欧拉公式简介
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欧拉公式
e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的证明：
因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……
在e^x的展开式中把x换成±ix.
(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……
e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：
e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”
那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。 那么这里的π就是x，那么
e^iπ=cosπ+isinπ
=-1 那么e^iπ+1=0
这个公式实际上是前面公式的一个应用 [1]
欧拉公式
欧拉公式有4条
（1）分式：
a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
（2）复数
由e^iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2i
cosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2
此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。
当θ=π时，成为e^iπ+1=0 它把数学中最重要的e、i、π、1、0联系起来了。
（3）三角形
设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：
d^2=R^2-2Rr
（4）多面体
设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则
v-e+f=2-2p
p为亏格，2-2p为欧拉示性数，例如
p=0 的多面体叫第零类多面体
p=1 的多面体叫第一类多面体
等等
编辑本段三角形
设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：
d^2=R^2-2Rr
编辑本段拓扑学
事实上，欧拉公式有平面与空间两个部分：
空间中的欧拉公式
V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。 如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
在多面体中的运用:
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
平面上的欧拉公式
V+F-E=X(P),其中V是图形P的定点个数，F是图形P内的区域数，E是图形的边数。
在非简单多面体中，欧位公式的形式为：
V-E+F-H=2(C-G)
其中H指的是平面上不完整的个数，而C指的是独立的多面体的个数，G指的是多面体被贯穿的个数。
证明
（1） 把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。
（2） 去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
（3） 对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
（4） 如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
（5） 如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。
（6） 这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7） 因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。
（8） 如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。
即F′-E′+V′=1
成立，于是欧拉公式：
F-E+V=2
得证。
初等数论与欧拉公式
欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。
欧拉公式
欧拉证明了下面这个式子：
如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以证明它。
编辑本段物理学
众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：
F=fe^ka
其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。
此外还有很多着名定理都以欧拉的名字命名。
