《2.5解直角三角形的应用》培优提升专题突破训练(附答案) 2021-2022学年青岛版九年级数学上

2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用》解答专题提升训练题（附答案）1．生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳篷，如图1．现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳篷．如图2，AB表示窗户的高，CD表示遮阳篷，且AB＝1.5m，遮阳篷与窗户所在平面的夹角∠BCD等于75°．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳篷的宽度CD．2．万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）3．海绵拖把一般由长杆、U型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A、B是拖把上的两个固定点，拉杆AP一端固定在点A，点P与点B重合（如图1），拉动点P可使拉杆绕着点A转动，此时点C沿着AB所在直线上下移动（如图2）．已知AB＝10cm，连杆PC为40cm，FG＝4cm，MN＝8cm．当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合．（1）求ME的长；（2）转动AP，当∠P AC＝53°时，①求点C的上升高度；②求点D与点I之间的距离（结果精确到0.1）．（sin53°≈，cos53°≈，≈2.45，≈10.05）4．大约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测量出了金字塔的高度．如图①，他首先测量了金字塔正方形底座的边长为230米，然后他站立在沙地上的点B'处，请人不断测量他的影子B'C'．当他的影子B'C'和身高A'B'相等时，立刻测量出该金字塔塔尖P的影子A 与相应底棱中点B的距离约为22.2米．此时点A与点B的连线恰好与相应的底棱垂直，即正方形底座中心O与A和B在一条直线上．聪明的小明根据老师的讲述，迅速画出图②所示的测量金字塔高度的平面图形，请你根据这个平面图形计算出该金字塔的高度．5．如图，在苏州工业园区的金鸡湖东岸，有一座世界最大的水上摩天轮“苏州之眼”，其直径为120m，旋转1周用时24min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光．（1）4min后小明离地面多高？（2）摩天轮转动1周，小明在离地面90.5m以上的空中有多长时间？6．如图，点A、B均为格点，线段AB与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC；（2）在AC上找一点E，使∠ABE＝∠ACD；（3）在BC上取一点P，使tan∠BAP＝．7．一辆自行车竖直摆放在水平地面上如图所示，右边是它的示意图，横梁AC平行于水平面MN，现测得BC＝80cm，∠CAB＝60°，∠ACB＝50°，B到MN的距离BE＝30cm，AD为可调节高度，经研究发现，当坐垫高度为身高的0.6倍时，骑行者最舒适，现一身高170cm的同学骑车，当AD长约为多少时，可以使骑行者最舒适？（结果保留一位小数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73）8．如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE 上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．求窗钩AB的长度（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）9．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，两条等长的钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量∠BAC＝100°，车位锁的底盒BC＝60cm．（1）求AB的长；（结果精确到0.1）（2）若一辆汽车的底盘高度为26cm，当车位锁上锁时，这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan，40°≈0.84）10．图1是某校花的警示牌，可近似地看成由一个正方形和矩形拼接而成．现将其简化抽象成图2，量得正方形ABCD的边长为40cm，矩形EFGH的边FG＝AB，EF＝16cm．（1）连接BF，CG，直接写出BF与CG的关系：；（2）若点D到点G所在的水平线的垂线段为DM，点E为BC的中点，∠HGM＝50°，求点A到直线GM的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）11．图1是货物传送机械上的一种翻转装置，它可以使物体在传送带上实现翻转．图2是其截面简化示意图，已知连杆OA＝50cm，载物直角面A﹣B﹣C中∠ABC＝90°，其中点O固定，点B在水平杆OM上左右滑动，AB＝BC＝30cm．当载物面BC与水平杆OM重合时为初始位置，载物面BC与水平杆OM垂直时完成翻转．（1）直接写出点B与点O的之间距离d的取值范围是；（2）当点B由初始位置向右滑动10cm时，求载物面BC与水平杆OM的夹角∠CBM的（结果精确到0.1°，参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.18．）度数．12．如图1是一种利用风力带动风车叶片旋转，再通过增速机将旋转的速度提升来促使发电机发电的装置，图2是其结构示意图，风车的三个叶片OA＝OB＝OC＝20m，每两个叶片之间的夹角为120°，点O为叶片旋转的轴心，管状塔OM垂直于山顶水平地面，OM＝60m．（1）在图2中，若∠BOM＝20°，则∠COM的度数为，点B到地面的距离可表示为；（2）在图2的基础上，风车三个叶片顺时针旋转90°后，求风车最高点到地面的距离．（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，结果保留一位小数）13．如图1所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收．图2为示意图，已知DE，DC在初始位置，DE＝DC＝60cm，点B、C、G在同一直线上，AB⊥BG，∠A＝46°，∠DCG＝95°．（1）当DE，DC在初始位置时，求点D到AC的距离；（2）当双腿伸直后，如图3，点E，D分别从初始位置运动到点E'，D'，假设E'、D'、C 三点共线，求此时点E上升的竖直高度．（结果保留整数）（参考数据：sin41°≈0.66，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87，cos44°≈0.72，sin44°≈0.69，tan44°≈0.97）14．图1是笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点B，C，D处可转动，支撑架AB＝BC＝CD＝28cm，面板DE＝28cm，若DE始终与AB平行．（1）直接写出∠ABC，∠BCD，∠CDE之间的数量关系；（2）若∠ABC＝∠BCD＝∠CDE，电脑显示屏宽EF＝26cm，且∠DEF＝105°，求笔记本电脑显示屏的端点F到AB的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73）15．某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度．如图，小明同学站在点D处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线CA上．沿教学楼向前走7.7米到达点F处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼AB的高度．（点D，F，B在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：≈1.73，≈1.41）16．道闸杆，在生活中很常见．又称为八角杆，经过铝合金挤压成型．后经喷涂，贴红色反光膜而成．主要是跟道闸配套使用，广泛应用于公路收费站．停车场、小区等．用于管理车辆的出入，可单独通过无线遥控实现起落杆．也可以通过停车场管理系统实行自动管理状态．如图1，是某停车场使用的直杆型道闸杆，图2是示意图．已知道闸杆CD平行于地面且距离地面的高度BC为1米．（1）一辆长是4.20米．宽是180米高是1.80米的箱式小货车要沿宽度为3米的道路AB 的中心线进入停车场．则道闸杆CD至少需要绕点C顺时针方向旋转多少度，小货车才能安全通过？请通过计算说明．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）（2）车辆进入该停车场时，系统会扫描车牌号码并自动起杆；而离开停车场时，需要扫码支付停车费用之后，人工遥控起杆落杆．已知车辆进入时的平均通过速度是离开时平均通过速度的2倍，20辆车组成的车队连续进入停车场比连续离开停车场所需时间少100秒，求进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数．17．图1是某种路灯的实物图．图2是该路灯的平面示意图．MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于点A．B，灯臂AC与支架BC交于点C．（1）已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°．AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm；参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）（2）某小区第一次用8000元购进一批该型号的路灯．第二次正好赶上商家搞活动．所有商品一律八折销售．该小区仍然用8000元购进第二批该型号的路灯，但所购数量比第一次多8个，求该小区两次共购进该型号的路灯多少个．18．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝°，EF与AB的位置关系；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）19．随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志者我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD为315m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶端A到BD的距离是AC，经测量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝＝80.6°．（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）（1）若设AC＝xm，用含x的代数式表示BC与CD的长度．（2）请计算舰岛AC的高度（结果精确到1m）．20．小聪家想在某市买一套能全年正午都有太阳照射的新房．勤于思考的小聪通过查阅资料发现：我们北半球冬至日正午太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小，楼房的影子会最长，如果这一天正午有太阳照射，那么整年都不会有问题．（1）五一假期他们来到正在销售的A楼盘．该楼盘每幢楼均为17层，层高3米，南、北楼的间距为60米．小聪爸妈想在中间这幢楼购房．如果是你，你将建议父母选择第几（该市区所在纬度约是32.5°N，冬至日的正午太阳高度角为90°层以上？说明你的理由．﹣32.5°﹣23.5°＝34°，sin34°≈0.6，cos34°≈0.8，tan34°≈0.7）（2）假如每平方米单价y元与楼层n层之间满足关系y＝﹣60（n﹣15）2+16375．小聪爸妈期望每平方米单价不超过13000元，请你帮助小聪家设计一下购买商品房楼层的方案．参考答案1．解：过点D作DE⊥AC于点E，由题意，∠DBC＝60°，∠BAD＝30°，AB＝1.5m，∵∠DBC＝∠BAD+∠ADB＝60°，∴∠BDA＝∠ADB＝30°，∴AB＝BD＝1.5m，∴BE＝BD•cos60°＝0.75（m），DE＝BE＝0.75（m），∵∠BCD＝75°，∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴AD＝AC＝2DE＝1.5，∴EC＝AC﹣AE＝1.5﹣1.5﹣0.75＝1.5﹣2.25，∴CD＝＝＝．2．解：由题意可得，在Rt△ABE中，∵AB＝120米，∠ABE＝60°，∴BE＝＝＝60（米），AE＝sin60°•AB＝（米），在Rt△CDE中，∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），∴DE＝tan30°•CE＝＝30（米），∴AD＝AE﹣DE＝60＝30≈52（米）．答：万楼主楼AD的高度约为52米．3．解：（1）由图1可知，P A＝AB＝10（cm），图3中，PG＝PC＝40（cm），∴ME＝40+10+10﹣40＝20（cm），∴ME的长为20cm；（2）①如图2，过点P作PQ⊥AC于点Q．∵∠A＝53°，AP＝10cm，∴PQ＝PQ⋅sin53°≈10×0.8＝8cm，AQ＝AP⋅cos53°≈10×0.6＝6cm．∴．∴AC＝45.2cm，∴C上升了4.8cm．②根据题意如图：当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合，根据勾股定理得：DF＝（cm），∵C上升了4.8cm，∴FS＝4.8cm，∴EF＝（cm），∵EH∥DI，∴△FES∽△FDT，∴，∴，∴DT≈7.7cm，由对称性可知：DI＝2DT+FG＝2×7.7+4＝19.4（cm），∴点D与点I之间的距离为19.4cm．4．解：∵金字塔正方形底座的边长为230米，∴0B＝＝115（米），∴OA＝0B+AB＝115+22.2＝137.2（米），根据题意可得Rt△AOP是等腰直角三角形，∴OA＝PO＝137.2米．答：该金字塔的高度为137.2米．5．解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，作CD⊥AM，垂足为D．∵旋转1周用时24min，∴4min后∠AOC的度数为：360°×＝60°，在Rt△OCE中，OC＝60m，∠AOC＝60°，∵cos∠AOC＝，∴OE＝120×cos60°＝30m．∴AE＝OA﹣OE＝60.5﹣30＝30.5（m）．∵四边形AECD是矩形，∴CD＝AE＝30.5m．即4min后小明离地面30.5m．（2）延长AO交圆上点G，过OG的中点H作PQ⊥AG，连接PO、PQ．∵OB＝60m，AB＝0.5m，OH＝30m，∴AH＝90.5m．∴PQ上的点都距离地面90.5m，弧PGQ上的点都大于90.5m．在Rt△OPH中，∵OP＝60m，OH＝30m，∴∠P＝30°．∴∠POH＝60°．同理∠QOH＝60°．∴∠POQ＝120°．∵摩天轮旋转1周用时24min，∴摩天轮旋转120°用时：24×＝8（min）．即摩天轮转动1周，小明有8min在离地面90.5m以上的空中．6．解：（1）如图，线段AC即为所求．（2）如图，点E即为所求．（3）如图，点P即为所求．7．解：过点D作DH⊥AC于点H，延长EB交AC于T，过点D作DG⊥EB于点G，在Rt△BCT中，BT＝BC•sin50°≈61.6（cm），∵EG＝170×0.6＝102cm，∴GT＝EG﹣ET＝102﹣61.6﹣30＝10.4（cm），∵四边形DHTG是矩形，∴DH＝GT＝10.4（cm），在Rt△ADH中，AD＝＝≈12.0（cm）答：AD的长约为12.0cm．8．解：根据题意，可知∠AOB＝37°，OA＝20cm，OB＝7cm．过点A作AH⊥OF，垂足为点H．在Rt△OAD中，∵sin∠AOD＝，∴AD＝AO⋅sin∠AOD＝20×sin37°≈12（cm）．同理可得OD＝16（cm）．由OB＝7，得BD＝9（cm）．在Rt△ABD中，．答：窗钩AB的长度约等于15cm．9．解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，BC＝60cm，∴BH＝HC＝BC＝30（cm），在Rt△ABH中，∠BAC＝100°，∴∠B＝40°，∴AB＝≈≈38.9（cm）；（2）在Rt△ABH中，∴AH＝AB sin B＝50sin40°≈38.9×0.64＝24.896（cm），∴24.896＜26，∴当车位锁上锁时，这辆汽车能进入该车位．10．解：（1）如图1中，结论：BF＝CG，BF∥CG．理由：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∵AB＝FG，∴FG＝BC，FG∥BC，∴四边形BCGF是平行四边形，∴BF＝CG，BF∥CG．故答案为：BF＝CG，BF∥CG．（2）如图2中，过点A作AW⊥GM于W，过点D作DQ⊥AW于Q，过点C作CT⊥DM于T，过点H作HJ⊥GM于J，交CT于K．∵BE＝EC＝20cm，BC＝EH＝40cm，∴CH＝20（cm），在Rt△HGJ中，HJ＝GH•sin50°≈12.26（cm），在Rt△CKH中，KH＝CH•cos50°≈12.86（cm），在Rt△CDT中，DT＝CD•sin50°≈30.64（cm），在Rt△AQD中，AQ＝AD•cos50°≈25.72（cm），∵四边形DQWM，四边形MTKJ都是矩形，∴QW＝DM，TM＝JK＝HJ+KH，∴QW＝DM＝DT+KH+HJ＝12.26+12.86+30.64＝55.76（cm），∴AW＝AQ+QW＝55.76+25.72≈81.5（cm）．11．解：（1）初始位置时，∠ABO＝90°，故OB＝，完成翻转时，OB＝OA+AB＝80，∴40≤d≤80，故答案为40≤d≤80；（2）由（1）知，初始位置时OB＝40cm，所以向右滑动10cm时，OB＝50cm，如图，作AH⊥OM，垂足为H，设HB＝xcm，∵OA2﹣OH2＝AB2﹣HB2＝AH2，∴502﹣（50﹣x）2＝302﹣x2，解得：x＝9，∴，∴∠ABH≈72.5°，∴∠CBM＝90°﹣72.5°＝17.5°．12．解：（1）∵∠BOC＝120°，∠BOM＝20°，∴∠COM＝∠BOC﹣∠COM＝120°﹣20°＝100°，过点B作OM的垂线，交OM于点E，在Rt△OBE中，OB＝20m，∴OE＝OB•cos∠BOE＝20cos20°，∴EM＝OM﹣OE＝60﹣20cos20°，故答案为：100°，60﹣20cos20°；（2）如图，当风车的三个叶片顺时针旋转90°后，∠AOM＝130°，∠BOM＝110°，∠COM＝10°，∴此时点A最高，过点A作AD⊥MO，交MO的延长线于点D，则∠AOD＝180°﹣∠AOM＝50°，在Rt△AOD中，，即OD＝20×cos50°≈12.86（m），∴DM＝12.86+60≈72.9（m），∴风车最高点到地面的距离约为72.9m．13．解：（1）如图2中，过点D作DH⊥AC于H．∵∠B＝90°，∠A＝46°，∴∠ACB＝44°，∴∠DCH＝180°﹣∠ACB﹣∠DCG＝41°，在Rt△DCH中，DH＝CD•sin41°＝60×0.66≈40（cm），∴点D到AC的距离为40cm．（2）如图3中，过点D作DH⊥AC于H．∵DE＝DC，DH⊥EC，∴EH＝CH＝CD•cos41°＝60×0.75≈45（cm），∵CE′＝120cm，EC＝90cm，∴时点E上升的竖直高度＝（120﹣90）•sin44°≈21（cm）．14．解：（1）如图2﹣1中，结论：∠ABC+∠BCD+∠CDE＝360°．理由：过点C作CT∥DE，∵AB∥DE，∴CT∥AB∥DE，∴∠CDE+∠DCT＝180°，∠ABC+∠BCT＝180°，∴∠ABC+∠BCD+∠CDE＝∠ABC+∠BCT+∠DCT+∠CDE＝360°．（2）如图2﹣2中，连接BD，过点C作CJ⊥BD于J，过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FT⊥HE交HE的延长线于T．∵CD＝CB，∠BCD＝120°，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∵∠CDE＝∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠BDE＝90°，∵EH⊥AB，∴∠BHE＝90°，∴四边形BDEH是矩形，∴EH＝BD＝2DJ＝2•CD•cos30°＝28≈48.44（cm），在Rt△EFT中，∠FET＝105°﹣90°＝15°，∴TE＝EF•cos15°＝26×0.97≈25.43（cm），∴TH＝TE+EH＝48.44+25.43≈73.9（cm）．∴笔记本电脑显示屏的端点F到AB的距离为73.9cm．15．解：连接CE并延长，交AB于点G，设AG＝x米，由题意可知，四边形CDFE，四边形CDBG是矩形，∴BG＝CD＝1.6米，DF＝CE＝7.7米，∠CGB＝90°，∴∠AGE＝90°，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴∠CAG＝∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝x（米），∴EG＝CG﹣CE＝x﹣7.7（米），在Rt△AEG中，∠AEG＝60°，tan∠AEG＝，即EG＝，∴x﹣7.7＝，解得：x＝，∴AB＝AG+BG＝18.2+1.6＝19.8（米）．16．解：（1）如图，点E为AB的中点，则BE＝AB＝1.5米，在BE上取点F，使EF＝0.9米，则BF＝BE﹣EF＝1.5﹣0.9＝0.6（米），过点F作FP⊥AB，交DC为点H，在FP上截取FG＝1.80米，则四边形HFBC是矩形，故有HF＝BC＝1米，∴HG＝FG﹣HF＝1.8﹣1＝0.8（米），在Rt△GHC中，HC＝0.6米，HG＝0.8米，∴tan∠CGH＝，∴∠CGH＝37°，即∠GCH＝90°﹣37°＝53°，∴道闸杆CD至少需要绕点C顺时针方向旋转53°，小货车才能安全通过．（2）设离开停车场时平均每分钟连续通过的车辆数x辆，则进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为2x辆，根据题意，得：，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的根，当x＝6时，2x＝12，答：进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为12辆．17．解：（1）过点C作CD⊥MN于点D，则∠CDB＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝40cm，∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝45°，在Rt△BCD中，BC＝CD＝20≈49（cm），答：支架BC的长约为49cm；（2）设该小区第一次购进该型号的路灯x个，根据题意，得：，解得：x＝32，经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，∴32+32+8＝72（个），答：该小区两次共购进该型号的路灯72个．18．解：（1）①∵GH＝MN，MH＝NG，∴四边形GHMN是平行四边形，∵∠NGD＝33°，∴∠M＝∠HGN＝147°，∵AH⊥AB，EF∥AH，∴EF⊥AB，故答案为：147，垂直；②过G作GP⊥EF，垂足为P，∵∠NGD＝33°，∴∠FGP＝57°，∴FP＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，∵GP⊥EF，EF⊥AB，∴GP∥AB，又∵DE∥AB，∴GP∥DE，∵EF∥AH，∴四边形GDEP为平行四边形，∴GD＝PE，∴EF＝DG+PF＝50+50+42≈142.0cm；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P．∴NP＝305﹣50﹣50﹣150＝55cm，∵NG＝GD＝100cm，∴cos∠GNP＝＝＝0.55，∴∠GNP≈57°，∴∠NGP≈33°，∴∠NGD≈123°，∴∠PGD≈123°﹣33°＝90°，故NF绕着G点顺时针旋转了90°．19．解：（1）作EH⊥AC于H，则四边形EHCD是矩形，在Rt△ABC中，∵tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan71.6°＝3.01xm，在Rt△AHE中，∵tan∠EAC＝，∴CD＝EH＝AH•tan80.6°＝6.04（x﹣6）＝（6.04x﹣36.24）m；（2）设AC＝xm，∵四边形EHCD是矩形，∴DE＝CH＝6m，∵BD＝BC+CD＝315m，BC＝3.01xm，CD＝（6.04x﹣36.24）m，∴3.01x+6.04x﹣36.24＝315，解得：x＝39，∴舰岛AC的高度为：39m．20．解：（1）过点B作BE⊥MF于点E，由题意得，∠ABE＝34°，BE＝60米，∴tan34°＝，即ME＝60×0.7＝42（米），∴BD＝EF＝17×3﹣42＝9（米），9÷3＝3（层），答：至少选择3层以上．（2）由题意得，﹣60（n﹣15）2+16375≤13000，解得n≤7.5，∵当n＝15时，y最大，∵n＞3，∴n可取4，5，6，7，∴可以购买4层到7层的楼房．。

专题25：解直角三角形及其应用1. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，tanA=34，AB=10，则BC的长为（）A.5B.6C.7D.82. 下列说法中，正确的是（）A.在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则cosA也扩大5倍B.若45∘<α<90∘，则sinα>1C.cos30∘+cos45∘=cos(30∘+45∘)D.若α为锐角，tanα=512，则sinα=5133. 如图，甲、乙两艘轮船分别在P，M两个港口停靠，港口P在港口M的南偏西22∘方向上.某一天，甲、乙两艘轮船分别从P，M两个港口同时出发，以相同的速度航行，乙轮船向正南方向航行，若干小时后，两轮船在N处相遇，则甲轮船的航行方向是()A.北偏东22∘B.北偏东44∘C.南偏西68∘D.南偏西44∘4. 如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD=30∘，在C点测得∠BCD=60∘，又测得AC=60米，则小岛B到公路l的距离为（）A.30米B.30√3米C.40√3米D.(30+30√3)米5. 如图，小明站在某广场一看台C处，从眼睛D处测得广场中心F的俯角为21∘，若CD＝1.6米，BC＝1.5米，BC平行于地面FA，台阶AB的坡度为i＝3:4，坡长AB＝10米，则看台底端A点距离广场中心F点的距离约为（参考数据：sin2l∘≈0.36，cos2l∘≈0.93，tan21∘≈0.38）（）A.8.8米B.9.5米C.10.5米D.12米6.如图，学校测量组在池塘边的A点处测得∠BAC=90∘，再在距离A点10米的C处测得∠ACB=60∘．则A、B两点的距离是（）A.10√3B.10√3C.5√3D.2037. 如图，小明在楼顶A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为52∘，楼底点D处的俯角为13度．若两座楼AB与CD相距60米，则楼CD的高度约为________米．（结果保留三个有效数字）(sin13∘≈0.2250, cos13∘≈0.9744, tan13∘≈0.2309, sin52∘≈0.7880, cos52∘≈0.6157, tan52∘≈1.2799)8. 如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD＝60∘，则AB的长为________米．9.如图所示，在海平面上灯塔O方圆100km范围内有暗礁，一艘轮船自西向东航行，在点A处测得灯塔O在北偏东60∘方向上，继续航行100km后，在B处测得灯塔O在北偏东37∘方向上，请你作出判断，为了避免触礁，这艘轮船________改变航向．（请填“需要”或“不需要”，参考数据：sin37∘≈0.6018，cos37∘≈0.7986，tan37∘≈0.7536，√3≈1.732）10.河堤横断面如图所示，堤高10米，迎水坡AB的坡比为1:√3，则AB的长为________．11. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆________的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45∘，测得旗杆顶端A的仰角为30∘．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆________的高度是3√3+9m（结果保留根号）12. 如图，从位于O处的某海防哨所发现在它的北偏东60∘的方向，相距600m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇要到达哨所B，B在O的正东南方向，则A，B间的距离是________m．13. 某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7∘（即∠BAB′＝7∘）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37∘，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin37≈0.6，cos37＝0.8，tan37≈0.75）14. 台灯是人们学习工作中常用的一种电器，图2是放置在水平桌面上的台灯(图1)的平面示意图(底座高度忽略不计).已知灯臂BC=42cm,BA=39cm，它们的夹角∠ABC=90∘，灯臂BC与水平桌面的夹角∠BCD= 72∘.由光源A射出的光线沿灯罩形成的光线AE,AF与水平桌面所形成的夹角∠AEF,∠AFE分别为72∘和45∘.求该台灯照亮桌面EF的长度.(结果精确到0.1cm.参考数据：sin72∘≈0.95,cos72∘≈0.31,tan72∘≈3.08)15. 如图是州市旅游胜地百丈飞瀑景区某台阶的示意图，为提高游客到景点的安全性，决定将该景点的步行台阶进行改造．把倾角由45∘减至30∘，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在地面为水平面），求：（1）台阶的高度是多少？（2）改善后的台阶坡面会加长多少？16. 如图，△ABC中，∠BAC=90∘，AD是△ABC的高，∠C=30∘，BC=4，求BD的长．17.我校初三(11)班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为31∘；(2)在点A和大树之间选择一点B（A、B、D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45∘(3)量出A、B两点间的距离为5米．请你根据以上数据求出大树CD的高度．(tan31∘≈0.6, sin31∘≈0.5, cos31∘≈0.8)18.为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30∘方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60∘方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）.19. 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡逻艇的航向为北偏西40∘．(1)求甲巡逻艇的航行方向；(2)成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？20.已知：如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠ACB=90∘，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．21.在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30∘，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45∘，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．）22. 如图，MN是一条东西走向的海岸线，上午9:00点一艘船从海岸线上港口A处沿北偏东30∘方向航行，上午11：00点抵达B点，然后向南偏东75∘方向航行，一段时间后，抵达位于港口A的北偏东60∘方向上的C 处，船在航行中的速度均为30海里/时，求A到C的距离.22.如图，一艘军舰从点A向位于正东方向的C岛航行，在点A处测得B岛在其北偏东75∘（即∠A=15∘），航行75海里到达点D处，测得B岛在其北偏东15∘，继续航行5海里到达C岛，此时接到通知，要求这艘军舰在半小时内赶到正北方向的B岛执行任务，则这艘军舰航行速度至少为多少时才能按时赶到B岛？24. 如图，∠O＝90∘，∠A＝60∘，OA＝2，P点从O点出发，沿OA向A运动，Q从A点出发，沿AB向B点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1单位/秒，当P运动到A时，两点同时停止运动．点D在PQ上，DE⊥PQ交BO于E，当四边形DQBE中有两个内角是直角时，P点运动的时间是多少？AB25.如图所示，CD⊥AB，垂足为D，∠ACB=90∘，∠A=30∘，求证：BD=14．26. 图①、图①都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．(1)在图①中，画出∠MON的平分线OP；(2)在图①中，以AB为斜边画一个Rt△ABC，使点C在格点上．27. 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60(√6+√2)海里，在B处测得C在北偏东45∘的方向上，A处测得C在北偏西30∘的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120(√6−√2)海里．（1）分别求出A与C及B与C的距离AC、BC（结果保留根号）（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，图中有无触礁的危险？（参考数据：√2=1.41，√3=1.73，√6=2.45）28. 如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30∘角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9√2米到达点B处时，风筝线与水平线构成45∘角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10√3，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．参考答案与试题解析专题25：解直角三角形及其应用1.【答案】B【考点】解直角三角形【解答】解：如图，① 在Rt△ABC中，tanA=BCAC =34，① 设BC=3x，则AC=4x，① AC2+BC2=AB2，即(3x)2+(4x)2=102，解得：x=2或x=−2（舍），① BC=3x=6，故选B．【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．2.【答案】D【考点】函数与直角三角形锐角三角函数的增减性锐角三角函数的定义【解答】解：A，在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以cosA值不变，故本选项错误；B，应为若45∘<α<90∘，则√22<sinα<1，故本选项错误；C，三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；D，根据tanα=512，设两直角边为5k，12k，根据勾股定理得斜边为13k，所以sinα=513，故本选项正确．故选D．【点评】本题利用三角函数的性质求解．3.【答案】B【考点】方位角【解答】解：如图，由题意可知，∠PMN=22∘，PN=MN,所以∠MPN=22∘.所以∠2=∠1=22∘+22∘=44∘.故甲轮船的航行方向是北偏东44∘.故选B.4.【答案】B【考点】解直角三角形的应用【解答】解：作BE⊥L于点E．① ∠BAD=30∘，∠BCD=60∘，① ∠ABC=30∘，① BC=AC=60（米），① BE=BC×sin60∘=30√3（米）．故选B．【点评】此题考查解直角三角形的应用，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形．5.【答案】C【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解答】如图，作BM⊥FA交FA的延长线于M，延长DC交FA的延长线于N．① BM:AM＝3:4，AB＝10米，① BM＝6（米），AM＝8（米），，在Rt△DNF中，tan21∘=DNFN=0.38，① 7.6FN① FN≈20（米），① AF＝FN−AM−MN＝20−8−1.5≈10.5（米），【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6.【答案】B【考点】解直角三角形的应用【解答】解：在Rt△ABC中，① ∠BAC=90∘，AC=10，∠C=60∘，① tan∠C=AB，AC① AB=tan∠C⋅AC=tan60∘×10=10√3．故选B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单．掌握正切函数的定义是关键．7.【答案】90.6【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△ACE中，有CE=AE×tan52∘，在Rt△AED中，ED=AE×tan13∘，故这栋楼高CD=EC+ED=60×(tan52∘+tan13∘)≈90.6（米）．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并解直角三角形．8.【答案】√3【考点】解直角三角形的应用-其他问题【解答】作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．① CD＝1，∠ACD＝60∘，① DE＝BF=√3．2在Rt△AFB中∠A＝30∘，BF=√3，2① AB＝2BF=√3（米）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值要熟练掌握．9.【答案】不需要【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解答】解：过点O作OC⊥AB交AB延长线于点C，在Rt△COB中，∠BOC=37∘，BC=OC⋅tan37∘在Rt△AOC中，∠AOC=60∘① AC=OC⋅tan60∘=√3OC又① AC=AB+BC，AB=100km① √3OC=100+OC⋅tan37∘① OC=100√3−tan37∘≈102.2(km)故OC>100km① 这艘船不必改变航向，没有触礁危险．【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．10.【答案】20米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解答】解：① 坡AB的坡比为1:√3，① BCAC =√3，即10AC=√3，解得，AC=10√3，① AB=√AC2+BC2=20（米），故答案为：20米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡度的概念、勾股定理是解题的关键．11.【答案】AB,C,B,A,m,AB,3√3+9m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解答】在Rt△ACD中，① tan∠ACD=ADCD，① tan30∘=AD9，① AD9=√33，① AD＝3√3m，在Rt△BCD中，① ∠BCD＝45∘，① BD＝CD＝9m，① AB＝AD+BD＝3√3+9(m)．【点评】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．12.【答案】300+300√3【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解答】解：① 在直角△AOC中，∠AOC=30∘，OA=600，① AC=OA⋅sin30∘=300，OC=OA⋅cos30∘=300√3．① 直角△OBC是等腰直角三角形，① BC=OC=300√3，① AB=300+300√3(m)．【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．13.【答案】这棵大树AB原来的高度是(3√3+4)米．【考点】解直角三角形的应用-其他问题【解答】过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90∘．① 在Rt△AED中，∠ADC＝37∘，① cos37∘=DEAD =DE5=0.8，① DE＝4，① sin37∘=AEAD =AE5=0.6，① AE＝3．在Rt△AEC中，① ∠CAE＝90∘−∠ACE＝90∘−60∘＝30∘，① CE=√33AE=√3，① AC＝2CE＝2√3，① AB＝AC+CE+ED＝2√3+√3+4＝3√3+4（米）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．14.【答案】解：如图，分别过点A,B作AG⊥FD,BH⊥FD,垂足为点G,H，过点B作BM⊥AG,垂足为点M.在Rt△BCH中，BH=BC×sin∠BCH≈42×0.95=39.9,∠CBH=90∘−∠BCH=18∘,∴∠ABM=∠ABC−∠MBC=∠MBH−∠MBC=∠CBH=18∘,∴∠MAB=90∘−∠ABM=72∘,在Rt△BMA中，AM=AB×cos∠MAB≈39×0.31=12.09,易知四边形BMGH为矩形，∴MG=BH≈39.9,∴AG=AM+MG≈51.99在Rt△AGF中，∠AFG=45∘,∴FG=AG≈51.99,在Rt△AGE中，GE=AGtan∠AEG ≈51.993.08≈16.88.∴台灯照亮桌面的长度EF=FG+GE ≈51.99+16.88=68.87≈68.9(cm).【考点】解直角三角形的应用解直角三角形的应用-其他问题【解答】解：如图，分别过点A,B作AG⊥FD,BH⊥FD,垂足为点G,H，过点B作BM⊥AG,垂足为点M.在Rt△BCH中，BH=BC×sin∠BCH≈42×0.95=39.9,∠CBH=90∘−∠BCH=18∘,∴∠ABM=∠ABC−∠MBC=∠MBH−∠MBC=∠CBH=18∘,∴∠MAB=90∘−∠ABM=72∘,在Rt△BMA中，AM=AB×cos∠MAB≈39×0.31=12.09,易知四边形BMGH为矩形，∴MG=BH≈39.9,∴AG=AM+MG≈51.99在Rt△AGF中，∠AFG=45∘,∴FG=AG≈51.99,在Rt△AGE中，GE=AGtan∠AEG ≈51.993.08≈16.88.∴台灯照亮桌面的长度EF=FG+GE ≈51.99+16.88=68.87≈68.9(cm).15.【答案】改善后的台阶坡面加长约2.1米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解答】解：（1）在直角三角形ABC中，AC=AB．sin45∘=5√22(m)（2）在直角三角形ADC中，AD=ACsin30∘=5√22÷12=5√2（米），① AD−AB=5√2−5≈5×(1.414−1)=2.07≈2.1（米）．答：改善后的台阶坡面加长约2.1米．【点评】本题考查了解直角三角形，理解两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．16.【答案】解：① 在△ABC中，∠BAC=90∘，∠C=30∘，AD是高，① ∠ADB=90∘，∠BAD=∠C=30∘，① 在直角△ABC中，AB=12BC=2，① 在直角△ABD中，BD=12AB=1．① BD的长为1．【考点】含30度角的直角三角形【解答】解：① 在△ABC中，∠BAC=90∘，∠C=30∘，AD是高，① ∠ADB=90∘，∠BAD=∠C=30∘，① 在直角△ABC中，AB=12BC=2，① 在直角△ABD中，BD=12AB=1．① BD的长为1．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形．应用时，要注意找准30∘的角所对的直角边和斜边是解题的关键．17.【答案】大树的高约为7.5米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解答】解：设CD=x米；① ∠DBC=45∘，① DB=CD=x米，AD=x+5（米）；，在Rt△ACD中，tan∠A=CDAD① tan31∘=x；x+5解得：x=7.5；【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．18.【答案】解：如图，过点P作PC⊥AB于C，由题意知：∠PAC=60∘，∠PBC=30∘，=√3，在Rt△PAC中，tan∠PAC=PCAC① AC=√33PC，在Rt△PBC中，tan∠PBC=PCBC =√33，① BC=√3PC.① AB=AC+BC=√33PC+√3PC=10×40=400，① PC=100√3.答：建筑物P到赛道AB的距离为100√3米.【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解答】解：如图，过点P作PC⊥AB于C，由题意知：∠PAC=60∘，∠PBC=30∘，在Rt△PAC中，tan∠PAC=PCAC=√3，① AC=√33PC，在Rt△PBC中，tan∠PBC=PCBC =√33，① BC=√3PC.① AB=AC+BC=√33PC+√3PC =10×40=400，① PC=100√3.答：建筑物P到赛道AB的距离为100√3米.19.【答案】解：(1)由已知得，AC=120×660=12（海里），BC=50×660=5（海里），① AC2+BC2=AB2，① △ABC是直角三角形.① ∠CBA=50∘，① ∠CAB=40∘① 甲的航向为北偏东50∘.(2)甲巡逻船航行3分钟的路程为：120×360=6（海里），乙巡逻船航行3分钟的路程为：50×360=2.5（海里），3分钟后，甲、乙两艘巡逻船相距为：√62+2.52=6.5（海里）．【考点】方位角解直角三角形的应用-方向角问题勾股定理的应用方向角【解答】解：(1)由已知得，AC=120×660=12（海里），BC=50×660=5（海里），① AC2+BC2=AB2，① △ABC是直角三角形.① ∠CBA=50∘，① ∠CAB=40∘① 甲的航向为北偏东50∘.(2)甲巡逻船航行3分钟的路程为：120×360=6（海里），=2.5（海里），乙巡逻船航行3分钟的路程为：50×3603分钟后，甲、乙两艘巡逻船相距为：√62+2.52=6.5（海里）．【点评】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形是解题的关键．20.【答案】证明：① ∠ACB=90∘，M为AB中点，AB=BM，① CM=12① ∠ACB=90∘，∠A=30∘，AB=BM，① CB=12① CM=CB，① D为MB的中点，① CD⊥BM，即CD⊥AB．【考点】含30度角的直角三角形【解答】证明：① ∠ACB=90∘，M为AB中点，AB=BM，① CM=12① ∠ACB=90∘，∠A=30∘，AB=BM，① CB=12① CM=CB，① D为MB的中点，① CD⊥BM，即CD⊥AB．【点评】本题考查了含30∘的直角三角形的性质：30∘所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．21.【答案】解：在Rt△BCD中，tan45∘=CDBC=1，① CD=BC．在Rt△ACD中，tan30∘=CDAC =√33，① CDAB+BC =√33．① CD10+CD =√33．① 3CD=√3CD+10√3．① CD=√33−√3=10√3(3+√3)6=5√3+5≈13.66（米）① 条幅顶端D点距离地面的高度为13.66+1.44=15.1（米）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解答】解：在Rt△BCD中，tan45∘=CDBC=1，① CD=BC．在Rt△ACD中，tan30∘=CDAC =√33，① CDAB+BC =√33．① CD10+CD =√33．① 3CD=√3CD+10√3．① CD=√33−√3=10√3(3+√3)6=5√3+5≈13.66（米）① 条幅顶端D点距离地面的高度为13.66+1.44=15.1（米）．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．22.【答案】解：如图，过B作BE⊥AC于点E，如图：∵∠GAB=30∘ ,∠GAC=60∘，∴∠BAE=30∘,在Rt△ABE中,∵∠AEB=90∘ ,AB=30×2=60（海里），∠BAE=30∘,AB=30（海里），∴BE=12AE=√3BE=30√3（海里），在Rt△CBE中，∵∠CEB=90∘ , ∠EBC=75∘−(60∘−30∘)=45∘，∴CE=BE=30（海里），∴AC=AE+CE=(30√3+30)（海里），答：A到C的距离(30√3+30)海里.【考点】方位角解直角三角形的应用【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于点E，如图：∵∠GAB=30∘ ,∠GAC=60∘，∴∠BAE=30∘,在Rt△ABE中,∵∠AEB=90∘ ,AB=30×2=60（海里），∠BAE=30∘,AB=30（海里），∴BE=12AE=√3BE=30√3（海里），在Rt△CBE中，∵∠CEB=90∘ , ∠EBC=75∘−(60∘−30∘)=45∘，∴CE=BE=30（海里），∴AC=AE+CE=(30√3+30)（海里），答：A到C的距离(30√3+30)海里.23.【答案】解：在AC上取点E，作AE=BE，① ∠A=15∘，① ∠ABE=∠A=15∘，① ∠BEC=∠A+∠ABE=30∘，设AE=x海里，则BE=AE=x海里，x（海里），在Rt△BEC中，EC=BE⋅cos30∘=√32① AD=75海里，CD=5海里，x=75+5，① x+√32解得：x=80√3−80，① BE=80√3−80（海里），BE=40√3−40（海里），① BC=12① 这艘军舰在半小时内赶到正北方向的B岛执行任务，=80√3−80（海里/时），① (40√3−40)÷12① 这艘军舰航行速度至少为80√3−80海里/时时才能按时赶到B岛．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解答】解：在AC上取点E，作AE=BE，① ∠A=15∘，① ∠ABE=∠A=15∘，① ∠BEC=∠A+∠ABE=30∘，设AE=x海里，则BE=AE=x海里，x（海里），在Rt△BEC中，EC=BE⋅cos30∘=√32① AD=75海里，CD=5海里，x=75+5，① x+√32解得：x=80√3−80，① BE=80√3−80（海里），BE=40√3−40（海里），① BC=12① 这艘军舰在半小时内赶到正北方向的B岛执行任务，=80√3−80（海里/时），① (40√3−40)÷12① 这艘军舰航行速度至少为80√3−80海里/时时才能按时赶到B 岛．【点评】 此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解；注意数形结合思想与方程思想的应用．24.【答案】依题意有∠DQB ＝90∘和∠DEB ＝90∘两种情况，设P 点运动的时间为t 秒(0≤≤2)，①当∠DQB ＝90∘时，AQ ＝t ，AP ＝2−t ，在Rt △PQA 中，① ∠APQ ＝30∘，① 2−t ＝2t ，解得：t =23， ①当∠DEB ＝90∘时，AQ ＝t ，AP ＝2−t ，在Rt △PQA 中，① ∠AQP ＝30∘，① t ＝2(2−t)，解得：t =43， ① 当四边形DQBE 中有两个内角是直角时，P 点运动的时间为23或43秒．【考点】含30度角的直角三角形【解答】依题意有∠DQB ＝90∘和∠DEB ＝90∘两种情况，设P 点运动的时间为t 秒(0≤≤2)，①当∠DQB ＝90∘时，AQ ＝t ，AP ＝2−t ，在Rt △PQA 中，① ∠APQ ＝30∘，① 2−t ＝2t ，解得：t =23，①当∠DEB ＝90∘时，AQ ＝t ，AP ＝2−t ，在Rt △PQA 中，① ∠AQP ＝30∘，① t ＝2(2−t)，解得：t =43，① 当四边形DQBE 中有两个内角是直角时，P 点运动的时间为23或43秒． 【点评】此题考查含30∘的直角三角形的性质，关键是根据两种情况利用含30∘的直角三角形的性质解答． 25.【答案】证明：① ∠ACB =90∘，∠A =30∘，① BC =12AB （直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半）又① CD ⊥AB ，垂足为D ，① ∠B+∠BCD=90∘，① ∠A+∠B=90∘，① ∠BCD=∠A=30∘，① BD=12BC=12×12AB=14AB，因此，BD=14AB．【考点】含30度角的直角三角形【解答】证明：① ∠ACB=90∘，∠A=30∘，① BC=12AB（直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半）又① CD⊥AB，垂足为D，① ∠B+∠BCD=90∘，① ∠A+∠B=90∘，① ∠BCD=∠A=30∘，① BD=12BC=12×12AB=14AB，因此，BD=14AB．【点评】本题主要利用直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半的性质．26.【答案】解：(1)如图所示，射线OP即为所求．(2)如图所示，点C即为所求.【考点】已知一直角边和斜边作直角三角形作角的平分线【解答】解：(1)如图所示，射线OP即为所求．(2)如图所示，点C即为所求.【点评】本题考查作图-应用与设计、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．27.【答案】如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可得∠CBD＝45∘，∠CAD＝60∘，设CE＝x，在Rt△CBE中，BE＝CE＝x，x，在Rt△CAE中，AE=√33① AB＝60(√6+√2)海里，x＝60(√6+√2)，① x+√33解得：x＝60√6，x＝120√2，则AC=2√33BC=√2x＝120√3，答：A与C的距离为120√2海里，B与C的距离为120√3海里；如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，① AD＝120(√6−√2)，∠CAD＝60∘，① DF＝ADsin60∘＝180√2−60√6≈106.8>100，故海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解答】如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可得∠CBD＝45∘，∠CAD＝60∘，设CE＝x，在Rt△CBE中，BE＝CE＝x，x，在Rt△CAE中，AE=√33① AB＝60(√6+√2)海里，x＝60(√6+√2)，① x+√33解得：x＝60√6，x＝120√2，则AC=2√33BC=√2x＝120√3，答：A与C的距离为120√2海里，B与C的距离为120√3海里；如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，① AD＝120(√6−√2)，∠CAD＝60∘，① DF＝ADsin60∘＝180√2−60√6≈106.8>100，故海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中．28.【答案】解：（1）此时风筝线AD的长度为12√3米；（2）风筝原来的高度C1D为(13.5+√6)米．【考点】解直角三角形的应用【解答】解：（1）此时风筝线AD的长度为12√3米；（2）风筝原来的高度C1D为(13.5+√6)米．。

2021年九年级数学中考一轮复习《解直角三角形》专题突破训练（附答案）1．如图，已知AB 、CD 分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点B 处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD 的玻璃幕墙看到大楼AB 的顶部点A 的像，那么大楼AB 的高度为（ ）A. 103米B. 203米C. 303米D. 60米2．小方发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得8CD =米， 16BC =米， CD 与地面成30︒角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆AB 的高度为（ ）．A. 9米B. ()83+米C. ()63+米D. ()1223+米3．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan C 的值为（ ）A. 12B. 55C. 53D. 255 4．如图所示是某游乐场“激流勇进”项目的示意图，游船从D 点水平运动到A 处后，沿着坡度为3:1i =的斜坡AB 到达游乐场项目的最高点B ，然后沿着俯角为030，长度为42m 的斜坡BC 运动，最后沿斜坡CD 俯冲到达点D ，完成一次“激流勇进”．如果037CDA AD ∠=，的长为()52213m +，则斜坡CD 的长约为（ ）．（参考数据： 000sin370.6cos370.8tan370.75≈≈≈，，）A. 36mB. 45mC. 48mD. 55m5．如图，在坡角为30的山坡FB 上有一座信号塔AB ，其右侧有一堵防护墙CD ，测得BD 的长度是30米，当光线AC 与水平地面的夹角为53时，测得信号塔落在防护墙上的影子DE 的长为19米，则信号塔AB 的高度约为（ ）参考数据： sin370.60cos370.80tan370.753 1.73)≈≈≈≈，，，A. 35.5米B. 37.6米C. 38.6米D. 40.3米6．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，如果AB ＝5，BC ＝8，sin B ＝45，那么tan∠CDE 的值为（ ）A. 12B. 33C. 22D. 2－17．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E ，点E 为BD 的中点， 11805tan 2BAC BDC AB CD ACB ∠+∠===∠=，，，则AD = ______ ．8．在△ABC 中，AB=AC=10，cosB=35，如果圆O 的半径为210，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于__．9．如图，已知在Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒，点D 在AB 上， 5CD =， 8AC =， 3sin 5ACD ∠=，则BC =__________．10．如图，在等腰△ABC中，AB = AC，∠B=30º．以点B为旋转中心，旋转30º，点A、C分别落在点A'、C'处，直线AC、A'C'交于点D，那么ADAC的值为．11．在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D为AC上一点，若1tan4DBC∠=，则AD＝______。

中考数学总复习《解直角三角形及其应用》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题1．已知△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13，现将每条边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定2．已知平面直角坐标系xOy中第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，如果cosα＝，且OP＝5，那么点P的坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（3，5）D．（5，3）3．如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD 的长度是（）A．B．C．D．5．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为i＝1：3的斜坡向上移动了10米．此时滑块上升的高度是（）（单位：米）A．B．C．D．106．如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（）A．900m B．900m C．900m D．1800m7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得AB＝60cm，∠B＝50°，则点A到BC的距离为（）A．60sin50°cm B．60cos50°cmC．D．60tan50°cm8．如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与BC平行的直线EF上点A处测得∠EAB＝37°，∠F AC＝60°，已知河宽18米，则B，C两点间的距离为（）（参考数据：sin37°，cos37°≈，tan37°≈）A．（18+6）米B．（24+10）米C．（24+6）米D．（24+18）米二．填空题9．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点处，则∠ABC的正弦值为．10．某人在大厦一层乘坐观光电梯，看到大厦外一棵树上的鸟巢，仰角为30°，到达大厦的第五层后，再看这个鸟巢，俯角为60°，已知大厦的层高均为4m，则这棵树与大厦的距离为m．11．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC＝8m，则坡面AB的长度是m．12．一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．13．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为150米，则这栋楼的高度为米．14．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC 与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC ＝40cm，则支架BC的长为cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）三．解答题15．常州天宁寺始建于唐贞观年间，是佛教音乐梵呗的发源地之一，也是常州最大的寺庙．某校数学兴趣小组的同学利用卷尺和自制的测角仪尝试求解天宁寺宝塔的高度．如图所示，平地上一幢建筑物AB与宝塔CD相距56m，在建筑物的顶部分别观测宝塔底部的俯角为45°、宝塔顶部的仰角为60°．求天宁寺宝塔的高度（结果保留根号）．16．如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度AE、BD和两楼之间的距离AD，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m 高的C处，此时测得B的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）17．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）（1）求此时小区楼房BC的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？18．如图所示，为了知道楼房CP外墙上一广告屏的高度GH是多少，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在A处测得∠GDF＝30°，在B处测得∠HEF＝50°，点A、B、C共线，AC⊥CP 于点C，DF⊥CP于点F，AB为20米，BC＝30米，测角仪的高度（AD、BE）为1.3米，根据测量数据，请求出GH的值．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）19．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．20．如图，海面上有A，B两个小岛，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向．从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．（1）求小岛A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船在P处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发先沿正西方向前往B点去取修理的材料（将材料装配上船的时间忽略不计），再沿射线BP方向以相同的速度前往P点进行救援．救援船从A点出发的同时，一艘补给船从C点出发，以每小时30海里的速度沿射线CP 方向前往P点，已知A、P，C三点在同一直线上，从B测得C在B的北偏西15°方向，请通过计算说明救援船能否在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．（参考数据： 1.41，≈1.731，≈2.45）参考答案一．选择题1．解：∵将△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13∴AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC为直角三角形，即∠C＝90°∴cos A＝＝现将每条边的长度都扩大为原来的5倍，则＝∴cos A的值不变．故选：A．2．解：过点P作PB⊥x轴于点B∵cosα＝＝∴可假设OB＝4，则OP＝5∴PB＝＝3∴点P的坐标可能是（4，3）故选：B．3．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．AB＝＝＝5，BC＝2，AC＝＝∵S△ABC＝BC•3＝3，S△ABC＝AB•CD＝CD∴CD＝．在Rt△ACD中AD＝＝＝＝．∴tan∠BAC＝＝＝．故选：B．4．解：过点A作AH⊥BC于H∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°∵AH⊥BC∴∠BAH＝∠BAC＝30°∴∠BAD+∠DAH＝30°∵∠DAE＝30°∴∠BAD+∠EAC＝30°∴∠DAH＝∠EAC∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝∵BH＝AB＝3∵AH＝AB sin60°＝6×＝3∴＝∴DH＝∴BD＝BH﹣DH＝3﹣故选：A．5．解：如图，设AB＝10m，过点B作BC⊥AC于点C由i＝1：3，得tanα＝＝∴AC＝3BC在Rt△ABC中∵AC2+BC2＝AB2∴（3BC）2+BC2＝102解得BC＝∴滑块上升的高度为：h＝．故选：A．6．解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E∵∠ABC＝150°∴∠CBE＝180°﹣150°＝30°，∠BCE＝150°﹣90°＝60°又∵∠BCD＝105°∴∠DCE＝105°﹣60°＝45°在R△BCE中∠CBE＝30°，BC＝1800m∴CE＝BC＝900（m）在Rt△CDE中∠DCE＝45°∴CD＝CE＝900（m）故选：B．7．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D在Rt△ABD中∵sin B＝∴AD＝sin B•AB＝60sin50°即点A到BC的距离为60sin50°cm故选：A．8．解：作AD⊥BC于点D，如图∵BC∥EF∴∠DBA＝∠EAB，∠DCA＝∠CAF∵∠EAB＝37°，∠CAF＝60°∴∠DBA＝37°，∠DCA＝60°∵AD＝18米，tan∠DBA＝，tan∠DCA＝∴＝，＝解得BD＝24米，CD＝6米∴BC＝BD+CD＝（24+6）米故选：C．二．填空题9．解：如图，取BC的中点D，连接AD由网格可得，AC＝，AB＝∴AB＝AC∴AD⊥BCRt△ABD中∵AD＝∴sin∠ABC＝．故答案为：．10．解：如图，根据题意可知：∠BAC＝30°，∠DCB＝30°，AB＝4×4＝16（m）∴∠ADC＝90°，设CD＝x m∴AD＝AD＝xm，BD＝CD＝xm∵AD+BD＝AB∴x+x＝16∴x＝4（m）．答：这棵树与大厦的距离为4m．故答案为：4．11．解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝8m∴＝＝解得AC＝8则AB＝＝16（m）．故答案为：16．12．解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH∴BH＝CH在Rt△ACH中∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝∴CH＝（12+CH）解得CH＝6（+1）．答：渔船与灯塔C的最短距离是6（+1）海里．故答案为：6+6．13．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D由题意得：AD＝150米在Rt△ADB中∠BAD＝30°∴BD＝AD•tan30°＝150×＝50（米）在Rt△ADC中∠DAC＝60°∴CD＝AD•tan60°＝150（米）∴BC＝BD+CD＝200（米）∴这栋楼的高度为200米故答案为：200．14．解：如图2，过C作CD⊥MN于D则∠CDB＝90°∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm）∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm）∵∠ACB＝15°∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm）故答案为49．三．解答题15．解：如图所示，过点A作AE⊥CD于点E，则四边形AEDB是矩形依题意BD＝56，∠EAD＝45°，∠CAE＝60°∴△ADE是等腰直角三角形∴AE＝ED则四边形ABDE是正方形∴AE＝BD＝56在Rt△ACE中∴答：天宁寺宝塔的高度为（）米．16．解：过点C作CF⊥BD，垂足为F由题意得：AC＝DF＝12m，CF＝AD设AD＝CF＝xm在Rt△ABD中∠BAD＝31°∴BD＝AD•tan31°≈0.6x（m）在Rt△CFB中∠BCF＝20°∴BF＝CF•tan20°≈0.36x（m）∴BD＝BF+DF＝（0.36x+12）m∴0.6x＝0.36x+12解得：x＝50∴AD＝50m，BD＝30m∴两楼的高度约为30m，两楼之间的距离约为50m．17．解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：则四边形BCFE是矩形由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝∠FDC＝45°∵∠DCF＝∠FDC＝45°∴CF＝DF∵四边形BCFE是矩形∴BE＝CF＝DF在Rt△ADE中∠AED＝90°∴tan∠DAE＝＝＝2+∴BE＝30经检验，BE＝30是原方程的解∴EF＝DH﹣DF＝30+15﹣30＝15（米）答：此时小区楼房BC的高度为15米．（2）∵DE＝15（2+）米∴AE＝＝＝15（米）过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H在Rt△ABC中∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米∴tan∠BAC＝＝＝在Rt△AGH中GH＝DE＝15（2+）米AH＝＝＝（30+45）米∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（30+45）﹣15＝（30+30）米（30+30）÷5＝（6+6）（秒）答：经过（6+6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．18．解：由题意得：EF＝BC＝30米，DF＝AC＝AB+BC＝50（米）在Rt△EHF中∠HEF＝50°∴HF＝EF•tan50°≈30×1.19＝35.7（米）在Rt△DFG中∠GDF＝30°∴FG＝DF•tan30°＝50×＝（米）∴HG＝FH﹣FG＝35.7﹣≈6.9（米）∴GH的值约为6.9米．19．解：（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．∵∠FDC＝30°，DF＝30∴，∵∠FCH＝45°∴CH＝FH＝15∴∵CE：CD＝1：3∴∵AB＝BC＝DE∴；（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G∵∠ACG＝45°∴＝20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．20．解：（1）过P作PH⊥AB于H，如图：根据已知得：∠PBH＝45°，∠P AH＝30°，BP＝30海里∴∠PBH＝∠BPH＝45°∴△BPH是等腰直角三角形∴BH＝PH＝＝＝15（海里）在Rt△APH中tan∠P AH＝，即tan30°＝∴AH＝15（海里）∴AB＝BH+AH＝15+15≈57.9（海里）∴小岛A，B之间的距离约是57.9海里；（2）过P作PG⊥BC于G，如图：由（1）知AB＝57.9海里，BP＝30海里∴救援船到达P所需时间为≈1.95（小时）由已知可得∠CBP＝60°，∠BPC＝∠PBA+∠P AB＝75°∴∠GPB＝90°﹣∠CBP＝30°，∠GPC＝∠BPC﹣∠GPB＝45°在Rt△BPG中cos∠BPG＝，即cos30°＝∴PG＝15∵∠GPC＝45°＝∠C∴△GPC是等腰直角三角形∴CP＝PG＝15≈36.75（海里）∴补给船到达P所需时间为36.75÷30＝1.23（小时）∵1.95﹣1.23＝0.72（小时），0.72×60＝43.2（分）∴救援船不能在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．。

解直角三角形培优专练一．选择题（共 5 小题）1．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树 A 、B 的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB 的方向走到E，再从 E 沿着垂直于AE 的方向走到F，C 为 AE 上一点，其中 3 位同学分别测得三组数据：① AC，∠ ACB；② EF、DE、AD；③ CD，∠ ACB ，∠ ADB ．其中能根据所测数据求得 A 、 B 两树距离的有（）A ． 0 组 B．一组 C ．二组 D ．三组2．如图，△ ABC 中，∠ A=30 °，，AC=，则AB的长为（）A ．B ．C． 5D．3．一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中 a＞b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）A ．B ．C． D ．4．如图，在矩形ABCD 中， DE⊥ AC 于 E，∠ AOB ：∠ AOD=1 ： 2，且 BD=12 ，则 DE 的长度是（）A ． 3B． 6C． 6D． 35．如图，已知灯塔M 方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在 A 处测得灯塔M 在北偏东30°方向，行驶 1 小时后到达 B 处，此时刚好进入灯塔M 的镭射信号区，测得灯塔M 在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M 的镭射信号区的时间为（）A ．（﹣1）小时B ．（+1）小时C ． 2 小时D．小时二．填空题（共 5 小题）6．如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端 D 处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°（ A 、 B、 C 在同一条直线上），则河的宽度AB 约为m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73）7．如图，某海监船向正西方向航行，在 A 处望见一艘正在作业渔船 D 在南偏西45°方向，海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东45°方向，又航行了半小时到达 C 处，望见渔船 D 在南偏东60°方向，若海监船的速度为50 海里 /小时，则 A ，B 之间的距离为海里（取，结果精确到0.1 海里）．8．在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°，BD 是△ABC 的角平分线，将△ BCD 沿着直线 BD 折叠，点C 落在点 C1处，如果 AB=5 ， AC=4 ，那么 sin∠ ADC 1的值是．9．如图△ABC 中，∠ C=90°，AC=8cm ， AB 的垂直平分线MN 交 AC 于 D，连接 BD ，若cos∠BDC=，则BC的长为．10．在 Rt△ABC 中，∠ C=90 度．若 sinA=，则sinB=．三．解答题（共 5 小题）11．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、 B， B 船在 A 船的正东方向，且两船保持20 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在 A 的东北方向， B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C 与船 B 的距离是多少．（结果保留根号）12．如图，将含 30°角的直角三角板 ABC （∠ A=30 °）绕其直角顶点 C 顺时针旋转α角（ 0°＜α＜90°），得到 Rt△ A ′B′C， A ′C 与 AB 交于点 D，过点 D 作 DE∥A ′B′交 CB′于点 E，连接BE．易知，在旋转过程中，△ BDE 为直角三角形．设 BC=1 ，AD=x ，△ BDE 的面积为S．（1）当α=30°时，求 x 的值．（2）求 S 与 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）以点 E 为圆心， BE 为半径作⊙ E，当 S=时，判断⊙ E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．13．如图是成都市某街道的一座人行天桥的示意图，天桥的高是 10 米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：，若新坡角下需留 3 米的人行道，问离原坡面点 A 处 10 米的建筑物 EF 是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732 ）14．已知：如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ ABC=45 °， D 是 BC 上的点， BD=10 ．∠ ADC=60 °．求 AC （ ≈1.73，结果保留整数） ．15．在 △ ABC 中，∠ B 是锐角， AD 是 BC 上的高， E 为边 AC 的中点， BC=14 ， AD=12 ，sinB 是方程 10x 2﹣ 3x ﹣ 4=0 的一个根．（ 1）求线段 CD 的长；（ 2）求 tan ∠ EDC 的值．参考答案与试题解析一．选择题（共 5 小题）1．（ 2015?江西校级模拟）数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树 A 、 B 的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树 A 沿着垂直于 AB 的方向走到 E，再从 E 沿着垂直于 AE 的方向走到 F， C 为 AE 上一点，其中 3 位同学分别测得三组数据：① AC ，∠ACB ；② EF 、 DE 、AD ；③ CD ，∠ ACB ，∠ ADB ．其中能根据所测数据求得 A 、B 两树距离的有（）A ． 0 组 B．一组 C ．二组 D ．三组【考点】解直角三角形的应用；相似三角形的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据三角形相似可知，要求出AB ，只需求出 EF 即可．所以借助于（ 1）（ 3），根据 AB=即可解答．【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，第① 组中，因为知道∠ ACB 和 AC 的长，所以可利用∠ACB 的正切来求 AB 的长；第② 组中可利用∠ ACB 和∠ ADB 的正切求出 AB ；第③ 组中设 AC=x ，AD=CD+x ，AB=，AB=；因为已知 CD，∠ ACB ，∠ADB ，可求出 x，然后得出 AB ．故选 D ．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．2．（ 2013?攀枝花模拟）如图，△ ABC中，∠ A=30°，，AC=，则AB的长为（）A ．B ．C． 5D．【考点】解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】作 CD ⊥ AB 于 D ，构造两个直角三角形．根据锐角三角函数求得CD 、 AD 的长，再根据锐角三角函数求得BD 的长，从而求得AB 的长．【解答】解：作 CD⊥AB 于 D．在直角三角形ACD 中，∠ A=30 °， AC=，∴CD=，AD=3．在直角三角形BCD 中，，∴BD==2 ．∴A B=AD+BD=5 ．故选 C．【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解．3．（ 2012?余姚市校级自主招生）一个三角形的边长分别为a， a， b，另一个三角形的边长分别为 b，b， a，其中 a＞ b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）A ．B ．C． D ．【考点】解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】根据余弦定理，求出最小角的余弦值，建立相等关系，解方程即可．【解答】解：余弦定理：a， a，b 中最小内角为边 b 所对， cosx=b， b， a 中最小内角为边 b 所对， cosy=∵x=y ，∴=解方程得：=．故选 B ．【点评】本题的关键是根据余弦定理，利用两三角形中有一个等角，建立等式，解方程求值．4．（ 2012?深圳校级模拟）如图，在矩形ABCD 中， DE ⊥AC 于 E，∠ AOB ：∠ AOD=1 ： 2，且 BD=12 ，则 DE 的长度是（）A ． 3B． 6C． 6D． 3【考点】解直角三角形；矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】由已知条件可分析得出∠COD=60 °，OD=6 ．解直角三角形 ODE 即可得出DE 的长度．【解答】解：在矩形ABCD 中∵∠ AOB ：∠ AOD=1 ： 2，且 BD=12∴∠ COD=60 °， OD=6∵DE ⊥ AC∴DE=OD ?sin60°=3．故选 D ．【点评】考查了矩形的性质以及解直角三角形的简单应用．5．（ 2013?武汉模拟）如图，已知灯塔M 方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在 A 处测得灯塔M 在北偏东30°方向，行驶1小时后到达 B 处，此时刚好进入灯塔M 的镭射信号区，测得灯塔M 在北偏东 45°方向，则轮船通过灯塔M 的镭射信号区的时间为（）A ．（﹣1）小时B ．（+1）小时C ． 2 小时D．小时【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】压轴题．【分析】连接 MC ，过 M 点作 MD ⊥ AC 于 D ．根据三角函数的定义，在Rt△ ADM 中可得AD=MD ，在 Rt△ BDM 中可得 BD=MD ，根据垂径定理可得BC=2MD ，依此求出BC：AB 的值即可求解．【解答】解：连接MC ，过 M 点作 MD ⊥ AC 于 D．在Rt△ ADM 中，∵∠ MAD=30 °，∴AD=MD ，在Rt△ BDM 中，∵∠ MBD=45 °，∴BD=MD ，∴BC=2MD ，∴BC ： AB=2MD ：（﹣1）MD=2：+1．故轮船通过灯塔M 的镭射信号区的时间为（+1）小时．故选 B ．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题关键是得到AD=MD ，BC=2MD ．二．填空题（共 5 小题）6．（ 2013?大连）如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端 D 处测得河岸 B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°（A 、B、C 在同一条直线上），则河的宽度AB 约为15.3 m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】在 Rt△ ACD 中求出 AC ，在 Rt△BCD 中求出 BC，继而可得出AB ．【解答】解：在 Rt△ACD 中， CD=21m ，∠ DAC=30 °，则 AC=CD≈36.3m；在 Rt△ BCD 中，∠ DBC=45 °，则 BC=CD=21m ，故 AB=AC ﹣ BC=15.3m ．故答案为： 15.3．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，理解俯角的定义，能利用三角函数表示线段的长度．7．（ 2013?泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在 A 处望见一艘正在作业渔船 D 在南偏西 45°方向，海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东45°方向，又航行了半小时到达 C 处，望见渔船 D 在南偏东60°方向，若海监船的速度为50 海里 /小时，则 A ，B 之间的距离为67.5海里（取，结果精确到0.1 海里）．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E，设 DE=x ，在 Rt△ CDE 中表示出 CE，在 Rt △ BDE 中表示出 BE，再由 CB=25 海里，可得出关于 x 的方程，解出后即可计算 AB 的长度．【解答】解：∵∠ DBA= ∠ DAB=45 °，∴△ DAB 是等腰直角三角形，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E，则 DE=AB ，设DE=x ，则 AB=2x ，在Rt△ CDE 中，∠ DCE=30 °，则 CE=DE=x，在Rt△BDE 中，∠DAE=45 °，则 DE=BE=x ，由题意得， CB=CE ﹣ BE=x﹣x=25 ，解得： x=，故AB=25 （ +1） =67.5（海里）．故答案为： 67.5．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．8．（ 2013?崇明县一模）在Rt△ ABC 中，∠ C=90 °，BD 是△ ABC 的角平分线，将△ BCD沿着直线 BD 折叠，点 C 落在点 C1处，如果 AB=5 ， AC=4 ，那么 sin∠ ADC 1的值是．【考点】锐角三角函数的定义；翻折变换（折叠问题）．【专题】常规题型；压轴题．【分析】根据题意知：将△ BCD 沿着直线 BD 折叠，点 C 落在点 C1处， C1点恰好在斜边 AB 上，根据角之间的关系可知∠ ADC 1=∠ ABC ，根据锐角三角函数的定义即可解答．【解答】解：∵∠ C=90°， BD 是△ ABC 的角平分线，∵将△ BCD 沿着直线BD 折叠，∴C1点恰好在斜边AB 上，∴∠ DC1A=90 °，∴∠ ADC 1=∠ ABC ，∵A B=5 ， AC=4 ，∴sin ∠ADC 1= ．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及翻折变换（折叠问题）．解题时利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9．（ 2013?大连模拟）如图△ ABC中，∠ C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN 交 AC 于D，连接 BD ，若 cos∠ BDC=，则BC的长为4．【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由于 cos∠ BDC=，可设DC=3x，BD=5x，由于MN是线段AB的垂直平分线，故AD=DB ，AD=5x ，又知 AC=8cm ，即可据此列方程解答．【解答】解：∵ cos∠ BDC= ，可∴设 DC=3x ，BD=5x ，又∵ MN 是线段 AB 的垂直平分线，∴A D=DB=5x ，又∵ AC=8cm ，∴3x+5x=8 ，解得， x=1 ，在 Rt△ BDC 中， CD=3cm ，DB=5cm ，BC==4．故答案为4．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、解直角三角形的相关知识，综合性较强，计算要仔细．10．（ 2012?宜宾县校级模拟）在Rt△ ABC 中，∠ C=90 度．若 sinA=，则sinB=．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】压轴题．【分析】先根据特殊角的三角函数值与直角三角形的性质求出∠ A ，∠ B 的度数，再求解即可．【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，∵sinA=，∴∠ A=45 °=∠ B ．∴sinB=．【点评】解答此题的关键是数记特殊角的三角函数值及直角三角形的性质．三．解答题（共 5 小题）11．（ 2013?遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船 A 、B ，B 船在 A 船的正东方向，且两船保持20 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在 A 的东北方向， B 的北偏东 15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船 C 与船 B 的距离是多少．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】压轴题．【分析】首先过点 B 作 BD ⊥AC 于 D，由题意可知，∠ BAC=45 °，∠ ABC=90 °+15°=105°，则可求得∠ ACB 的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案．【解答】解：过点 B 作 BD ⊥AC 于 D．由题意可知，∠BAC=45 °，∠ ABC=90 °+15 °=105°，∴∠ ACB=180 °﹣∠ BAC ﹣∠ ABC=30 °，在 Rt△ ABD 中， BD=AB ?sin∠ BAD=20 ×=10（海里），在 Rt△ BCD 中， BC===20（海里）．答：此时船 C 与船 B 的距离是20海里．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．12．（ 2013?和平区二模）如图，将含 30°角的直角三角板顺时针旋转α角（ 0°＜α＜ 90°），得到 Rt△ A ′B′C，A ′C 与交 CB′于点 E，连接 BE．易知，在旋转过程中，△ BDE△BDE 的面积为S．（1）当α=30°时，求 x 的值．（2）求 S 与 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；ABC （∠ A=30 °）绕其直角顶点 C AB 交于点 D，过点 D 作 DE∥ A′B′为直角三角形．设 BC=1 ， AD=x ，（3）以点 E 为圆心， BE 为半径作⊙ E，当 S=时，判断⊙ E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．【考点】锐角三角函数的定义；根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理；直线与圆的位置关系；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】（ 1）根据等腰三角形的判定，∠A= ∠ α=30 °，得出 x=1 ；（2）由直角三角形的性质，AB=2 ， AC=，由旋转性质求得△ ADC∽△ BCE，根据比例关系式，求出S 与 x 的函数关系式；（3）当 S= 时，求得 x 的值，判断⊙ E 和 DE 的长度大小，确定⊙ E 与 A ′C 的位置关系，再求tanα值．【解答】解：（ 1）∵∠ A=a=30 °，又∵∠ ACB=90 °，∴∠ ABC= ∠ BCD=60 °．∴A D=BD=BC=1 ．∴x=1 ；（2）∵∠ DBE=90 °，∠ABC=60 °，∴∠A= ∠CBE=30 °．∴AC=BC=，AB=2BC=2．由旋转性质可知：AC=A ′C， BC=B ′C，∠ACD= ∠ BCE ，∴△ ADC ∽△ BEC ，∴ =，∴BE=x．∵BD=2 ﹣ x，∴s= ×x（ 2﹣x） =﹣2x + x．（ 0＜ x＜ 2）（3）∵ s= s△ABC∴﹣+=，∴4x 2﹣ 8x+3=0 ，∴，．①当 x=时，BD=2﹣=，BE=× =．∴DE==．∵DE ∥ A ′B′，∴∠ EDC= ∠A ′=∠ A=30 °．∴EC= DE=＞BE，∴此时⊙ E 与 A ′C 相离．过 D 作 DF ⊥ AC 于 F，则，．∴．∴．（12分）② 当时，，．∴，∴，∴此时⊙ E 与 A'C 相交．同理可求出．【点评】本题考查的知识点：等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的判定以及直线与圆的位置关系的确定，是一道综合性较强的题目，难度大．13．（ 2013?成都模拟）如图是成都市某街道的一座人行天桥的示意图，天桥的高是10 米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1：，若新坡角下需留 3 米的人行道，问离原坡面点 A 处 10 米的建筑物EF 是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】由已知天桥的高是10 米，坡面的倾斜角为45°，易求得 AB 的长；又由新坡面的坡度为 1：，根据坡度的定义，可求得BD 的长，从而求得AD 的长，然后将AD+3 与 10进行比较，若大于则需拆除，反之不用拆除．【解答】解：根据题意得：∠CAB=45 °， BC=10 米．∴A B=BC=10米．∵i=1 ：，即：=，∴BD=10 米，∴AD=10﹣ 10≈7.32（米），∵7.32+3 ＞10．答：离原坡角 10 米的建筑物需要拆除．【点评】 此题主要考查学生坡度坡角问题． 此题难度适中， 解此题的关键是掌握坡度与坡角的定义，注意解直角三角形的应用．14．（ 2012?泉州校级自主招生）已知：如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ ABC=45 °，D 是BC 上的点， BD=10 ．∠ ADC=60 °．求 AC （≈1.73 ，结果保留整数） ．【考点】 解直角三角形；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．【专题】 计算题；压轴题．【分析】 首先在直角三角形 ACD 中，利用 30°直角三角形的性质求得 CD 的长，再进一步根据勾股定理求得 AC 的长．【解答】 解：在 Rt △ACD 中，∠ C=90 °，∠ ADC=60 °， tan60°= = ，设 CD=x ， ∴ A C=x ，在 Rt △ ACB 中，∠ C=90 °，∠ ABC=45 °， ∴AC=BC ， BD=10 ，∴ x=x+10 ，解得： x==5（+1） =5 +5，∴AC=x=15+5≈24．【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，属于基础题．15．（ 2012?成都模拟）在 △ ABC 中，∠ B 是锐角， AD 是 BC 上的高， E 为边 AC 的中点，BC=14 ， AD=12 ， sinB 是方程 10x 2﹣ 3x ﹣ 4=0 的一个根．（ 1）求线段 CD 的长；（ 2）求 tan ∠ EDC 的值．【考点】 解直角三角形；解一元二次方程-因式分解法；直角三角形斜边上的中线．【专题】 压轴题．【分析】（1）首先解方程 10x 2﹣ 3x ﹣4=0 ，可得 sinB= ，根据∠ B 的正弦值，即可求出AB的长，然后求得 BD ，从而得出线段 DC 的长； （2）首先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 可判定∠ EDC= ∠ ECD ，在 Rt △ACD中，再求 tan ∠ ECD 的值，即 tan ∠ EDC 的值．【解答】 解：∵ 10x 2﹣3x ﹣ 4=0， ∴（ 2x+1 ）（5x ﹣ 4）=0，解得： x 1=﹣ （舍去）， x 2 = ，∴sinB= ，∵AD 是 BC 上的高，∴，∵ A D=12 ， ∴AB=15 ，由勾股定理得， BD== =9，∵ B C=14 ，∴CD=BC ﹣ BD=14 ﹣ 9=5 ；（ 2）∵ E 为边 AC 的中点， AD 是边 BC 上的高，∴AE=EC=DE ， ∴DE=EC ，∴∠ EDC= ∠ECD ，∴tan ∠EDC=tan ∠ ECD==．【点评】 此题考查了解直角三角形的知识以及一元二次方程的解法．此题难度适中， 解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程，掌握数形结合思想与转化思想的应用．。

中考数学专题突破(解直角三角形的应用)测试题(含答案)1．如图1，某施工队要测量隧道长度BC ，AD ＝600米，AD ⊥BC ，施工队站在点D 处看向B 处，测得仰角为45°，再由点D 走到E 处看向C 处，测得仰角为37°，DE ∥AC ，ED ＝500米，求隧道BC 的长．⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43图12．如图2，航母由西向东航行，到达B 处时，测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行20海里到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，小岛A 周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．图23．如图3，某学校体育场看台的顶端C 到地面的垂直距离CD 为2 m ，看台所在斜坡CM 的坡比i ＝1∶3，在点C 处测得旗杆顶点A 的仰角为30°，在点M 处测得旗杆顶点A 的仰角为60°，且B ，M ，D 三点在同一水平线上，求旗杆AB 的高度．(结果精确到0.1 m ．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图3中考数学专题突破(解直角三角形的应用)测试题参考答案1．解：如图1，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，则AM ＝ED ＝500米． 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°－45°＝45°，图1∴AB ＝AD ＝600米． ∴BM ＝AB －AM ＝100米．在Rt △CEM 中，∠CEM ＝90°－37°＝53°，tan ∠CEM ＝CM EM ＝CM 600≈43，∴CM ≈600×43＝800(米)．∴BC ＝CM －BM ＝800－100＝700(米)． 答：隧道BC 的长约为700米．图22．解：没有触礁的危险．理由如下： 如图2，过点A 作AD ⊥BC 于点D. 根据题意可知∠ABC ＝30°，∠ACD ＝60°. ∵∠ACD ＝∠ABC ＋∠BAC ， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝30°. ∴CB ＝CA ＝20. 在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠ACD ＝60°，sin ∠ACD ＝ADAC，∴AD ＝AC ·sin ∠ACD ＝20×sin 60°＝20×32＝10 3＞10. ∴如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．图33．解：如图3，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，易得四边形CDBE 为矩形． ∵CD ＝2，tan ∠CMD ＝CD MD ＝13，∴MD ＝3CD ＝6. 设BM ＝x ，则BD ＝x ＋6. 在Rt △ABM 中，∠AMB ＝60°， tan ∠AMB ＝ABBM，∴AB ＝BM ·tan ∠AMB ＝3x.∵四边形CDBE 是矩形，∴BE ＝CD ＝2，CE ＝BD ＝x ＋6. ∴AE ＝AB －BE ＝3x －2.在Rt △ACE 中，∠ACE ＝30°，tan ∠ACE ＝AE CE ，∴33＝3x －2x ＋6.解得x ＝3＋ 3.∴AB ＝3x ＝3 3＋3≈8.2. 答：旗杆AB 的高度约为8.2m.。

中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷（附答案）1．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62】2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732)3．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）4．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB=2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO= 3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH=60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：√2=1.414，√3=1.73）5．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC 的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈45，sin37°≈35，tan53°≈4 3，tan37°≈34）7．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．8．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75∘方向，在点A的东南方向．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD间的距离．9．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）10．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）11．【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，β代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若n=sinαsinβ，则把n称为折射率．（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35，tan53°≈43）【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，光线可沿PD照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得DF=16cm,BC=7cm四边形ABFE是矩形，GH是法线．【问题解决】(1)求入射角∠PDG的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．12．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由AF、线段EF和ED构成的图形为杯盖部分，其中AF、与ED均在以AD为直径的⊙O上，且AF= ED，G为EF的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁AB=13.6cm，杯底直径BC=5.8cm，杯壁与直线l的夹角为84°．(1)求杯口半径OD的长；(2)若杯盖顶FE=3.2cm，吸管BH=22cm，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B重合时，求吸管漏出杯盖部分GH的长．（参考数据：sin84∘≈0.995，cos84∘≈0.105，tan84∘≈9.514，√15.93≈3.99，17.5222≈307.02，√315.43≈17.76，结果精确到0.1cm）.13．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号)(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）14．如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向800√2米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距400√5米(∠ABK<90°)，景点D分别在休息区K、景点A的正东方向和正南方向．（参考数据：√2≈1.41，√5≈2.24，√6≈2.45）(1)求步道AB的长度；(2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点C一起向正东出发，不久到达休息区K，他们发现有两条路线到达景点A，于是小宏想比赛看谁先到达景点A．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在K点出发，小明选择①K−B−A路线，速度为每分钟320米；小宏选择②K−D−A路线，速度为每分钟240米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点A呢？15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1P=2米），圆锥底面离地面的高度为3米（即O1O2=3米）．(1)若OO1=2米，求圆锥的侧面积；(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B两点间的距离为m米（即AB=MN=m米），已知测角仪的高为1米（即MA=NB=QO2=1米），求亭盖的外部面积（用含m的代数式表示）．16．赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75）(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．17．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．(1)求叶片OA的长；(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，√3≈1.7，结果保留整数）18．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B 两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26cos15°≈0.97tan15°≈0.27√2≈1.41）19．春天是踏青的好季节小明和小华决定去公园出游踏青．如图已知A为公园入口景点B位于A点东北方向400√2米处景点E位于A点南偏东30°方向景点B在景点E的正北方向景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．景点F既位于景点E的正东方向又位于景点D的正南方向．DF=400米．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin37.5°≈35，cos37.5°≈45，tan37.5°≈34）(1)求BE的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/分小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点D处．20．如图是一种家用健身卷腹机由圆弧形滑轨⌒AB可伸缩支撑杆AC和手柄AD构成．图①是其侧面简化示意图．滑轨⌒AB支撑杆AC与手柄AD在点A处连接其中D A B三点在一条直线上．(1)如图① 固定∠DAC=120°,若BC=30√6cm,AC=60cm,求∠ABC的度数；(2)如图② 固定∠DAC=100°若AC=50cm,∠ABC=30°时圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC 相切于点B求滑轨⌒AB的长度．（结果精确到0.1 参考数据：π取3.14 sin70°≈0.940)参考答案：1．解：由题意得BE⊥CD于EBE=AC=22米∠DBE=32°在Rt△DBE中DE=BE⋅tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米）CD=CE+DE=1.5+13.64≈15.14（米）答：旗杆的高CD约为15.14米．2．解：延长AD交EF于点G设EG=x∵AD∥BF，EF⊥BF∵AG⊥EF∵∠B=∠F=∠AGF=90°∵四边形ABFG是矩形∠AGE=90°∵∠EAG=45°∵∠AEG=90°−∠EAG=45°∵AG=EG=x∵AD=7∵DG=x−7∵∠EDG=60°=√3∵tan∠EDG=EGDG=√3∵xx−7∵x=7(3+√3)2∵EG=7(3+√3)2∵GF=AB=1.68∵EF=EG+GF=7(3+√3)2+1.68≈7(3+1.732)2+1.68 =16.562+1.68=18.242≈18.2．故旗杆EF的高度约18.2m．3．解：过B作BH⊥AC于H设AH=xm∵∠BAC=60°∵∠ABH=90°−60°=30°∵AB=2AH=2xm∵tanA=tan60°=BHAH=√3∵BH=√3xm∵∠BCA=45°∠BHC=90°∵△BHC是等腰直角三角形∵CH=BH=√3xm∵AH+CH=√3x+x=AC=1640≈600.7∵x=√3+1∵AB=2x≈1201(m)．答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m．4．解：过点B作BC⊥OH交OH于点C延长AD交BC于点E∵四边形DECH是矩形∵DH=CE．根据题意可知∠BAD=45°,∠BOH=60°在Rt△ABE中AB=2.4m∵sin∠BAE=BEAB即sin45°=BE2.4=1.2×1.41=1.692．解得BE=2.4×√22在Rt△BOC中BO=3m∵sin∠BOC=BCBO即sin60°=BC3=1.5×1.73=2.595解得BC=3×√32∵DH=CE=BC−BE=0.903≈0.9（m）．所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0．9m．5．（1）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M过点B作BN⊥AM交AM于点N过点D作DH⊥BN 交BN于点H．由题可知：∠CBN=45°∠A=90°∠CDM=60°．∵四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形△BCN是等腰直角三角形．在Rt△CMD中∵∠CDM=60°CD=2900米∵DM=12DC=1450米CM=√3DM=1450√3米∵AB=MN=300米∵CN=CM−MN=(1450√3−300)米在Rt△CBN中∠CBN=45°∵CB=√2CN=(1450√6−300√2)米≈3127米答：BC的长度为3127米．（2）解：路线一：AB+BC=(300+1450√6−300√2)米≈3427米∵AM=BN=CN=(1450√3−300)米∵AD=AM−DM=(1450√3−1750)米∵路线二：AD+CD=(1450√3+1150)米≈3361米∵3427<3361∵路线二较近．6．解：如图1 作AF⊥CG垂足为F设AB=xcm则AC=60+x∵sin53°=AFAC =AF60+x∴AF=(60+x)⋅sin53°如图2 作AH⊥CG垂足为H则AC=60+2x∴AH=(60+2x)⋅sin37°∵AF=AH∴(60+x)⋅sin53°=(60+2x)⋅sin37°∴4(60+x)5=3(60+2x)5解得：x=30．答：每节拉杆的长度为30cm．7．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∵DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∵由题意得四边形NFDE是矩形∵FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∵FD=MF=(x−0.15)m∵NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∵tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．8．（1）解：过点B作BP⊥AD于点P由题意知∠BAD=45∘∠CBD=75∘∴∠ADB=30∘∠ABP=45∘=∠A∴BD=2BP AP=BP在Rt△ABP中AB=240米∴AP=BP=AB=120√2（米）sin45∘∴BD=2BP=240√2≈339.4（米）．答：B、D两地的距离约为339.4米；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M由（1）得BD=2BP=240√2（米）∵∠CDB=180∘−60∘−75∘=45∘∠CBD=75∘∠DCB=60∘∴∠DBM=45∘=∠CDB∴BM=DM在Rt△BDM中BD=240√2sin45∘=BMBD∴BM=DM=BD⋅sin45∘=240√2×√2=240（米）2在Rt△BCM中∠CBM=75∘−45∘=30∘∴CM=BM⋅tan30∘=80√3（米）∴DC=DM+CM=240+80√3（米）．9．解：（1）作BE⊥AD于点E由题意知AB=60∠A=45°∠ABD=90°+15°=105°∠CBA=90°+30°=120°在Rt△ABE中在Rt△BDE中ED=√3BE=30√6BD=2BE=60√2∴小山B与亭台D之间的距离60√2米（2）延长AB作DF⊥BA于点F作CG⊥BA于点G则∠CBG=180°−∠CBA=60°由题意知CD∥AB∵四边形CDFG是矩形∵CG=DF,CD=FG．∵AE=30√2ED=30√6∴AD=30√2+30√6在Rt△AFD中DF=AF=√2=30+30√3CG=DF=30+30√3米在Rt△BCG中BG=√3=10√3+30∴CD=FG=AB+BG−AF=60−20√3∴S玲=AD+CD=30√2+30√6+60−20√3≈141.2米S明=AB+BC=60+60+20√3≈154.6米∵141.2<154.6且两人速度一致∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．10．解：如图：延长CD交AB于点H则四边形CMBH为矩形∴CM=HB=20在Rt△ACH中∠AHC=90°∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=AH CH∴CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33在Rt△ECH中∠EHC=90°∠ECH=37°∴tan∠ECH=EH CH∴CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75设AH=x．∵AE=9∴EH=x+9∴x0.33=x+90.75解得x≈7.1∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）．答：点A到地面的距离AB的长约为27米．11．（1）解：如图1 ∵GH∥FB∴∠DBF=∠PDG,∵BF=12cm,DF=16cm,∴tan∠DBF=DFBF=1612=43,∵tan53°≈4 3∴入射角∠PDG约为53°．（2）解：如图2 作DM⊥AB于点T在Rt△BDF中BF=12cm,DF=16cm∴BD=√DF2+BF2=20cm,在Rt△DTC中TC=DF−BC=16−7=9cm,DT=BF=12cm∴CD=√DT2+TC2=√122+92=15cm,∴光线从空气射入水中的折射率∴光线从空气射入水中的折射率n=43．12．（1）解：过点B作BP⊥AD于点D过点C作CQ⊥AD于点Q延长BC到点R ∵四边形BCQP是矩形∵BC=QP BP=CQ∵AB=13.6cm杯底直径BC=5.8cm杯壁与直线l的夹角为84°点A B C D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形∵AD∥BC CD=AB=13.6cm QP=BC=5.8cm∵∠A=∠D=∠DCR=84°∵BP=CQ CD=AB∵Rt△ABP≌Rt△DCQ(HL)∵AP=DQ∵AP=DQ=CDcosD=13.6×0.105=1.428(cm)CQ=CDsinD=13.6×0.995=13.532(cm)∵AD=2AP+PQ=DQ=2×1.428+5.8=8.656(cm)AD=4.328≈4.3(cm)∵OD=12故杯口半径OD的长为4.3cm．（2）解：连接GO并延长交BC于点N∵G为EF的中点EF=1.6(cm)∵GO⊥EF,EG=FG=12连接FD∵ AF=ED，∵∠EFD=∠ADF,∵AD∥EF∵GO⊥AD∵ AD∥BC∵GO⊥BC∵NO=13.532(cm)∵GO=√(4.3)2−(1.6)2≈4.0(cm)∵GN≈17.532(cm)∵GB=√(17.532)2+(2.9)2≈17.77(cm)∵GH=BH−GB=22−17.77≈4.2(cm)13．（1）解：过点C作CF⊥l于点F过点B作BM⊥CF于点M∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．由题意得：∠BAF=90°∴四边形ABMF为矩形∴MF=AB=2cm∠ABM=90°．∵∠ABC=150°∴∠MBC=60°．∵BC=18cm∴CM=BC⋅sin60°=18×√32=9√3(cm)．∴CF=CM+MF=(9√3+2)cm．答：支点C离桌面l的高度为(9√3+2)cm；（2）解：过点C作CN∥l过点E作EH⊥CN于点H∴∠EHC=90°．∵DE=24cm CD=6cm∴CE=18cm．当∠ECH=30°时EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；当∠ECH=70°时EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)；∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)∴当α从30°变化到70°的过程中面板上端E离桌面l的高度是增加了增加了约7.9cm．14．（1）解：由题意得∠DAK=30°∠BAD=75°∠D=90°AK=800√2米BK=400√5米∵∠BAK=∠BAD−∠DAK=75°−30°=45°过点K作KH⊥AB于H则∠AHK=∠BHK=90°∵△AHK为等腰直角三角形∵AH=KH=√22AK=√22×800√2=800米∵BH=√BK2−KH2=√(400√5)2−8002=400米∵AB=AH+BH=800+400=1200米；（2）解：∵AK=800√2∠DAK=30°∠D=90°∵DK=12AK=400√2米AD=AK·cos30°=800√2×√32=400√6米∵路线②K−D−A的路程为KD+AD=400√2+400√6≈1544米∵小宏到达景点A的时间为1544÷240≈6.43分钟∵路线①K−B−A的路程为KB+BA=400√5+1200≈2096米∵小明到达景点A的时间为2096÷320≈6.55分钟∵6.43<6.55∵小宏先到达景点A．15．（1）解：由题意得：∠OO1P=90°．∵OO1=2米O1P=2米∴OP=2√2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√2×2=4√2π（米2)．答：圆锥的侧面积为4√2π平方米；（2）解：由题意得：∠OQM=90°．设OQ长x米．∵tanα=1 2∴MQ=2x米．∵MN=m米∴NQ=(m+2x)米．∵tanβ=2 5∴xm+2x =25．解得：x=2m．∵O1O2=3米QO2=1米∴OO1=2m+1−3=(2m−2)米．∵O1P=2米∠OO1P=90°．∴OP=√22+(2m−2)2=√4m2−8m+8=2√m2−2m+2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√m2−2m+2×2=4π√m2−2m+2（米2)．答：亭盖的外部面积为4π√m2−2m+2平方米．16．（1）解：∵∠MDE=45°∴∠DEC=45°∵DC⊥BC∴△DCE是等腰直角三角形∴DC=CE=1.5m 在Rt△DCF中∠DFC=36.9°DC=1.5m∴DF=DCsin36.9°=1.50.60=2.5(m)∴CF=√DF2−DC2=√2⋅52−1⋅52=2(m)；故答案为：1.52；（2）∵∠DEC=45°∴∠AEB=45°∴∠BAE=45°∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m)∴BF=163.3−0.5=162.8(m)在Rt△BFG中BG=tan∠GFB⋅BF≈0.75×162.8=122.1(m)∴AG=163.3−122.1=41.2(m)即“美”字的高度AG约为41.2m．17．（1）解：∵DE垂直于水平地面EF∵∠E=90°∵坡比i=3:4∵DE EF =34设DE=3xm则EF=4xm ∵坡面DF长10m∵(3x)2+(4x)2=102解得：x=2（负值舍去）∵DE=6m EF=8m∵MF=25m∵ME=MF+EF=33m由题意得：∠OME=53°=44m∵OE=ME⋅tan53°≈33×43∵MN=23.5m∵NE=ME+MN=56.5m．由题意得：∠N=30°≈32m∵AE=NE⋅tan30°=56.5×√33∵OA=OE−AE=44−32=12m．（2）如图过点C作CH⊥OE于点M CG⊥NE于G∵∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°∵四边形HEGC是矩形∵EH=CG∵叶片绕点O顺时针转动90°∵∠AOE=90°∵∠AOC=120°∵∠COH=30°由题意得：OC=OA=12m=6√3m∵OH=OCcos∠COH=12×√32∵CG=HE=OE−OH=44−6√3≈34m．∵叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m．18．（1）解：在Rt△ABE中∠AEB=90°∠A=15°AE=576m∴AB=AEcosA =576cos15°≈594(m)．答：索道AB的长约为594m．（2）延长BC交DF于点G∵BC∥AF DF⊥AF∴DG⊥CG．∵四边形BEFG为矩形．∴EF=BG．∵CD=AB≈594m∠DCG=45°∴CG=CD·cos∠DCG≈594×cos45°=297√2(m)．∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC＋CG≈576+50+297√2≈1045(m)．答：水平距离AF的长约为1045m19．（1）解：如图所示过点A作AH⊥BE于点H∵∠BAH=45°，AB=400√2米∴AH=BH=√22AB=400米∵∠AEB=30°∴HE=√3AH=400√3米AE=2AH=800米∴BE=400+400√3≈1092（米）．∴BE长约1092米．（2）解：小华先到达景点D处理由如下：如图过点C作CN⊥EF于点N过点D作DM⊥BE于点M交CN于点G则四边形BCNE和四边形DFNG都是矩形∴BC=EN BE=CN=(400+400√3)米GN=DF=400米DG=NF∴CG=CN−GN=400√3米∵景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．∴BC=310（米）∠DCN=37.5°在Rt△CGD中cos∠DCN=CGCD tan∠DCN=DGCG∴CD=CGcos37.5°=400√345≈865（米）DG=CG⋅tan37.5°=400√3×34≈519（米）∴EF=EN+NF=BC+DG≈829（米）∵小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟∴小明的游览时间为400√2+310+86572+10+5≈39（分钟）在Rt△AEH中AH=400米∠EAH=60°∴AE=AHcos60°=40012=800（米）∵小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟∴小华的游览时间为800+829+40096+9+8≈38（分钟）∴小华的游览时间更短先到达景点D处．20．（1）解：如图过点C作CE⊥AB垂足为E∵∠DAC=120°∴∠EAC=180°−∠DAC=60°在Rt△AEC中AC=60cm∴CE=AC⋅sin60°=60×√32=30√3(cm)在Rt△BEC中BC=30√6cm∴sin∠EBC=ECBC=√330√6=√22∴∠ABC=45°∴∠ABC的度数约为45°；（2）解：如图过点A作AF⊥BC垂足为F∵圆弧形滑轨⌒AB所在的圆恰好与直线BC相切于点B ∴过点B作HB⊥BC作AB的垂直平分线MG交HB于点O连接OA∴OB=OA∴圆弧形滑轨⌒AB所在的圆的圆心为O∵∠DAC=100°∠ABC=30°∴∠ACF=∠DAC−∠ABC=100°−30=70°在Rt△AFC中AC=50cm∴AF=AC⋅sin70°≈50×0.940=47(cm)在Rt△AFB中∠ABC=30°∴AB=2AF=2×47=94(cm)∵OB⊥BC∴∠OBC=90°∴∠OBA=∠OBC−∠ABC=60°∴△OBA为等边三角形∴OB=AB=94cm∠BOA=60°∴滑轨⌒AB的长度=60π×94180≈98.4(cm)∴滑轨AB⌒AB的长度约为98.4cm．。

2021年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》同步培优提升专题训练1．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）A．B．C．D．2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则cos∠CAB的值是（）A．B．C．2D．3．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．4．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．无法求得5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD ＝3，CE＝5，则tan∠BCE的值为（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是（）A．B．2C．D．8．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为（）A．B．12C．D．9．如图，△ABC中，cos B＝，sin C＝，AC＝5，则△ABC的面积是（）A．B．12C．14D．2110．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值（）A．B．2C．D．11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为（）A．2B．C．D．112．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值．13．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sin C 的值．14．如图，在△ABC中，BC＝6，tan A＝，∠B＝30°，求AC和AB的长．15．如图，tan B＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．（1）求cos B，sin B的值；（2）连接BD，求BD的长．16．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．17．如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D、E分别在AB、AC上，DE⊥AC，垂足为点E，DE＝2，DB＝9．求：（1）BC的长．（2）tan∠CDE．19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BC＝12，AD＝6，tan C＝．（1）求sin∠ABD的值；（2）过点B作BE⊥BC，若BE＝10，求AE的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝15，cos A＝．（1）求△BCD的周长；（2）求sin∠DBE的值．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC ＝5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE＝DC时，求AD的长．参考答案1．解：作P A⊥x轴于A，如右图．∵P（3，4），∴OA＝3，AP＝4，∴OP＝＝5，∴sinα＝．故选：D．2．解：取格点D，E，连接BD，如图，∵∠CDE＝∠BDE＝45°，∴∠CDB＝90°．∵AD＝，AB＝，∴在Rt△ADB中，cos∠CAB＝．故选：B．3．解：过B作BH⊥AC于H，∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BH，∴BH＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝，故选：B．4．解：作AD⊥BC于点D，由每个小正方形边长为1，故AC＝BC＝＝，由三角形等面积法可得：＝，即2×3＝，∴AD＝＝，∴sin∠ACB＝＝＝．故选：B．5．解：连接BF，∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，∴EF是AB的垂直平分线，∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，∴S△AFB＝10＝AF•BC，∵BC＝4，∴AF＝5＝BF，在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，∴CF＝＝3，∵CE＝AE＝BE＝AB，∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，∴∠CEF＝∠FBC，∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，故选：A．6．解：∵CE是AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝BE＝5，AB＝10，∴∠BCE＝∠EBC，∵AD＝3，∴BD＝AB﹣AD＝7，DE＝AE﹣AD＝2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝＝＝，∴tan∠BCE＝tan∠EBC＝＝．故选：B．7．解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．故选：A．8．解：作AD⊥BC于点D．∵∠B＝120°，∴∠ABD＝180°﹣120°＝60°，在直角△ABD中，AD＝AB•sin60°＝6×＝3，在△ABC的面积是：BC•AD＝×8×3＝12．故选：A．9．解：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cos B＝，sin C＝，AC＝5，∴cos B＝＝，∴∠B＝45°，∵sin C＝＝＝，∴AD＝3，∴CD＝＝4，∴BD＝3，则△ABC的面积是：×AD×BC＝×3×（3+4）＝．故选：A．10．解：设菱形ABCD边长为t．∵BE＝2，∴AE＝t﹣2．∵cos A＝，∴．∴＝．∴t＝5．∴AE＝5﹣2＝3．∴DE＝＝4．∴tan∠DBE＝＝＝2．故选：B．11．解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，∴∠A＝45°，在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD＝x，在Rt△BED中，tan∠DBE＝＝，∴BE＝5x，∴x+5x＝6，解得x＝，故选：A．12．解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tan B＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴＝＝＝，∴CE＝x，DE＝x，∴AE＝，∴tan∠CAD＝＝，故答案为．13．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝，∴BD＝AD tan∠BAD＝9，∵BC＝14，∴CD＝BC﹣BD＝5，∴AC＝＝13，14．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中，sin B＝sin30°＝＝．∴CD＝×6＝3，BD＝＝＝3在Rt△ACD中，tan A＝＝，∴AD＝＝4．AC＝＝＝5∴AB＝AD+BD＝4+3．15．解：（1）延长CD，BA，它们相交于点E，如图，∵DC⊥BC于点C，∴∠BCE＝90°．∵tan B＝，tan B＝，∴．设CE＝4k，则BC＝3k．∴BE＝．∴cos B＝．sin B＝．（2）如下图：∵DA⊥BA于点A，∴∠E+∠ADE＝90°．∵DC⊥BC于点C，∴∠E+∠CBE＝90°．∴∠ADE＝∠CBE．∴cos∠ADE＝cos∠CBE＝．∵cos∠ADE＝，∴．∵AD＝3，∴DE＝5．∴CE＝CD+DE＝5+7＝12．∵tan∠CBE＝，tan∠CBE＝，∴．∴BC＝9．∴BD＝．16．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6；（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝．解法二：EF直接用三角形中位线定理求解即可．17．解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△F AC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tan D＝tan∠ECH＝＝．18．解：（1）在Rt△DEA中，∵DE＝2，sin A＝，∴AD＝＝＝3，∵DB＝9，∴AB＝BD+AD＝12，在Rt△ABC中，AB＝12，sin A＝，∴BC＝AB•sin A＝12×＝8；（2）∵在Rt△ABC中，AB＝12，BC＝8，∴AC＝＝4，∵在Rt△DEA中，DE＝2，AD＝3，∴AE＝＝，∴CE＝AC﹣AE＝3，∴tan∠CDE＝＝．19．解：（1）∵tan C＝＝＝，∴CD＝4，BD＝BC﹣CD＝12﹣4＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin∠ABD＝＝＝．（2）过点A作AF⊥BE于点F，如图．∵∠AFB＝∠FBD＝∠ADB＝90°，∴四边形FBDA为矩形，AF∥BD，AF＝BD＝8，BF＝AD＝6，∴EF＝BE﹣BF＝10﹣6＝4，在Rt△AEF中，AE＝＝＝．20．解：（1）∵AC＝15，cos A＝，∴cos A＝＝，∴AB＝25，∴BC＝＝＝20，∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD＝，∴△BCD的周长＝25+20＝45；（2）∵AC＝15，AB＝25，BC＝20，∴cos∠ABC＝＝，∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠ABC，∴cos∠DCB＝cos∠ABC＝，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴cos∠DCB＝，即＝，∴CE＝16，∴DE＝CE﹣CD＝16﹣12.5＝3.5，∴sin∠DBE＝＝＝．21．解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ADE＝∠B，在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC＝AD+CD＝12，∴，解得，∴．。

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解直角三角形练习题1一. 选择题：（每小题2分，共20分）1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6,EF=10，则tanE=（ )A.43 B. 34C.53 D. 35 2。

在△ABC 中,∠A=105°，∠B=45°,tanC 的值是（ ) A 。

21 B.33C. 1 D 。

33。

在△ABC 中,若22cos =A ，3tan =B ,则这个三角形一定是（ ）A 。

锐角三角形B 。

直角三角形C 。

钝角三角形D 。

等腰三角形4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ）A 。

EGEF G =sin B. EFEH G =sin C.FGGH G =sin D 。

FGFH G =sin 5。

sin65°与cos26°之间的关系为( ）A 。

sin65°<cos26° B. sin65°>cos26° C. sin65°=cos26° D. sin65°+cos26°=1 6。

已知30°<α〈60°,下列各式正确的是（ ） A.B.C 。

D 。

7。

在△ABC 中，∠C=90°，52sin =A ，则sinB 的值是（ ）A.32 B 。

第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (3)一、单选题1．如图，已知点A 是第一象限内横坐标为AC ⊥x 轴于点M ，交直线y=﹣x 于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB=30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动，求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长为（ ）．A B ．C ．4D ．2．如图，120AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠平分线上，2OP =，若点C ，D 分别在射线OA ，OB 上，PCD 是等边三角形，设PCD 的面积为S ，则S 的最大值和最小值分别是（ ）A ．2；1B ．2CD ．3．在ABC 中，13,cos 2AB AC B ∠===，则BC 边长为（ ） A ．7B ．8C ．7或17D ．8或174．图①、②分别是一把水平放置的椅子的效果图和椅子侧面示意图．椅子高为AC ，椅面宽BE 为60cm ．椅脚高ED 为35cm ，且AC BE ⊥，AC CD ⊥，//AC ED ．从点A 测得点E 的俯角为53︒．则AC 的长可以表示为（ ）A ．3560sin53+︒B ．3560tan53+︒C ．6035tan53+︒D ．3560tan53+︒5．5G 时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G 信号发射塔MN 建在了山坡BC 的平台CD 上，已知山坡BC 的坡度为1:2.4．身高1.6米的小明站在A 处测得塔顶M 的仰角是37︒，向前步行6米到达B 处，再延斜坡BC 步行6.5米至平台点C 处，测得塔顶M 的仰角是50︒，若,,,,,A B C D M N 在同一平面内，且,A B 和,,C D N 分别在同一水平线上，则发射塔MN 的高度约为（ ）（结果精确到0.1米，参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈，sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.20︒≈）A ．17.3米B ．18.9米C ．65.0米D ．66.6米二、解答题6．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作AE 的垂线，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ． （1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若tan ∠P ＝34，AD ＝6，求⊙O 的半径．7．如图，O 的直径MN ⊥弦AB 于C ，点P 是AB 上的一点，且PB PM =，延长MP 交O 于D ，连结AD ，（1）求证：AD //BM ； （2）若6MB =，O 的直径为10，求sin ADP ∠的值．8．如图，⊙O 的半径为5，弦BC ＝6，A 为BC 所对优弧上一动点，△ABC 的外角平分线AP 交⊙O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．（1）如图1，①求证：点P 为BAC 的中点； ②求sin ∠BAC 的值；（2）如图2，若点A 为PC 的中点，求CE 的长； （3）若△ABC 为非锐角三角形，求P A •AE 的最大值．9．如图1，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 为直角顶点的Rt △EFG 的两边EF ，EG 分别过点B ，C ，∠F ＝30°． （1）求证：BE ＝CE ．（2）如图2，将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动，若EF ，EG 分别与AB ，BC 相交于点M ，N ． ①求证：△BEM ≌△CEN ．②若AB ＝kCN ，求当△BMN 面积最大时，k 的值．③当旋转停止时，点B 恰好在FG 上（如图3），求sin ∠EBG 的值．10．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B 、C 、D 三点，再在桥外确定一点A ，使得AB ⊥BD ，测得AB 之间15米，使得∠ADC ＝30°，∠ACB ＝60°．（1）求CD 的长（精确到0.1≈1.73≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C 到D 用时2秒，汽车是否超速？说明理由．11．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为山坡的坡角为30，小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离1CF =米，从E 测得树顶部A 的仰角为45︒，树底部B 的仰角为20︒．（1）求DF 的长．（2）求AB 的高度（精确到0.1米）．（参考数值：sin 200.34,cos 200.94,tan 200.36︒≈︒︒≈≈） 12．如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶A 的仰角为60︒，然后在坡顶D 测得树顶A 的仰角为30，已知斜坡CD 的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比）i =斜坡CD =，求树AB 的高度．（结果精确到1m ，参考数据：1.73≈≈）13．已知：如图，在Rt ABC △与Rt DBE 中，90ABC DBE ∠=∠=︒，且点C 是线段DE 的中点．（1）求证：ABD AEB ∽．（2）当tan 0.75BAC ∠=时，求tan E ．（3）在（2）的条件下，作BAC ∠的平分线交BE 于点F ，若AF =AD 的长．14．如图，在平行四边形ABCD 中，15AB =，AD DB ⊥，4tan 3A ∠=．点P ，Q 是射线BD 上两个动点，点Q 以每秒3个单位的速度从点B 向终点D 运动，23PQ BQ =，点P 和点B 始终在点Q 两侧，过点P 作PH AB ⊥于点H ，连接HQ ，以PH 、HQ 为邻边作平行四边形PHQG ，设点Q 的运动时间为(s)t ．（1）PH =________（用含t 的代数式表示）； （2）当点G 落在DC 上时，求t 值；（3）点O 为线段BD 中点，当直线OG 平行或垂直于BCD △一边时，求PQG 与BCD △重叠部分的面积；（4）若经过点G 的直线将平行四边形ABCD 的面积两等分，同时该直线将平行四边形PHQG 的面积分成1:3的两部分，直接写出t 的值．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．连接AC，BC，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．16．某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容：（1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程；（2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因；（3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为 m ． 17．矩形ABCD 中，∠ACB=30°，直角三角形AEF 中，∠EAF=90，∠AFE=30°． （1）如图①，连接BE 和CF ，求证：△ABE ∽△ACF ；（2）将直角三角形AEF 绕A 旋转至图②位置，使得点F 落在BC 上，此时AF CF =，求此时MFBM的值；（3）将直角三角形AEF 绕A 旋转至图③位置，此时有∠ABF=30°，BF=4，BE =AB 的长度18．如图，△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径的O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且DE 是O 的切线．（1）求证：∠CDE=12∠BAC ； （2）连接AD ，若tan ∠CAD=13，CE=4，求O 的半径．19．在平面直角坐标系xOy 中，对于ABC ，点P 在BC 边的垂直平分线上，若以点P 为圆心，PB 为半径的⨀P 与ABC 三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P 为ABC 关于边BC 的“Math 点”．如图所示，点P 即为ABC 关于边BC 的“Math 点”．已知点P(0，4)，Q(a ，0)．（1）如图1，a ＝4，在点A(1，0)、B(2，2)、C(、D(5，5)中，POQ 关于边PQ 的“Math 点”为 ．（2）如图2，a=①已知D(0，8)，点E 为POQ 关于边PQ 的“Math 点”，请直接写出线段DE 的长度的取值范围；②将POQ 绕原点O 旋转一周，直线y b =+交x 轴、y 轴于点M 、N ，若线段MN 上存在POQ 关于边PQ 的“Math 点”，求b 的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy 中，若将点P 沿x 轴折叠得到点1P ，再将点1P 绕点R 顺时针旋转90︒得到点P '，则称点P '是点P 关于x 轴－点R 的折旋点． 例如：点(0,1)Q 关于x 轴－点O 的折旋点是点(1,0)Q '-．（1）如图1，点(0,1)A -．①若点B 是点A 关于x 轴－点C 的折旋点，则点B 的坐标为______； ②若点(4,1)D -是点A 关于x 轴－点E 的折旋点，则点E 的坐标为_______； （2）如图2，O 的半径为2.若O 上存在点M ，使得点M '是点M 关于x 轴－点(4,0)S 的折旋点，且点M '在直线y x b =+上，求b 的取值范围； （3）(0,)F t 是y 轴上的动点，F 的半径为2，若F 上存在点N ，使得点N '是点N 关于x 轴－点(4,0)S 的折旋点，且点N '在直线y x =上，直接写出t 的取值范围． 21．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 是AC 边的中点，41312sin 5BC AD B ===，，．（1）求线段CD 的长； （2）求tan 2ADE ∠的值．22．如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一平面上．（1）转动连杆BC ，CD ，使∠BCD 成平角，∠ABC ＝150°，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ．（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝165°，如图3，求此时连杆端点D 离桌面l 的高度比（1）中的高度DE 减少了多少？23．在Rt ABC △中，9034ACB BC AC ∠=︒==，，，点Q 在边AC 上，1CQ =，动点P 从点A 出发，沿射线AC 运动，速度为每秒1个单位长度，当点P 不与点Q 重合时，以PQ 为边构造Rt PQM △，使90PMQ A QPM ∠=∠∠=︒，，且M 与点B 在直线AC 的同侧，设点P 运动时间为t 秒．（1）AB 的长为______；（2）点M 落在AB 边上时，求t 的值；（3）当点P 在线段AC 上时，设PQM 与ABC 重合部分图形的周长为l ，求l 与t 之间的函数关系式；（4）当点M 与ABC 的一个顶点（点C 除外）连线所在的直线平分ABC 面积时，直接写出t 的值．三、填空题24．如图，已知直线2y x =-与抛物线2522y ax x =+-与x 轴交于点,A B （点B 在点A 左侧），与y 轴交于点C ．点P 是x 轴上一动点，点N 为直线AC 上一点，则CP PN +的最小值为________．25．如图，在矩形ABCD 的AB 边取一点E ，将ADE 沿DE 折叠，使得点A 落在BC 边上点F处，延长EF ，与CDF ∠的角平分线交于点G ，DG 交BC 于点H ，已知AB =当12FH BC =时，点G 到直线ED 的距离为_________．26．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点D 是边BC 上（不与B ，C 重合）一动点，∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，若△DCE 为直角三角形，则BD 的值为_____．27．已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=4，cosB=45，则AC=____．28．如图，已知A B 、两点的坐标分别为(0,2),P ，是AOB 外接圆上的一点，且45AOP ∠=︒，则点P 的坐标为_______________．29．如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物．如图2，已知一款塔吊的平衡臂ABC 部分构成一个直角三角形，且AC BC =，起重臂AD 可以通过拉伸BD 进行上下调整．现将起重臂AD 从水平位置调整至1AD 位置，使货物E 到达1E 位置（挂绳DE 的长度不变且始终与地面垂直）．此时货物E 升高了24米，且到塔身AH 的距离缩短了16米，测得1AB BD ⊥，则AC 的长为______米．30．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，3BC =，D 为斜边AC 的中点，连接BD ，点F 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BE BD ⊥交DF 延长线交于点E ，连接CE ，下列结论：①若BF CF =，则222CE AD DE +=；②若BDE BAC ∠=∠，4AB =，则158CD =；③ABD △和CBE △一定相似；④若30A ∠=︒，90BCE ∠=︒，则DE =________．（填写所有正确结论的序号）【答案与解析】1．B【解析】（1）利用相似三角形，证明证明线段0n B B 就是点B 运动的路径（或轨迹），如答图②所示．； （2）如答图①所示，利用相似三角形△A 0n B B ∽△AON ，求出线段0n B B 的长度，即点B 运动的路径长．由题意可知，OM=，点N 在直线y=－x 上，AC ⊥x 轴于点M ，则△OMN 为等腰直角三角形，∴ ON=．如答图①所示，设动点P 在O 点（起点）时，点B 的位置为0B ，动点P 在N 点（起点）时，点B 的位置为n B ，连接0B n B ．∵AO ⊥A 0B ，AN ⊥A n B ，∴∠OAC=∠0B A n B ．又∵A 0B =AO•tan30°，A n B =AN•tan30°，∴A 0B ：AO=A n B ：AN=tan30°．∴△A 0B n B ∽△AON ，且相似比为tan30°．∴0B n B =ON•tan30°=×3＝．现在来证明线段0B n B 就是点B 运动的路径（或轨迹）：如答图②所示，当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点B 为i B ，连接AP ，A i B ，0B i B ．∵AO ⊥A 0B ，AP ⊥A i B ，∴∠OAP=∠0B A i B ．又∵A 0B =AO•tan30°，A i B =AP•tan30°，∴A 0B ：AO=A i B ：AP ．∴△A 0B i B ∽△AOP ，∴∠A 0B i B =∠AOP ．又∵△A 0B n B ∽△AON ，∴∠A 0B n B =∠AOP ．∴∠A 0B i B =∠A 0B n B ．∴点i B 在线段0B n B 上，即线段0B n B 就是点B 运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B 运动的路径（或轨迹）是线段0B n B ，其长度为．故选B本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．要点有两个：确定点B 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．2．C【解析】作∠CPD =60°交OA 于C ，交OB 于D ，连接CD ，在OB 上截取OE =OP ，连接PE ，过点D 作DF ⊥PC于点F ，利用ASA 即可证出△CPO ≌△DPE ，从而证出当∠CPD =60°时，△PCD 必为等边三角形，S =24PC ，即当PC 最大时，S 最大；当PC 最小时，S 最小，然后由图易知：当点C 或点D 与O 重合时，PC 最大，求出PC 最大值即可求出S 的最大值；根据垂线段最短易知：当PC ⊥OA 时，PC 最小，求出PC 最小值即可求出S 的最小值．解：作∠CPD =60°交OA 于C ，交OB 于D ，连接CD ，在OB 上截取OE =OP ，连接PE ，过点D 作DF ⊥PC 于点F∵OP 平分AOB ∠,120AOB ∠=︒∴∠COP =∠POE =6201AOB ∠=︒， ∴△OPE 为等边三角形∴OP =PE ，∠OPE =∠OEP =60°∴∠CPD =∠OPE ，∠COP =∠DEP∴∠CPO =∠DPE∴△CPO ≌△DPE∴PC =PD∴△PCD 为等边三角形，即当∠CPD =60°时，△PCD 必为等边三角形此时DF =PD ·sin60°PC∴S =12PC DF ⋅⋅2PC ∴当PC 最大时，S 最大；当PC 最小时，S 最小．由图易知：当点C 或点D 与O 重合时，PC 最大，此时PC =OP =2∴S =24PC ，即S 根据垂线段最短易知：当PC ⊥OA 时，PC 最小，此时PC =OP ·sin ∠COP∴S =24PC S 故选C ．此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和垂线段最短，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和垂线段最短是解题关键．3．C【解析】由B 的余弦值得到它的度数，再分情况讨论，画出图象，利用锐角三角函数求出BC 的长．解：∵cos B ∠=∴45B ∠=︒，如图，当ABC 是钝角三角形时，∵AB =，45B ∠=︒，∴12AD BD ==，∵13AC =，∴5CD =，∴1257BC BD CD =-=-=，如图，当ABC 是锐角三角形时，12517BC BD CD =+=+=．故选：C ．本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法，需要注意进行分类讨论． 4．D【解析】先证四边形BCDE 是矩形，∠AEB =53°，得BC =DE =35cm ，再由锐角三角函数定义求出AB =BE •tan ∠AEB =60tan 53°，即可得出答案．解：∵AC ⊥BE ，AC ⊥CD ，AC ∥ED ，∴四边形BCDE 是矩形，∠AEB =53°，∴BC =DE =35cm ，在Rt △ABE 中，∠ABE =90°，tan ∠AEB =AB BE，BE =60cm ， ∴AB =BE •tan ∠AEB =60tan 53°，∴AC =BC +AB =35+60tan 53°，故选：D ．本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数定义解答问题，属于中考常考题型．5．B【解析】如图，设C 点处垂线与B 处视线交点为F ，过点F 作FL ⊥MN 于L ，过点E 作EI ⊥MN 于I ，延长MN 交AB 的延长线于H ，设MN xm =，CN ym =，利用三角形函数构建方程求出x 即可解决问题．解：如图，设C 点处垂线与B 处视线交点为F ，过点F 作FL ⊥MN 于L ，过点E 作EI ⊥MN 于I ，延长MN 交AB 的延长线于H ，设MN xm =，CN ym =， 1.6AE CF m ==在Rt CBG △中， ∵152.412CG BG ==，222BC CG BG =+ ∴1312BC BG =， ∵ 6.5BC m =，∴6BG m =，5 2.512CG BG m ==， 在Rt MFL 中，tan 50ML FL ︒=， ∵()1.6ML MN LN MN FC x m =-=-=-，FL CN ym ==， ∴ 1.6 1.2x y -=，则5463y x =-， 在Rt EIM 中，tan 37MI EI ︒=， ∵(12)EI AH AB BG GH y m ==++=+，2.5 1.6(0.9)MI MN NI MN NH IH x x m =+=+-=+-=+， ∴0.90.7512x y +=+，则4162315y x =-， ∴54416263315x x -=-， 解得28418.915x m =≈． 故选：B ．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PC 是⊙O 的切线，见解析；（2）154r =【解析】（1）结论：PC 是⊙O 的切线．只要证明OC ∥AD ，推出∠OCP =∠D =90°，即可．（2）先利用锐角三角函数求出PD ，进而求出AP ，再由OC ∥AD ，推出OC OP AD AP=，由此即可计算．解：（1）结论：PC 是⊙O 的切线．理由：连接OC ．如图1，∵AC 平分∠EAB ，∴∠EAC =∠CAB ，又∵OA =OC ，∴∠CAB =∠ACO ，∴∠EAC =∠OCA ，∴OC ∥AD ，∵AD ⊥PD ，∴∠OCP =∠D =90°，∴PC 是⊙O 的切线．（2）在Rt △ADP 中，∠ADP =90°，AD =6，tan ∠P =34， ∴PD =8tan AD P=∠，AP =10， 设半径为r ，∵OC ∥AD ， ∴OC OP AD AP =，即10610r r -=， 解得r =154， 故半径为154．本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、解直角三角形、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（1）见解析；（2）35【解析】（1）欲证明AD ∥BM ，只要证明∠D =∠PMB 即可．（2）连接OB ，设OC =x ，BC =y ，利用勾股定理构建方程组求解即可．解：（1）证明：∵PB =PM ，∴∠PMB =∠PBM ，∵∠PBM =∠D ，∴∠PMB =∠D ，∴AD ∥BM ．（2）连接OB ，设OC =x ，BC =y ，∵MN ⊥AB ，∴∠BCO =∠BCM =90°，则有()222225536x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得75x =， ∴MC =857155-=， 由（1）可知，∠ADP =∠ABM ，∴sin ∠ADP =sin ∠ABM =CM BM =1856=35．本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，平行线的判定等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．8．（1）①证明见解析；②3sin 5BAC ∠=；（2）CE =；（3）80. 【解析】（1）①如图1，由AP 平分,FAB ∠ 证明,PAF PAB ∠=∠ 再结合四边形BCAP 为O 的内接四边形的性质证明,PBC PAF ∠=∠ 可得,PBC PAB ∠=∠ 从而可得答案；②如图2，过P 作PG BC ⊥于G ，交⊙O 于H ，连接OB ，证明,2,BG CG BPC BPG =∠=∠PH 过圆心，再证明,BOG BAC ∠=∠ 由,6,OG BC BC ⊥= 求解132BG BC ==，从而可得答案；（2）如图3，过P 作PG ⊥BC 于G ，连接OC ，求解4,9,OG PG === PC =设∠APC=x ， 证明2E x x x CPE ∠=-==∠， 可得CE PC == （3）如图4，过点C 作CQ ⊥AB 于Q ，证明△ACE ∽△APB ， 可得,AC AEAP AB =所以PA AE AC AB =， 由（1）得：3sin =,5CQ BAC AC ∠=可得13210ABCS AB CQ AB AC ==，可得10,3ABCPA AE S =结合点A 运动到使△ABC 为直角三角形时，△ABC 的面积最大，由AB=10，BC=6，求解8AC =， 可得101016880,332ABCPA AE S ==⨯⨯⨯=从而可得答案． 证明：（1）①如图1，AP 平分,FAB ∠,PAF PAB ∴∠=∠四边形BCAP 为O 的内接四边形，180,PBC PAC ∴∠+∠=︒ 180,PAF PAC ∠+∠=︒ ,PBC PAF ∴∠=∠ ,PBC PAB ∴∠=∠,PC BP ∴=∴ 点P 为BAC 的中点；②如图2，过P 作PG ⊥BC 于G ，交⊙O 于H ，连接OB ，,PB PC =,PB PC ∴=,2,BG CG BPC BPG ∴=∠=∠PH 过圆心，∴PH 是直径，,,BC BC BH BH ==,BPC BAC ∴∠=∠2,BOG BPG BPC ∠=∠=∠ ,BOG BAC ∴∠=∠∵,6,OG BC BC ⊥= ∴132BG BC ==， Rt △BOG 中，∵OB=5，3sin sin .5BG BAC BOG OB ∴∠=∠== （2）如图3，过P 作PG ⊥BC 于G ，连接OC ，由（1）知：PG 过圆心O ，且CG=3，OC=OP=5，∴4,OG == ∴PG=4+5=9，∴PC ===设∠APC=x ，∵点A 为PC 的中点， ∴,AP AC =∴∠ABC=∠ABP=x ， ∵PB PC =，∴2PCB PBC x ∠=∠=， △PCE 中，∠PCB=∠CPE+∠E ， ∴2E x x x CPE ∠=-==∠，∴CE PC ==（3）如图4，过点C 作CQ ⊥AB 于Q ，四边形ACBP 为O 的内接四边形，∴ ∠ACE=∠P ，∠CAE=∠PAF=∠PAB ，∴△ACE ∽△APB ， ∴,AC AEAP AB= ∴PA AE AC AB =， 结合（1）得：3sin =,5CQ BAC AC ∠= ∴3sin ,5CQ AC BAC AC =∠= ∴13210ABCSAB CQ AB AC ==， ∴10,3ABC PA AE S = ∵△ABC 为非锐角三角形，∴点A 运动到使△ABC 为直角三角形时，△ABC 的面积最大， 此时AB 为O 的直径，90,ACB ∠=︒在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∴8AC==，此时101016880.332ABCPA AE S==⨯⨯⨯=即PA AE的最大值是80.本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．9．（1）见解析．（2）①见解析；②1；．【解析】（1）利用SAS定理证明△BAE≌△CDE，根据全等三角形的性质证明结论；（2）①根据等腰直角三角形的性质得到∠EBC＝∠ECB＝45°，进而得到∠BEM＝∠CEN，利用ASA 定理证明△BEM≌△CEN；②根据三角形的面积公式得到S△BMN＝﹣12（x﹣a）2+22a，根据二次函数的性质解答；③作EH⊥BG于H，设NG＝m，根据直角三角形的性质、勾股定理用m表示出BN、BG，根据三角形的面积公式用m表示出EH，根据正弦的定义计算，得到答案．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵E是AD中点，∴AE＝DE，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴BE＝CE；（2）①证明：如图2，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°（矩形的四个角都是90°），∴∠EBM＝∠ECN＝45°，∵∠MEN＝∠BEC＝90°，∴∠MEN﹣∠BEN＝∠BEC﹣∠BEN，即∠BEM＝∠CEN，∵EB＝EC，在△BEM和△CEN中，BEM CEN EB EC EBM ECN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BEM ≌△CEN （ASA ）； ②解：设AB ＝a ，∵∠ABE ＝45°，∠A ＝90°， ∴AE ＝AB ＝a ， ∴BC ＝AD ＝2a ， ∵△BEM ≌△CEN ， ∴BM ＝CN ，设BM ＝CN ＝x ，则BN ＝2a ﹣x ， ∴S △BMN ＝12•x （2a ﹣x ） ＝﹣12（x ﹣a ）2+22a ， ∵﹣12＜0， ∴x ＝a 时，△BMN 的面积最大，此时AB ＝CN ，即k ＝1； ③解：如图3，作EH ⊥BG 于H ， ∵EF //BN ，∴∠GBN ＝∠F ＝30°， 设NG ＝m ，则BG ＝2m ，由勾股定理得，BN ＝ENm ， 则EBm ， ∴EG ＝EN +NG）m ，∵S △EBG ＝12×EG ×BN ＝12×BG ×EH ， ∴12×）mm ＝12×2m ×EH ， 解得，EH，在Rt △EBH 中，sin EH EBG EB ∠===．本题考查的是全等三角形的判定和性质、正方形的性质、锐角三角函数的定义、二次函数的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、二次函数的性质是解题的关键． 10．（1）17.3米；（2）超速，理由见解析 【解析】（1）根据特殊角三角函数先求出BC 和BD 的长，进而可得CD 的长； （2）先进行单位换算，再用路程除以时间求出速度进行比较即可． （1）在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝60°，AB ＝15米， ∴BC ＝tan 60AB︒在Rt △ABD 中，∠ABD ＝90°，∠ADB ＝30°， ∴BD＝∴CD ＝BD ﹣BC ＝米， ∴CD 的长为17.3米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝253米/秒， 而＞253， ∴汽车超速．本题考查了解直角三角形在实际问题中的应用．在直角三角形中，已知一锐角和一边，利用三角函数求得其中一边，再用三角函数或勾股定理可求得第三边． 11．（1）10米；（2）6.4米． 【解析】（1）解直角三角形BCD 来求CD 的长度，则DF=CD+CF ；（2）由（1）求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGE 中即可求得BG 的长，从而求得树高．（1）在Rt BCD 中，cos309CD BC =⋅︒==， 10DF CD CF ∴=+=（米）， 答：DF 的长为10米． （2）在Rt AGE 中，45AEG ∠=︒，10AG EG DF ∴===，在Rt BGE △中，tan 20100.36 3.6BG EG =⋅︒≈⨯=，10 3.6 6.4AB ∴=-=，答：树AB 的高约为6.4米．本题考查了解直角三角形的应用，借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 12．26m 【解析】根据坡度求出30DCE ∠=︒，继而求得，∠ACD ＝90°，根据平行线的性质可得∠FDC ＝30°，继而得∠ADC ＝60°，在Rt ACD 中，解直角三角形可得AC ，在Rt ABC △中，解直角三角形可得AB 的值．解：∵斜坡CD 的坡度i =∴tan 1:3DCE i ∠===， ∴30DCE ∠=︒． ∵60ACB ∠=︒，∴180306090ACD ∠=︒-︒-︒=︒． ∵//DF BE ，∴30FDC DCE ∠=∠=︒， ∴303060ADC ∠=︒+︒=︒．在Rt ACD 中，CD =，tan 60ACCD︒=，∴30(m)AC ==， 在Rt ABC △中，∵sin 60ABAC︒=，∴3015 1.7325.9526(m)2AB =⨯=≈⨯=≈． 答：大树的高度约为26m ．本题考查解直角三角形的运用-仰角和俯角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义，特殊的锐角三角函数值．13．（1）证明见解析；（2）12；（3）5． 【解析】（1）根据CBE E ∠=∠和ABD CBE E ∠=∠=∠证明ABD AEB ∽相似即可； （2）设3,4(0)BC a AB a a ==>，得出5AC a =，AD=2a ，再根据BD ADEB AB=得出结果； （3）过点F 作FH AE ⊥于点H ，作//FG AB 交AE 于点G ，利用勾股定理及角平分线的性质得出FG=5k ，5,459AG FG k AH AG GH k k k ===+=+=，再利用解直角三角形求解即可．解：（1）点C 是Rt BDE 斜边中点．12BC DC EC DE ∴===， CBE E ∴∠=∠．90ABC DBE ∠=∠=︒，90,90CBE DBC ABD DBC ∴∠+∠=︒∠+∠=︒， ABD CBE E ∴∠=∠=∠，ABD AEB ∴∽．（2）在Rt ABC △中，3tan 4BC BAC AB ∠==， 设3,4(0)BC a AB a a ==>，5AC a ∴===．又3CD EC BC a ===，2AD AC CD a ∴=-=．又2142BD AD a EB AB a ===，在Rt DBE 中，1tan 2BD E BE ∠==． （3）过点F 作FH AE ⊥于点H ，作//FG AB 交AE 于点G ，,FGE BAC BAF AFG ∴∠=∠∠=∠，3tan tan 4FGE BAC ∴∠=∠=．∴在Rt FHG 中，3,4(0)FH k HG k k ==>，5FG k ∴===．AF 平分BAE ∠，BAF FAD ∴∠=∠．BAF AFG ∠=∠， FAD AFG ∴∠=∠，5,459AG FG k AH AG GH k k k ∴===+=+=，在Rt EHF 中，1tan 2FH E EH ∠==， 6EH k ∴=，41515203AE AH EH k ∴=+=+⨯=，由（2）得2184AD a AE a ==， 154AD AE ∴==．本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的斜边中线性质、三角函数和勾股定理在计算中的应用，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 14．（1）3t ；（2）32t =；（3）2720或154或17625；（4）1811或1813【解析】（1）先求出9AD =，12BD =，再证明△ADB PHB ∆可得AB ADPB PH=，即可求解； （2）求出4sin 5A ∠=可得4125DB AB ==，再根据PH=GQ,列出方程即可求解，从而可得结论； （3）分三种情况求解即可；（4）分两种情况根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解即可． 解：（1）∵∠90=15ADB AB =︒，，tan BD A AD ∠==43， ∴9AD =，12BD = 在△ADB 和△PHB 中，∠90ADB PHB ABD PBH =∠=︒∠=∠， ∴△ADB PHB ∆∴AB AD PB PH =，即AD PBPH AB⋅=∵25533PB BQ PQ BQ BQ BQ t =+=+==∴45315tPH t ==故答案为：3t （2）当点G 落在DC 上时，∵4tan 3A ∠=， ∴4sin 5A ∠=，3sin 5CDB ∠=,在Rt ADB 中，90ADB ∠=︒4sin 5DB A AB ∠==， ∴4125DB AB ==∴在Rt AQG 中，90AGQ ∠=︒()31235GQ t =-， 同理355PH t =，∵PH GQ =, ∴()33123555t =t - ∴32t =（3）①当//OG DC 时，3t 4=，22141212327232555420S t t t ⎛⎫=⋅⋅⋅==⨯= ⎪⎝⎭②当//OG BC 或OG DB ⊥时，54t =，2214121251523255544S t t t ⎛⎫=⋅⋅⋅==⨯= ⎪⎝⎭③当OG DC ⊥时，2t =，22121831762326529525S ⎛⎫=⨯-⨯⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭ （4）∵经过点G 的直线将平行四边形ABCD 的面积平分，∴这条直线经过平行四边形ABCD 的对角线的交点，即BD 的中点O ．①如图，当直线OG 经过PH 的中点R 时，直线OG 将平行四边形PHQG 的面积分成1:3的两部分，∵PH //GQ ， ∴12PR PO GQ OQ ==， ∴561632t t -=- ∴1813t =；②如图，当直线OG 经过HQ 的中点N 时，直线OG 将平行四边形PHQG 的面积分成1:3的两部分，∵PG//HQ ， ∴12NQ OQ PG PO ==， ∴631562t t -=-， ∴1811t =；综上所述，满足条件的t 的值为1811或1813． 此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．15．（1）211433y x x =-++；（2）PN m ﹣2）2，当m ＝2时，PN ；（3）M 1（2，103）、M 2（，23﹣）、M 3（2﹣23），S ＝83． 【解析】 （1）由二次函数交点式，即可求解．（2）由PN ＝PQ sin ∠PQN ＝2（﹣13m 2+13 m +4+m ﹣4）即可求解． （3）由三角形的面积公式和平行线的性质知，点M 1、M 2、M 3在与直线BC 平行且与抛物线相交的直线上．利用待定系数法确定直线BC 的解析式，然后通过二次函数图象与几何变换规律求得符合条件的直线，再联立方程组，求得直线与抛物线的交点即可．解：（1）由二次函数交点式表达式得：y ＝a （x +3）（x ﹣4）＝a （x 2﹣x ﹣12）＝ax 2﹣ax ﹣12a ， 即：﹣12a ＝4，解得：a ＝﹣13， 则抛物线的表达式为211433y x x =-++；（2）设点P （m ，﹣13m 2+13m +4），则点Q （m ，﹣m +4）， ∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ，PN ＝PQ sin ∠PQN ＝2（﹣13m 2+13 m +4+m ﹣4）＝﹣6（m ﹣2）2+3，∵﹣6＜0， ∴PN 有最大值，当m ＝2时，PN 的最大值为3． （3）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），把B （4，0），C （0，4）代入，得404k b b +=⎧⎨=⎩．解得14k b =-⎧⎨=⎩∴y ＝﹣x +4设与直线BC 平行的直线的解析式为：y ＝﹣x +n ． 联立得：2411433y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩． 消去y 得：x 2﹣4x +3b ﹣12＝0．当直线与抛物线只有一个公共点时，△＝16﹣4（3b ﹣12）＝0．解得b ＝163． 即：y ＝﹣x +163． 此时交点M 1（2，103）． 直线y ＝﹣x +163是由直线y ＝﹣x +4向上平移163﹣4＝43个单位得到． 同理，将直线y ＝﹣x +4向下平移43个单位可得直线y ＝﹣x +83． 联立28311433y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩．解得11223x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，22223x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩∴M 2（，23﹣），M 3（2﹣23）． 综上所述，符合条件的点的坐标分别是：M 1（2，103）、M 2（，23﹣）、M 3（2﹣，23）． 此时S ＝83．此题属于二次函数综合题型，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．16．（1）见解析；（2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离；（3）12．【解析】（1）设CH ＝x ，在Rt △CHF 中根据∠CFH ＝∠FCH ＝45°，可知CH ＝FH ＝x ，在Rt △CHE 中根据tan ∠CEH ＝CH EH可得出x 的值，由CD ＝CH +DH 即可得出结论； （2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离；（3）根据小明与小红的计算结果得出古塔底面的半径，进而可得出结论．解：（1）设CH ＝x ，在Rt △CHF 中，∵∠CFH ＝∠FCH ＝45°，∴CH ＝FH ＝x ，在Rt △CHE 中，∵tan ∠CEH ＝CH EH ， ∴58.8x x ＝tan17°＝0.30， ∴x ＝25.2，即CH ＝25.2（m ），∴CD ＝CH +DH ＝25.2+1.6＝26.8（m ），答：古塔CD 的高度为26.8m ；（2）原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离．（3）如图，在EH 上取一点P 使∠CPH ＝35°，则PG ＝30，在Rt △CHP 中，CH ＝25.2，∴PH ＝tan 35CH ︒＝25.20.7＝36， ∴GH ＝PH ﹣PG ＝6，∴该古塔底面圆直径的长度＝2×6＝12（m ）．故答案为：12．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．17．（1）见解析；（2）MF BM =3；（3【解析】（1）易证明△AEF ∽△ABC ，则有AE AF AB AC =，再证明∠BAE=∠CAF ，根据相似三角形的判定即可证的结论；（2）连接BE ，设CF=x ，则x ，AE=AF·tan30°=x ，由（1）中△ABE ∽△ACF 可证得AF AE CF BE =，∠ABE=∠ACF ，进而求得x ，再证明△BME ∽△FMA ，则MF AF MB BE =，进而求解； （3）连接FC ，易证△ABE ∽△ACF ，则tan 30BE AB CF AC ==，解得CF=6，易求得∠FBC=90°，根据勾股定理求得BC ，进而由AB=BC·sin30°求解即可．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAC=90°，即∠BAC=∠EAF=90°，∵∠ACB=∠AFE=30°，∴△AEF ∽△ABC ， ∴AE AF AB AC =即AE AB AF AC=， ∵∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF=90°，∴∠BAE=∠CAF ，∴△ABE ∽△ACF ；（2）连接BE ，由（1）中方法可证明△ABE ∽△ACF ， ∴AFAE CF BE =，∠ABE=∠ACF 即∠ABE=∠AFE ， 设CF=x ，则，AE=AF·tan30°， 由AFAE CF BE =得：BE x = 解得：BE=3x ， ∵∠EMB=∠AMF ，∠ABE=∠AFE ，∴△BME ∽△FMA ， ∴MF AF MB BE =3=；（3）连接AC ，由（1）中方法可证△ABE ∽△ACF ， ∴tan 30BE AB CF AC==， ∴23=tan 303BE CF = ∵∠ACB=30°，∠BAC=90°∴∠ABC=60°，又∠ABF=30°，∴∠FBC=∠ABF+∠ABC=90°，在Rt △FBC 中，由勾股定理得BC===∴AB=BC·sin30°=本题考查了相似三角形判定与性质、矩形的性质、解直角三角形、特殊角的三角函数值、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键.18．（1）见解析；（2）16．【解析】（1）连接OD、AD，则由CA为直径可得AD⊥BC，从而得到AD平分∠BAC，然后根据弦切角定理即可得到解答；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC，∵DE是⊙O 的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90 ，∴∠ADC=∠ODE，∴∠CDE=∠ADO，∵OA= OD，∴∠CAD=∠ADO，∴∠CDE =∠CAD ，∴∠CDE=∠CAD=12∠BAC ； （2）解：∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，∵tan ∠CAD=13， ∴AD=3CD ，∴设DC=x ，则AD=3x ，∴=，∵∠CDE=∠CAD ，∠DEC=∠AED ，∴△CDE ∽△DAE ， ∴CE DC DE DE AD AE ==，即 43x DE DE x AE== ， ∴DE=12，AE=36，∴AC=AE-CE=32，∴⊙O 的半径为16．本题考查的是切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得AD ⊥BC 是解决问题的关键．19．（1）B ，C ；（2）①6DE ≤≤；②4b ≤<-4b -<≤【解析】（1）根据“Math 点”的定义，结合图象判断即可．（2）①首先证明∠PQO ＝30°，当点E 与PQ 的中点K 重合时，点E 是△POQ 关于边PQ 的“Math点”，此时E （，2），当⊙E′与x 轴相切于点Q 时，E′（8），推出DE′＝，观察图象可知，当点E 在线段KE′上时，点E 为△POQ 关于边PQ 的“Math 点”，求出点D 到直线E′K 的最小值，即可解决问题．②如图3中，分别以O 为圆心，2和为半径画圆，当线段MN 与图中圆环有交点时，线段MN 上存在△POQ 关于边PQ 的“Math 点”，求出直线MN 与大圆或小圆相切时b 的值，即可判断． 解：（1）根据“Math 点”的定义，观察图象可知，△POQ 关于边PQ 的“Math 点”为B 、C ． 故答案为：B ，C ．（2）如图2中，∵P（0，4），Q（0），∴OP＝4，OQ＝∴tan∠PQO∴∠PQO＝30°，①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2），∵D（0，8），∴DE。