高中数学(人教A版)必修4第3章 三角恒等变换 测试题(含详解)

1 第三章测试

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．sin105°cos105°的值为( )

A.14 B．－14

C.34 D．－34

解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.

答案 B

2．若sin2α＝14，π4

A.32 B．－32

C.34 D．－34

解析 (cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－14＝34.

又π4

∴cosα

答案 B

3．sin15°sin30°sin75°的值等于( )

A.14 B.34

C.18 D.38

解析 sin15°sin30°sin75°

＝sin15°cos15°sin30°

＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18.

答案 C 2 4．在△ABC中，∠A＝15°，则 3sinA－cos(B＋C)的值为( )

A.2 B.22

C.32 D. 2

解析 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，

3sinA－cos(B＋C)

＝3sinA＋cosA

＝2(32sinA＋12cosA)

＝2cos(60°－A)＝2cos45°＝2.

答案 A

5．已知tanθ＝13，则cos2θ＋12sin2θ等于( )

A．－65 B．－45

C.45 D.65

解析 原式＝cos2θ＋sinθcosθcos2θ＋sin2θ＝1＋tanθ1＋tan2θ＝65.

答案 D

6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是( )

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

解析 ∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝π2.

答案 D

7．设a＝22(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝32，则( )

A．c

C．a

解析 a＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°， 3 b＝2cos213°－1＝cos26°，

c＝32＝cos30°，

∵y＝cosx在(0,90°)内是减函数，

∴cos26°>cos28°>cos30°，即b>a>c.

答案 A

8．三角形ABC中，若∠C>90°，则tanA·tanB与1的大小关系为( )

A．tanA·tanB>1 B. tanA·tanB<1

C．tanA·tanB＝1 D．不能确定

解析 在三角形ABC中，∵∠C>90°，∴∠A，∠B分别都为锐角．

则有tanA>0，tanB>0，tanC<0.

又∵∠C＝π－(∠A＋∠B)，

∴tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanA·tanB<0，

易知1－tanA·tanB>0，

即tanA·tanB<1.

答案 B

9．函数f(x)＝sin2x＋π4－sin2x－π4是( )

A．周期为π的奇函数

B．周期为π的偶函数

C．周期为2π的奇函数

D．周期为2π的偶函数

解析 f(x)＝sin2x＋π4－sin2x－π4

＝cos2π4－x－sin2x－π4

＝cos2x－π4－sin2x－π4

＝cos2x－π2

＝sin2x.

答案 A 4 10．y＝cosx(cosx＋sinx)的值域是( )

A．[－2,2] B.1＋22，2

C.1－22，1＋22 D.－12，32

解析 y＝cos2x＋cosxsinx＝1＋cos2x2＋12sin2x

＝12＋2222sin2x＋22cos2x

＝12＋22sin(2x＋π4)．∵x∈R，

∴当sin2x＋π4＝1时，y有最大值1＋22；

当sin2x＋π4＝－1时，y有最小值1－22.

∴值域为1－22，1＋22.

答案

C

11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cosθ2的值为( )

A.335 B.45

C．±35

D．±45

解析 由sin(π－θ)＝2425，得sinθ＝2425.

∵θ为第二象限的角，∴cosθ＝－725.

∴cosθ2＝± 1＋cosθ2＝± 1－7252＝±35.

答案 C

12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cosα的值为(

)

A.5665 B.1665

C.5665或1665 D．以上都不对 5 解析 ∵00，

∴0

∵0<2α＋β0，

∴0<2α＋β

∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]

＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)

＝35×1213＋45×513＝5665.

答案 A

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)

13．若1＋tanα1－tanα＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.

解析 1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α

＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosαcos2α－sin2α

＝tan2α＋1＋2tanα1－tan2α＝tanα＋121－tan2α＝1＋tanα1－tanα＝2012.

答案 2012

14．已知cos2α＝13，则sin4α＋cos4α＝________.

解 ∵cos2α＝13，

∴sin22α＝89.

∴sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α

＝1－12sin22α＝1－12×89＝59.

答案 59

15.sinα＋30°＋cosα＋60°2cosα＝________. 6 解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinαcos30°＋cosαsin30°＋cosαcos60°－sinαsin60°＝cosα，

∴原式＝cosα2cosα＝12.

答案 12

16．关于函数f(x)＝cos(2x－π3)＋cos(2x＋π6)，则下列命题：

①y＝f(x)的最大值为2；

②y＝f(x)最小正周期是π；

③y＝f(x)在区间π24，13π24上是减函数；

④将函数y＝2cos2x的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．

其中正确命题的序号是________．

解析 f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π6

＝cos2x－π3＋sinπ2－2x＋π6

＝cos2x－π3－sin2x－π3

＝2·22cos2x－π3－22sin2x－π3

＝2cos2x－π3＋π4

＝2cos2x－π12，

∴y＝f(x)的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．

又当x∈π24，13π24时，2x－π12∈[0，π]，∴y＝f(x)在π24，13π24上是减函数，故③正确．

由④得y＝2cos2x－π24＝2cos2x－π12，故④正确．

答案 ①②③④

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知向量m＝cosα－23，－1，n＝(sinx,1)，m与n为共线向量，且α∈－π2，0. 7 (1)求sinα＋cosα的值；

(2)求sin2αsinα－cosα的值．

解 (1)∵m与n为共线向量，

∴cosα－23×1－(－1)×sinα＝0，

即sinα＋cosα＝23.

(2)∵1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝29，

∴sin2α＝－79.

∴(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝169.

又∵α∈－π2，0，∴sinα－cosα<0.

∴sinα－cosα＝－43.

∴sin2αsinα－cosα＝712.

18．(12分)求证：2－2sinα＋3π4cosα＋π4cos4α－sin4α＝1＋tanα1－tanα.

证明 左边＝2－2sinα＋π4＋π2cosα＋π4cos2α＋sin2αcos2α－sin2α

＝2－2cos2α＋π4cos2α－sin2α

＝1－cos2α＋π2cos2α－sin2α

＝1＋sin2αcos2α－sin2α＝sinα＋cosα2cos2α－sin2α

＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα.

∴原等式成立． 8 19．(12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.

(1)求fπ3的值；

(2)求f(x)的最大值和最小值．

解 (1)fπ3＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3

＝2×－12＋322－4×12

＝－1＋34－2＝－94.

(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx

＝3cos2x－4cosx－1＝3cosx－232－73，

∵x∈R，cosx∈[－1,1]，

∴当cosx＝－1时，f(x)有最大值6；

当cosx＝23时，f(x)有最小值－73.

20．(12分)已知cosx－π4＝210，x∈π2，3π4.

(1)求sinx的值；

(2)求sin2x＋π3的值．

解 (1)解法1：∵x∈π2，3π4，

∴x－π4∈π4，π2，

于是sinx－π4＝ 1－cos2x－π4＝7210.

sinx＝sinx－π4＋π4

＝sinx－π4cosπ4＋cosx－π4sinπ4

＝7210×22＋210×22

＝45.

解法2：由题设得