初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

二次函数是指形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数。需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。二次函数的定义域是全体实数。

二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：y=ax2的性质：

当a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。

当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y有最小值。 当a>0时，向上开口，对称轴为y轴；当a<0时，向下开口，对称轴为y轴。

2.y=ax2+c的性质：

上加下减。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。

当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y有最小值c。

当a>0时，向上开口，对称轴为y轴；当a<0时，向下开口，对称轴为y轴。

3.y=a(x-h)的性质：

左加右减。

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，0），对称轴为x=h。

当x>h时，y随x的增大而增大；当x0时，向上开口，对称轴为x=h；当a<0时，向下开口，对称轴为x=h。

4.y=a(x-h)+k的性质：

a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。

当x>h时，y随x的增大而增大；当x

当a>0时，向上开口，对称轴为x=h；当a<0时，向下开口，对称轴为x=h。

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)+k，确定其顶点坐标（h，k）处。

保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 向上平移|k|个单位，当k>0时；向下平移|k|个单位，当k<0时。

向右平移|h|个单位，当h>0时；向左平移|h|个单位，当h<0时。

1.将文章中的“”和“”改成“>”和“<”。

2.删除第一段末尾的“．”。

3.修改第一段的表述为：“将函数沿x轴平移k个单位，向右为h>0，向左为h0，向下为k<0.平移后的函数为y=a(x-h)²+k，平移规律为：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移。概括成八个字‘左加右减，上加下减’。”

4.将第四段中的“”和“”改成“>”和“<”。

5.修改第四段的表述为：“从解析式上看，y=a(x-h)²+k与y=ax²+bx+c是两种不同的表达形式。后者可以通过配方得到前者，即y=a(x+(-h))²+(-k)。其中，h=-b/2a，k=c-b²/4a。即可将y=ax²+bx+c转化为y=a(x-h)²+k的形式。”

6.将第六段中的“”和“”改成“>”和“<”。

7.修改第六段的表述为：“二次函数y=ax²+bx+c的性质：1.当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a)。当x(-b/2a)时，y随x的增大而增大；当x=-b/2a时，y有最小值。2.当a(-b/2a)时，y随x的增大而减小；当x=-b/2a时，y有最大值。”

8.修改第七段的表述为：“二次函数解析式有三种形式：1.一般式：y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）；2.顶点式：y=a(x-h)²+k（a、h、k为常数，a≠0）；3.两根式（交点式）：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）。任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b²-4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。”

9.修改第八段的表述为：“二次函数的图象与各项系数之间的关系：1.二次项系数a：当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a0时，对称轴为y轴；当b<0时，对称轴不与坐标轴重合。3.常数项c：决定了抛物线与y轴的截距。”

1.当$c>0$时，抛物线与$y$轴的交点在$x$轴上方，即抛物线与$y$轴交点的纵坐标为正；

2.当$c=0$时，抛物线与$y$轴的交点为坐标原点，即抛物线与$y$轴交点的纵坐标为0； 3.当$c<0$时，抛物线与$y$轴的交点在$x$轴下方，即抛物线与$y$轴交点的纵坐标为负．

综上所述，$c$决定了抛物线与$y$轴交点的位置。

二次函数和一元二次方程的关系可以通过二次函数与$x$轴的交点情况来说明：

对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，它对应的二次函数为$y=ax^2+bx+c$，当函数值$y=0$时，就是求解方程的根。根据判别式$\Delta=b^2-4ac$的大小关系，可以得到方程有两个实根、一个实根、两个虚根的情况，对应于二次函数与$x$轴的交点有两个、一个、零个的情况。当$\Delta>0$时，二次函数与$x$轴交于两点$A(x_1,0)$和$B(x_2,0)$，其中的$x_1$、$x_2$是一元二次方程的两个实根；当$\Delta=0$时，二次函数与$x$轴只有一个交点$C(x_0,0)$，其中$x_0$是一元二次方程的唯一实根；当$\Delta<0$时，二次函数与$x$轴没有交点。

另外，二次函数的开口方向由二次项系数$a$的正负决定：当$a>0$时，二次函数开口朝上，图象落在$x$轴的上方，无论$x$为任何实数，都有$y>0$；当$a<0$时，二次函数开口朝下，图象落在$x$轴的下方，无论$x$为任何实数，都有$y<0$。

抛物线$y=ax^2+bx+c$的图象与$y$轴一定相交，交点坐标为$(0,c)$。根据二次函数的性质，抛物线的开口方向由二次项系数$a$的正负决定。

练题：

1.A

2.B

3.D

4.C

5.D

6.B

7.方程 $2x^2-x=2$ 的正根的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个。答案：1个。

8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为 A。y=x^2-x-2 B。y=-x^2+x+2 C。y=x^2-x-2 或 y=-x^2+x+2 D。y=-x^2-x-2 或 y=x^2+x+2.答案：y=x^2-x-2.

9.二次函数 y=x^2+bx+3 的对称轴是 x=2，则 b=-4.

10.已知抛物线 y=-2(x+3)^2+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是 (-∞,-3]。

11.一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当 x

12.抛物线 y=2(x-2)^2-6 的顶点为 C，已知直线 y=-kx+3 过点 C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 8/k。

13.二次函数 y=2x^2-4x-1 的图象是由 y=2x+b x+c 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的，则 b=-4，c=-3.

14.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地方，桥的高度是 13.14 米。

15.已知二次函数图象的对称轴是 x=-3，图象经过 (1,-6)，且与 y 轴的交点为 (0,-1)。求这个二次函数的解析式；当 x 为何值时，这个函数的函数值为 0？当 x 在什么范围内变化时，这个函数的函数值 y 随 x 的增大而增大？

解：（1）由对称轴公式可知，该二次函数的解析式为

y=a(x+3)^2+b。代入已知条件 (1,-6) 可得 -6=a(1+3)^2+b，即

a+b=-6/16=-3/8.又因为该函数与 y 轴的交点为 (0,-1)，代入解析式可得 -1=a(3)^2+b，即 9a+b=-1.解得 a=-1/8，b=-5/8.故该二次函数的解析式为 y=-1/8(x+3)^2-5/8.

2）令 y=0，代入解析式可得 -1/8(x+3)^2-5/8=0，解得 x=-3±√5.故当 x=-3±√5 时，函数的函数值为 0.

3）由解析式可知，当 x-3-√5 时，该函数的函数值 y 随 x

的增大而增大。

16.某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式 h=vt-1/2gt^2（0

米/秒计算。这种爆竹点燃后以 v=20 米/秒 的初速度上升。

1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？

解：令 h=15，代入 h=vt-1/2gt^2，得 15=20t-1/2×10t^2，解得 t=1.5 秒或 t=2 秒。故该爆竹在地面上点燃后，经过 1.5

秒即可离地 15 米。

2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由。

解：计算爆竹在 1.5 秒和 1.8 秒时的高度分别为

h1=20×1.5-1/2×10×1.5^2=22.5 米，h2=20×1.8-1/2×10×1.8^2=21.6 米。由此可知，在这段时间内，爆竹是下降的。因为 h2

17.如图，抛物线 y=x^2+bx-c 经过直线 y=x-3 与坐标轴的两个交点 A、B，此抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D。

1）求此抛物线的解析式；

解：由题意可知，抛物线经过直线 y=x-3，即 x^2+bx-c=x-3，即 x^2+(b-1)x-(c+3)=0.又因为该抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，故 C 的坐标为 (c,0)。由顶点公式可知，D 的横坐标为 -b/2，即 -b/2=c。代入上式可得 c=-b/2，带入直线方程可得 b=2，带入 x^2+(b-1)x-(c+3)=0 可得 c=-3/4.故此抛物线的解析式为 y=x^2+2x+3/4.

2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使 S△ 的点 P 的坐标。

解：设点 P 的横坐标为 x，则其纵坐标为 x^2+2x+3/4.由题意可知，S△ S△APC=5/9 S△ACD。由向量法可知，S△APC=1/2|AP|×|PC|×sin∠APC，S△ACD=1/2|AC|×|CD|。故有 1/2|AP|×|PC|×sin∠APC=5/9×1/2|AC|×|CD|，即

|AP|×|PC|=10/9×|AC|×|CD|。代入坐标计算可得