二次函数抛物线的画法

观察图象特点 确定系数符号

观察图象特点 确定系数符号

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的系数符号与抛物线y＝ax2＋bx＋c有着密切关系．根据抛物线的形状来判断a、b、c的符号，也可以根据系数a、b、c的符号可确定抛物线y＝ax2＋bx＋c的大致形状．这类问题有助于提高数形结合的思维能力．

观察抛物线的位置确定符号的方法：

①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0．

②根据评为新的顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，ab2＞0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，ab2＜0，由此得a、b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．特别地，若抛物线的对称轴是直线x＝1，则ab2＝1，即b＝－2a；若抛物线的对称轴是直线x＝－1，则ab2＝－1，即b＝2a．

③根据抛物线与y轴的交点位置可以确定c的符号．因为当x＝0时y＝c，所以交点在y轴的正半轴上，c＞0；交点在原点，c＝0；交点在y轴的负半轴上，c＜0．

④根据抛物线与x轴的位置关系可以确定b2－4ac的符号．因为当y＝0时ax2＋bx＋c＝0，所以抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，此时b2－4ac＞0；抛物线与x轴只有一个交点时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，此时b2－4ac＝0；抛物线与x轴没有交点时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时b2－4ac＜0．

⑤根据直线x＝1与抛物线交点的位置可以确定a＋b＋c的符号。交点在x轴上，a＋b＋c＝0；交点在第一象限a＋b＋c＞0；交点在第四象限a＋b＋c＜0．同样根据直线x＝－1与抛物线交点的位置可以确定a－b＋c的符号（自己探索）．

反过来，可以由系数a、b、c的符号可确定抛物线y＝ax2＋bx＋c的大致形状．

典题精析：

例1（浙江省金华市中考题）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图1所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2－4ac＞0．其中正确的个数是（ ）．

元二次函数图像

元二次函数型式

y= ax2 + bx+ C 或 f (x) = ax2+ bx + C

元二次函数图像画法

1、形状：抛物线

2、 开口： a> 0,开口向上；av0,开口向下

b

3、 对称轴：X = --------- 2a

4、 与X轴的交点：方程的根

5、取大取小值： 4ac -b2

4a

、例题

1、 y = χ2 — 5x + 6

解：a=1, 开口向上

b 5

对称轴 :X =— —

2a 2

方程根 :χ2- 5x + 6— 0

X— 2 或 x— 3

4ac -b2 1

最小值

4a 4

2、 y = x2+ 5x + 6

解：a=1, 开口向上

b 5

对称轴 :X=— =—

2a 2

方程根 2

:X + 5x + 6— 0

X —— 2 或 X

—- -3

4ac -b2 1 最小值

4a 4

3、y = — χ2+ 5x — 6

解：a= — 1,开口向下

对称轴： b 5

X —— — 2a 2 方程根： —χ2+ 5x — 6— 0

X— 2 或 x— 3

最大值： 4ac-b2 1

4a 4

4、 y=- x2- 5x — 6

解：a=- 1,开口向下

b

X =-— 对称轴:

方程根: 2a 2

-χ2- 5x — 6= 0

X=— 2 或 X = — 3

5、

6、 最大值: 4ac—b2 1

4a

y = x2-2x

解：a= 1 ,开口向上

b I

X = ------ = 1

2a

χ2- 2x = 0 X= 0

或 X= 2 4ac-b2 ,

-1

4a 对称轴:

方程根:

最小值:

y=-x2— 2x

解：a= — 1, 开口向下

对称轴:

方程根: X=— b =-1 2a

-χ2- 2x = 0

最大值: X = 0 或 X=— 2

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探索二次函数的图象与性质

知识点

一、二次函数2xy的图象的画法

（1）列表：先取原点（0,0），然后在原点两侧对称地取4个点，由于关于y轴对称的两个点的横坐标互为 ，纵坐标 ，所以只计算y轴右侧两个点的纵坐标，左侧两个点的纵坐标对应写出即可，为方便计算，x一般取整数。

（2）描点：先将y轴右侧的两个点描出来，然后由对称关系找到y轴左侧的两个对称点。

（3）连线：按照从左到右的顺序将这5个点用光滑的曲线连接起来，画图象不应画到两端为止，而应当化成两个方向延伸的形状。

二、二次函数2xy与2xy的图象和性质

1.二次函数2xy的图象是一条抛物线，它的开口方向 ，关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最 点，坐标为（0,0）

2.二次函数2xy的图象是一条抛物线，它的开口方向 ，关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最 点，坐标为（0,0）

3.图象和性质

2xy 2xy

图象

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性 当x<0时，y随x的增大而 ；

当x>0时，y随x的增大而 ； 当x<0时，y随x的增大而 ；

当x>0时，y随x的增大而 ；

最值

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三、二次函数)0(2aaxy图象的画法

（1）列表：先取原点（0,0），然后在原点两侧对称地取几个点，由于关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以只计算y轴右侧两个点的纵坐标，左侧两个点的纵坐标对应写出即可，为方便计算，x一般取整数。

（2）描点：先将y轴右侧的两个点描出来，然后由对称关系找到y轴左侧的两个对称点。

二次函数的应用----生活中的抛物线

主备人：王新龙

一、课程名称：21.4二次函数的应用---生活中的抛物线

二、课时：共2个课时，第2课时

三、课型：新授课

四、教学方法：先学后教，讲练结合

五、教学目标：

1、知识与技能

通过建模学会用二次函数的知识解决有关的实际问题

2、过程与方法

掌握数学建模的思想，体会数学来源于生活，又服务于生活

3、情感、态度与价值观

培养学生的独立思考能力和合作学习的精神，在动手、交流中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的提高。

六、重点与难点

重点：根据情境建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中的点

难点：如何根据情境建立合适的平面直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。

七、教学过程

（一）新课引入

思考：

（1）用待定系数法设函数解析式有哪几种形式？分别为？

（2）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，当水面宽度为8米时，桥洞顶部离水面的距离为 米。

老师：要解决此题，需要求出抛物线的函数解析式，而求抛物线的解析式，离不开建立平面直角坐标系，求出关键点的坐标，那么如何建立合适的平面直角坐标系呢？不同的直角坐标系中，点的坐标不同，用待定系数法该设定何种形式的函数解析式呢？

给一定时间让学生相互讨论， 让学生思考再由老师予以总结和说明。.

（二）讲授新课

1、总结如下：

建立平面直角坐标系的方法有如下几种： 方法一：以A为坐标原点，以AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系

此时A(0,0),B(12,0),顶点为（6,4），此时三种设函数解析式的方法是否均可？

让学生将三种设法都表示出来，并求出函数解析式。

（方法一）（方法二）

方法二：以B为坐标原点，以AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系

此时A(-12,0),B(0,0),顶点为（-6,4），此时三种设函数解析式的方法是否均可？