巧解含有两个未知数的方程
在数学中，方程是数学语言中表达关系的一种重要工具。方程通常
由未知数、常数和运算符组成，并且存在多种求解方法。当方程中含
有两个未知数时，我们需要运用巧妙的方法来解决问题。本文将介绍
一些解含有两个未知数的方程的方法。
一、二元一次方程
二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常具有以下一般
形式：
ax + by = c
dx + ey = f
在解二元一次方程时，我们可以通过以下几种方法来求解。
1. 代入法
代入法是一种常用的解二元一次方程的方法。具体步骤如下：
（1）将其中一个方程视为关于其中一个未知数的方程，例如将第
一个方程视为关于x的方程，解出x的表达式；
（2）将求得的x的表达式代入另一个方程中，得到只含有一个未
知数的方程；
（3）通过求解这个只含有一个未知数的方程，得到该未知数的值；
（4）将求得的未知数的值代入第一个方程或第二个方程，求解另
一个未知数。
2. 消元法
消元法是另一种解二元一次方程的常用方法。具体步骤如下：
（1）通过数乘或加减运算，将两个方程中的其中一个未知数的系
数变为相等；
（2）得到一个只含有一个未知数的方程；
（3）通过求解这个只含有一个未知数的方程，得到该未知数的值；
（4）将求得的未知数的值代入第一个方程或第二个方程，求解另
一个未知数。
3. Cramer's法则
Cramer’s法则是解二元一次方程的一种有效方法，适用于系数行列
式不为0的情况。具体步骤如下：
（1）设方程组的系数矩阵为A，未知数向量为X，常数向量为B；
（2）求解系数矩阵A的行列式值Δ；
（3）将B替换矩阵A的第i列并求解替换后的矩阵的行列式值Δi；
（4）未知数向量X的第i个元素等于Δi/Δ。
二、二元二次方程
二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，通常具有以下一般形式：
ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0
解二元二次方程的一种常用方法是代入法。具体步骤如下：
（1）将其中一个方程视为关于其中一个未知数的方程，例如将方程1视为关于x的方程，解出x的表达式；
（2）将求得的x的表达式代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的方程，这个未知数一般为y；
（3）通过求解这个只含有一个未知数的方程，得到y的值；
（4）将求得的y的值代入第一个方程或第二个方程，求解另一个未知数x。
三、实际应用
解含有两个未知数的方程在实际应用中有很多场景。例如，在经济学中，生产函数通常是含有两个未知数的方程，用于描述商品的生产过程和生产要素的投入与产出的关系；在几何学中，方程组的解可以表示为两个几何图形的交点，用于求解几何问题。
总结
解含有两个未知数的方程是数学中的重要问题，有多种方法可以解决。常用的方法包括代入法、消元法和Cramer's法则。根据具体情况
选择合适的方法进行求解，可以帮助我们解决实际问题，深入理解数学中的方程关系。
课题：列方程解答含有两个未知数的实际问题 年级五执课教师XXX 使用日期 学习内容：列方程解含有两个未知数的应用题 学习目标： 1、学生通过自主探索、交流互助学会根据两个未知量之间的关系，列方程解答含有两个未知数的实际问题。 2、指导学生设未知数表示两个数量之间的关系，会解答形如ax±bx＝c的应用题，会进行检验。 3、培养学生认真学习的好习惯，渗透不同事物之间既有联系又有区别的观点。 学习重点：会列方程解含有两个未知数的应用题的方法 学习难点：分析应用题的等量关系，恰当地设未知数。 学习过程 一、预习作业 1、抢答： 4.5x+x=( ) 5.8x－x=( ) x+x-2=( ) x-1+x+2+x=( ) 2、认真阅读，并用笔勾画出下题中所涉及的量，再完成后面的问题。 (1)、“学校科技小组的男生人数是女生人数的3倍”：设女生有x人，男生有（）人，男女生共有（）人，男生比女生多（）人。 (2)、“妈妈的年龄是孩子年龄的3.5倍”：我们可以设（）的年龄为x岁，那么（）的年龄为（）岁，妈妈和孩子共（）岁。妈妈比孩子大（）岁。通过第上面两题的练习，在含有两个相关联的未知量的实际问题时，我们可以设（）为x,然后把（）用含有x的式子表示出来。3、男生比女生多10人，我们可以设（）为x，则另一个量（）应该表示为（），全班共有（）人 4、3个连续自然数中间一个为b，那么这3个连续自然数分别为（）、（）、（）。 二、合作探究，共同学习： 1、分析条件 （1）、海洋面积约为陆地面积的2.4倍。请你勾画出条件中所涉及的量，并写出等量关系式：（）你觉得是知道海洋面积求陆地面积，还是知道陆地面积求海洋面积，哪个较为简单些？为什么？如果海洋面积和陆地面积都不知道，那么你认为我们应该设其中（）为x，另一个量（）应该表示为（）。
巧解含有两个未知数的方程 在数学中，方程是数学语言中表达关系的一种重要工具。方程通常 由未知数、常数和运算符组成，并且存在多种求解方法。当方程中含 有两个未知数时，我们需要运用巧妙的方法来解决问题。本文将介绍 一些解含有两个未知数的方程的方法。 一、二元一次方程 二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常具有以下一般 形式： ax + by = c dx + ey = f 在解二元一次方程时，我们可以通过以下几种方法来求解。 1. 代入法 代入法是一种常用的解二元一次方程的方法。具体步骤如下： （1）将其中一个方程视为关于其中一个未知数的方程，例如将第 一个方程视为关于x的方程，解出x的表达式； （2）将求得的x的表达式代入另一个方程中，得到只含有一个未 知数的方程； （3）通过求解这个只含有一个未知数的方程，得到该未知数的值；
（4）将求得的未知数的值代入第一个方程或第二个方程，求解另 一个未知数。 2. 消元法 消元法是另一种解二元一次方程的常用方法。具体步骤如下： （1）通过数乘或加减运算，将两个方程中的其中一个未知数的系 数变为相等； （2）得到一个只含有一个未知数的方程； （3）通过求解这个只含有一个未知数的方程，得到该未知数的值； （4）将求得的未知数的值代入第一个方程或第二个方程，求解另 一个未知数。 3. Cramer's法则 Cramer’s法则是解二元一次方程的一种有效方法，适用于系数行列 式不为0的情况。具体步骤如下： （1）设方程组的系数矩阵为A，未知数向量为X，常数向量为B； （2）求解系数矩阵A的行列式值Δ； （3）将B替换矩阵A的第i列并求解替换后的矩阵的行列式值Δi； （4）未知数向量X的第i个元素等于Δi/Δ。 二、二元二次方程
五年级数学《解含有两个未知数的方程》导学案设计课型新授备课人使用日期 学习目标1，理解和掌握ax+bx=c这类型的方程解法，提高解方程的能力，培养学生分析推理的能力和思维的灵活性。 课堂流程 学生活动教师指导一．复习：解方程 9x=0.54 4x-27=29 2x+2×5=24.4 二．新课探究 1.一个工地用汽车运土，每辆车运吨，一天上午运了4车。下 午运了3车。这一天共运土多少吨？ （1）自己列式，计算 （2）交流，说说怎样计算的，在计算过程中应用了什么运算 定律 2.即时练习：7b+b 3.5t-t b-0.4b 3.学习解方程 7x+9x=80 (1)自己试着解 （2）完后交流讲评，并口述检验 4.即时练习解方程3.6x -0.9x = 5.4 5.比较今天的解方程和以前学的有什么不同？ 三．巩固练习 1.计算 3x+8x 2.5x-1.8x 5.4x+3.6x 2.解方程 2.8a-3a=15 11x+7x=36 四。提高练习：（2.8+2.2)x=276 5(x+1.3)=15 5x+x=16.2 五。总结 一、1。复习 2。指导学习 3。激励讲评 4。交流总结 5。指导学困 生 6。反思
五年级《解含有两个未知数的方程》导学案设计学校：杨家小学班级：姓名： 学习目标理解和掌握ax+bx=c这类型的方程解法，提高解方程的能力，培养学生分析推理的能力和思维的灵活性。 课堂流程一、复习：解方程 9x=0.54 4x-27=29 2x+2×5=24.4 二、新课探究 1.一个工地用汽车运土，每辆车运吨，一天上午运了4车。下午运了3车。这一天共运土多少吨？ （1）自己列式，计算 （2）交流，说说怎样计算的，在计算过程中应用了什么运算定律 3.即时练习：7b+b 3.5t-t b-0.4b 3.学习解方程 7x+9x=80 (1)自己试着解 （2）完后交流讲评，并口述检验 5.即时练习解方程3.6x -0.9x =5.4 5.比较今天的解方程和以前学的有什么不同？ 三、巩固练习 1.计算 3x+8x 2.5x-1.8x 5.4x+3.6x 2.解方程 2.8a-3a=15 11x+7x=36 四、提高练习：（2.8+2.2)x=276 5(x+1.3)=15 5x+x=16.2 五、总结
二元一次方程组的常见解法 二元一次方程组中含有两个未知数,所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数,使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数.常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法． 一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中,实现消元，进而求解。一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算。 ?2x+5ｙ＝-２1 ① 例1、解方程组 x+3y=8 ② 解由②得:x=８—３y ③ 把③代入①得２（８-3y）+５ｙ=—2１ 解得:ｙ＝37 把y＝3７ 代入③得：x＝8-3×37=-1０３ ｘ=－１03 所以这个方程组的解是 ?y=３7 二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时,用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形,用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程． 3x－４y=9 ① 例2、解方程组 9ｘ－１0y=3 ② 解由①得3ｘ＝4y＋9 ③ 把③代入②得３（4y+9)－10y=3
解得 y＝—12 把ｙ=-1２代入③得 3ｘ=4×（-12)+9 解得 x＝－1３ ?x＝-1３ 所以方程组的解是 ?ｙ=—1２ 三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减。消去一个未知数，得到一个一元一次方程,这种方法叫加减消元法。 2ｘ+3y=14 ① 例３、解方程组 ?４ｘ—5y＝６② 解由①×2得 4x+６y=２８③ ③—②得：11y=2２ 解得ｙ=2 把ｙ＝2代入②得４x－５×2=6 解得 x＝4 ?x=4 所以方程组的解为 ?y=2 四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．?3(x+2）＋（y-1)=4 ?① 例4 解方程组 ?３(x+2)＋(1－y）=2?② 解①－②得 (y—1）－（１－y)＝4－2 整理得２y＝4 解得 y=2
《用方程解答含两个未知数的问题》教学设计 刘瑄教学内容：教科书第70页，练习十三第4～8题。 教学目标： 1.理解实际问题中有关和、差、倍的数量关系。 2.初步学会设一个未知数，列方程解答含两个未知数的实际问题。 3.培养学生的比较、分析能力和类比学习的能力。 教学过程： 一、复习准备 1.填空。 （1）学校科技组的男同学人数是女同学的3倍。设女同学有x人，男同学有（）人；设男同学有x人，女同学有（）人。 （2）学校航模组的男同学人数比女同学多18人。设女同学有x人，男同学有（）人；设男同学有x人，女同学有（）人。 比较两种设未知数的方法，选择哪个量设为x，另一个量就比较容易表示？（3）学校书法组有女同学x人，男同学人数是女同学的2.5倍。男同学有（）人，男女同学一共有（）人，男同学比女同学多（）人。 （4）2.5x＋x＝（）x；2.5x－x＝（）x。 运用了什么运算定律？ 2.口答。 根据下面的两个条件，你能提出什么数学问题？ 地球上的陆地面积为1.5亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。 通常，学生能提出的问题有： （1）海洋面积约有多少亿平方千米？ （2）海洋面积约比陆地面积多多少亿平方千米？ （3）地球的表面积是多少亿平方千米？ 让学生把第（3）个问题算出答案： 地球上的陆地面积为1.5亿平方千米，海洋面积约为陆地面积的2 4倍。地球的表面积是多少亿平方千米？
1.5＋1.5× 2.4＝5.1（亿平方千米） 二、教学例3 1.引入例题。 出示例3的条件： 地球的表面积为5.1亿平方千米，其中，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。 教师：现在又能提出哪些数学问题？ 引出例题。 2.比较例题与求地球表面积的复习题，有什么区别。 引导学生回答：数量关系相同，条件与问题交换了位置。 请学生说出数量关系，教师板书： 陆地面积＋海洋面积＝地球的表面积5.1亿平方千米 ↓ 陆地面积×2.4 3.讨论：有两个未知数，怎么办？ ①怎样设未知数？ ②怎样列方程？ 学生分组讨论，教师巡视，酌情参与讨论。 4.交流各种解法。 引导学生从便于思考、便于解方程两方面进行比较。 5.重点讨论下列解法。 解：设陆地面积为x亿平方千米。（设海洋面积为x可以吗？哪个更方便？）那么海洋面积为2.4x亿平方千米。（这是用了哪个条件？） x＋2.4x＝5.1 （这是用了哪个条件？） (1＋2.4）x＝5.1 (这是用了什么运算定律？） 让学生自己把方程解完，得x＝1.5。 提问：另一个未知数怎样求？根据是什么？ 5.1－1.5＝3.6（利用和的关系） 2.4x＝1.5×2.4＝ 3.6（利用倍数关系） 6.引导学生进行检验。
五年级数学《列方程解含有两个未知数的应用题》教案 五年级数学《列方程解含有两个未知数的应用题》教案 教学内容：教科书第126页例6，练习三十一的第1～5题。 教学目的：使学生初步学会列方程解含有两个未知数的应用题。 教学过程： 一、复习。 1、让学生自己解答复习题。 果园里有桃树45棵，杏树的棵数是桃树的3倍。桃树和杏树各有多少棵？ 2、口答下面各题。 （1）学校科技组有女同学X人，男同学是女同学的3倍，男同学有多少人？男女同学一共有多少人？男同学比女同学多多少人？ （2）育民小学五年级有学生X人，四年级学生的人数是五年级的 1.2倍，四年级有学生多少人？四五年级一共有多少人？ 二、新课。 1、教学例6。 （1）出示例6：果园里有桃树和杏树一共有180果，杏树的棵数是桃树的3倍。桃树和杏树各有多少棵？ 让学生读题，说出已知条件，教师画出线段图（暂不标出X） 问：要求的是什么？（桃树和杏树） 要求的未知数有两个，根据题目的已知条件应先设哪一个为未知数为X？为什么？（设桃树为X棵，因为根据杏树的棵数是桃树的3倍，可知杏树为3X棵。） 根据学生回答，教师在线段图上标注X，如下图： 问：这道题数量间有什么样的相等关系？（桃树的棵数加上杏树的棵数等于180） 让学生列出方程：x＋3x=180 如果有学生列出：（180－x）÷3=x或（180－x）÷x=3指出列成x＋3x=180比较容易思考。而后面两种解法都需要逆思考。
当学生解出X=45后，让学生说一说这道题做完了没有，还要做什么，使学生明确：求出X，只求出了桃树的棵数，题还没有做完，还要求杏树的棵数3X是多少。求杏树的方法有两种：3×45或180－45 看课本的检验，让学生说出两个检验式子的含义和作用。指出：这样的检验比先检查方程，再把X的值代入方程检验，更有效，更简便。 （2）练习： 把例题中的`第一个条件改成”果园里的杏树比桃树多90棵“ 着重引导学生分析：改变一个条件，原来的解答哪些地方可以不动？哪些地方需要改，怎样改？（使学生明确：桃树和杏树的倍数关系没有变，所以设桃树的棵数为X，杏树的棵数用3X表示；因为现在题目给出它们的相差关系，即：杏树的棵数－桃树的棵数=90，所以列出的方程就是：3X－X=90） 学生自己解答，并进行检验。 小结： 列方程解答像上面这种已知两个倍数关系求两个数的应用题时，要注意以下三点： 1、题里有两个未知数，可以先选择一个设为X，另一个未知数用含有X的式子表示，列出方程。 2、解方程，求出X后，再求另一个未知数。 3、通过列式计算，检验两个得数的和及倍数关系是否符合已知条件。 三、巩固练习。 1、P126页做一做。 使学生明明确：它们的数量关系与例题相同，都是已知两个数的和与倍数关系，求这两个数；不同的是：例题两个数的倍数关系是整数，这里是小数。 2、做练习三十一的第1～5题。 课后小结：
人教版五年级数学《列方程解含有两个未知数的问题》优秀教案设计 教材分析： 人教实验版五年级上册70页的例3是《简易方程》单元最后一个知识点。这部分的内容是在学习了方程的意义和用方程解决简单数学问题的基础上进行教学的，属于较复杂的方程问题之一，主要是引导学生掌握根据两个未知数的和差与倍数所形成的数量关系进行列方程解决的方法。 这类问题的学习以四年级所学的乘法分配律、用字母表示和差关系、倍数关系等知识为基础，而且有前面学习的例1和例2两种用方程解决稍复杂问题的经验，学生在理解数量关系的形成上并不难；但是学生在面对两个未知数的情况下不知怎么入手，因此其难点有两个：一是如何只用X表示出两个未知数，二是理解为何设一倍量为X来解决这类问题较为方便。 教学目标： 1、学会根据和差与倍数关系列出正确的方程解决含有两个未知数的数学问题；理解和掌握设一倍量为X 解决这类问题的方法，能检验结果是否正确。 2、经历自主思考、交流合作探究用方程解决含有两个未知数问题的过程，进一步体验列方程解决问题的思路和步骤，提高用方程解决问题的能力。 3、体验数学思考的严谨性和条理性，培养有条理思考和检验结果的习惯，提高应用数学方法解决生活数学问题的兴趣和信心，获得解决问题的成就感。 教学重点： 理解和掌握设一倍量为X列方程解决含有两个未知数数学问题的方法 教学难点： 学会用X表示出两个相关联的未知数，理解为何设一倍量为X 教学过程： 一、旧知复习，铺垫思路 1、交流生活中的有关年龄之间的关系 师：同学们，你知道你和家人岁数之间的关系吗？ 2、出示复习题： （1）小明今年X岁，爸爸的年龄是他的4倍，爸爸的年龄可以表示为（） （2）小花今年X岁，哥哥今年1.4X岁，哥哥比欢欢大的岁数可以表示为（）岁
人教版五年级数学（列方程解含有两个未知数的问题）优秀教案设计教材分析： 人教实验版五年级上册70页的例3是（简易方程）单元最后一个知识点。这局部的内容是在学习了方程的意义和用方程解决简单数学问题的根底上进行教学的，属于较复杂的方程问题之一，主要是引导学生掌握依据两个未知数的和差与倍数所形成的数量关系进行列方程解决的方法。 这类问题的学习以四年级所学的乘法分配律、用字母表示和差关系、倍数关系等知识为根底，而且有前面学习的例1和例2两种用方程解决稍复杂问题的经验，学生在理解数量关系的形成上并不难；但是学生在面对两个未知数的情况下不知怎么入手，因此其难点有两个：一是如何只用X表示出两个未知数，二是理解为何设一倍量为X来解决这类问题较为方便。 教学目标： 1、学会依据和差与倍数关系列出正确的方程解决含有两个未知数的数学问题；理解和掌握设一倍量为X解决这类问题的方法，能检验结果是否正确。 2、经历自主思考、交流合作探究用方程解决含有两个未知数问题的过程，进一步体验列方程解决问题的思路和步骤，提高用方程解决问题的能力。
3、体验数学思考的严谨性和条理性，培养有条理思考和检验结果的习惯，提高应用数学方法解决生活数学问题的兴趣和信心，获得解决问题的成绩感。 教学重点： 理解和掌握设一倍量为X列方程解决含有两个未知数数学问题的方法 教学难点： 学会用X表示出两个相关联的未知数，理解为何设一倍量为X 教学过程： 一、旧知复习，铺垫思路 1、交流生活中的有关年龄之间的关系 师：同学们，你了解你和家人岁数之间的关系吗？ 2、出示复习题： 〔1〕小明今年X岁，爸爸的年龄是他的4倍，爸爸的年龄可以表示为〔〕 〔2〕小花今年X岁，哥哥今年1.4X岁，哥哥比欢欢大的岁数可以表示为〔〕岁 〔3〕欢欢今年X岁，妈妈的年龄是她的3倍，妈妈今年〔〕
二元一次分式方程的解法 二元一次分式方程是指方程中含有两个未知数的分式方程，其形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知常数，x、y为未知数。 解二元一次分式方程的一种常用方法是消元法。消元法的基本思想是通过适当的操作，将方程化简为只含一个未知数的一元一次方程，从而求得未知数的值。 我们可以通过消元法将二元一次分式方程化为不含分式的一元一次方程，然后再解这个一元一次方程。 假设我们有一个二元一次分式方程为3/x + 5/y = 2，其中x和y为未知数。我们可以通过以下步骤来解这个方程： 1. 将分式转化为通分的形式。根据分式的性质，我们可以将方程两边的分式乘以x和y的最小公倍数，即xy，来消除分母。这样原方程变为3y + 5x = 2xy。 2. 将方程变形为标准形式。将方程重新排列，使得x和y的系数分别在一侧，并将常数项移到另一侧，即2xy - 5x - 3y = 0。 3. 化简方程。我们可以将方程进一步化简，即将方程两边同时除以2，得到xy - 2.5x - 1.5y = 0。 4. 引入新的变量。我们可以引入一个新的变量z，令z = xy。这样
原方程可以变为z - 2.5x - 1.5y = 0。 5. 解一元一次方程。将z的表达式代入原方程，得到2.5x + 1.5y = z。现在我们可以将z看作一个常数，将这个方程视为只含有x和y 的一元一次方程。 现在我们得到了一个只含有x和y的一元一次方程2.5x + 1.5y = z。我们可以使用一元一次方程的常规解法，例如代入法、消元法或配方法等，来求解这个方程。 通过以上步骤，我们可以解出二元一次分式方程3/x + 5/y = 2的解。当然，在实际问题中，解可能有一个或多个解，也可能没有解。 总结一下，解二元一次分式方程的基本步骤是：通过适当的操作将方程化为不含分式的一元一次方程，然后再解这个一元一次方程。这种方法可以帮助我们求得二元一次分式方程的解，从而解决实际问题中的相关计算。
第七课时列方程解决含两个未知量的问题教学内容： 冀教版小学数学五年级上册第91---92页。 教学提示： 这局部的内容是在学习了方程的意义和用方程解决简单数学问题的根底上进展教学的，属于较复杂的方程问题之一，主要是引导学生掌握根据两个未知数的和差与倍数所形成的数量关系进展列方程解决的方法。 教学目标： 知识与技能：学生通过自主探索、交流互助学会用方程解答含有两个未知数的应用题，能正确说出数量的相等关系，学会检验列方程解应用题的方法。 过程与方法：培养学生的主体意识、创新意识、合作意识，以及分析、观察能力和表达能力。 情感态度与价值观：让学生体验到生活中处处是数学，体验数学的应用价值和数学学习的乐趣及成就感。 重点、难点： 教学重点：正确设未知数和列出方程，关键要找出等量关系。 教学难点：能正确地选择适宜的数量设为未知数。 教学准备： 教具准备：多媒体课件。 学具准备：教科书、练习本。
教学过程： 一、创设情境，引入课题 师：大家请看图，数一数看一看，你想知道黑鸡有多少只吗？黑鸡和白鸡一共有多少只？〔白鸡有20只〕 生：黑鸡比白鸡多23只，那么黑鸡=白鸡+23=43〔只〕，黑鸡和白鸡一共有63只。 师：你是怎么计算黑鸡的只数的，和大家说说。 师：我们今天继续用列方程的方法解决实际问题。 【教学意图：创设有趣的教学情境，激发学生学习兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，帮助学生突破重难点】 二、探索新知 1、出例如题4：奶奶家的花鸡和黑鸡一共78只，花鸡比黑鸡多16只。奶奶家的花鸡和黑鸡各多少只？ (1)指名读题，说出条件和问题，学画出线段图。 (2)根据线段图启发学生思考并答复。 ①这道题要求几个未知数?(两个，花鸡和黑鸡的只数。) ②要求的未知数有两个，根据题目的条件应先设哪一个未知数为x?为什么? (设黑鸡为x只，因为根据花鸡比黑鸡多16只，可知花鸡有〔x+16)只) 根据学生的答复，教师在线段图上标注x。 (3)引导学生分析题中的条件，找出数量间的相等关系，列出方程并求解。板书：
《列方程解决含有两个未知数的问题》案例设计 市桥陈涌小学梁潮汉 一、教材分析： 简易方程是小学阶段正式教学代数初步知识的单元，从算术到代数是人们对现实世界的数量关系认识过程中的一个飞跃，在数学方法上也是一次突破。简易方程这一单元共分为四部分：用字母表示数、解简易方程、解稍复杂的方程和列方程解决实际问题。本节课是第四部分用方程解决含有两个未知数的实际问题。像这样含有两个未知数的问题，在算术中称为“和差”、“和倍”、“差倍”问题。若用算术方法解答，思路特殊，求它们的逆思考问题。用方程解，都可以归结为解形如ax+/-bx=c的方程，思路统一，解法一致，思维难度有所降低，在教学中也是贯穿着这样的想法进行设计的。 二、设计理念： 在小学阶段让学生学习一些代数初步知识，学习用代数的方法解决问题，不仅有助于学生巩固和加深理解所学的算术知识，提高他们用数学解决问题的能力，同时可以促进抽象逻辑思维能力的发展，提高他们的数学素养。同时，也为今后进一步学习代数知识，用代数知识解决实际问题打下良好的基础，可以说，简易方程的学习在今后的学习中起到至关重要的作用。 三、学情分析： 像这样含有两个未知数的问题，在本单元之前学生没有接触过。但它与学生以前过的不少内容有关。比如，已知两数，可以求出它们的和、差及倍数关系，这是小学低年级的学习内容。现在，从两数的和、差及倍数关系中选取取两项已知条件，反过来求两数各是多少，这就是本节课讨论的问题。本课例3，首先碰到的第一个问题是设未知数。学生已有的经验是“求什么设什么”。现在面临一道题中要求两个未知数各是多少，究竟设哪个为X，另一个数又怎样表示？这是必须突破的一个难点。事实上设任何一个为X都可以，但各种解法对比中发现根据两个量的倍数关系这个条件进行设，再利用两个量的和差关系进行列方程，这种解法是最简便的。本课第一次出现ax+/-bx=c的方程。考虑到学生的知识水平和接受能力，教材中没有出现“合并同类项”等术语，而是启发学生运用乘法分配律，将原方程转化为学生已会解的形式(a+/-b)x=c。这种解法与合并同类项的方法实质上是一致的。 教学内容：教科书第70页，练习十三4-8题。 教学目标： 1、理解实际问题中有关和、差、倍的数量关系。 2、初步学会设一个未知数，列方程解答含两个未知数的实际问题。 3、培养学生的比较、分析能力和类比学习的能力。 教学重点：探究设哪个未知量为未知数，选择比较简便的方法。。 教学难点：设哪个量为X，另一个未知数怎样表示，两个已知条件怎么使用。 教具准备：研学案PPT课件
含有两个未知数的稍复杂的方程 一、教课目的 1．使学生列方程解答数目关系稍复杂的含有两个未知数的（和倍、差倍）应用题，进 一步掌握列方程解应用题的步骤和思路，提升列方程解应用题的能力。 2．培育学生的剖析能力，判断能力。 3．让学生感觉数学与现实生活的联系，提升学生灵巧应用知识解决实质问题的能力。 二、教课要点 正确列方程，掌握含有两个未知数的稍复杂的方程的计算方法。 三、教课难点 正确设未知数，掌握解答含有两个未知数方程的方法。 四、教课具准备 课件 五、教课过程 （一）复习引入 口答： 饲养小组养了一些兔子，此中白兔有X 只，黑兔的只数是白兔的 2 倍。 请你依据题目中的条件提出适合的问题。（学生提出） 黑兔有（）只。 白兔和黑兔共有（）只。 白兔比黑兔多（）只。 （二）研究新知 （此环节让学生经过研究，逐渐掌握用含有两个未知数解答实质问题，并掌握解答这种稍复杂的方程的计算方法。） 1．（插入图片30.地球表面的图片。）
2．独立思虑，说一说能够如何解答。 学生可能用算术法解答，教师能够指引学生绘图，帮助理解数目间的关系。 算术方法： 5． 1÷（ 2.4+1） =5 ．1÷ 3.4 =1.5 （亿平方千米） 3、指引学生列方程解应用题。 （ 1）确立设哪个量为“X ”。 发问：这道题求几个未知数？先设哪一个未知数为x，依据已知条件，另一个未知 数该如何用含有字母的式子来表示。 （学生能够议论，进行报告，说出依照，同时教师让学生在图中标出两个未知数。） （2）确立等量关系 学生依据已知条件确立等量关系，进行报告。 解：设陆地面积为X 亿平方千米，大海面积为 2.4 亿平方千米。 陆地面积 +大海面积 =地球表面积 （3）列方程解应用题 学生依据等量关系独立列方程。 X+2.4X=5.1 学生试着独立解答。 X+ 2.4X=5.1 （1+2.4） X=5.1运用了什么运算定律？（乘法分派律） 3.4X=5.1