初四期末数学试卷

初四期末数学试卷

一．选择题（共12小题）

1．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（ ）

A．5 B．7 C．5或7 D．10

2．若关于x一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等实数根，则一次函数y=kx+b大致图象可能是（ ）

A． B． C． D．

3．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A．k＜ B．k＞ C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0

4．二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数

y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

5．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）

A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1

6．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（ ）

A．45° B．30° C．75° D．60°

7．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（ ）

A．80° B．90° C．100° D．无法确定

8．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）

A．80° B．160° C．100° D．80°或100°

9．在同一直角坐标系中，函数y=﹣与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

10．如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面

积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）A． B． C．3 D．4

11．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，

错误的是（ ）A． B． C． D．

6题图7题图 10题图11题图

12．在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（ ）

A．45° B．60° C．75° D．105°

二．填空题（共8小题）

13．如图在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD=

14．规定sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ，则sin15°= ．

15．如图点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C,D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，

则它的面积为 ．

16．如图已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y

轴于点E．若△BCE的面积为8，则k= ．

17．关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2=

．

18．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．

19．下列函数(其中n为常数,且n＞1)①y=（x＞0)；②y=（n﹣1）x；③y=（x＞0）；④y=(1﹣n)x+1；⑤y=﹣x2+2nx(x＜0)中，y的值随x的值增大而增大的函数有 个

20．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．

13题图15题图16题图20题图

三．解答题（共10小题）21．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．

（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．

22．如图所示抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为(-1，0)、(0，-3).

（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴

上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；（3）在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与

△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．

23．已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定

有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=2.5．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴

向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

24．如图AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．

（1）求证BC是⊙O切线；(2)连接AF,BF，求∠ABF度数；(3)若CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O半径．

25．如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．

（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；

（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．

26．有三张卡片(形状,大小,颜色,质地都相等)，正面分别写上整式x2+1，﹣x2﹣2，3．将这三张卡片背面向上

洗匀.从中任意抽取一张卡片,记卡片上的整式为A,再从剩下的卡片中任意抽取一张,记卡片上的整式为B,于是

得到代数式．（1）请用画树状图或列表方法，写出代数式所有可能结果；（2）求代数式恰好是分式概率．

27．如图在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数图象交于

C,D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求出两个函数解析式；（2）求△OCD的面积．

28．如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台

风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A．

（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？

（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？

若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．

29．如图一艘海上巡逻船在A地巡航，测得A地在观测站B的南偏东45°方向上，在观测站C的南偏西60°

方向上，观测站B在观测站C的正西方向，此时A地与观测站B的距离为20海里．

（1）求A地与观测站C的距离是多少海里？

（2）现收到故障船D的求救信号，要求巡逻船从A地马上前去救援(C，A，D共线)．已知D船位于观测

站B的南偏西15°方向上，巡逻船的速度是12海里/小时，求巡逻船从A地到达故障船D处需要多少时间？

（结果保留小数点后一位，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）

30．阅读与应用：阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（﹣）2≥0，所以a﹣2+b≥0从而

a+b≥2（当a=b时取等号）．阅读2：若函数y=x+；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：

x+≥2，所以当x=，即x=时，函数y=x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：

问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x=

时，

周长的最小值为 ；问题2：已知函数y1=x+1(x＞﹣1)与函数y2=x2+2x+10(x＞﹣1)，当x= 时，

的最小值为 ；问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；

二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数平方成正比，比例系数为0.01．

当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？(生均投入=支出总费用÷学生人数)

参考答案一选择题1．B；2．B；3．A；4．C；5．D；6．D；7．B；8．D；9．B；10．B；11．C；12．D

二．填空题13．； 14．；15．2；16．16；17．26； 18．k≥1；

19．3； 20．；

三．解答题21．解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，

解得：k＞3/4；（2）∵k＞3/4，∴x1+x2=-（2k+1）＜0，又∵x1•x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，

∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，∵|x1|+|x2|=x1•x2，∴2k+1=k2+1，∴k1=0，k2=2，又∵k＞3/4，∴k=2

22．解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（0，-3），∴1−b+c＝0，c＝−3，解得b＝−2，c＝−3，

故抛物线的函数解析式为y=x2-2x-3；（2）令x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，则点C的坐标为（3，0），

∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴点E坐标为(1,-4)，设点D的坐标为(0,m)，作EF⊥y轴于点F，∵DC2=OD2+OC2=m2+32，

DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，∵DC=DE，∴m2+9=m2+8m+16+1，解得m=-1，∴点D的坐标为（0，-1）；

（3）∵点C（3，0），D（0，-1），E（1，-4），∴CO=DF=3，DO=EF=1，

根据勾股定理，CD=10，在△COD和△DFE中，∵CO＝DF，∠COD＝∠DFE＝90°，DO＝EF，

∴△COD≌△DFE（SAS），∴∠EDF=∠DCO，又∵∠DCO+∠CDO=90°，∴∠EDF+∠CDO=90°，

∴∠CDE=180°-90°=90°，∴CD⊥DE，①分OC与CD是对应边时，

∵△DOC∽△PDC，∴OC/DC=OD/DP，即3/10=1/DP，解得DP=10/3，

过点P作PG⊥y轴于点G，则DG/DF=PG/EF=DP/DE，

即DG/3=PG/1=10/310，解得DG=1，PG=1/3，

当点P在点D的左边时，OG=DG-DO=1-1=0，所以点P（-1/3，0），

当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，所以，点P（1/3，-2）；

②OC与DP是对应边时，∵△DOC∽△CDP，

∴OC/DP=OD/DC，即3/DP=1/10，解得DP=310，

过点P作PG⊥y轴于点G，则DG/DF=PG/EF=DP/DE，

即DG/3=PG/1=310/10，解得DG=9，PG=3，

当点P在点D的左边时，OG=DG-OD=9-1=8，所以，点P的坐标是（-3，8），

当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，所以，点P的坐标是（3，-10），

综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为(-1/3,0),(1/3,-2),(-3,8),(3,-10)．

23．解答（1）证明：y=（x-m）2-（x-m）=x2-（2m+1）x+m2+m，

∵△=(2m+1)2-4(m2+m)=1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；