(完整版)初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学 二次函数 知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2yaxbxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵ abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2yax的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2yaxc的性质：

上加下减。

3. 2yaxh的性质：

左加右减。

4. 2yaxhk的性质： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．

0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 0c， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．

0a 向下 0c， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．

0a 向下 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；

⑵ 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：

向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

四、二次函数2yaxhk与2yaxbxc的比较

从解析式上看，2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbyaxaa，其中2424bacbhkaa，．

六、二次函数2yaxbxc的性质

1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．

当2bxa时，y随x的增大而减小；

当2bxa时，y随x的增大而增大；

当2bxa时，y有最小值244acba．

2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当2bxa时，a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 hk， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．

0a 向下 hk， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；

2. 顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；

3. 两根式（交点式）：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

⑴ 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵ 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b为0对称轴为y轴）

3. 常数项c

⑴ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数：

① 当240bac时，图象与x轴交于两点1200AxBx，，，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根．.

② 当0时，图象与x轴只有一个交点；

③ 当0时，图象与x轴没有交点.

1' 当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；

2' 当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．

2. 抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；

二次函数对应练习试题

一、选择题

1. 二次函数247yxx的顶点坐标是( )

A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）

2. 把抛物线22yx向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A. 22(1)yx B. 22(1)yx C. 221yx D. 221yx

3.函数2ykxk和(0)kykx在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )

4.已知二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当1x和3x时,函数值相等;③40ab④当2y时, x的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个

5.已知二次函数2(0)yaxbxca的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程20axbxc的两个根分别是121.3xx和（ ）

Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3

6. 已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则点(,)acbc在（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

7.方程222xxx的正根的个数为（ ）

A.0个 B.1个 C.2个. 3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A. 22yxx B. 22yxx

C. 22yxx或22yxx D. 22yxx或22yxx

二、填空题

9．二次函数23yxbx的对称轴是2x，则b_______。

10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.

11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。

12．抛物线22(2)6yx的顶点为C，已知直线3ykx过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。 13. 二次函数2241yxx的图象是由22yxbxc的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c=

。

14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14).

三、解答题：

15.已知二次函数图象的对称轴是30x,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,52).

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?

(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式2012hvtgt （0

（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？

（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

17.如图，抛物线2yxbxc经过直线3yx与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使APCS：ACDS5 ：4的点P的坐标。

第15题图