河北省武邑中学2018届高三下学期第五次模拟考试数学(理)试题(解析版)

河北武邑中学2018届高三下学期第五次模拟考试

数学试题（理)

第Ⅰ卷 选择题 （共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 将正确答案填涂在答題卡上.

1.已知全集，，则( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式12≤8x﹣x2，可得全集U，由补集的定义可得B，进而由并集的定义计算可得答案．

【详解】根据题意，12≤8x﹣x2，则有x2﹣8x+12≤0，

解可得2≤x≤6，

则全集U={x∈Z|12≤8x﹣x2}={2，3，4，5，6}，

∁UB={5，6}，则B={2，3，4}，

则A∪B={2，3，4，5}；

故选：D．

【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

2.欧拉公式 (为虚数本位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数的模为( )

A. B. C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

直接由题意可得=cos+isin，再由复数模的计算公式得答案．

【详解】由题意，=cos+isin，

∴表示的复数的模为．

故选：C．

【点睛】本题以欧拉公式为背景，考查利用新定义解决问题的能力，考查了复数模的求法，属于基础题．

3.执行如图所示的程序框图，输出的值为-4时，则输入的的值为 (

)

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】D

【解析】

【分析】

根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．

【详解】根据程序框图，知当i=4时，输出S，

∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；

第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；

第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；

∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，

解得S0=10

故选：D．

【点睛】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．

4.AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是(

)

A. 这12天中有6天空气质量为“优良”

B. 这12天中空气质量最好的是4月9日

C. 这12天的AQI指数值的中位数是90

D. 从4日到9日,空气质量越来越好

【答案】C

【解析】

由图可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小,D对.所以选C.

5.非零向量满足：，，则与夹角的大小为 ( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，设=，=，则﹣=﹣=，结合题意分析可得△OAB为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．

【详解】

根据题意，设=，=，则﹣=﹣=，

若||=||，，即||=||，且⊥，

则△OAB为等腰直角三角形，

则与的夹角为180°﹣45°=135°，

故选：A．

【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法，从图形判断角的大小.

6.2018年武邑中学髙三第四次模拟考试结束后，对全校的数学成绩进行统计，发现数学成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线非常拟合.据此统计：在全校随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的数学成绩超过95分的概率是 ( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意，数学成绩超过95分的概率是，利用相互独立事件的概率公式，即可得出结论．

【详解】由题意，数学成绩超过95分的概率是，

∴在全校随机柚取的4名高三同学中，恰有2名冋学的数学成绩超过95分的概率是=，

故选：D．

【点睛】本题考查正态分布，考查相互独立事件的概率公式，考查学生解决实际问题的能力，属于基础题．

7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

由题可知其立体图形C-DEFG：可得面积小于的有

8.已知为等差数列，为其前项和，若，则（ ）

A. 49 B. 91 C. 98 D. 182

【答案】B

【解析】

∵，∴，即，∴，故选B．

9.球与棱长为2的正方体的各个面都相切，点为棱的中点，则平面截球所得截面的面积为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

设圆心到截面距离为，截面半径为，连结，由，即

,∴，又，∴，所以截面的面积为.故选D.

【方法点晴】本题主要考球的性质、棱锥的体积公式及等积变换的应用，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.

10.函数在内的值域为，则的取值范围是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

函数，，，则，解得，选D.

11.已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，的面积为，则双曲线的方程为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

分析：由题意首先求得点A的坐标，结合离心率和三角形的面积得到关于a,b的方程组，求解方程组即可求得a,b的值，进一步可得双曲线的方程.

详解：由题意点A所在的渐近线为bx-ay=0，

设该渐近线的倾斜角为，则，

因为∠AOF=∠OAF，所以直线AF的倾斜角为，

，

联立方程组，解得，即，

所以.

因为曲线的离心率，，所以.

结合，得a=3，b=.

所以双曲线的方程为.

本题选择C选项.

点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.

12.设实数，若对任意的，不等式恒成立，则m的最大值是

A. B. C. 2e D. e

【答案】D

【解析】

分析：将原问结合函数的单调性转化为对任意的恒成立，结合导函数的性质求解实数的最大值即可.

详解：不等式 .

设，则,于是f(x)在上是增函数.

因为，，所以，

即对任意的恒成立，因此只需.

设，，

所以在上为增函数，

所以，所以，即m的最大值是e.

本题选择D选项.

点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应的位置.

13.若函数的值域为，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

f（x）=log4x，在x＞2的值域（，+∞），要使值域为R，x+a最大值必须大于等于，由一次函数图象及性质即可得到答案．

【详解】∵f（x）=log4x，在x＞2的值域（，+∞），

要使值域为R，x+a最大值必须大于等于，

即满足：，解得：﹣≤a．

故答案为：．

【点睛】本题考查了分段函数的值域问题，求值域要抓住定义域为出发点，要使值域为R，其中一个函数值域为（，+∞），那么（﹣∞，]必须是另一个函数值域的真子集．即可得到答案．属于中档题．

14.已知向量，，且变量满足，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

，作出题中可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，当直线过点时，为最大值．

15.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，，射线，分别交抛物线于异于点的点，，若，，三点共线，则__________．

【答案】2

【解析】

分析：求出所在的直线方程，与抛物线的方程联立，分别求出的坐标，再由，即可求解的

值.

详解： 由题意，

则直线的方程为，联立方程组，解得，

直线的方程为，联立方程组，解得，

又由三点共线，所以，即，解得.

点睛：本题考查了抛物线的几何性质及直线和抛物线的位置关系，解答此类问题通常需要熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，同时涉及中点弦问题往往利用点差法.

16.设是函数的导数，若是的导数，若方程方有实数解，则称.

点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则__________．

【答案】4034

【解析】

【分析】

由题意对已知函数求两次导数可得f′′（x）=2x﹣4，由题意可得函数的图象关于点（2，2）对称，即f（x）+f（4﹣x）=2，由数列{an}的通项公式分析可得{an}为等差数列，且a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4，而=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017），结合f（x）+f（4﹣x）=2，计算可得答案．

【详解】根据题意，三次函数，

则=x2﹣4x+，

则=2x﹣4，

若=2x﹣4=0，则有x=2，

又由，则f（2）=2，

即（2，2）是三次函数的对称中心，

则有f（x）+f（4﹣x）=4，

数列{an}的通项公式为an=n﹣1007，为等差数列，