2023届上海春季高考练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{1,2},{1,}A B a ==，且A B =，则=a _____________．2．已知向量(3,4),(1,2)a b == ，则2a b -=_______________．3．若不等式|1|2x -≤，则实数x 的取值范围为______________．4．已知圆C 的一般方程为2220x x y ++=，则圆C 的半径为____________5．已知事件A 发生的概率为()0.5P A =，则它的对立事件A 发生的概率(P A =______________．6．已知正实数a 、b 满足41a b +=，则ab 的最大值为_______________．7．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm ，最小值为154cm ，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为_______________．8．设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=________________．9．已知函数()21xf x -=+，且()()()2log 1,0,0x x g x f x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则方程()2g x =的解为______________．10．已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为_____________．11．设12,C z z ∈且12i z z =⋅，满足111z -=，则12z z -的取值范围为________________．12．已知空间向量,,OA OB OC 都是单位向量，且,,OA OB OA OC OB ⊥⊥ 与OC的夹角为60︒，若P 为空间任意一点，且||1OP = ，满足||||||OP OC OP OB OP OA ⋅≤⋅≤⋅ ，则OP OC⋅的最大值为__________．二、单选题13．下列函数中为偶函数的是（）A ．cos y x =B ．sin y x =C ．3y x =D ．2xy =14．如图所示，下面是出口，上面是进口，下列选项叙述错误的是（）A ．从2018年开始，2021年进出口总增长率最大B ．从2018年开始，进出口总额逐年增大C ．从2018年开始，进口总额逐年增大D ．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小15．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -边11A C 上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面（）A ．1DDB ．AC C ．1AD D ．1B C16．已知数列{}n a 的各项均为实数，n S 为其前n 项和，若对任意2022k >，都有1k k S S +>，则下列说法正确的是（）A ．13521,,,,n a a a a - 为等差数列，2462,,,,n a a a a 为等比数列B ．13521,,,,n a a a a - 为等比数列，2462,,,,n a a a a 为等差数列C ．1232022,,,,a a a a 为等差数列，202220232024,,,,n a a a a L 为等比数列D ．1232022,,,,a a a a 为等比数列，202220232024,,,,n a a a a L 为等差数列三、解答题17．已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，,3,4AB AC PA AB AC ⊥===，M 为BC中点，过点M 分别作平行于平面PAB 的直线交AC PC 、于点E ，F ．(1)求直线PM 与平面ABC 所成角的大小；(2)证明：//ME 平面PAB ，并求直线ME 到平面PAB 的距离．18．在ABC 中，角A ，B ，C 对应边为a ，b ，c ，其中2b =．(1)若120A C +=︒，且2a c =，求边长c ；(2)若15,sin A C a A =︒-=，求ABC 的面积ABC S ．19．已知S 为正比例系数，定义：000,F S F V =为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），0V 为建筑物的体积（单位：立方米）．(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为R ，高度为H ，求该建筑体的S （用,R H 表示）；(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A 为底面面积，L 为建筑底面周长．已知f 为正比例系数，2L 与A 成正比，定义：2L f A=，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为T ．已知该建筑体推导得出13S n=+，n为层数，层高为3米，其中18,100000f T ==，试求当取第几层时，该建筑体S 最小？20．已知椭圆222Γ:1(0,3x y m m m +=>≠．(1)若2m =，求椭圆Γ的离心率；(2)设12,A A 为椭圆Γ的左右顶点，若椭圆Γ上一点E 的纵坐标为1，且122EA EA ⋅=-，求m 的值；(3)若P 为椭圆Γ上一点，过点P222155y x m -=仅有一个公共点，求m 的取值范围．21．设函数32()(1),()f x ax a x x g x kx m =-++=+，其中0,,R a k m ≥∈，若任意[0,1]x ∈均有()()f x g x ≤，则称函数()y g x =是函数()y f x =的控制函数”，且对于所有满足条件的函数()y g x =在x 处取得的最小值记为()f x ．(1)若2,()a g x x ==，试问()y g x =是否为()y f x =的控制函数”；(2)若0a =，使得直线()y h x =是曲线()y f x =在14x =处的切线，证明：函数()y h x =为函数()y f x =的控制函数，并求“14f ⎛⎫⎪⎝⎭”的值；(3)若曲线()y f x =在()00(0,1)x x x =∈处的切线过点(1,0)，且[]0,1c x ∈，证明：当且仅当0c x =或1c =时，)()f c f c =．参考答案：1．2【分析】利用集合相等的定义求解即可.【详解】因为{1,2},{1,}A B a ==且A B =，所以集合,A B 中元素相同，所以2a =，故答案为：22．(1,0)【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解.【详解】因为(3,4),(1,2)a b == ，所以(3,4)2(1,2)(1)2,0a b =-=-r r，故答案为：(1,0)3．[]1,3-【分析】解绝对值不等式求得正确答案.【详解】由|1|2x -≤，得212,13x x -≤-≤-≤≤，所以实数x 的取值范围是[]1,3-.故选：[]1,3-4．1【分析】先求得圆的标准方程，从而求得圆的半径.【详解】圆2220x x y ++=即()2211x y ++=，所以圆的半径为1.故答案为：15．12##0.5【分析】根据对立事件的知识求得正确答案.【详解】依题意，()(110.50.5P A P A =-=-=.故答案为：126．116【分析】由21144442a b ab a b +⎛⎫=⋅≤ ⎪⎝⎭，代入即可得出答案.【详解】211411144424416a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⨯=⎪⎝⎭，当且仅当“4a b =”，即11,28a b ==时取等，所以ab 的最大值为116.故答案为：1167．7【分析】求得各组的范围，从而确定组数.【详解】第一组[)153.5,158.5；第二组[)158.5,163.5；第三组[)163.5,168.5；第四组[)168.5,173.5；第五组[)173.5,178.5；第六组[)178.5,183.5；第七组[]183.5,188.5.所以组数为7.故答案为：78．17【分析】利用二项式展开式的通项公式求常数项和4x 的系数即可.【详解】二项式4(12)x -展开式的通项为444144C 1(2)(2)C r r r r r rr T x x ---+=-=-，当40-=r ，即4r =时，44404(2)C 1a -=-=，当44-=r ，即0r =时，40044(2)C 16a -=-=，所以0417a a +=，故答案为：179．3【分析】分类讨论0x ≥和0x <，解方程()2g x =的解，即可得出答案.【详解】当0x ≥时，()()2log 12g x x =+=，解得：3x =，当0x <时，()()212xg x f x =-=+=，解得：0x =（舍去），所以方程()2g x =的解为3.故答案为：3.10．12##0.5【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率1246310C C 4151C 1202P ⨯===，故答案为：1211．0,2⎡⎣【分析】判断出12,z z 对应点的轨迹，从而求得12z z -的取值范围.【详解】设12i,i,,,,R z a b z c d a b c d =+=+∈，2i z c d =-，则()i i i i a b c d d c +=⋅-=+，所以a db c =⎧⎨=⎩，()111i 1z a b -=-+==，所以()2211a b -+=，即1z 对应点(),a b 在以()1,0为圆心，半径为1的圆()2211x y -+=上.2i i z c d b a =+=+，2z 对应点为(),b a ，(),a b 与(),b a 关于y x =对称，所以点(),b a 在以()0,1为圆心，半径为1的圆()2211x y +-=上，12z z -表示(),a b 与(),b a 两点间的距离，圆()2211x y -+=与圆()2211x y +-=所以12z z -的最小值为0112++=+所以12z z-的取值范围为0,2⎡⎣.故答案为：0,2⎡⎣12【分析】以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OB 为y 轴，垂直于zOy 平面为x 轴建立空间直角坐标系，||||||OP OC OP OB OP OA ⋅≤⋅≤⋅由坐标表示得22223144x y y z +≤≤，画出可行域利用线性规划求解即可.【详解】因为,,OA OB OA OC ⊥⊥OB OC O = ，所以OA ⊥平面BOC ，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OB 为y 轴，垂直于zOy 平面为x轴建立如图所示坐标系，因为,,OA OB OC 都是单位向量，OB 与OC的夹角即BOC ∠为60︒，所以(0,0,1)A ，(0,1,0)B，1,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，设点(,,)P x y z ，且2221x y z ++=，则(,,)OP x y z =uu u r ，(0,0,1)OA = ，(0,10)OB =，uu u r，1,02OC ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu r ，所以由||||||OP OC OP OB OP OA ⋅≤⋅≤⋅12x y y z +≤≤，平方得22223144x y y z +≤≤，由2223144x xyy y +≤可得22333)0x y y y +-=+-≤，所以300y y +≥-≤或300y y +≤-≥，由22y z ≤及2221x y z ++=可得2221y x y ≤--即2221x y +≤，综上满足222231424x xy y y z ++≤≤的可行域如图所示，令122z x y =+，则2y z =+，由可行域可得z 在E 点取得最大值，在F 点取得最小值，由2221x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得77E ⎝⎭，,77F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以max 7z =，min 7z =-，12x y +的最大值为7，故答案为：713．A【分析】对四个选项一一验证：对于A ：利用奇偶性的定义进行证明；对于B ：取特殊值,22f f ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭否定结论；对于C ：取特殊值()()1,1f f -否定结论；对于D ：取特殊值()()1,1f f -否定结论.【详解】对于A ：cos y x =的定义域为R.因为()()()cos cos f x x x f x -=-==，所以cos y x =为偶函数.故A 正确；对于B ：对于sin y x =，sin 1,sin 12222f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不满足()()f x f x -=，故sin y x =不是偶函数.故B 错误；对于C ：对于3y x =，()()()33111,111f f ==-=-=-，不满足()()f x f x -=，故3y x =不是偶函数.故C 错误；对于D ：对于2x y =，()()111122,122f f -==-==，不满足()()f x f x -=，故2x y =不是偶函数.故D 错误；故选：A.14．C【分析】根据进出口总额统计图，逐一分析选项即可；【详解】从2018年开始，进出口总额依次是30.5，31.57，32.22，39.10，进出口总增长率依次是2019年31.5730.50.03530.5-≈，2020年32.2231.570.0231.57-≈，2021年39.1032.220.21332.22-≈，选项ABD 正确；2019年进口总额比2020年进口总额小，选项C 错误；故选：C 15．B【分析】根据异面直线的知识确定正确答案.【详解】P 在边11A C 上运动，则BP ⊂平面11A BC ，当P 运动到11A C 的中点1P 时，BP 与1DD 相交，A 选项错误.11//AC A C ，11,,,A C C A 四点共面，BP ⋂平面11ACC A P =，P AC ∉，所以BP 与AC 是异面直线，B 选项正确.当P 运动到点1C 时，1//,BP AD BP 与1B C 相交，所以CD 选项错误.故选：B16．C【分析】令|()|n f n S =(n S 是等差数列的前n 项和),由题意可得当2022n >时，()f n 单调递减，结合二次函数的性质和选项逐一判断即可.【详解】解：令()||0n f n S =≥,由题意当2022n >时，()f n 单调递减，对于首项为1a ，公差为d 的等差数列，则前n 项和2211()222n n n d dna d n a T n -=+=⋅+-⋅(不含常数项)，此时()2122n d d f n T n a n ⎛⎫==⋅+-⋅ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质知：当n 足够大时，()f n 不可能为单调递减函数，所以，A 中奇数项及B 中偶数项为等差数列均不合题意；对于C ，当前2022项为等差数列，从第2022项开始为等比数列且公比(0,1)q ∈时，满足()(1)f n f n >+，故符合题意；对于D ，当前2022项为等比数列，从第2022项为等差数列时，同A 、B 分析：当n 足够大时，不满足()(1)f n f n >+，即()f n 不可能为单调递减函数，故不合题意故选：C.【点睛】方法点睛：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次二项式(不含常数项)，在研究有关等差数列前n 项和的有关性质性，从二次函数的性质出发，能使问题得到简化.17．(1)arcsin 61(2)2【分析】（1）因为PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，建立空间直角坐标系，分别求出直线PM 的方向向量与平面ABC 的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案；（2）由面面平行的性质定理可证得//ME 平面PAB ，再证明AC ⊥平面PAB ，即可求出答案.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,4,0,0,0,3A B C P ，()3,2,0,0,2,02M E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以3,2,32PM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()0,0,1n =⊥ 平面ABC ，设直线PM 与平面ABC 所成角为θ，则3661sin cos ,619494n PM n PM n PMθ⋅====++.直线PM 与平面ABC 所成角的大小为661arcsin61（2）因为平面//PAB 平面EFM ，平面PAB ⋂平面PAC PA =，平面EFM 平面PAC FE =，所以//PA EF ，同理//EM AB ，M 为BC 中点，所以,E F 分别为,AC PC 的中点，因为//EM AB ，EM ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//ME 平面PAB ，因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥，AB AC ⊥，,,AB PA A AB PA ⋂=⊂平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB ，又因为//ME 平面PAB ，直线ME 到平面PAB 的距离为2AE =.18．233(2)33【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得c .（2）利用正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式求得正确答案.【详解】（1）依题意，2a c =，由正弦定理得sin 2sin A C =，即()sin 1202sin C C ︒-=，1cos sin 2sin ,tan 223C C C C +==，由于0120C ︒<<︒，所以30C =︒，则90,60A B =︒=︒，由正弦定理得12sin 2,sin sin sin 3c b b Cc C B B⨯===.（2）依题意，sin a A =，由正弦定理得sin sin A C A =，由于15180A ︒<<︒，sin 0A >，所以sin C =由于150A C -=︒>，所以C 为锐角，所以45C =︒，则60,75A B =︒=︒，()sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒+︒=︒︒+︒︒由正弦定理得2sin 2,sin sin sin c b b Cc C B B ===)4121==，所以)11sin 2213222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=-△19．(1)2H RHR+(2)13或14【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中S 的定义求解即可；（2）利用导函数求S 的单调性，即可求出S 最小时n 的值.【详解】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：202ππF RH R =+，20πV R H =，所以020π(2)2πF R H R H R S V R H HR++===.（2）由题意可得1135003S n n==+，*N n ∈，所以213S n'0S '=即3210000n -=，解得13.516n =≈，所以S在⎡⎢⎣单调递减，在⎤+∞⎥⎦单调递增，所以S 的最小值在13n =或14n =取得，当13n =时，10.074500313S =+≈⨯，当14n =时，10.074314S =≈⨯，所以在第13或14层时，该建筑体S 最小.20．(1)12(2)3(3)⎤⎦【分析】（1）由椭圆的离心率定义即可得出答案；（2）设()()12,0,,0A m A m -，求出E 点的坐标，表示出12,EA EA，由数量积的定义求出12EA EA ⋅ ，即可求出m 的值；（3）设该直线为:l y b =+，直线l 与双曲线222155y x m -=仅有一个公共点，讨论直线l 与双曲线222155y x m -=的渐近线平行和直线l 与双曲线222155y x m -=的渐近线不平行结合P 为椭圆Γ上一点即可得出答案.【详解】（1）当2m =时，椭圆22:143x y Γ+=，焦点在x 上，则222224,3,1a b c a b ===-=，则12c e a ==.（2）因为12,A A 为椭圆Γ的左右顶点，所以()()12,0,,0A m A m -，令222Γ:13x y m +=中1y =，则222212133x x x m m +=⇒=⇒=±，若,13E m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，12,1,,133EA m m EA m m ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121233EA EA m m m m ⎛⎫⎛⎫⋅=---+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：3m =.若,1E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，12,1,,1EA m EA m ⎛⎫⎛⎫=--=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1212EA EA m m ⎛⎫⎛⎫⋅=-++=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：3m =.（3）若P 为椭圆Γ上一点，过点P设该直线为:l y b =+，直线l 与双曲线222155y x m -=仅有一个公共点，①直线l 与双曲线222155y x m -=的渐近线平行时，则双曲线222155y x m -=的渐近线为：y mx =±，所以m =.因为P 为椭圆Γ上一点，所以0,m m >≠.②直线l 与双曲线222155y x m -=的渐近线不平行时，222155y x my b ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，则()2222350m x b m -++-=，则()()()22222304350m m bm⎧-≠⎪⎨=---=⎪⎩，解得：225150b m =-≥，解得：23m ≥，因为0,m m >≠m .又因为P 为椭圆Γ上一点，所以22213x y m y b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，则()()222223330m x x b m +++-=，则()()()2222243330m b m =-+-≥ ，解得：2233b m ≤+，所以2251533m m -≤+，所以33m -≤≤3m <≤.则m 的取值范围为：⎤⎦21．(1)()y g x =是()y f x =的控制函数(2)证明见解析，13416f ⎛⎫=⎪⎝⎭(3)证明见解析【分析】（1）令()()()m x f x g x =-，利用导函数求单调性进而判断()m x 在[0,1]上的正负即可；（2）利用导数的几何意义求得切线()h x 的方程，再利用导函数求单调性进而判断()()f x g x -在[0,1]上的正负即可；（3）设曲线()y f x =在()00(0,1)x x x =∈处的切线为()t x ，利用切线过(1,0)求出0x 与a 的关系，再利用控制函数的定义求解即可；【详解】（1）当2,()a g x x ==时，令32()()()23m x f x g x x x =-=-，所以2()666(1)m x x x x x '=-=-，令()0m x '=解得0x =或1，所以()m x 在(0,1)单调递减，又因为(0)0m =，所以()m x 在[0,1]上小于等于0恒成立，即()()f x g x ≤在[0,1]上恒成立，所以由题意()y g x =是()y f x =的控制函数.（2）当0a =时，2()f x x x =-+，()21f x x '=-+，所以13416f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1142f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，所以曲线()y f x =在14x =处的切线为3111624y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得11()216h x x =+，令211()()()216n x f x h x x x =-=-+-，则1()22n x x '=-+，令()0n x '=解得14x =，所以()n x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,14⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，又104n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()n x 在[0,1]上小于等于0恒成立，即()()f x h x ≤在[0,1]上恒成立，所以()y h x =是()y f x =的控制函数，由题意1134416f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）由题意322()(1),()32(1)1,f x ax a x x f x ax a x '=-++=-++设()y f x =在00((0,1))x x x =∈处的切线为()t x ，则000()()()()t x f x x x f x '=-+，因为00()(),t x f x =(1)0t =且(1)0f =，所以()()()()()()()()200000000032111111f x ax a x f x x f f x x ax x =-++⇒-=-'--'=，()()()2200000000011132112110,1,222ax a x ax x ax x x a x x a ∞⎛⎫⇒-++=-⇒--=≠⇒=∈+⇒= ⎪⎝⎭所以()()()2200011132113211224f x ax a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，320211121()((1)()2228a f x a a a a a a -=-++=，所以000211211()()()()()()(1)4284a t x f x x x f x x t x x a a a a-'=-+=--+⇒=--，则21()(1)(1)()0,4f x x x a x t x a x x a=--≤⇒-+≥即21()02x a-≥恒成立，所以函数()t x 必是函数()y f x =的“控制函数”.()()()(),()(),(0,1)g x kx m f x f x f x f x f x x ∀=+≥⇒∀≥=∈是函数()y f x =的“控制函数”此时“控制函数”()g x 必与()y f x =相切与x 点，()t x 与()y f x =在12x a=处相切，且过点(1,0)，由上及()()f x t x ≤知：当且仅当12x a=或1x =时等号成立，其他位置恒有()()f x t x <，所以01(c)c 2f f x a=⇒==或1c =.所以曲线()y f x =在00((0,1))x x x =∈处的切线过点(1,0)，且0[,1]c x ∈，当且仅当0c x =或1c =时，()()f c f c =.【点睛】关键点点睛：对于第3问，利用导数求得在一点处的切线，再根据切线过(1,0)点可解出a 与0x 的关系.。
