二次函数与抛物线的关系

二次函数和抛物线的关系

好呀，今天咱们聊聊二次函数和抛物线的关系，嘿嘿，听起来有点复杂，但其实就是一件非常有趣的事情。想象一下，你在公园里看见小朋友们在玩，他们在追逐嬉戏，偶尔还会摔倒，哈哈，真是让人忍俊不禁。二次函数就像是这些小朋友们的运动轨迹，时而高高在上，时而低低在下。你瞧，这样的轨迹，正是抛物线的魅力所在。抛物线呢，就是二次函数的“化身”，它们俩的关系就像一对好朋友，形影不离，随时随地都在一起。

你知道吗，二次函数的标准形式是这样的：( y = ax^2 + bx + c )。其中的 (a)、(b)、(c) 就像是调味料，各自为这个函数增添了不同的风味。想想吧，(a) 的正负会影响抛物线的开口方向，像个调皮的小孩，开口向上就像他在欢呼，开口向下则像他在垂头丧气。再说说 (b) 和 (c)，它们决定了抛物线的平移和位置，让这个轨迹有了自己的“个性”，嘿嘿，真是太有意思了。

咱们再聊聊抛物线的顶点，这可是个重要的角色。顶点就像是明星，所有的目光都聚焦在它身上。你看，顶点的位置由公式 ( (frac{b{2a, f(frac{b{2a)) ) 来决定。听起来像是魔法公式一样，对吧？其实就是在告诉我们，抛物线最高或最低的点在哪儿。说不定你还会用到这玩意儿去寻找生活中的最佳时机，哈哈，顶点的智慧无处不在。

说到这，咱们也不能忘了抛物线的对称性。抛物线的对称轴就像是一个神秘的分界线，左右两边一模一样，简直就是数学界的双胞胎。只要你知道了顶点的位置，对称轴的方程就能轻松得出。这就像是生活中的平衡，咱们要学会寻找生活中的对称和和谐，才能让日子过得更顺心。

二次函数的图像还有很多有趣的性质，比如与x轴的交点。交点的个数可真是影响深远，有可能是两个、一个，甚至没有。你能想象吗？生活中也常常会有这样的选择，

某些时候会有很多选择，有些时候却只有一条路可走。而这些交点就像是我们人生的节点，关键时刻选择正确的方向，才能走得更顺畅。

专题05 二次函数与各系数之间的关系

重点突破

抛物线中，与函数图像的关系（灵活掌握）

 二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

⑴ 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

⑵

当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

【总结起来】决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

 一次项系数

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

⑴

在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧（a、b同号）；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧（a、b异号）．

⑵

在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧（a、b异号）；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧（a、b同号）．

【总结起来】在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．



常数项

⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

【总结起来】决定了抛物线与轴交点的位置．

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

考查题型

考查题型一 根据二次函数的图像判断各系数、各式子符号

典例1（2019·莆田市期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【详解】

①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，

∴ab＜0，

∵与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，

故①正确；

②∵a＞0，x=﹣2ba＜1，

∴﹣b＜2a，

∴2a+b＞0，

故②正确；

二次函数的平移与变形抛物线的移动之谜

二次函数是高中数学学习中的重要内容之一，它描述了一条抛物线的形状。除了基本的抛物线方程y=ax²+bx+c外，平移与变形是二次函数的常见操作。本文将探讨二次函数的平移与变形对抛物线的移动产生的影响。

一、平移操作

平移是指将函数图像在平面上沿着x轴或y轴方向上移动固定的距离的操作。对于二次函数y=ax²+bx+c来说，平移操作分别对应了c、b和a的改变。

1. 沿x轴平移

当函数图像沿x轴正方向平移h个单位长度时，抛物线向左平移h个单位长度；而当函数图像沿x轴负方向平移h个单位长度时，抛物线向右平移h个单位长度。平移操作的数学表达式如下：

y=a(x-h)²+bx+c

其中(h, k)为平移后抛物线的顶点坐标。

2. 沿y轴平移

当函数图像沿y轴正方向平移k个单位长度时，抛物线向上平移k个单位长度；而当函数图像沿y轴负方向平移k个单位长度时，抛物线向下平移k个单位长度。平移操作的数学表达式如下：

y=a(x-α)²+b(x-α)+c 其中α为平移后抛物线的顶点的x坐标。

二、变形操作

变形是指改变二次函数方程中的参数，从而改变抛物线的形状。常见的变形操作包括改变a、b和c的值。

1. 改变a的值

当a的值发生变化时，抛物线的开口方向和形状都会发生变化。当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。同时，a的绝对值越大，抛物线越窄；而a的绝对值越小，抛物线越宽。变形操作的数学表达式如下：

y=ax²+bx+c

2. 改变b的值

当b的值发生变化时，抛物线的对称轴位置和形状都会发生变化。当b>0时，抛物线的对称轴向右移动；当b<0时，抛物线的对称轴向左移动。同时，b的绝对值越大，抛物线越陡；而b的绝对值越小，抛物线越平缓。变形操作的数学表达式如下：

y=ax²+bx+c

3. 改变c的值

当c的值发生变化时，抛物线的顶点位置和整体位置都会发生变化。当c>0时，抛物线的顶点向上移动；当c<0时，抛物线的顶点向下移动。同时，c的绝对值越大，抛物线整体向上移动的程度越大；而c的绝对值越小，抛物线整体向下移动的程度越大。变形操作的数学表达式如下：

抛物线、二次函数

1 / 4 二次函数所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数

一、填空：

1、写出一个开口向下，顶点坐标是（0，2）的二次函数的表达式：______

2．有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm和6 cm，现在长宽上分别剪去宽为x cm （x<6）的纸条（如图1），则剩余部分（图中阴影部分）的面积y=______，其中_____是自变量，_____是因变量．

图1 6 8

xx 图2 x y

O 图3x y

3

2 O

3．下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22＋x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是______（其中x、t为自变量）．

4．函数y=226aaax是二次函数，当a=_____时，其图象开口向上；当a=_____时，其图象开口向下．

5．如图2，根据图形写出一个符合图象的二次函数表达式： ．如图3根据图形写出符合图象的二次函数表达式：

6.已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是_____(填序号).①m0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>0

7．抛物线y=ax2-1的图像经过(4,-5),则a=_________.函数y=2x2的图象对称轴是______，顶点坐标是______．

8 抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2向_____平移______个单位得到的.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x2-1,则m= n=

9．直线y=x＋2与抛物线y=x2的交点坐标是______．.

二、选择

1．下列各关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）