人教版高中数学必修五 第三章3.1第2课时不等式的性质与应用

3.1.2不等式的性质一、学习目标1.通过对初中三条基本性质的回忆，以及上节学习的知识，证明不等式的基本性质和推论.2.在了解不等式的基本性质的基础上，利用它们来证明一些简单的不等式.3.通过本节的学习，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度.体会数学的结构美和系统美，激发学生学习数学更大的热情.二、重点难点教学重点：理解并证明不等式的基本性质与推论，并能用基本性质证明一些简单的不等式.教学难点：不等式基本性质的灵活应用.三、教学过程导入新课思路1.（复习导入）让学生回忆并叙述初中所学的不等式的三条基本性质，即不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不■等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.让学生根据上一节的学习将上面的文字语.言用不等式表示出来，并进一步探究，rti此而展开新课.思路2.（类比导入）等式具有许多性质，其中有：在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得的仍是等式.我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？学生会进一步探究验证这个联想，由此而展开新课.推进新课13活动：教师引导学生一起冋忆等式的性质：等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.利用这些性质，我们可以对等式进行化简、变形或证明.那么不等式会不会也有类似的性质呢？也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果会不会不变呢？为此教师引导学生回忆上节课学过的实数的基本性质（或用多媒体展示），即a—b>0 a>b； a—b<0 a<b； a—b = 0 a = b.根据实数的基本性质，要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差.这是我们研究不等关系的一个出发点.从实数的基本性质，我们可以证明下列常用的不等式性质：性质1,如果a>b,那么b<a；如果bVa,那么a>b,即a>b b<a.这种性质称为不等式的对称性.性质2,如果a>b, b>c,那么a>c,即a>b, b>c a>c.这种性质称为不.等式的传递性.性质3,如果a>b,那么a+c>b + c,即不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.由此得到推论1,不等式屮的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边•这个推论称为不等式的移项法则.推论2,如果a>b, c>d,则 a + c>b + d.这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，这个推论可以推广为更一般的结论.性质4,如果a>b, c>0,则ac>bc；如果a>b, c<0,则ac<bc.推论1,如果a>b>0, c>d>0,那么ac>bd.推论2,如果a>b>0,那么a n>b n（neN+, n>l）・推论3,如果a>b>0,那么*^>*^（nGN+, n>l）.以上这些不等式的性质是解决不等式问题的基本依据.其屮性质1是不等式的对称性；性质2是不等式的传递性；性质3表明不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向，由此可得不等式川任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边；性质4表明，不等式两边允许用非零数（或式）去乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号，这点与等式的性质不同；性质4的推论1说明两边都是止数的同向不等式可以相乘；性质4的推论2说明两边都是正数的不等式可以乘方；性质4的推论3说明两边都是 正数的不等式可以开方.应用示例例1、（教材本节例题）：活动：•本节教材上共安排了这一个例题，含3个小题，都是不等式性质的简单应用， 教师不可忽视本例的训练，过高估计了学生逻辑推理的书写能力.实践证明，学生往往推理不严密.教学 时应指导学生根据不等式的性质的条件和结论，强调推理要有理有据，严谨细致，条理清晰.点评：应用不等式性质对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式，是证明不等式的常用方法之C C变式训练：已知a>b>0，c<0,求证：L>厂 a b证明：Va>b>0, ab>0, —>0.,于是 a • ~r>b • —7,即;>丄. ab ab ab bac c由 c<0,得一>「 a bJT JT a + B a — B例2已知一片W a < B ,求的収值范围.活动：教师引导学生回忆本题的背景，这类问题是学习三角函数内容时经常遇到的，由于当时所学知识所 限，往往容易出错.这里我们在已知的基础上，运用不等式的基本性质得出所要得到的结果.点评：在三角函数化简求值屮，角的范围的确定往往成为正确解题的关键.3 已知 a>b>0, c<d<0, e<0,求证：最〉肯'活动：教师引导学生观察结论，由于e<0,因此即证占，引导学生作差，利用本节所学的不 等式基木性质.解：V -y < a < P ,nan JT 0 JTJI a 上面两式相加，得一<— + B Ji JI p JI JT 3 n・・・一存一可<孑2 <寿，又知a 0 ,・a — p -^V0,故 2 Ji a — p w=<0.2. 若a>b>0,则下列不等式中总成立的是（）b b+1 A. a a 十1C. a+f>b+ 丄 b a3. 有以下四个条件:®b>O>a ； @0>a>b ； @a>O>b ；④a>b>0.其屮能使丄<£成立的有 __________ 个条件• a b答案：a b 1. C 解法一：Va>b, c 2+l>0,・••注解法二：令a=l, b=—2, c = 0,代入A 、C> D 中，可知A 、B 、D 均错.2. C 解法一：由 a>b>0 =^>0<-<7 =>a+：>b+丄. a bb a解法二：令a=2, b=l,排除A 、D,再令a=|, b=*,排除B.”厂 1 11 1 3. 解析：①Vb>0, A->0. Va<0, :-<Q. :-<7：- b a a b 证明：c<d<0 -c>-d>0a>b>0 a —c'b — d e<0 点评：本例是灵活运用不等式的性质.证明吋一定要推理有据，思路条理清晰.知能训练1-若a 、b. ceR, a>b,则下列不等式成立的是（） 11 - b < B. a 2>b 2a b c -?+T >7+TD. a.|c | >b | c | B. a+l>b+： a b 2a + b a D ，I+2b >b e >b T d e②Vb<a<0,・・・£>丄.b a— 1111(3)Va>0>b, A->0, -<0. /•->-a b a b厂、 1 1@Va>b>0, /.-<- a b课堂小结1.教师与学生共同完成本节的小结.从实数的基本性质与三条基本性质的回顾，到所有性质的推得, 推论的证明，以及例题的探究、变式训练等.真正温故知新，将本节课所学内容纳入已有的知识体系.2.教师进一步强调代数逻辑推理的方法要领，指出利用不等式的性质时容易忽略的地方，以及证明不等式时需要注意的问题.作业习题3—1A组4、5；习题3—1B组4.。

数学·必修5(人教A 版)3.1 不等关系与不等式3．1.2 不等式的性质及应用►基础达标1．已知a ＞b ，判断下列不等式的正确性(对的打“√”，错的打“×”)：(1)1a ＜1b ( )(2)ac 2＞bc 2(c ≠0)( )(3)lg(a －b )＞0( )(4)a －c ＞b －c ( )解析：(1)取a ＝1，b ＝－2知1a ＞1b ，(1)错；(2)∵c ≠0，∴c 2＞0，又a ＞b ，∴ac 2＞bc 2.(2)对；(3)当a －b ∈(0,1]时，lg(a －b )≤0.(3)错；(4)∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－c )．(4)对．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√2．已知1a ＜1b ＜0，判断下列不等式的正确性(对的打“√”，错的打“×”)：(1)a 2＜b 2( )(2)ab ＜b 2( )(3)a b ＋b a ＞2( )(4)|a |＋|b |＞|a ＋b |( )解析：∵1a ＜1b ＜0，∴a ＜0，b ＜0且1a －1b ＜0，即b －a ab ＜0，∴b －a ＜0，即b ＜a ＜0.(1)由b ＜a ＜0⇒－b ＞－a ＞0⇒b 2＞a 2，(1)对；(2)由b ＜a ＜0，又b ＜0⇒b 2＞ab ，(2)对；(3)a b ＋b a －2＝a 2＋b 2－2ab ab＝(a －b )2ab ＞0，(3)对； (4)由a ＜0，b ＜0⇒|a ＋b |＝|a |＋|b |，(4)错．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×3．如下图，y ＝f (x )反映了某公司的销售收入y 与销量x 之间的函数关系，y ＝g (x )反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系．当销量x 满足下列哪个条件时，该公司盈利( )A ．x >aB ．x <aC ．x ≥aD ．0≤x ≤a解析：当x <a 时，f (x )<g (x )；当x ＝a 时，f (x )＝g (x )；当x >a 时，f (x )>g (x )，选A.答案：A4．若a ，b ，m ∈R ＋，a ＜b ，将a 克食盐加入b －a 克水中，所得溶液的盐的质量分数为P 1，将a ＋m 克食盐加入b －a 克水中，所得溶液的质量分数为P 2，对P 1 、P 2的大小判断正确的是( )A ．P 1＜P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1＞P 2D ．P 1与P 2大小不确定解析：P 1＝a (b －a )＋a ＝a b ，P 2＝a ＋m (b －a )＋a ＋m＝ a ＋m b ＋m ，P 1－P 2＝a b －a ＋m b ＋m ＝m (a －b )b (b ＋m )， 又∵a ＜b ，m ，a ，b ∈R ＋，∴P 1－P 2＜0，即P 1＜P 2.故选A.答案：A5．设x >1，－1<y <0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下：________.答案：y <－y <x►巩固提高6．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，把a ＋b,2ab ，2ab 中最大与最小者分别记为M 和m ，则( )A ．M ＝a ＋b ，m ＝2abB ．M ＝2ab ，m ＝2abC ．M ＝a ＋b ，m ＝2abD ．M ＝2ab ，m ＝2ab解析：a＋b－2ab＝(a－b)2≥0，∴a＋b≥2ab.又0＜a＜1,0＜b＜1，∴0＜ab＜1，∴ab＞ab.∴2ab＞2ab，∴M＝a＋b，m＝2ab.故选A.答案：A7．已知0＜a＜1,2＜b＜4，则b－2a的取值范围是________．解析：由0＜a＜1⇒0＜2a＜2⇒－2＜－2a＜0.又2＜b＜4，两式相加得：0＜b－2a＜4.答案：(0,4)8．已知x＞0，则x＋3－x＋2____x＋1－x(填“＞”“＜”或者“＝”)解析：x＋3－x＋2＝1x＋3＋x＋2，x＋1－x＝1x＋1＋x，又x＋3＋x＋2＞x＋1＋x＞0，∴1x＋3＋x＋2＜1x＋1＋x.答案：＜9．已知a＞b＞0，比较下列各组两式的大小：(1)a＋1b与b＋1a；(2)ab与2a＋ba＋2b.解析：(1)∵a＞b＞0 ，∴1b＞1a，∴a＋1b＞b＋1a.(2)∵2a ＋b a ＋2b －a b ＝b 2－a 2(a ＋2b )b ＝(b ＋a )(b －a )(a ＋2b )b＜0， ∴a b ＞2a ＋b a ＋2b.10．已知0＜x ＜1,0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和|log a (1＋x )|的大小．解析：解法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x 2)log a 1－x 1＋x. ∵0＜1－x 2＜1,0＜1－x 1＋x＜1， ∴log a (1－x 2)log a 1－x 1＋x＞0. ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.解法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x ) ＝|log 1＋x (1－x )| ＝－log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 11－x＝log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2) ∵0＜1－x 2＜1,1＋x ＞1，∴log 1＋x (1－x 2)<0.∴1－log 1＋x (1－x 2)＞1.∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.解法三：∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1,1＜1＋x ＜2，∴log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0.∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)．∵0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1，∴log a (1－x 2)＞0.∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.1．作差比较中常用的变形手段有：通分、因式分解、配方等．比较含字母的量的大小时，若不能确定差的符号，可对字母进行分类讨论．2．对于某些多项式，可将条件中的式子当作一个整体，把待求式用整体表示出来，再用不等式的性质．3．证明不等式时，可结合条件先进行适当分析转化．。

高中数学学习材料唐玲出品3.1.2 不等式的性质 课时目标 1.掌握不等式的性质，明确各性质中结论成立的前提条件.2.利用不等式的性质判断不等式是否成立，以及对不等式进行等价变形．不等式的性质(1)性质1：a >b ⇔b ____a .(2)性质2：a >b ，b >c ⇒a ____c .(3)性质3：a >b ⇔a ＋c ____b ＋c .推论1：a ＋b >c ⇒a >____；推论2：a >b ，c >d ⇒a ＋c ____b ＋d .(4)性质4：a >b ，c >0⇒ac ____bc ；a >b ，c <0⇒ac ____bc .推论1：a >b >0，c >d >0⇒ac ____bd ；推论2：a >b >0⇒a n ____b n (n ∈N ＋，n >1)；推论3：a >b >0⇒n a ____n b (n ∈N ＋，n >1)．一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b>a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b4．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c5．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 26．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0二、填空题7．若角α、β满足－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围为________． 8．已知a >b >0，c <d <0，则b a －c 与a b －d的大小关系是________． 9．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 按从大到小的顺序排列为________．10．已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b；③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成______个正确命题．三、解答题11．若a >b (ab ≠0)，试比较1a 与1b的大小．12．已知f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．能力提升13.如图所示为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A ，B ，C 的机动车辆数如图所示，图中x 1，x 2，x 3分别表示该时段单位时间通过路段AB ，BC ，CA 的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )A ．x 1>x 2>x 3B ．x 1>x 3>x 2C ．x 2>x 3>x 1D ．x 3>x 2>x 114．实数a ，b ，c ，d 满足下列条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按从小到大的顺序排列为____________．1．不等式的性质是不等式的基础，也是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确的理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化，才能正确的加以运用．2．不等式性质定理，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减；有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除．3．1.2 不等式的性质答案知识梳理(1)< (2)> (3)> c －b > (4)> < > > >作业设计1．C [对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b，∴A 不成立； 对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立， ∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．]2．D [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >a b2>a .] 3．C [对于A ，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b； 对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b＝－1.] 4．D [因为a ＝log 54<1，log 53<log 54<1，b ＝(log 53)2<log 53，c ＝log 45>1，所以b <a <c .]5．A [由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .]6．D [由a >|b |得－a <b <a ，∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，A 错，D 对．a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b )[(a －b 2)2＋34b 2]∴a 3＋b 3>0，B 错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，∴C 错．]7．(－π，0)解析 ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2. ∵－π2<α<π2，∴－π<α－β<π. ∵α<β，∴α－β<0，故－π<α－β<0.8.b a －c <a b －d解析 ∵c <d <0，∴－c >－d >0.∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴1b －d >1a －c >0，∵a >b >0. ∴a b －d >b a －c . 即b a －c <a b －d. 9．a >b >c解析 ∵a ＝log 3π>log 33＝1，∴a >1，∵b ＝log 23＝12log 23<12log 24＝1，∴b <1. c ＝log 32＝12log 32<1，∴a >b ，a >c . 又b ＝log 23＝12log 23>12， c ＝log 32＝12log 32<12， ∴b >c ，∴a >b >c .10．3解析 对②作等价变形：c a >d b bc －ad ab >0. 于是①②③，①③②，②③①都成立， ∴可组成3个正确命题．11．解 方法一 当ab >0时，1ab>0， ∴a ·1ab >b ·1ab ，∴1b >1a； 当ab <0时，1ab<0， ∴a ·1ab <b ·1ab ，∴1b <1a. 综上，当ab >0时，1a <1b； 当ab <0时，1a >1b.方法二 ∵1a －1b ＝b －a ab，a >b ，∴b －a <0. 当ab >0时，b －a ab <0，1a <1b； 当ab <0时，b －a ab >0，1a >1b. 综上，当ab >0时，1a <1b； 当ab <0时，1a >1b. 12．解 ∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， f (－2)＝4a －2b .∴f (－2)＝3(a －b )＋(a ＋b )＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.故f (－2)的取值范围为(5,10)．13．C [∵x 1＝50＋(x 3－55)＝x 3－x 3>x 1， x 2＝30＋(x 1－20)＝x 1＋x 2>x 1， x 3＝30＋(x 2－35)＝x 2－x 2>x 3， ∴x 2>x 3>x 1.]14．a <c <d <b解析 ∵a ＋d <b ＋c ，∴d －b <c －a ， ∵a ＋b ＝c ＋d ，∴b －d ＝c －a ， ∴d －b <b －d 且a －c <c －a .∴d <b ，a <c .又d >c ，∴a <c <d <b .。