)15(

21

≈−=lω，这样的矩形称

为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、

工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下

面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形

的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为µ，试检验假设（取α = 0.05）

H0：µ = 0.618 H1：µ≠0.618

0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668

0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933.

解：步骤：（1）H0：µ = 0.618； H1：µ≠0.618

（2

）选取检验统计量为)1(~618.0

−−

=nt

nSX

t

（3）H0的拒绝域为| t |≥).1(

2−nt

α （4）n=20 α = 0.05，计算知

19 习题八 假设检验

A组

一、选择题

8．设12,,,nxxx是来自正态总体(,1)N的随机样本。总体的均值只可能取1或2，对假设问题：00:1H；11:2H及显著水平0.05，并且已知(1.96)0.975，(1.65)0.95。那么该问题犯第Ⅱ类错误的概率是 。

（A）(1.96)n （B）(1.65)n

（C）(1.96)n （D）(1.65)n

解 因为总体的均值只可能取1或2，因此该问题属单侧检验问题，且拒绝域为

11.651/xun

于是该问题犯第Ⅱ类错误即接受00:1H的错误的概率为

11.65{1.65}{1}1/xPPxnn

2{1.65}(1.65)1/xPnnn

B组

1． 某地八月份气温2~(,)xN，观察九天，得30xC，0.9sC，求

（1）此地八月份平均气温的置信区间（置信度10.95）；

（2）能否据此样本认为该地区八月份平均气温为31.5C(0.05)；

（3）从（1）和（2）可以得出什么结论？

解 此系2未知而求的置信区间的情形，因此取统计量

~(1)/xttnsn

依题设有9n，30x，0.9s，0.05，0.0252(1)(8)2.306tnt，于是平均气 20 温置信度为0.95的置信区间为

20.9((1))(302.306)9sxtnn

(300.6918)(29.3082,30.6918)

（2）检验假设：00:31.5H；10:31.5H

检验统计量

0~(1)/xttnsn

第八章试题

1.设总体X服从正态分布N（μ，1），x1，x2，…，xn为来自该总体的样本，x为样本均值，s为样本标准差，欲检验假设H0∶μ=μ0，H1∶μ≠μ0，则检验用的统计量是（ ）

A.n/sx0 B.)(0xn

C.10n/sx D.)(10xn

2．设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn为来自该总体的一个样本，X为样本均值，S2为样本方差.对假设检验问题：H0：μ=μ0H1：μ≠μ0，在σ2未知的情况下，应该选用的检验统计量为（ ）

A．nX0 B．10nX

C．nSX0 D．10nSX

3．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ）

A．在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率

B．在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率

C．在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率

D．在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率

4．设总体X~N（μ,σ2），σ2未知，X为样本均值，Sn2=n1n1iiXX()2，S2=1n1n1iiXX()2，检验假设H0:μ=μ0时采用的统计量是（ ）

A．Z=n/X0 B．T=n/SXn0

C．T=n/SX0 D．T=n/X0

5.设样本x1，x2，…，xn来自正态总体N（μ，9），假设检验问题为H0∶μ=0，H1∶μ≠0，则在显著性水平α下，检验的拒绝域W=___________。

6.设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率，H0为原假设，则P{拒绝H0｜H0真}=___________。

7．设总体X~N（μ,σ2），X1，X2，…，Xn为来自该总体的一个样本.对假设检验问题20212020::HH，在μ未知的情况下，应该选用的检验统计量为___________.

三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

专业班级学号姓名

第八章练习题（解答各题必须写出必要步骤）

1．用传统工艺加工的某种水果罐头中，每瓶的平均维生素C的含量为19（单位：mg）。现改变了加工工艺，抽查了16瓶罐头，测得维生素C的含量的平均值，样本标准差。假定水果罐头中维生素C的含量是否服从正态分布，问在使用新工艺后，维生素C的含量是否有显著变化（显著水平）？

（，）

答案：有显著变化

2．已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量服从正态分布，其方差为0.03，在某段时间抽测了10炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为0.0375。试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？（显著性水平）

（，）

答案：无显著变化

3．某公司产品的不合格率过去为0.02，今从五批产品中抽取500件作为样本送给订货者检验，检验出不合格率只有0.01。在显著水平下检验，对。（，）

答案：接受

4．某电子元件的耐用时数服从均值为1000h的正态分布，现随机抽取10件新工艺条件下生产的产品做耐用性能测试，测得其平均耐用时数为1077h，样本标准差为51.97h，能否认为新工艺条件下生产的电子元件之耐用性能（平均耐用时数）明显不同于老产品？（显著性水平）

（）

答案：明显不同

5．用热敏电阻测温仪间接测量地热，勘探井底温度，重复测量7次，测得温度（℃）：112.0，113.4，111.2，112.0，114.5，112.9，113.6，而用某精确办法测得温度为112.6℃（可看作温度真值），试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差？（显著性水平）（设热敏电阻测温仪测得温度总体服从正态分布）

（）

答案：无系统偏差

6．设购买某名牌车的人的年龄，最近随机抽查了该车购买者400人，得平均年龄为30岁，在下检验，对（，）

答案：接受

7．某校大二学生概率统计成绩服从正态分布，从中随机地抽取25位考生的成绩，算得平均成绩分，样本标准差分。问：在显著性水平，可否认为这次考试全体考生平均成绩为75分？