对数与对数运算教案2

对数与对数运算教案2

中鸿智业

2.2 对数函数

“对数”一节主要介绍对数的概念、对数式与指数式的相互转化、对数的运算法则和性质以及换底公式.

对数概念的理解是本节教学的重点和难点.在式子aN=b中，知道底数a和指数N求幂值b，是上节内容中的指数问题，知道底数a和幂值b求指数N，就是本节研究的对数问题.教学中要抓住指数和对数的关系这一关键，同时结合实际问题引入，有利于培养学生应用数学解决实际问题的意识.其次对于对数的性质及零和负数没有对数的理解也可以通过指数式来证明、验证.对数作为一种运算，除了认识运算符号“log”以外，更重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，因此对数法则的推导可以借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了对指数式和对数式的关系的认识，自然应成为本节的重点，应特别予以关注.换底公式是我们进行对数式的化简与求值过程中一个很重要的角色，教学中首先应明确它的推导过程以及公式存在的合理性，同时也应该认清这一公式的结构特征，为灵活运用公式打下坚实的基础.

有了学习指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图象和性质的研究便水到渠成.

对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受.在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为（0，+∞）的理解.在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响（即对对数函数单调性的影响）是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解.

为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先要学生在同一坐标系内画出函数y=log2x和y=logx的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析它们的性质.有条件的学校也可以利用《几何画板》软件，定义变量a，作出函数y=logax的图象，通过改变a的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图象和性质.

研究了对数函数的图象和性质之后，可以将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出作一些准备.

2.2.1 对数与对数运算

（1）

从容说课

本课是对数学习的第一课时，首先从人口问题中引出对数的概念，让学生感受到对数的现实背景，使学生认识引进对数的必要性，激发学生学习的兴趣.本课主要学习对数的概念、指对数式的相互转化，同时，让学生了解常用对数以及自然对数的概念和记法，并尝试推导两个对数恒等式.

本课的教学重点是理解对数式和指数式之间的关系以及对数式和指数式的相互转化.本课的教学难点是对数概念的理解以及对数符号的理解. 对于对数概念的学习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别.结合指数式理解对数式的底数a和真数N的限制条件，对于对数的性质及零和负数没有对数的理解也可以通过指数式来证明、验证，同时还可借助计算器或计算机计算真数为负数的情况，计算器或计算机会提示出错信息，以加深学生对“负数和零没有对数”的理解.

对数首先作为一种运算，是由ab=N引出的，在这个式子中已知一个数a和它的指数求幂的运算就是指数运算，而已知一个数和它的幂值求指数就是对数运算（已知指数和幂值求这个数的运算就是开方运算），从方程角度来看，这个式子中有三个量，知二求一，恰好可以构成以上三种运算，这样引入对数运算是很自然，也是很重要的，这就完成了对ab=N的全面认识.此外，对数作为一种运算，除了认识运算符号“log”以外，更重要的是把握其运算法则.由于对数与指数在概念上相通，因此对数运算法则的推导可以借助指数运算法则来完成，在推导过程中可加深对指数式和对数式之间的关系的认识.

对于对数运算符号的认识与理解是同学们认识对数的一个障碍，教学中可以将“log”与其他符号如“+”“”等符号进行比较，指出“log”和“+”“”等符号一样都表示一种运算，不过对数运算的符号写在有关数的前面而已.一开始学生会不习惯，在认识上感到有些困难，教学中可以多次组织学生使用这一运算符号，帮助学生突破这一障碍.

三维目标

一、知识与技能

1.理解对数的概念.

2.理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化. 3.了解自然对数和常用对数的概念以及对数恒等式.

二、过程与方法

1.通过探究对数的概念以及对数式和指数式之间的关系，明确数学概念的严谨性和科学性，感受化归的数学思想，使学生能用相互转化的观点辩证地看问题.

2.通过计算器或计算机的演示，使学生加深对“N＞0”的理解，培养学生数学地分析问题的意识.

3.通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力.

三、情感态度与价值观

1.通过具体实例引出对数的概念，使学生感受到数学源于实际生活，激发学生的学习兴趣.

2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对数概念理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.

3.通过指导学生阅读“对数的发展史”不断了解数学、走进数学，增强学生的数学素养.

教学重点

1.对数式和指数式之间的关系.

2.对数的概念以及对数式和指数式的相互转化.

教学难点

对数概念的理解以及对数符号的理解.

教具准备 多媒体课件、投影仪、计算器或计算机、打印好的作业.

教学过程

一、创设情景，引入新课

（多媒体投影我国人口增长情况分析图，并显示如下材料）

截止到底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）

师：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则y=13×1.01x.我们能从这个关系式中算出任意一个年头x的人口总数.反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……”该如何解决？

（生思考，师组织学生讨论得出）

由y=1.01x的图象可求出当y=、、时，相应的x的值，实际上就是从1.01x=，1.01x=，1.01x=……中分别求出x.

师：根据指数的有关知识，在关系式1.01x=中，要我们求解的量在什么位置？

生：在等式左边的指数位置上.

师：那么，要求x的值，也就是让我们求指数式中的哪一个量？

生：求指数x.

师：这样，就出现了与前面学习指数时不同的一类问题——已知指数式的底数和幂值，求指数式的指数，这就是我们本节课所要研究的对数问题. （引入新课，书写课题——对数）

二、讲解新课

（一）介绍对数的概念

合作探究：若1.01x=，则x称作是以1.01为底的的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？

（生合作探究，师适时归纳总结，引出对数的定义并板书）

一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

合作探究：根据对数的概念写出几个对数式，同桌之间互相检查写法是否正确.

师：你如何理解“log”和logaN？

（生探讨，得出如下结论）

知识拓展：符号“log”与“+，”等符号一样表示一种运算，logaN是一个整体，表示以a为底N的对数，不表示log、a、N三者的乘积.读作以a为底N的对数，注意a应写在右下方.

（二）概念理解

合作探究：对数和指数幂之间有何关系？

（生交流探讨得出如下结论）

a

N

b 指数式ab=N

（底数）

（幂）

（指数）

对数式logaN=b

（对数的底数）

（真数）

（对数）

说明：括号内属填空、选择的题目.

合作探究：是不是所有的实数都有对数呢？在对数式logaN=b中，真数N可以取哪些值？为什么？

（生讨论，结合指数式加以解释）

∵在指数式中幂N=ab＞0，∴在对数式中，真数N＞0.

（师借助计算器或计算机进行示范）可以发现真数为负数时，计算器会提示出错信息.

师：条件N＞0说明了什么？

生：负数与零没有对数.

合作探究：根据对数的定义以及对数式和指数式的关系，试求loga1和logaa（a＞0，且a≠1）的值.

（生根据对数式和指数式之间的关系，得出如下结论）

∵对任意a＞0且a≠1，都有a0=1， ∴loga1=0.

同样，∵对任意a＞0且a≠1，都有a1=a，∴logaa=1.

合作探究：a=N、logaab=b是否成立？

（师生共同讨论，给出如下解释）

（1）设a=x，则logaN=logax，所以x=N，即a=N.

（2）∵ab=ab，∴logaab=b（对数恒等式）.

师：对数运算在研究科学和了解自然中起了巨大的作用，其中有两类对数贡献最大，它们就是自然对数和常用对数.

（师指导学生阅读课本第57页常用对数和自然对数的概念和记法，然后板书）

（三）常用对数

通常将以10为底的对数称为常用对数，如log

102、log1012等，并把对数log10N简记为lgN，如lg

2、lg12等.

（四）自然对数

在科学技术中，常常使用以e（e=2.71828…是一个无理数）为底的对数，这种对数称为自然对数.正数N的自然对数logeN一般简记为lnN，如ln

2、ln15等.

（五）例题讲解 师：我们已经对对数的概念有了一定的理解，你能快速地完成下面练习吗？

（投影显示如下例题）

【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1）54=625；

（2）2－6=；

（3）（）m=5.73；

（4）log16=－4；

（5）lg0.01=－2；

（6）ln10=2.303.

方法引导：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.

（生口答，师板书）

解：

（1）log5625=4；

（2）log2=－6；

（3）log5.73=m；

（4）（）－4=16；

（5）10－2=0.01；

（6）e2.303=10.