双复合Poisson风险模型的赤字尾概率

２００７年５月　Ｍａｙ　２００７　汕头大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈａｎｔｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　第２２卷第２期　Ｖ０１．２２　Ｎｏ．２　

文章编号：１００１—４２１７（２００７）０２—０００１—０５　

双复合Ｐｏｉｓｓｏｎ风险模型的赤字尾概率　

包振华　，叶中行　

（１．辽宁师范大学数学学院，辽宁大连１１６０２９；２．上海交通大学应用数学系，上海２００２４０）　

摘要：研究双复合Ｐｏｉｓｓｏｎ过程的风险模型，得到了关于赤字尾概率的函数型不等式，并　且作为它的应用，得到了一些指数型上界估计，使得某些已有结果得到推广．　关键词：双复合Ｐｏｉｓｓｏｎ模型；赤字尾概率；函数型不等式　中图分类号：Ｏ２１１．４，Ｆ８３０．９１　文献标识码：Ａ　

０　引　言　

双复合Ｐｏｉｓｓｏｎ模型（ｄｏｕｂｌｅ　ｃｏｍｐｏｕｎｄ　Ｐｏｉｓｓｏｎ　ｍｏｄｅ１）是经典的复合Ｐｏｉｓｓｏｎ风险　

模型的一种直接推广，即假设保费收入过程以及索赔过程为两个相互独立的复合　Ｐｏｉｓｓｏｎ过程，方便起见，将其简记为ＤＣＰＭ．对于ＤＣＰＭ，利用经典的随机游动理　

论，Ｔｅｍｎｏｖ［　得到了最终破产概率的Ｂｅｅｋｍａｎ卷积公式，然而这个卷积公式相当复　

杂，除了几种特殊的场合外，其中的参数变量都没有具体的表达；在考虑红利付款　

下，江等口　应用鞅方法得出了关于ＤＣＰＭ最终破产概率的Ｌｕｎｄｂｅｒｇ不等式；刘【３　研究　

了ＤＣＰＭ在带有常值利息率情形下的破产概率；包和叶［４】得到了ＤＣＰＭ的最终破产概　

率所满足的积分方程，并且利用递归的技巧给出了最终破产概率的Ｌｕｎｄｂｅｒｇ上界．　

但是上述文献主要是针对最终破产概率进行研究的，对于其它的各种破产量都没有相　应的结果．本文利用文献［４］中所给出的递归技巧，得到了关于赤字尾概率的函数型　

不等式，从而使得文献［４］中的一些结果得到推广．　

１模型的基本结构　

根据文献［４］，ＤＣＰＭ具有如下的基本结构：　１）索赔间隔时间｛　，ｎ≥１１是一列独立同分布（ｉ．ｉ．ｄ．）的非负随机变量，且具有　

共同的密度函数　（￡）＝Ａｅ　ｔ，Ａ＞０．对于任意的￡≥０，到达￡时刻为止的总索赔次　

三　数Ｎ（ｔ）＝ｓｕｐ｛ｎ≥ｌ，Ｌ　＝２２　≤ｔｌ是一个Ｐｏｉｓｓｏｎ过程；　ｆ＝ｌ　２）索赔额｛　，ｎ≥１１为ｉ．ｉ．ｄ．的非负随机变量序列，具有共同的分布函数Ｆ＝　

收稿日期：２００６－１０－０８　作者简介：包振华（１９７６－），男．辽宁大连人，博士研究生．Ｅ—ｍａｒｌ：ｚｈｈｂａｏ＠１２６．ｃｏｒｎ　基金项目：国家自然科学基金资助项目（Ｎｏ：７０６７１０６９）

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１一Ｆ，且独立于｛　，ｎ≥１）；　

３）到达ｔ时刻为止的顾客数Ｍ（ｔ）是一个参数为　的Ｐｏｉｓｓｏｎ过程；　

４）保费额｛ｙ　，ｎ≥１）为一列ｉ．ｉ．ｄ．随机变量，具有共同的分布函数Ｇ，而且独　

立于顾客数Ｍ（ｔ）；　

５）对于任意的ｔ≥０，到达ｔ时刻为止保险公司的资本剩余过程为：　（：）　Ｙ（ｔ）　（ｔ）＝　＋∑ｙ　一∑Ｘ　（１）　ｉ＝１　ｆ＝１　Ｍ（ｔ）　＾（ｆ）　其中　：　（ｏ）为初始资本，并且假定保费过程｛∑ｙ　，ｔ≥ｏ）独立于索赔过程｛∑Ｘ　，ｔ　ｉ＝１　ｉ＝１　≥Ｏ１．通篇约定，符号Ｐ表示取概率而　表示取数学期望．　

由于破产总是出现在有索赔发生的时刻，我们考虑ＤＣＰＭ在索赔发生时的离散　

嵌入过程．正如Ｃａｉ和Ｄｉｃｋｓｏｎｃ　所阐述的，许多连续时间风险模型都可以转化为嵌入　

的离散时间风险模型，并且离散时间模型在理论和应用上也具有它本身的研究价值．　

令：　

Ｍ（主　、　、　、●１　＝Ｕ（Ｌ　）＝Ｕ＋　ｙｆ一　，　ｉ＝１　＝１　假设　为模型（１）的破产时间，则模型（１）的最终破产概率为：　

（　）＝Ｐ｛Ｔ＜∞）＝Ｐ｛Ｕ（　＜Ｏ））．　＾＝Ｉ　

风险理论中另外一个重要的破产量是赤字分布尾　（　，ｙ），代表初始资本为　的　

保险公司在其发生破产时的赤字不小于），≥Ｏ的概率．即　，ｙ）＝　＜。。，ｌ　Ｕ（Ｔ）ｆ＞　，　

容易看出，　

（　）＝　（　，０）　（２）　

进一步，我们定义：　

（　，Ｙ，ｎ）＝尸ｆ１≤　≤ｎ，ｌ　（　）ｌ＞），）＝尸｛Ｕ（　（￡　）＜Ｏ），Ｉ　（　）Ｉ＞ｙ），　

容易知道，　

（　，ｙ）＝　（　，Ｙ，ｎ）　（３）　

本文的主要工作是利用某些寿命分布得到　（　，Ｙ）的函数型不等式．利用寿命分　

布表示的函数型不等式最早由Ｗｉｌｌｍｏｔｃ６ｊ提出，并且在后来的一些文献中不断被推广和　

完善　。作为这些函数不等式的直接应用，我们得到了关于　（／Ｌ，），）指数型上界．注　

意到式（２），可以得到相应的关于最终破产概率的上界估计．为完整起见，我们首先给　

出一些连续型寿命分布类的定义．

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某个寿命分布Ｆ被称为新的比旧的好分布（简记为ＮＢＵ），如果对于任意的　，　

），≥０，不等式　

Ｆ（ｘ＋ｙ）≤Ｆ（ｘ）Ｆ（ｙ）　（４）　成立．如果式（４）中的反向不等式成立，则称其为新的比旧的差分布（简记为ＮＷＵ）．　

２赤字尾概率的函数型不等式及其应用　

在证明主要结果之前，首先给出　ｕ，，，，ｎ）所满足的一个递归方程．它的证明可　以由文献［４］中的引理１得到，这里不再给出具体的证明．　

引理１对于ｎ：１，２，…，以及任意的ｕ，Ｙ≥０，　

，　，忍＋１）：∑ｐ　ｆ　ｕ＋ｙ＋ｚ）＋ｆ　ｎ＋ｚ　＋　一　，　）ｄ　）］ｄＧｍ　（　）　（５）　

ｍ＝０　其中，　

（ｕ，ｙ，１）：∑ｐ　ｊ　（　＋），＋　）ｄＧｉｎ．（　）　（６）　

而且对于ｍ：０，　ｌ，２，　…，ｐｍ＝　・　

下面给出模型（１）的赤字尾概率的函数型不等式．　

定理１令Ｂ（　）是ＮＢＵ分布并且ｆ（ｘ）为一个非负函数满足：　

Ｅ［　）］一ｔＥ－Ｂ（∑ｙ。）≤１　（７）　

对于任意的ｔ≥ｓ≥０，假设　

Ｂ（ｔ—ｓ）≤　（　）［　ｓ）］　（８）　

则对任意的　Ｉ＞０以及，　Ｉ＞０，　（ｒ）　（ｕ，，，）＜ｆｉＢ（ｕ＋，・）Ｅ［　）］一ｔＥＢ一（ｕ＋∑　）　

：ｌ　这里，　

‘　

证明　注意到对于任意的ｔ≥０，有：　

＿Ｆ（ｆ）：　』　［　）　Ｆ（　）　

ｆ　［八　）］　ｄＦ（ｚ）　

≤ｆｉＢ（ｔ）ｊ［　）］　ｄＦ（ｚ）　

≤　（　）　［　）］　（９）　

（１０）　

（１１）

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则由式（４），（６）以及（１１）得：　

，，’１）≤　Ｉｆ（别一　ｐ　（ｕ＋ｙ＋ｚ）ｄＧ　）　

一１　【一一　＝ｆｌＢ（ｙ）Ｅ［ｆ（Ｘ）］　ｐｍ　Ｊ。Ｂ（ｕ＋ｚ）ｄ　Ｇ　（　）　ｎｌ＝Ｕ　。　

＝　（，，）　［厂（　）ｒ】　（　＋∑　）．　

用归纳法，假设对于某个ｎ＞ｌ，　

（　，Ｙ，ｎ）≤ｆｌＢ（ｙ）Ｅ［ｆ（Ｘ）］　ＥＢ（ｕ＋　ｙｆ）　（１２）　一　一　一１　

则对于Ｏ≤　≤　＋Ｚ，利用式（１２）得：　

（　＋　—　，，，，ｎ）≤　（，，）　［　）］‘　历（　＋　—　＋∑ｙ　）　（１３）　

≤　（，，）百（　＋　—　）　［　）］一　庙（∑Ｙ，－）　（１４）　

＜￣ｆｌＢ（ｙ）Ｂ（ｕ＋　）［　）］　（１５）　这里式（１３）由式（１２）得到，式（１４）根据分布类ＮＢＵ的定义得到，式（１５）由式（７）和　（８）得到．由式（５），（１０）和（１５），有：　

，，，，ｎ＋１）≤薹ｐ　（ｕ＋ｚ＋ｙ）』　Ｉｆ（训　小０　ｍ＝　ｕ　。ｕ　，　

（，，）Ｂ（　＋　）Ｊ。［　）］　ｄＦ（　）】ｄＧ　（　）　

≤　（，，）　ｐ　（　＋　）　州［　ｄ　）＋０　ｍ２　ｕ　“＋　ｙ　

Ｂ（ｙ）Ｅ［　）］一　∑ｐ　ｆ　百（　＋　）ｄＧｍ’（　）　

＝　（，，）　［　）】．　ｐ　ｆ　Ｂ（ｕ＋　）ｄ　Ｇ　）　～１一　Ｉ一一　

＝ｆｌＢ（ｙ）Ｅ［　）］　ＥＢ（ｕ＋　ｙｆ）．　一　一１　

即式（１２）对于任意的ｎ≥ｌ成立．注意到式（３），在式（１２）中令ｎ＿＋∞即得式（９）．　

现在利用定理ｌ来获得　（　，Ｙ）的指数型上界．以下，假设　（ｅｌ　）对于０＜ｔ＜　

存在，并且ｌｉｍＥ（ｅ‘　）＝∞，其中ｙ为｛　，ｎ≥ｌ】的遗传变量．假设存在某个唯一的正　

数Ｒ。使得　

－Ｒ（∑ｙ　）　Ｅｅ　Ｅｅ肼＝ｌ　（１６）

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关于尺的存在性可以通过考察函数　ＩＩ＇　一ｒ（∑ｙ　）　ｇ（ｒ）＝Ｅｅ　Ｅｅ　一１　的性质而得到，此处从略．　

推论１如果存在某个常数尺满足方程（１６），　

Ｙ）≤　ｌｅ　‘”　，这里，　

‘　

证明在定理１中令Ｂ（ｘ）＝　）＝ｅ　，得：　ｖ¨’　一　一Ｒ（ｕ＋∑ｙ　）　（　，Ｙ）≤　ｌｅ　ｔｅｅ　忸ｅ　注意到式（１６），由式（１７）即得推论１．　则对任意的　≥０，Ｙ≥０，　（　，　

（１７）　

在推论１中令Ｙ＝０，即可得到关于最终破产概率的上界估计［４】．　

推论２在推论１的条件下，对任意的ｕ＞０，　

（　）≤　ｌｅ　。．　

３　结　语　

综上所述，对于ＤＣＰＭ，我们给出了赤字尾概率的函数型不等式，作为应用，还　

得到了指数型上界，从而使得已有的结果得以推广．本文还首次讨论了赤字尾分布函　数．索赔额服从重尾分布是保险理论中研究的一个热点，运用本文所得到的递归方　

程，可以得到重尾索赔下关于赤字尾概率（破产概率）的渐近估计，我们将另文讨论．　

参考文献：　

［１】Ｔｅｍｎｏｖ　Ｇ．Ｒｉｓｋ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｗｉｔｈ　ｒａｎｄｏｍ　ｉｎｃｏｍｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ。２００４（１２３）：３７８０—　３７９４．　［２】江五元，武坤，任小华．带红利线的双复合Ｐｏｉｓｓｏｎ过程风险模型的破产概率【『ｌ经济效学，２００５（２２）：　２７６－－２７８．　［３】刘莉．常利率下风险模型破产同题的研究［ＤＪ．上海：华东师范大学博士论文，２００４．　［４】包振华，叶中行．具有随机保费收入风险模型的破产概率［Ｊ】．汕头大学学报（自然科学版），２００６，　２１（２）：６－１１．　［５］５　Ｃａｉ　Ｊ，Ｄｉｃｋｓｏｎ　Ｄ　Ｃ　Ｍ．Ｒｕｉｎ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｉｅｓ　ｗｉｔｈ　ａ　Ｍａｒｋｏｖ　ｃｈａｉｎ　ｉｎｔｅｒｅｓｔ　ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ：Ｍａｔｈｅ’　

ｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，２００４（３５）：５１３－５２５．　［６］６　Ｗｉｌｌｍｏｔ　Ｇ　Ｅ．Ｒｅｆｉｎｅｍｅｎｔｓ　ａｎｄ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｌｕｎｄｂｕｒｇ’ｓ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ［Ｊ】．Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ：　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，１９９４（１５）：４９－６３．　［７］７　ＷｉＵｍｏｔ　Ｇ　Ｅ，“ｎ　Ｘ　Ｓ．Ｌｕｎｄｂｕｒｇ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐｏｕｎｄ　Ｐｏｉｓｓｏｎ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｉｎｓｕｒａｎｃｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，２００１．