第２１卷第４期 ２０１８年７月 高等数学研究 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ ＶＯ１．２１，Ｎｏ．４ Ｊｕｌｙ，２０１８ ｄｏｉ：１０。３９６９／Ｊ．ｉｓｓｎ，１００８—１３９９．２０１８．０４．０２０ 多元正态分布二次型分布的推广 李 斐，吕 文，李 琴 （烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台２６４００５） 摘 要 通过利用矩阵广义逆和多元正态分布的相关性质，给出并证明了Ｐ维正态向量Ｘ的二次型Ｘ ＢＸ的分布 的一般结果，即ｘ～Ｎｐ（Ｊｌｌ， ）（ 为奇异矩阵）时，Ｘ ＢＸ的分布．最后将线性模型中感兴趣的一个结果推广到了奇 异正态分布的情况． 关键词 多元正态分布；二次型；非中心卡方分布 中图分类号０２９ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１８）０４—００６５—０２ Ｏｎ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｑｕａｄｒａｔｉｃ Ｆｏｒｍ ｏｆ Ｎｏｒｍａｌ Ｖａｒｉａｂｌｅ ＬＩ Ｆｅｉ，ＬＶ Ｗｅｎ，ａｎｄ ＬＩ Ｑｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｙａｎｔａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎｔａｉ ２６４００５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｑｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｎｏｒｍａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ， ｗｅ ｄｅｄｕｃｅ ａ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ ｏｆ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｎｏｒｍａｌ ｖａｒｉａｂｌｅ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｓｉｎ— ｇｕｌａｒ ｍａｔｒｉｘ．Ａ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｉｎ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌｓ ｉｓ ａｌｓｏ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｃｏｖａｒｉａｎｃｅ ｍａｔｒｉｘ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｎｏｒｍａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ，ｎｏｎ—ｃｅｎｔｒａｌ Ｃｈｉ Ｓｑｕａｒｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ １ 引言 多元正态分布的性质是统计学中的重要教授 内容，多元正态随机向量的二次型分布是其中的一 个重要性质，在后续的多元正态分布均值检验中有 重要的应用． 在多数教材（３ｃ献［１，２］）中该性质表述为：ｘ～ Ｎｐ（ ，三）， 为Ｐ×Ｐ阶的非奇异矩阵，则有 （ｘ－ｐ） 一。（ｘ－ｐ）～ （ ）． 即相当于若ｙ～Ｎｐ（０， ），则ｙ ｌ，～ 。（ｐ）． 该结果要求协方差矩阵 是非奇异的，文献 ［３，４，５］均定义了奇异的多维正态分布，文献Ｅ３－１还 收稿日期：２０１７—１０—１１ 修改日期：２０１７—１１—２５ 基金项目：国家自然科学基金（６１５０３３１８），山东省高校科研计划项 目（Ｊ１３Ｌ１０６）． 作者简介：李斐（１９８２一），女，山东烟台，博士，讲师，研究方向为多 元统计分析，Ｅｍａｉｌ：ｆｅｉｌｉ＠ｙｔｕ．ｅｄｕ．ｅｎ 给出了奇异Ｗｉｓｈａｒｔ分布的定义，文献［４３将上述二 次型结果推广到了非中心的情况，即 ≠０．但对当 协方差矩阵三是奇异的情况，并未多做研究（仅给 出了ｐ＝０时的结果）．我们希望借助一个基本定 理，将其它现有结论作为该定理的推论，系统地梳 理现有结论之间的关系，统一证明方法．并在此基 础上，给出最一般情况即ｙ～Ｎｐ（ｐ， ），ｒａｎｋ（２Ｄ— ｒ≤Ｐ时二次型ｌ， 一ｌ，的分布． ２ 主要结果 我们采用文献［４３中的结果作为出发点，定理 如下， 定理１ 若ｘ～Ｎｐ（ｐ，Ｉｐ），Ｂ为Ｐ×Ｐ阶对称 矩阵，则ｘ Ｂｘ服从非中心的 。分布的充分必要条 件为Ｂ为幂等矩阵（Ｂ。：曰），其中 。分布的自由度 为ｋ—ｒａｎｋ（Ｂ）＝ｔｒＢ，非中心参数 一ＩＩＩ ．
多元统计分析-概率,期望,⽅差,正态分布
概率,期望，⽅差
只有⼀个变量时
F(x<=a) = ∫-∞af(x)dx
当区间取负⽆穷到正⽆穷时积分为1
推⼴到多元之后:
同理，当区间取满整个空间时，积分为1
f被称为概率密度函数
边缘分布函数
当多元函数的n-m个变量取负⽆穷到正⽆穷之后
概率函数变为有m个⾃变量的函数(⼀共有n个⾃变量)
此时的概率密度函数被称为这m个⾃变量的边缘密度函数
若n个⾃变量相互独⽴，则每个⾃变量边缘密度函数的乘积为联合分布的概率密度
均值与⽅差：
均值⼀元时相同，只不过是在每⼀位上求均值并最终将他们组合成⼀个向量
均值组合成的向量最为均值
同理，均值有如下特征
这⾥的A，B为矩阵，X为向量
由均值得出⽅差
D(X) = E(X-E(X))*(X - E(X))
D(x) = E(XX') - E(X)*E(X')
可以看到，协差阵是平⽅的期望，所以协差阵肯定是半正定的
这个正好是当X=Y时的协差阵
协差阵，相关系数阵，标准离差阵
当判断两个多元向量关系的时候，可先求出协差阵 协差阵的每个元素/这两个单独拿出来算的⽅差即可得到相关系数阵
正态分布:
密度函数：
u:均值向量，∑协⽅差矩阵
由于协差阵半正定 当∑ = 0时特殊情况特殊考虑
n元正态分布的每⼀维都服从正态分布
若X服从N(u , Σ)
现在做变换 X‘ = AX + d
那么X’服从 N(Au + d, AΣA')
第1章 多元正态分布
1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？
数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。其中最典型的就是0-1标准化和Z标准化。
2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？
欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。
缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。没有考虑到总体变异对距离远近的影响。
马氏距离表示数据的协方差距离。为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。
优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。
缺点：夸大了变化微小的变量的作用。受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。
3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？
统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。
多 元 统 计 分 析（1）
题 目:
多元统计分析知识点
研 究 生
专 业
指导教师
完成日期 2013年 12月
目录
第一章绪论....................................................................................................................................... 1
§1.1什么是多元统计分析 ....................................................................................................... 1
§1.2多元统计分析能解决哪些实际问题 ............................................................................... 2
§1.3主要内容安排 ................................................................................................................... 2
第二章多元正态分布 ....................................................................................................................... 2
§2.1基本概念 ........................................................................................................................... 2
