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高中数学《等比数列》逐字稿数列是数学中非常基础的概念之一，而等比数列是数列中的一种特殊类型，它具有非常重要的意义。
本文将带您逐字学习高中数学《等比数列》的知识。
一、定义等比数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。
简单来说，就是一个数列中每一个数都是它前面那个数乘以相同的常数。
例如：2，4，8，16，32 就是一个等比数列，公比为 2。
二、公式等比数列的通项公式为：an=a1*q^(n-1) ，其中 a1 为首项，q 为公比，n 为项数。
三、性质1. 如果公比 q 大于 1，那么随着项数的增加，等比数列中的项会越来越大（指绝对值），并且不存在极限；如果公比 q 在0和1之间，那么随着项数的增加，等比数列中的项会越来越小（指绝对值），并趋于 0；如果公比 q 小于 0，而且 n 为奇数，那么等比数列中的各项都是负数。
2. 在等比数列中，任意三项的比值恒等于相邻两项的比值。
这是因为：a3/a2=q，a2/a1=q，两式相除即得 a3/a1=q^2。
3. 求等比数列的前 n 项和的公式为：S_n = a1(1-q^n)/(1-q) 。
如果公比 q 大于 1，那么 S_n 会趋向无限大；如果公比在 0 到 1 之间，那么 S_n 会趋于一个有限数；如果公比小于 0，而且 n 为奇数，那么 S_n 为负数。
四、应用等比数列是数学中非常重要的一种数列，它在实际应用中有很广泛的用途，例如在金融领域中，等比数列被广泛用于计算复利；在物理学中，等比数列也被用于计算电路中电容和电感的阻抗；在生物学中，等比数列则可以用来计算生物种群的增长等。
五、总结通过本文的学习，我们了解到了等比数列的定义、公式、性质和应用。
掌握这些知识对于高中数学的学习非常重要，也为今后进一步深入学习数学打下了坚实的基础。
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质等比数列是数学中常见的一种数列，又被称为等比数列或几何数列。
在高中数学中，等比数列的概念及其性质是学习数列的重要一环。
本文将对等比数列以及等比数列的性质进行总结和讨论。
1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)其中，an为数列的第n项。
2. 等比数列的性质等比数列有许多特殊的性质，下面将逐一介绍。
2.1 等比数列的公比公比r是等比数列中非常重要的一个概念，它决定了数列的增长或衰减趋势。
当|r|>1时，等比数列呈现增长趋势，此时数列的绝对值逐项增大；当|r|<1时，等比数列呈现衰减趋势，此时数列的绝对值逐项减小；当|r|=1时，等比数列的绝对值保持不变。
2.2 等比数列的通项公式的推导等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)可以通过递推关系式得出。
首先可以得到数列的第二项：a2 = a * r。
推导出来的通项公示能够方便我们计算等比数列中各项的大小。
同时，通过改变公比，我们可以观察等比数列的特点。
2.3 等比数列前n项和的计算等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式进行计算：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式也可以通过递推关系式的推导得出。
等比数列前n项和的计算在实际问题中具有重要的应用，可以帮助我们求解等比数列求和问题。
3. 等比数列的应用举例3.1 高度问题假设一个球从一定的高度往下落，每次反弹高度都是之前一次的一半。
如果求第n次反弹的高度，我们可以建立等比数列来描述这个过程。
首项为球的初始高度，公比为1/2，利用等比数列的通项公式即可求解。
3.2 利息问题在金融领域中，利息的计算经常涉及到等比数列。
例如，一笔钱每年按照固定的利率计算利息，那么每年的本金和利息的总额就构成了一个等比数列。
等比数列的性质与应用教学备课一、引言在数学中，数列是一个非常重要的概念，而等比数列是其中一种特殊的数列。
等比数列具有独特的性质和广泛的应用，因此在教学中备课时，我们需要全面了解等比数列的性质，并掌握其应用方法。
本文将针对等比数列的性质和应用进行教学备课。
二、等比数列的定义与性质1. 等比数列的定义：等比数列是指数列中任意两项的比例都相等的数列。
如果一个数列的任意两项之间的比例都相等，那么这个数列就是等比数列。
2. 等比数列的通项公式：等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a1表示首项，q表示公比。
3. 等比数列的公比和首项的关系：公比q是等比数列中任意两项之间的比值，即q = an / a(n-1) =a(n+1) / an-1。
通过公式的转换，我们可以得到公比和首项之间的关系：q = (an)^(1/n)。
4. 等比数列的前n项和：等比数列的前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和。
三、等比数列的教学应用1. 等比数列在几何图形中的应用：等比数列可以用于描述几何图形中的一些特殊性质。
例如，在正多边形中，每条边的长度可以构成一个等比数列。
在绘制正多边形的过程中，学生可以通过等比数列的概念，计算出每一条边的长度，从而完成几何图形的绘制。
2. 等比数列在利润计算中的应用：在经济学中，等比数列可以用于计算利润的增长情况。
假设某公司的利润年增长率为10%，那么每年的利润可以构成一个等比数列。
通过利用等比数列的性质，我们可以根据首年的利润和公比，计算出未来多年的利润情况，为企业的发展提供参考依据。
3. 等比数列在科学实验中的应用：在科学实验中，等比数列可以用于描述某种物质的增长或变化规律。
例如，在细胞分裂的过程中，每次分裂细胞的数量可以构成一个等比数列。
通过等比数列的性质，我们可以计算出每一次分裂后细胞的数量，从而推断出整个分裂过程的变化趋势。
高一数学必修5等比数列知识点自己总结等比数列是数学中常见的数列，其特点是每个数与前一个数的比例保持不变。
等比数列在高中数学中常用于解题和推导。
下面是关于高一数学必修5中等比数列的知识点总结。
一、等比数列的定义等比数列是一种数列，它的每一项与前一项之比都相等。
记作a1、a2、a3、...、an、...的等比数列，它的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
二、等比数列的性质1. 公比为0时，等比数列为常数列。
2. 公比大于1时，等比数列呈递增趋势。
3. 公比小于1但大于0时，等比数列呈递减趋势。
4. 公比小于-1但大于-1时，等比数列呈交替增减趋势。
5. 等比数列的首项与公比的正负关系决定了数列的增减趋势。
三、等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过下述推导得出：设等比数列的首项是a1，公比是r，第n项是an，第n-1项是an-1。
an=a1*r^(n-1) （等比数列的通项公式）an-1=a1*r^(n-2) （等比数列的通项公式）将第一个式子除以第二个式子得：an/an-1=(a1*r^(n-1))/(a1*r^(n-2))=r即等比数列的两项之比恒等于公比r。
四、等比数列的和等比数列的前n项和可以通过以下公式计算得出：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r) （等比数列的前n项和公式）其中Sn是前n项的和。
特殊情况下，当公比r=1时，等比数列的前n项和可以简化为Sn=n*a1。
五、等比中项等比数列中，若数列中的某个数是它前后两个数的几何平均数，则称该数为等比数列的等比中项。
设该数为x，前一项是a，后一项是b，根据等比数列的性质可得：a/x=x/b即x^2=ab，解得x=√(ab)。
六、等比数列的应用1. 判断一组数是否构成等比数列，可通过两项之比是否恒等于公比来判断。
2. 求等比数列的前n项和，可使用等比数列的前n项和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
等比数列的概念与性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。
等比数列的概念与性质在数学中占有重要地位，对于理解数列的变化规律以及解决实际问题都有着重要的意义。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。
设等比数列的首项为a，公比为r（r≠0），则等比数列的前n项可以用以下公式表示：an = a * r^(n-1)，其中n为项数。
二、等比数列的性质1. 公比的意义：公比决定了等比数列中相邻两项之间的比值关系。
当公比r大于1时，等比数列呈现递增趋势；当公比r小于1但大于0时，等比数列呈现递减趋势；当公比r等于1时，等比数列的各项相等。
2. 通项公式：等比数列的第n项可以使用通项公式an = a * r^(n-1)来表示，其中a 为首项，r为公比。
3. 前n项和的计算：等比数列的前n项和Sn可以使用等比数列求和公式来计算，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a为首项，r为公比。
4. 无穷项和的计算：当公比的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和可以通过求和公式求得：S∞ = a / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。
5. 等比数列的性质：等比数列中的任意三项可以构成一个等比比例。
根据这个性质，可以使用等比数列来解决各种实际问题，如利润增长、贷款还款等。
三、等比数列的应用举例1. 财务管理：等比数列的概念和性质在财务管理中有广泛的应用。
例如，某公司的年度利润按等比数列增长，首年利润为10万元，公比为1.2。
我们可以利用等比数列的性质计算出第5年的利润为10万 * 1.2^(5-1) = 18.14万元。
2. 投资与滚动利息：等比数列的应用还可用于计算投资的滚动利息。
假设某人将1000元以5%的年利率存入银行，每年滚动利息再投入银行，求10年后的本息和。
我们可以利用等比数列的性质计算出10年后的本息和为1000 * (1.05^10) = 1628.89元。
一、知识梳理1、等比数列的概念：2、等比中项：3、等比数列的判定方法：①定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；②等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；③通项公式法：对于数列，若，则数列是等比数列。
4、等比数列的通项公式：5、等比数列的前n项和公式：【小秘书】（1）当公比不确定时，必须分情况进行讨论；（2）当时，前n项和必须具备形式。
6、等比数列的性质：（1）若是等比数列，则；（）（2）若是等比数列，，当时，特别地，当时，（3）若是等比数列，则下标成等差数列的子数列构成等比数列；（4）若数列是等比数列，是其前n项的和，，一般地，，，也成等比数列。
如下图所示：（5）两个等比数列与的积、商、倒数构成的数列、、仍为等比数列。
二、典型例题分析等比数列基础知识与性质应用【例1】已知为等比数列，，则。
【例2】已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数。
【例3】已知数列的首项，，…．证明：数列是等比数列。
【例4】已知等比数列中，公比，且，那么= 。
【例5】各项均为正数的等比数列的前项和为为，若，，则= 。
练兵场：1、已知等比数列的前项和( 是非零常数),则数列是( )等差数列等比数列等差数列或等比数列非等差数列2、若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”。
甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列。
则下列说法正确的是（）甲是乙的充分非必要条件甲是乙的必要非充分条件甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3、如果是与的等差中项，是与的等比中项，且都是正数，则（）4、(02上海)若数列中，（n是正整数），则数列的通项。
5、若实数数列是等比数列，则。
6、数列中，是公比为的等比数列，满足，则公比的取值范围是。
7、已知为等比数列前项和，，，公比，则项数。
8、等比数列中，，，则= 。
9、已知等比数列中，，则。
10、已知为等比数列前项和，，，则。
11、在等比数列中，已知，，则该数列前项的和。
等比数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。
2. 等比数列的通项公式____________________3. 等比中项如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________4. 等比数列的性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________（3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以_________为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列（5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列5. 等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q-== 当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q=则n n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x y cq =的图像上的一群孤立的点。
根据指数函数的性质，我们可以得到等比数列的增减性的下列结论：（1） 等比数列{}n a 递增⇔{101a q >> 或{1001a q <<<（2） 等比数列{}n a 递减⇔ {1001a q ><< 或{101a q <> （3） 等比数列{}n a 为常数列⇔1q =（4） 等比数列{}n a 为摆动数列⇔0q <类型一： 等比数列的判定及通项公式的求解例1.（2014重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（）A.数列{}1n a +不可能是等比数列B.数列{}n ka （k 为常数） 一定是等比数列C.若0n a >，则{}ln n a 一定是等差数列D.数列{}2n a 是等比数列，其公比与数列{}n a 的公比相等练习1.对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（）A.139,,a a a 成等比数列B.236,,a a a 成等比数列C.248,,a a a 成等比数列D.369,,a a a 成等比数列练习2.已知数列{}n a 中，()111,212n n a a a n -==+≥（1） 证明：数列{}1n a + 是等比数列（2） 求n a例2.已知等比数列{}n a 中，0,n a >且1322,4a a a ==+，求 n a练习3.已知等比数列{}n a 中，3103,384a a ==，求7a练习4.若等比数列{}n a 满足116,n n n a a += 则公比为 （）A.2B.4C.8D.16类型二： 等比数列的性质例3.（2015广东梅州摸底）在等比数列{}n a 中，0,n a >且21431,9,a a a a =-=-则45a a += （）A.27B.16C.81D.36练习5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1237895,10,a a a a a a == 则456a a a = （）A. B.7 C.6D.练习6.已知数列{}n a 为等比数列，若4610,a a += 则1737392a a a a a a ++ 的值为（）A.10B.20C.60D.100例4.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122,a a a a e += 则12320ln ln ln ...ln a a a a ++++=练习7.若等比数列{}n a 满足241,2a a = 则2135a a a = ________________ 练习8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若28641,2,a a a a ==+ 则6a 的值是_________ 类型三：等比数列与指数函数的关系；等差数列与等比数列的结合例5.已知等比数列{}n a 中，246,54,a a ==求5a练习9.已知{}n a 是等差数列，公差0d ≠ 且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++=++ （） A.716 B.916 C.1116 D.1316练习10.设{}n a 为公比的等比数列，若2012a 和2013a 是方程24830x x -+=的两根，则20142015a a +=______________例6.（2015山西太原质检）设等差数列{}n a 的公差不为0，19,a d =若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = （）A.2B.4C.6D.8练习11.各项均为正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠且2311,,2a a a 成等差数列，则234345a a a a a a ++++的值为（）练习12.已知,,a b c 成等比数列，如果,,a x b 和,,b y c 都成等差数列，则a c x y+= __________1. 公差不为零的等差数列{a n }，a 2，a 3，a 7成等比数列，则它的公比为( )A ．－4B ．－14 C.14D ．4 2. 若2a ，b,2c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．0或23. 若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．64. 在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( )A ．90B ．30C ．70D ．405. 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列6. 等比数列{a n }各项为正数，且3是a 5和a 6的等比中项，则a 1·a 2·…·a 10＝( )A ．39B ．310C ．311D ．3127. 在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( ) A ．9 B ．1 C ．2 D ．3_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．162. 在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于( ) A.32 B.23 C.16D ．6 3. 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D.124. 已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( )A ．64B ．81C ．128D ．2435. 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝±3，ac ＝96. 已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝__________.7. 已知等比数列前3项为12，－14，18，则其第8项是________． 8. 已知等比数{a n }中，a 1＝127，a 7＝27，求a n . 9. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．10. 已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于________． 11. 已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ；(2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q .能力提升12. 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．21513. 如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列{2a n }是等比数列C ．数列{lg a n }是等比数列D ．数列{na n }是等比数列14. 在等比数列{a n }中，公比为q ，则下列结论正确的是( )A ．当q >1时，{a n }为递增数列B ．当0<q <1时，{a n }为递增数列C ．当n ∈N ＋时，a n a n ＋2>0成立D ．当n ∈N ＋时，a n a n ＋2a n ＋4>0成立15. 等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( )A ．(－2)n －1B ．－(－2)n －1C ．(－2)nD ．－(－2)n16. 各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( ) A.1－52 B.5＋12 C.5－12 D.5＋12或5－1217. 在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．8118. 若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时，log a x ，log b x ，log c x ( )A ．依次成等差数列B ．依次成等比数列C ．各项的倒数依次成等差数列D ．各项的倒数依次成等比数列19. 在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________．20. 从盛满20 L 纯酒精的容器里倒出1升后用水添满，再倒出1 L 混合溶液，再用水添满，这样连续进行，一共倒5次，这时容器里有纯酒精约__________L(结果保留3位有效数字)．21. 已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12，则a ，b ，c ( )A ．成等差数列不成等比数列B ．成等比数列不成等差数列C．成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列22.公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.23.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．24. {a n}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.25.设{a n}是各项均为正数的等比数列，b n＝log2a n，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式a n.26.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．27. 在等比数列{a n }中，(1)若a 4＝27，q ＝－3，求a 7；(2)若a 2＝18，a 4＝8，求a 1和q ；(3)若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a 3.28. 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .29. 设数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3…)． 求证：数列{S n n}是等比数列．。
