(完整版)向量基础知识汇总

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向量基础知识梳理

1向量：

既有 ________ ，又有 _________ 的量叫向量.

2. 向量的几何表示：

以A为起点，B为终点的向量记作 __________ .

3. 向量的有关概念：

(1) ________________________ 零向量：长度为 ________________ 的向量叫做零向量，记作 .

(2) ______________________ 单位向量：长度为 的向量叫做单位向量.

(3) ____________________ 相等向量： 且 的向量叫做相等向量.

(4) ___________________________________ 平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量.

① 记法：向量a平行于b，记作 __________ .

② 规定：零向量与 __________ 平行. -

1. 向量的加法法则

(1) 三角形法则

如图所示，已知非零向量 a, b,在平面内任取一点 A，作AB = a, BC = b,则向量 ________________ 叫做a与

ILU uuu

b的和(或和向量)，记作 ______________，即a+ b = AB + BC = ___________ .上述求两个向量和的作图法则，叫

做向量求和的三角形法则.

对于零向量与任一向量 a 的和有 a+ 0= ___________ + _______ = _______ .

(2) 平行四边形法则

为邻边作 __________ ，则对角线上的向量 _________ = a+ b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.

2. 向量加法的运算律

(1) ____________________________ 交换律：a+ b= . 2 / 4

(2) __________________________________________ 结合律：(a+ b)+ c= .3 / 4

3. 向量的减法

(1) ____________________________________________________________________ 定义：a— b= a +(—

b),即减去一个向量相当于加上这个向量的 ______________________________________________

(3) 几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为

uur uun

被减向量的终点为 __________ 的向量.例如：0A — 0B = ____________ .

1•向量数乘运算

实数入与向量a的积是一个 ____________ ,这种运算叫做向量的 ___________ ，记作 _________ ,其长度与方

向规定如下：

特别地，当 =0或 a= 0时，0a = __________ 或 X) = ________

2•向量数乘的运算律

(1) _______________ X ( g)= .

(2) ____________________ ( X+ p) a = .

(3) ____________________ X (a + b)= .

特另U地，有(一 X a = ___________ = ________ ;

X (a — b) = ____________ .

3.共线向量定理

向量a ( 0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数 X使 ________________ .

4•向量的线性运算

向量的 ____ 、 ____ 、 _______ 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a、b,以及任意实数 X忙

冋恒有 X ( pa土pb)= ______________________ .

1. 平面向量基本定理

(1) _____________________________________ 定理：如果e1&是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 _________________________________________ 向量a, ________________________

实数X,込使a = ____________________________________ . (2)作法：在平面内任取一点 umr

0,作 0A= a, uuu

OB = b，则向量a— b = 如图所示.

(1) |刊= (2)扫(0)的方向 时，与a方向相同 时，与a方向相反 4 / 4

(2) ________________ 基底：把 _______________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内

___________________________ 向量的一组基底.

2. 两向量的夹角与垂直

O — R

uuu uuu

(1) ________________________ 夹角：已知两个 _______________________ a和b,作OA = a, OB = b，则 __________________________________ = 0 (0°< ________________________________ 180° ,叫做

向量a与b的夹角.

① 范围：向量 a与b的夹角的范围是 ________________ .

② 当0= 0°寸，a与b ________ .

③ 当0= 180°时，a与b ________ .

(2) ________________________________ 垂直：如果 a与b的夹角是 _______________，则称a与b垂直，记作 _________________________________________ .

3. 平面向量的坐标表示

(1) _______________________________________________ 向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫作把向量正交分解.

(2) 向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个 _______________ i, j

作为基底，对于平面内的一个向量 a,有且只有一对实数 x, y使得a= ____________________ ，则 _________________

叫作向量a的坐标， ___________________ 叫作向量的坐标表示.

tun

(3) 向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A (x, y),则OA = ，若A (禺，屮)，B (X2,

nun y2),贝H AB = _______________________

1•平面向量的坐标运算

(1) ______________________________________________________ 若a =( X1, y1), b=( X2, y2),则a+

b = ___________________________________________________________ ，即两个向量和的坐标等于这两个

向量相应坐标的和.

(2) __________________________________________________________ 若a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2),贝U a- b = _______________________________________________________________________________________ ,即两个向量差的坐标等于这

两个向量相应坐标的差.

(3) ___________________________________ 若a =( X , y),入€ R ,贝U沦= ,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量 的相应坐标. 5 / 4

2. 两向量共线的坐标表示

设 a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2).

(1) 当 a // b 时，有 ______________________ .

(2) __________________________________________ 当a // b且X2y2丰0时，有 .即两向量的相应坐标成比例.

uuur uuu

3 .若RP =沪卩2 ,贝y P与P1、P2三点共线.

当入€ _______ 时，P位于线段P1P2的内部，特别地 入=1时，P为线段P1P2的中点；当入€ ________ 时，P位于线段P1P2的延长线上；

当入€ _______ 时，P位于线段PlP2的反向延长线上.

1．平面向量数量积

(1) ______________________________________________________ 定义：已知两个非零向量 a与b,我们把数量 ______________________________________________________________ 叫做a与b的数量积(或内积)，记 作a

• b，即卩a • b = |a||b|cos 0,其中B是a与b的夹角.

(2) _____________________________________ 规定：零向量与任一向量的数量积为 .

(3) _________________________________________________________________________ 投影：设两个非零向量 a、b的夹角为0贝U向量a在b方向的投影是 _________________________________________ ，向量b在a

方向上的投影是 ________________ .

2. 数量积的几何意义

a • b的几何意义是数量积 a • b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 __________________ 的乘积.

3. 向量数量积的运算律

(1) _______________ a • b = (交换律);

(2) __________________ (扫)• b= = (结合律);

(3) _________________________________ (a + b) • c = (分配律).

1. 平面向量数量积的坐标表示

若a =( xi, yi), b=( x2, y2),贝U a • b= __________ .即两个向量的数量积等于 _________________ .

2. 两个向量垂直的坐标表示

设两个非零向量 a =( xi, yi), b=( x2, y2),

则a丄b? _______________ .

3. 平面向量的模

(1) __________________________________________________ 向量模公式：设 a=( xi, yi),则|a= .