广东省揭阳市2020届高三摸底测试 数学(理)试题(含答案)

计数原理（6）排列与组合C1、2018年3月22日,某校举办了“世界水日”主题演讲比赛,该校高三年级准备从包括甲乙丙在内的6名学生中选派4人参加演讲比赛,其中学生丙必须参加,仅当甲乙两同学同时参加时候,甲乙至少有一人与丙学生演讲顺序相邻,那么选派的4名学生不同的演讲顺序的种数为( )A.228B.238C.218D.2482、某单位实行职工值夜班制度,已知,,,,A B C D E,5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班,且没有两人同时值夜班,星期六和星期日不值夜班,若A昨天值夜班,从今天起,B C至少连续4天不值夜班, D星期四值夜班,则今天是星期几( )A.二B.三C.四D.五3、甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则她们坐车不同的搭配方式有( )A.12种B.11种C.10种D.9种4、两所学校分别有2名、3名学生获奖,这5名学生要排成一排合影,则同校学生排在一起的概率是( )A. 1 30B.1 15C.1 10D. 1 55、某校毕业典礼由6个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )种。

A. 240B. 156C. 188D. 1206、若112311n n n n n n n n C C C C +--+++=++,则n = ( )A.4B.5C.6D.7 7、将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的分配方案的种数为( )A.50B.80C.120D.1408、将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学,每人至少1本,不同的分配方法数有( )A.24B.28C.32D.369、若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位(例如：20191002119+=，则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序对(),m n 的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是( ) A ．30 B ．60 C ．96 D ．10010、5个男生和3个女生站成一排,则女生不站在一起的不同排法有( ) A.14400种 B.7200种 C.2400种 D.1200种11、将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,被人至少1张,如果分别同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是__________.12、甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙相邻的排法种数是__________.13、学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手,其中男生甲不适合担任一辩手,女生乙不适合担任四辩手.现要求:如果男生甲入选,则女生乙必须入选.那么不同的组队形式有__________种14、有编号分别为1,2,3,4,5的5个黑色小球和编号分别为1,2,3,4,5的5个白色小球,若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球,则有__________种不同的选法 15、有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内(结果用数字表示). 1.共有多少种放法?2.恰有一个盒子不放球,有多少种放法?3.恰有一个盒内放2个球,有多少种放法?4.恰有两个盒不放球,有多少种放法?答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：对甲、乙两名同学是否参加分类.第一类,甲、乙均未参加: 44A .第二类,甲、乙中是有1人参加: 124234144C C A =.第三类,甲、乙都参加:14123432260C A C A -=.1232414460228N N N N =++=++=.2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：B解析：这是个错位排列模型,可视作1、2、3、4、5五个数字排在序号①、②、③、④、⑤的五个位置中,且⑤位置上固定排1,对5所处位置讨论:5在①位置上,是三个元素的错位排列,有2种情况;5在②、③、④位置上分别各都是3种情况;所以共有11种搭配方式,选B.4答案及解析： 答案：C解析：同校学生排在一起共有323323A A A 种排法,而三个学校的学生随便排有66A 种排法,故同校学生排在一起的概率110P = 故选C.5答案及解析： 答案：D 解析：6答案及解析： 答案：A解析：∵1112n n nn n n C C C -++++=,22n n n C C -=, ∴1232n n n n n C C C +++=+, ∴1232n n n n n C C C +++-=,∴122n n n C C ++=,∴122n n C C +=,∴()122n n n -+=,即()()410n n -+=,又0n >, ∴4n =.7答案及解析： 答案：A解析：分两类：若甲组两人，则乙、丙两组的方法数是1232C A ，此时的方法种数为C A =212532C 60；若甲组3人，则方法数C A =325220，根据分类加法原理得总的方法总数为60+20=80,故选A 考点：本题考查了排列组合的综合运用点评：熟练掌握排列、组合的综合运用是解决此类问题的关键，属基础题8答案及解析： 答案：B 解析：第一类,先选1人得到两本语文书,剩下的3人各得一本,有114312C C =种,第二类,先选1人得到一本语文书和一本数学书,其余3人各一本书,有114312C C =种, 第三类,先选1人得到两本数学书,剩下的3人各得一本,有144C =种,根据分类计数原理可得, 12124++种, 故选B9答案及解析： 答案：B解析：值为2019的“简单的”有序对的个数是3121060⨯⨯⨯=.故选B.10答案及解析： 答案：A解析：我们可以在操场上进行实地排队:先让5个男生站成一排有55A 种站法,在站队时每两个男生之间留下一个空(能站且只能站一个人的位置),同时女生还可站两头,因此可供女生站的位置有六个(即“①男②男③男④男⑤男⑥”),把这6个位置编一个号码,再从这6个号码中取出3个排成一排,按它的前后顺序依次把这3个号码分给3个女生甲、乙、丙,再让3个女生对号入座,插进男生之中,最后让这8个人向左看齐,即这8个人站成一排,且女生不相邻,于是就完成了这一事件,因而有:先让5个男生排成一排,有55A 种站法,再让3个女生插入5个男生产生的6个空中,有36A 种排法,故共有5356A A 种不同站法.故选A.11答案及解析： 答案：96解析：5张参观券分成4组, 1组2张,另外3组各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是44496A 。

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

1．设21(1)iz i +=-则|z|=（ ）A ．12B C ．1D2．已知集合{}{}023,22<+-===x x x B y y A x ，则（ ） A ．A∩B=AB ．A ∪B=RC ．A ⊆BD ．B ⊆A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C D ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S = A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.n n n a ⎡⎤=-⎥⎦(设n是不等式(1211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论：①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立 其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

揭阳市高中毕业班学业水平考试数学（文科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{1,1}B =-，则A B =ðA ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．复数221z i i =++-的虚部是A ．3B ．2C ．2iD ．3i 3．“0a b ⋅≥r r ”是“a r 与b r的夹角为锐角”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数2()2x af x -=，1(3)4f =，则(2)f = A ．1 B ．18- C ．12 D ．185.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知132,6S S =-=-，且公比1q ≠，则3a =A ．-B ．2C ．-8D ．-2或-86.若点(2,22)A 在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为A ．24 B ．23 C ．2 D ．2237.已知[0,]x π∈，且3sin 1sin 2x x =+tan 2x=A ．12-B ．12C ．43D ．28.右图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是 A.从2000年至2016年，该地区环境基础 设施投资额逐年增加；B.2011年该地区环境基础设施的投资额比 2000年至2004年的投资总额还多；C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 9.函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为10．若,x y 满足约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x z y =-+的最小值为A ．-1B ．-2C ．1D ． 211．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为 A ．πB ．2πC ．4πD ．16π12．已知函数312()423x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底， 若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．1[,)2+∞C ．1(1,)2-D ．1[1,]2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量(1,)a x =r 、(1,2)b =--r ，若a b ⊥r r ，则||a =r_____；14．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为3y x =，则该双曲线的离心率为____；15.如图，圆柱O 1 O 2内接于球O ，且圆柱的高等于球O 的半径，则从球O 内任取一点，此点取自圆柱O 1 O 2的概率为； 16.已知数列{}n a 满足119a =-，181n n n a a a +=+()n N *∈，则数列{}n a 中最大项的值为. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．1 1-1-1 x y A ．1 1 -1-1 xy 1 1 -1-1 x y 1 1 -1-1 xy D ．OHC A P（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2sin cos sin 0a B A b A -=， （1）求A ；（2）当函数()sin )6f x B C π=-取得最大值时，试判断ABC ∆的形状．18.（12分）如图，在三棱锥P-ABC 中，正三角形P AC 所在平面与等腰三角形 ABC 所在平面互相垂直，AB ＝BC ，O 是AC 中点，OH ⊥PC 于H . （1）证明：PC ⊥平面BOH ；（2）若OH OB ==，求三棱锥A-BOH 的体积． 19.（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：（1哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周．．．培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率. 20.（12分）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B （O 为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为1)2-． （1）求椭圆的方程；（2）已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN =60°，求点M 的坐标．21.（12分）已知函数()()21322x f x x e x x =--+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求实数a 的值，使得2x =是函数()()3213g x f x ax ax =+-唯一的极值点． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=⎩，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线1l 、2l 相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点（不同于点O ），且1l 的倾斜角为锐角α.（1）求曲线C 和射线2l 的极坐标方程；（2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时α的值． 23. [选修45：不等式选讲] (10分）已知函数()|2||2|f x x a x =--+.（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集；（2）当[2,2]x ∈-时，不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．揭阳市高中毕业班学业水平考试数学（文科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．解析：11.三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为l ，则2284r l r l +=⇒+=， S 侧=2()42r l rl πππ+≤=（当且仅当r l =时“=”成立）12.由222'()42240x x f x x e e x x -=-++≥-+=≥，知()f x 在R 上单调递增，且31()422()3x x f x x x e e f x --=-++-=-，即函数()f x 为奇函数， 故2(1)(2)0f a f a -+≤2(1)(2)f a f a ⇔-≤-212a a ⇔-≤-2210a a ⇔+-≤，解得112a -≤≤.二、填空题解析：16.由181n n n a a +=+得18n n n n a a a +==+18n na a +⇒-=， 即数列1{}n a 是公差为8的等差数列，故111(1)8817n n n a a =+-⨯=-，所以1817n a n =-， 当1,2n =时0n a <；当3n ≥时，0n a >，数列{}n a 递减，故最大项的值为317a =.三、解答题17.解：（1）由正弦定理sin sin a bA B=得sin sin 0a B b A =≠，----------------------------------2分 又2sin cos sin 0a B A b A -=,∴2cos1A =,即1cos 2A =，------------------------------------------------------------------------4分∵0A π<<∴3A π=.-----------------------------------------------------------------------------6分（2）解法一：∵3Aπ=∴23C B π=-,从而62C B ππ-=-，------------------------------7分 ∴()sin sin()2f x B B π=-sin B B =+------------------------------------------8分12(sin )2B B =2sin()3B π=+---------------------------------------------10分∵33B πππ<+<,∴当6B π=时，函数()f x 取得最大值，这时632C ππππ=--=,即ABC ∆是直角三角形.-------------------------------------------12分【解法二：∵3A π=∴23B C π=-, -----------------------------------------------------------------7分 ∴2()sin())36f x C C ππ=-+-OHCB AP11sin cos )2222C C C C =++- 2sin C =--------------------------------------------------------------------------------------10分 ∵203C π<<,∴当2C π=时，函数()f x 取得最大值，∴ABC ∆是直角三角形.---------------------------------------------------------------------------12分】18.解：（1）∵AB ＝BC ，O 是AC 中点，∴ BO ⊥AC ，-------------------------------------------------------------------------------------------1分 又平面P AC ⊥平面ABC ，且BO ⊂平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，∴ BO ⊥平面P AC ，----------------------------------------------3分 ∴ BO ⊥PC ，------------------------------------------------------4分 又OH ⊥PC ，BO ∩OH ＝O ，∴ PC ⊥平面BOH ；---------------------------------------------6分 （2）解法1：∵△HAO 与△HOC 面积相等，∴A BOH B HAO B HOC V V V ---==,∵BO ⊥平面P AC , ∴13B HOC OHC V S OB -∆=⋅,-------------------------------------------------8分∵OH =,∠HOC=30° ∴1HC =,∴122OHC S CH OH ∆=⋅=,-----------------------------------------------------------------------10分∴11322B OCHV -=⨯=,即12A BOH V -=.----------------------------------------------------12分 【其它解法请参照给分】19.解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为1t 、2t ，则120525*********1060t ⨯+⨯+⨯+⨯==（小时）----------------------------------------2分2841682012161610.960t ⨯+⨯+⨯+⨯=≈（小时）----------------------------------------4分据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因1010.9<，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；---------------------------------------------6分 （2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为：610230⨯=，--------------------------------------------------7分 来自乙组的人数为：620430⨯=，----------------------------------------------------------------8分 记来自甲组的2人为：a b 、；来自乙组的4人为：c d e f 、、、，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ，(,),(,),(,),(,)b c b d b e b f ，(,),(,),(,)c d c e c f ，(,),(,),(,)d e d f e f ，共15种，----------------------------------------------10分其中至少有1人来自甲组的有：(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ，(,),(,),(,),(,),b c b d b e b f 共9种，故所求的概率93155P ==.----------------------------------------------------------------------12分 20.解：（1）依题意知(,0)A a ,(0,)B b -,------------------------------------------------------------------1分 ∵△AOB 为直角三角形，∴过A 、O 、B 三点的圆的圆心为斜边AB 的中点，∴1,2222a b =-=-，即1a b ==，--------------------------------3分 ∴椭圆的方程为2213x y +=.-----------------------------------------4分 （2）由（1）知(0,1)B -，依题意知直线BN 的斜率存在且小于0，设直线BN 的方程为1(0)y kx k =-<，则直线BM 的方程为：11y x k=--，------------------------------------------------------------5分由2233,1.x y y kx ⎧+=⎨=-⎩消去y 得22(13)60k x kx +-=，----------------------------------------------6分 解得：2613N kx k=+，1N N y kx =-,---------------------------------------------------------------7分∴||BN =|N x ==∴|||N B BN x x =-26||13k k =+,------------------------------------------------8分【注：学生直接代入弦长公式不扣分！】在11y x k=--中，令0y =得x k =-，即(,0)M k -∴||BM -----------------------------------------------------------------------------------9分在Rt △MBN 中，∵∠BMN=60°，∴|||BN BM =,26||13k k=+23|10k k -+=，解得||k =，∵0k <，∴k =，------------------------------------------------------11分∴点M 的坐标为3.---------------------------------------------------------------------------12分 21．解：（1）()()()21x f x x e '=--，-----------------------------------------------------------------1分令()0f x '<，得2010xx e -<⎧⎨->⎩或2010xx e ->⎧⎨-<⎩，-----------------------------------------------------2分由2010x x e -<⎧⎨->⎩得02x <<，而不等式组2010x x e ->⎧⎨-<⎩的解集为φ-----------------------------3分∴函数()f x 的单调递减区间为()0,2；----------------------------------------------------------4分 （2）依题意得()()()()()221x g x f x ax x x e ax ''=+-=-+-，显然()20g '=，---5分记()1xh x e ax =+-，x R ∈，则()00h =，当0a =时，()110h e =->；当0a ≠时，110a h e a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭；由题意知，为使2x =是函数()g x 唯一的极值点，则必须()0h x ≥在R 上恒成立；----------7分只须()min 0h x ≥，因'()xh x e a =+，①当0a ≥时，'()0xh x e a =+>，即函数()h x 在R 上单调递增，而()1110h a e-=--<，与题意不符；--------------------------------------------------------8分 ②当0a <时，由()0h x '<，得()ln x a <-，即()h x 在()(),ln a -∞-上单调递减，由()0h x '>，得()ln x a >-，即()h x 在()()ln ,a -+∞上单调递增，故()()()min ln h x h a =-，------------------------------------------------------------------------10分 若1a =-，则()()min ()00h x h x h ≥==，符合题意；------------------------------------11分 若1a ≠-，则()()()min 00()ln h h x h a =≥=-，不合题意；综上所述，1a =-．----------------------------------------------------------------------------------12分 【或由()min 0h x ≥，及(0)0h =，得()min (0)h h x =，∴()ln 0a -=，解得1a =-．-----------------------------------------------------------------12分】 22. 解：（1）由曲线C 的参数方程，得普通方程为24y x =，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得224sin cos ρθρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，[或24sin cos θρθ=] --------------------------3分 2l 的极坐标方程为2πθα=+；----------------------------------------------------------------------5分（2）依题意设(,),(,)2A B A B πραρα+，则由（1）可得24sin cos A αρα=， 同理得24sin()2cos ()2B παρπα+=+，即24cos sin B αρα=，--------------------------------------------------7分 ∴11||||||22OAB A B S OA OB ρρ∆=⋅=⋅228|sin cos |cos sin αααα⋅=⋅∵02πα<<∴0απ<<，∴8cos sin OAB S αα∆=⋅16sin 2α=16≥，----------------9分 △OAB 的面积的最小值为16，此时sin 21α=，得22πα=，∴4πα=．-------------------------------------------------------------------------10分23.解：（1）①当2x <-时，()22(2)62f x x x x =-+++=+<， 解得4x <-，-------------------------------------------------------------------------------------------1分 ②当22x -≤<时，()22(2)322f x x x x =-+-+=--<， 解得423x -<<，--------------------------------------------------------------------------------------2分 ③当2x ≥时，()22(2)62f x x x x =--+=--<解得2x ≥，---------------------------------------------------------------------------------------------3分上知，不等式()2f x <的解集为4(,4)(,)3-∞--+∞U ；-----------------------------------5分（2）解法1：当[2,2]x ∈-时，()2(2)(1)2(1)f x x a x a x a =--+=-++-，------------6分 设()()g x f x x =-，则[2,2]x ∀∈-，()(2)2(1)0g x a x a =-++-≥恒成立，只需(2)0(2)0g g -≥⎧⎨≥⎩，-------------------------------------------------------------------------------------8分即60420a ≥⎧⎨--≥⎩，解得12a ≤---------------------------------------------------------------------10分【解法2：当[2,2]x ∈-时，()2(2)f x x a x =--+，----------------------------------------------6分()f x x ≥，即2(2)x a x x --+≥，即(2)2(1)x a x +≤----------------------------------7分①当2x =-时，上式恒成立，a R ∈；------------------------------------------8分 ②当(2,2]x ∈-时，得2(1)2x a x -≤+622x =-++恒成立， 只需min 61(2)22a x ≤-+=-+， 综上知，12a ≤-．----------------------------------------------------------------10分】。

2020年广东揭阳市高考一模数学疫情下的第一次线下考试：高考一模揭阳全市高三、初三年级学生已于4月27日返校。

（1）5月11日，初一、初二、高一、高二、小学四至六年级学生返校。

（2）5月18日，小学一至三年级学生返校。

（3）幼儿园幼儿、特殊教育学校学生返园（校）时间另行研究确定；幼儿园幼儿返园前，校外培训机构不得开展线下教学活动。

2020年5月7日，同学们迎来了2020年广东揭阳市高考一模数学，今天我们选取部分题目跟同学们分析一下，最后附上这次考试的试卷与答案，供同学们参考。

理科卷文科卷总结：高考一模数学考试质量分析一、命题指导思想2019-2020学年度下学期一模考试高三数学试题是广东省考命题命题，目的在于考察学生对高三阶段性学习成果。

在遵循《课标》、依据教材的基础上，本套试卷从学生的实际情况，考察了不同层次的学生的数学学习水平；同时，注重体现传统内容在考试中的要求，使之对学生的学与教师的教给出科学而公正的评价，对我们的教学实施具有一定的导向作用。

二、对试题的分析试卷的结构：全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，满分150分。

其中，选择题12道，填空题4道，解答题7道。

整体布局和题型结构合理，难度梯度明显。

三、试卷题型布局与上一届期末试卷作对比的话，难度基本相当，与去年高考试题相比，难度会大一些，毕竟去年高考的难度实在是有点没下限。

对同学们空间想象力和计算能力都有比较高的要求，做到又快又准并不简单，需要引起计算能力偏弱的同学注意。

只是对题目理解、识图能力，有很高的要求，同学们可以多加留心。

重点考查的知识模块都相对基础，基础薄弱的同学常常在这里失分，需要加强锻炼。

导数的题目，函数的形式很常规，并不复杂。

但是有非常多的题目会从这些性质中获取命题的灵感，难度有一点提升，但是也并非故意出难题为难考生。

只要发现了规律，其实并不难。

这就要看两点了，第一，是否有平时的积累，思考过非常多压轴题;第二，前面的题是否做到够快，有足够的时间对题目进行分析。

考点64 随机抽样1．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 3【答案】D【解析】由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p 1＝p 2＝p 3.2．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A ．93B ．123C ．137D ．167【答案】C【解析】初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137，故选C.3．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A ．40 B ．36 C ．30 D ．20 【答案】C【解析】利用分层抽样的比例关系，设从乙社区抽取n 户，则270360＋270＋180＝n 90，解得n ＝30.4．现用系统抽样方法从已编号(1～60)的60枚新型导弹中，随机抽取6枚进行试验，则所选取的6枚导弹的编号可能是( ) A ．5,10,15,20,25,30 B ．2,4,8,16,32,48 C ．5,15,25,35,45,55 D ．1,12,34,47,51,60【答案】C【解析】从60枚新型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为606＝10，只有C 选项中导弹的编号间隔为10.5．某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A ．1,2,3,4,5,6 B ．6,16,26,36,46,56 C ．1,2,4,8,16,32 D ．3,9,13,27,36,54【答案】B【解析】由系统抽样知识可知，所取学生编号之间的间距相等且为10，所以应选B.6．某班有34位同学，座位号记为01,02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是( )49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 A ．23 B ．09 C ．02 D ．16【答案】D【解析】从随机数表第一行的第6列数字3开始，由左到右依次选取两个数字，不超过34的依次为21,32,09,16,17，故第4个志愿者的座号为16.7．将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( ) A ．26,16,8 B ．25,17,8 C ．25,16,9 D ．24,17,9 【答案】B【解析】由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)． 令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.故选B.8．某工厂的一、二、三车间在2017年11月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 成等差数列，则二车间生产的产品数为( ) A ．800 B ．1 000 C ．1 200D ．1 500【答案】C【解析】因为a 、b 、c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的13，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的13，所以二车间生产的产品数为3 600×13＝1 200.故选C.9．从一个容量为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 3【答案】D【解析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p 1＝p 2＝p 3.10．(2018·陕西西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学的成绩按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是(注：下表为随机数表的第8行和第9行)( )⎭⎬⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎬⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 45 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行A ．07B ．25C ．42D ．52【答案】D【解析】依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…，因此选出的第6个个体是52，选D. 11．为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为( ) A ．9 B ．8 C ．10 D ．7【答案】A【解析】由系统抽样方法知，72人分成8组，故分段间隔为72÷8＝9.12．(2018·陕西部分学校摸底检测)某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则应分别抽取老年人、中年人、青年人的人数是( ) A ．7,11,18 B ．6,12,18 C ．6,13,17 D ．7,14,21【答案】D【解析】因为该单位共有27＋54＋81＝162(人)，样本容量为42，所以应当按42162＝727的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且应分别抽取的人数是7,14,21.故选D.13．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n ＝( ) A ．660 B ．720 C ．780 D ．800【答案】B【解析】由已知可得，抽样比为13780＝160，从而35600＋780＋n ＝160，解得n ＝720.14．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( ) A ．480 B ．481 C ．482 D ．483 【答案】C【解析】根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a 1＝7，a 2＝32，d ＝25，所以7＋25(n －1)≤500.所以n ≤20.72，故最大编号为7＋25×(20－1)＝482.15．某高校有教授120人，副教授100人，讲师80人，助教60人，现用分层抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为n 的样本．已知从讲师中抽取的人数为16，那么n ＝________. 【答案】72【解析】依题意得，80120＋100＋80＋60＝16n，由此解得n ＝72.16．为了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k 为________． 【答案】40【解析】在系统抽样中，确定分段间隔k ，对编号进行分段，k ＝Nn (N 为总体的容量，n 为样本的容量)，所以k ＝N n ＝1 20030＝40.17．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________． 【答案】76【解析】由题意知m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.18．一汽车制造厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：10辆，则z 的值为________． 【答案】400【解析】设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400.19．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋进行检查，将3 000袋奶粉按1,2，…，3 000 随机编号．若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________． 【答案】1 211【解析】由题意知，抽样比为k ＝3 000150＝20，又第一组抽出的号码是11，则11＋60×20＝1 211，故第六十一组抽出的号码为1 211.20．高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________． 【答案】45【解析】分组间隔为648＝8，∵在第一组中随机抽取的号码为5，∴在第6组中抽取的号码为5＋5×8＝45.21．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取一个容量为80的样本，则应从高一年级抽取________名学生． 【答案】32【解析】从高一年级抽取的学生人数为80×44＋3＋3＝32.22．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________． 【答案】12【解析】抽样间隔为84042＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x 0(x 0∈[1,20])，在[481,720]之间抽取的号码记为20k ＋x 0，则481≤20k ＋x 0≤720，k ∈N *.∴24120≤k ＋x 020≤36.∵x 020∈⎣⎡⎦⎤120，1，∴k ＝24,25,26，…，35， ∴k 值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.23．某校三个年级共有18个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到18，现用系统抽样方法，抽取6个班进行调查．若抽到的编号之和为57，则抽到的最小编号为________． 【答案】2【解析】系统抽样的间隔为186＝3.设抽到最小编号为x ，则x ＋(3＋x )＋(6＋x )＋(9＋x )＋(12＋x )＋(15＋x )＝57.解得x ＝2.24．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25，为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________人． 【答案】36【解析】根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36(人)．25．某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,3，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，请写出抽样过程． 【解析】按1∶5的比例抽样，295÷5＝59.第一步，把295名同学分成59组，每组5人．第一组是编号为1～5的5名学生，第二组是编号为6～10的5名学生，…，依次类推，第59组是编号为291～295的5名学生．第二步，采用简单随机抽样，从第一组5名学生中随机抽取1名，不妨设其编号为k (1≤k ≤5)．第三步，从以后各段中依次抽取编号为k ＋5i (i ＝1,2,3，…，58)的学生，再加上从第一段中抽取的编号为k 的学生，得到一个容量为59的样本．26．为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”“锻炼”“看电视”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成统计图如图所示．根据统计图所提供的信息，解答下列问题：(1)本次共调查了________名市民；(2)补全条形统计图；(3)该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内“锻炼”的人数．【答案】(1)2 000.(2)(3)96(万)【解析】(1)本次共调查的市民人数为800÷40%＝2 000.(2)晚饭后选择“其他”的人数为2 000×28%＝560，晚饭后选择“锻炼”的人数为2 000－800－240－560＝400. 将条形统计图补充完整，如图所示．(3)晚饭后选择“锻炼”的人数所占的比例为：400÷2 000＝20%，该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为：480×20%＝96(万)．。

广东省揭阳市第三中学2020届高三物理上学期第二次月考试题（含解析）一、选择题：本题共8小题，每题6分，在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一个选项符合题目要求。

第19～21题有多选项题目要求。

全部答对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的的0分。

1.一个质点受两个互成锐角的力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF,则质点以后（）A. 一定做匀变速曲线运动B. 在相等的时间内速度的变化一定相等C. 可能做匀速直线运动D. 可能做变加速曲线运动【答案】AB【解析】试题分析：质点原来是静止的，在F1、F2的合力的作用下开始运动，此时质点做的是直线运动，运动一段时间之后，物体就有了速度，而此时将F1突然增大为F1+△F，F1变大了，它们的合力也就变了，原来合力的方向与速度的方向在一条直线上，质点做的是直线运动，把F1改变之后，合力的大小变了，合力的方向也变了，就不再和速度的方向在同一条直线上了，所以此后质点将做曲线运动，由于F1、F2都是恒力，改变之后它们的合力还是恒力，质点的加速度就是定值，所以在相等的时间里速度的增量一定相等，故质点是在做匀变速运动，故AB正确，CD错误．故选AB。

考点：曲线运动的条件【名师点睛】本题即考查了物体做曲线运动条件，还考查了学生对匀变速运动的理解；质点做直线运动还是曲线运动，就看合力的方向与速度的方向是否在同一条直线上，在同一条直线上，就做直线运动，不在一条直线上，质点就做曲线运动。

2.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率v A＝10m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小v B为（）A.53m/s3B. 20 m/sC.203m/s3D. 5 m/s 【答案】C【解析】【详解】将B点的速度分解如图所示：则有：2Av v=，2cos30Bv v=︒，解得：203m/scos30ABvv==︒；故A，B，D错误；C 正确；故选C.3.如图所示，在动摩擦因数为0.2的水平面上有一个质量为1kg的小球，小球与水平轻弹簧及与竖直方向成45°角的不可伸长的轻绳一端相连，此时小球处于静止状态，且水平面对小球的弹力恰好为零，当剪断轻绳的瞬间，取g＝10m/s2，则（）A. 水平面对小球的弹力仍为零B. 小球的加速度为0C. 小球的加速度为8m/s2D. 小球的加速度为10m/s2【答案】C【解析】【详解】A.在剪断轻绳前，小球受重力、绳子的拉力以及弹簧的弹力处于平衡，根据共点力平衡得，弹簧的弹力：F＝mg tan45°＝10×1＝10N，剪断轻绳的瞬间，弹簧的弹力仍然为10N ，小球此时受重力、支持力、弹簧弹力和摩擦力四个力作用，水平面对小球的弹力不为零，故A 错误；BCD.小球所受的最大静摩擦力为：f ＝μmg ＝0.2×10N ＝2N ，根据牛顿第二定律得小球的加速度为：21028m /s 1F f a m --===．合力方向向左，故C 正确，BD 错误。

★开封前注意保密揭阳市２０２０—２０２１学年度高中三年级教学质量测试数　学本试题共６页，考试时间１２０分钟，满分１５０分注意事项：１．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。

２．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

３．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。

考试结束后，请将本试题及答题卡交回。

一、选择题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

１．设集合Ａ＝{ｘｘ２－２ｘ}－３＜０，Ｂ＝{ｘ２≤ｘ≤}４，则Ａ∩Ｂ＝＜４＜３Ｂ．{ｘ－１≤ｘ}Ａ．{ｘ２≤ｘ}Ｃ．{ｘ２＜ｘ≤}３Ｄ．{ｘ－１＜ｘ≤}４，则ｚ的虚部为２．已知复数ｚ＝４－２ｉ１＋２ｉＡ．２Ｂ．－２Ｃ．２ｉＤ．－２ｉ３．某学校有东、南、西、北四个校门，受疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有２名教师和３名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有Ａ．６种Ｂ．１２种Ｃ．２４种Ｄ．３２种４．科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线．其构成方式如下：如图１将线段ＡＢ等分为ＡＣ，ＣＤ，ＤＢ，如图２以ＣＤ为底向外作等边三角形ＣＭＤ，并去掉线段ＣＤ．在图２的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图３的曲线．设线段ＡＢ的长度为１，则图３曲线的长度为图１图２图３Ａ．２Ｂ．８３Ｃ．６４２７Ｄ．３５．中医是中国传统文化的瑰宝．中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的．中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂．现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是Ａ．１３５ Ｂ．１７０ Ｃ．１８４０ Ｄ．１１６８０图４６．在疫情期间，某学校定期对教室进行药熏消毒．教室内每立方米空气中的含药量ｙ（单位：毫克）随时间ｔ（单位：小时）的变化情况如图４所示．在药物释放的过程中，ｙ与ｔ成正比；药物释放完毕后，ｙ与ｔ的函数关系式为ｙ＝１０ａ－ｔ（ａ为常数）．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到０ ２毫克以下时，学生方可进入教室．那么，从药物释放开始到学生能回到教室，至少在（参考数值ｌｇ２≈０ ３０１０３）Ａ．４２分钟后 Ｂ．４８分钟后Ｃ．５０分钟后 Ｄ．６０分钟后７．在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，Ｍ，Ｎ分别是ＡＢ，ＡＤ上的动点，且满足２ＡＭ＋ＡＮ＝１，设→ ＡＣ＝→ ｘＡＭ＋→ｙＡＮ，则２ｘ＋３ｙ的最小值为Ａ．４８Ｂ．４９Ｃ．５０Ｄ．５１８．已知函数ｆ（ｘ）定义域为Ｒ，满足ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），且对任意１≤ｘ１＜ｘ２均有（ｘ１－ｘ２）·［ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）］＜０成立，则满足ｆ（２ｘ－１）－ｆ（３－ｘ）≥０的ｘ的取值范围是Ａ．（－∞，－２］∪２３，＋[)∞Ｂ．（－∞，０］∪４３，＋[)∞Ｃ．－２，[]２３Ｄ．０，[]４３二、选择题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分。

2024届高三下学期一模考试地理试题（含有答案解析）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚。

2.每小题选出答案后，填入答题卡答题栏中。

3.考试结束，考生只将第Ⅱ卷交回，第Ⅰ卷自己保留。

第Ⅰ卷（选择题48分）一、单项选择题（共16小题，每小题3分，共48分）。

％）的数下图为近年我国部分城市经济增速（ΔGDP％）与碳排放增速（ΔC02据图，据此完成下面小题。

1. 从可持续发展原则看，下列城市中碳排放与经济发展协调程度最高的是（）A. 武汉B. 乌鲁木齐C. 沈阳D. 深圳2. 为推动城市经济绿色低碳发展，可采取的主要措施有（）①控制GDP增长②优化资源配置③增加能源供给④研发节能减排技术A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】1. D 2. D【解析】【1题详解】由图中信息可知，深圳最符合GDP增速快且碳排放增速较低，碳排放与经济发展协调程度最高，D正确；武汉GDP增速快但碳排放增速较高，乌鲁木齐、沈阳的GDP增速较慢，三个城市碳排放与经济发展协调程度较低，ABC错误。

所以选D。

【2题详解】城市经济要绿色低碳发展，应该是GDP增长与低碳环保并行，不能控制GDP增速，①错误；优化资源配置可以减少高耗能产业的投入，加大绿色低碳产业的投入，②正确；增加能源供给不利于实现绿色低碳，③错误；研发节能减排技术，可以减少碳排放量，推动城市经济绿色低碳发展，④正确。

所以选D。

【点睛】低碳经济是指在可持续发展理念指导下，通过技术创新、制度创新、产业转型、新能源开发等多种手段，尽可能地减少煤炭、石油等高碳能源消耗，减少温室气体排放，达到经济社会发展与生态环境保护双赢的一种经济发展形态。

低碳经济的特征是以减少温室气体排放为目标，构筑低能耗、低污染为基础的经济发展体系，包括低碳能源系统、低碳技术和低碳产业体系。

2024届广东省高三下学期模拟测试(一)地理试题一、单选题：本大题共16小题，共32分。

小学在校生人数是反映该城市人口流动的重要指标。

下表示意2015——2020年广州、合肥、重庆、哈尔滨四市的小学在校生人数及增长率。

据此完成下面小题城市2015年小学在校生人数/万人2020年小学在校生人数/万人增长率/%甲46.457.323.5乙93.8112.520.0丙41.739.4-5.5丁207.4202.5-2.4第1、2题图1.甲乙丙丁四市对应正确的是A.甲:合肥乙：广州丙：哈尔滨丁：重庆B.甲:广州乙：合肥丙：重庆丁：哈尔滨C.甲:合肥乙：重庆丙：哈尔滨丁：广州D.甲:哈尔滨乙：广州丙：合肥丁：重庆2.关于甲城市在校生人数变化带来的直接影响叙述正确的是A.提高城镇化水平B.增加就业压力C.扩大就业规模D.加重养老负担采用异地建池浸矿，工艺简单，设施简陋。

由于传统工艺对环境影响极大，已经改为原地浸矿开采工艺(图1)。

据此完成下面小题。

3.离子型稀土开采中对水体的污染主要来源于（）A.浸出液B.尾矿渣C.浸矿池D.浸矿液4.与传统工艺相比，改进后的开采工艺可以极大地缓解①土地沙化②植被破坏③水土流失④水体污染A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④5.该地解决传统矿区生态环境问题最有效的措施是A.清理矿渣，净化水质B.实施复垦，恢复植被C.综合利用，开发文旅D.封闭矿区，自然修复水系在单位面积内的分布面积称为面密度，是气候变化与内外力作用的共同体现。

下图示意江汉——洞庭地区水系面密度分布，该区域历史上水系面密度的变化较大。

据此完成下面小题。

6.影响江汉——洞庭地区水系面密度格局最主要的因素是A.湖泊分布B.地形地势C.河流径流量D.气候条件7.该区域历史上水系面密度的变化较大，主要因为①降水的时间变化大②地表物质较为松散③地壳运动基本稳定④地形陡峻起伏较大A.①②B.①④C.②③D.③④冰川前进时会导致行进路径上的树木受伤甚至死亡，退缩后在其遗留的堆积体上，树木会重新生长。

揭阳市2020年高三数学（文科）线上教学摸底测试说明：本自测题共16题，分为两个部分，第一部分（1-12题），第二部分（13-16题），均为单项选择题.其中，第1小题5分，其余15小题每题3分，满分50分，测试时间40分钟. 第一部分（1-12题）1.已知集合A 为自然数集N ，集合{}23,B x x x Z =<∈，则（ ） A. {}1AB =B. {}0,1AB =C. A B B ⋃=D.A B A ⋃=【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得集合B ，根据集合的运算即可判断各选项. 【详解】解不等式可得集合{}1,0,1B =-，{}0,1,2,3,A =，对比四个选项可知{}0,1A B =，故选：B ；【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题. 2.设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A. 3- B. 1-C. 1D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m 的值. 【详解】由复数的除法运算化简可得1033m m i i+=+-+， 因为是纯虚数，所以30m +=， ∴3m =-， 故选：A.【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.3.若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则()tan 2πα-=（ ）A. 4-B. -D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式化简三角函数式，结合同角三角函数关系式即可求解. 【详解】由()1sin 3πα-=得1sin 3α=， 因2παπ≤≤，所以cos α==所以()sin tan 2tan cos 4απααα-=-=-=， 故选：C.【点睛】本题考查了诱导公式与同角三角函数关系式的应用，属于基础题. 4.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a = A. 3- B. 5-C. 3D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和的性质得到4S =()232a a +，9S =59a ，5235205,2592a a a a d =+==-，联立两式可得到公差，进而得到结果. 【详解】等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S ==()232a a +，920S ==59a ,5235205,2592a a a a d =+==-,联立两式得到7,18d =75+2 3.a a d == 故答案为C.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质的应用，和基本量的计算，数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．5.若m ，n 表示互不重合的直线，α，β表示不重合的平面，则//m α的一个充分条件是（ ）A. //m β，//αβB. m β⊥，αβ⊥C. //m n ，//n αD. n αβ=，m α⊄，//m n【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系即可判断各选项.【详解】对于A ，//m β，//αβ则当m α⊂时不能得到//m α，因而不是充分条件，所以A 错误；对于B ，m β⊥，αβ⊥则当m α⊂时不能得到//m α，因而不是充分条件，所以B 错误； 对于C ，//m n ，//n α则当m α⊂时不能得到//m α，因而不是充分条件，所以C 错误； 对于D ，n αβ=，m α⊄，//m n ，则//m α，所以D 正确；故选：D.【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，对空间想象能力要求较高，属于基础题.6.要得到()cos 21g x x =+（x ∈R ）的图象，只需把()()2sin cos f x x x =+（x ∈R ）的图象（ ） A. 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移2π个单位 D. 向右平移2π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式及二倍角公式化简()f x ，由诱导公式化简()g x ，即可由三角函数图象平移变得解.【详解】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简可得()()2sin cos =sin 21f x x x x =++而()cos 21sin 212g x x x π⎛⎫=+=++⎪⎝⎭sin 214x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以将()f x 的图象向左平移4π个单位得到()4g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选：A ；【点睛】本题考查了诱导公式及二倍角公式在三角函数式化简中的应用，三角函数图象平移变换的应用，属于基础题. 7.已知正数a 、b 满足236a b +=，则ab 的最大值为（ ）A.19B.14 C.13D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式，即可容易求得结果. 【详解】因为正数a 、b 满足236a b +=，故可得()()()2111123236644ab a b a b =⨯⨯≤⨯+=， 当且仅当23,236a b a b =+=时，即66,a b ==时取得最大值. 故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求乘积的最大值，属基础题.8.圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（ ）A. 8cmB. 6cmC. 5cmD. 4cm【答案】D【分析】根据题意可知三个球的体积与水的体积和，等于圆柱的体积，即可求得球的半径. 【详解】设球的半径为cm r ，根据三个球的体积与水的体积和等于圆柱的体积，可得32243863r r r r πππ⨯+⨯=⨯，∴28r =，4r =， 故选：D.【点睛】本题考查了圆柱体积公式与球的体积公式简单应用，属于基础题. 9.已知数列{}n a 满足22log log 3n a n =+，则24620a a a a ++++值为（ ）A. 113(24)⨯- B. 123(24)⨯-C. 11445-D. 1144-【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算，求得n a ，再利用等比数列的前n 项和公式，即可求得结果.【详解】因为22log log 3n a n =+，故可得2log 3232n n n a +==⨯， 故可得{}2n a 是首项为12，公比为4的等比数列， 则24620a a a a ++++为数列{}2n a 的前10项和，则()1010121414S -==-1144-.故选：D.【点睛】本题考查对数的运算，以及等比数列求和，属综合中档题. 10.设函数23()ln 2f x x ax x =+-，若1x =是函数()f x 是极大值点，则函数()f x 的极小值为（ ） A. ln 22- B. ln21-C. ln 32-D. ln31-【答案】A【分析】根据函数()f x 的极大值点为1x =求出参数a 的值，然后再根据函数的单调性求出函数的极小值即可．【详解】∵()23ln (0)2f x x ax x x =+->， ∴()1322f x ax x =+-'， ∵1x =是函数的极大值点， ∴()311122022f a a +-=-'==，解得14a =， ∴()()()21213322222x x x x x f x x x x---+='=+-=， ∴当01x <<时，()()0,f x f x '>单调递增；当12x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；当2x >时，()()0,f x f x '>单调递增；∴当2x =时，()f x 有极小值，且极小值为()2ln22f =-． 故选A ．【点睛】解答类似问题时常犯的错误是误认为导函数的零点即为函数的极值点，解题时，在求得导函数的零点后，还要判断出导函数在零点两侧的符号是否相反，若不相反则可得该零点不是函数的极值点．11.我国古代数学名著《九章算术》有“勾股容圆” 曰：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何”. “勾股容圆”相当于给出了一个直角三角形的两条直角边长（勾8股15），求其内切圆直径的问题.若在“勾股容圆”问题中，从直角三角形内随机取一点，则此点取自其内切圆的概率是（ ）A. 10πB. 320πC. 5πD. 4π【答案】B 【解析】 分析】根据题意，先计算内切圆半径和面积，再根据几何概型概率计算公式，即可求得结果.【详解】根据题意，可得直角三角形的三边长分别为8,15,17，设其内切圆半径为r ，根据等面积法可得()118158151722r ⨯⨯=++⨯， 解得3r =，故内切圆面积为29r ππ=，三角形面积为1815602⨯⨯=，直角三角形内随机取一点，则此点取自其内切圆的概率936020P ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属基础题.12.已知抛物线2:12M x y =和椭圆2222:1x y N a b+=（0a b >>），直线l 与抛物线M 相切，其倾斜角为4π，l 过椭圆N 的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点，2AF BF =<，则椭圆N 的离心率为（ ） A.12B.22C.3 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用导数的几何意义求出l 的方程，以及点A 坐标，则可得到,a b 方程，求得,,a b c ，则离心率得解.【详解】根据题意，作图如下：因为212x y =，故可得211,126y x y x =='，根据直线斜率为tan14π=，解得切点为()6,3，故直线l 的方程为36y x -=-，整理得3y x =- 故可得椭圆的右焦点坐标为()3,0F . 过A 点作x 轴的垂直，垂足为H ，则在AHF 中，由45AF AFH =∠=︒，容易得1FH AH ==，则可得()4,1A ，又A 点在椭圆上， 故可得221611a b+=，结合222,3a b c c =+=，解得3a c ==，故离心率为c a ==故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，利用导数几何意义求切线方程，涉及抛物线方程，属综合困难题.第二部分（13-16题）13.设a b ，满足1a b ==，12a b =-，则2a b +=（ ）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中数据，直接计算()2222244a b a b a b a b +=+=++即可得出结果.【详解】因为1a b ==，12a b =-，所以()2222244142a b a b a b a b +=+=++=+-=故选B【点睛】本题主要考查向量的模的计算，熟记公式即可，属于基础题型.14.曲线xy xe =在点()1,e 处的切线与直线0ax by c垂直，则ab的值为（ ）A. 12e-B. 2e-C.2eD.12e【答案】D 【解析】 【分析】根据曲线方程和切点坐标，可求得过切点的切线方程斜率；再由垂直直线的斜率关系即可求得ab的值. 【详解】曲线xy xe =， 则xxy e xe '=+，则12x y e ='=.∵曲线在点()1,e 处的切线与直线0ax by c垂直，∴12a b e -=-， ∴12a b e=. 故选：D.【点睛】本题考查了导数的几何意义简单应用，两条直线垂直时的斜率关系应用，属于基础题.15.口袋中有形状和大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球编号之和不小于6的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.5C. 0.6D. 0.7【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用列举法可得从5个球中一次随机摸出两个球的所有情况，可得两个球的编号之和不小于6个数，即可由古典概型概率求解. 【详解】从5个球中一次随机摸出两个球的情况有：()1,2()1,3()1,4()1,5()2,3()2,4()2,5()3,4()3,5()4,5共10种，其中两个球的编号之和不小于6的有：()1,5()2,4()2,5()3,4()3,5()4,5共6种，故所求概率60.610P ==， 故选：C.【点睛】本题考查了利用列举法求古典概型概率，属于基础题.16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos b B a C c A =+，若b =）A. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理，将表达式变化为角，再由正弦和角公式可求得角B ；代入余弦定理，并结合基本不等式可求得ac 的最大值，即可确定三角形的最大面积. 【详解】由2cos cos cos b B a C c A =+，结合正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，所以()2sin cos sin sin B B A C B =+=， 而()0,sin 0B B π∈∴≠,所以1cos 2B =，， 故3B π=.又有2222231cos 222a cb ac B ac ac +-+-===，将式子化简得223a c ac +=+，于是2232ac a c ac +=+≥，当且仅当a c ==等号成立即3ac ≤，故1sin 24S ac B =≤， 故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，由基本不等式求最值，三角形面积公式的应用，属于基础题.。

高考化学复习考点知识专题提升训练专题3——阿伏加德罗常数1、（2020年全国卷II）已知N A是阿伏加德罗常数的值，下列说法错误的是A. 3g 3He含有的中子数为1N AB. 1 L 0.1 mol·L−1磷酸钠溶液含有的34PO-数目为0.1N AC. 1 mol K2Cr2O7被还原为Cr3+转移的电子数为6N AD. 48 g正丁烷和10 g异丁烷的混合物中共价键数目为13N A 【答案】B【解析】A. 3He的中子数为3-2=1，则3g3He的中子数为3g3g/mol AN⨯=NA，A项正确； B. 磷酸钠为强碱弱酸盐，磷酸根离子在水溶液中会发生水解，则1L 0.1mol/L的磷酸钠溶液中磷酸根离子的个数小于1L×0.1mol/L×NA mol-1 =0.1NA，B项错误；C. 重铬酸钾被还原为铬离子时，铬元素从+6降低到+3，1mol重铬酸钾转移的电子数为3mol×2×NA mol-1 =6NA，C项正确；D. 正丁烷与异丁烷的分子式相同，1个分子内所含共价键数目均为13个，则48g正丁烷与10g异丁烷所得的混合物中共价键数目为48g+10g 58g/mol ×13×NAmol-1 =13NA，D项正确。

2、（2020年全国卷III）设N A为阿伏加德罗常数值。

关于常温下pH=2的H3PO4溶液，下列说法正确的是A. 每升溶液中的H+数目为0.02N AB. c (H +)= c (24H PO -)+2c (24HPO -)+3c (34PO -)+ c (OH −)C. 加水稀释使电离度增大，溶液pH 减小D. 加入NaH 2PO 4固体，溶液酸性增强 【答案】B【解析】A 、常温下pH ＝2，则溶液中氢离子浓度是0.01mol/L ，因此每升溶液中H ＋数目为0.01N A ，A 错误；B 、根据电荷守恒可知选项B 正确；C 、加水稀释促进电离，电离度增大，但氢离子浓度减小，pH 增大，C 错误；D 、加入NaH 2PO 4固体，H 2PO 4－浓度增大，抑制磷酸的电离，溶液的酸性减弱，D 错误。

2020年广东省揭阳市实验中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列命题中的真命题是()．A.x∈R，使得sin x＋cos x＝B.x∈(0，＋∞)，C.x∈(－∞，0)，D.x∈(0，π)，sin x>cos x参考答案：B2. 函数的最小正周期T= （）A．2π B．π C． D．参考答案：3. 已知: , ：，则的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B4. 函数=R)的部分图像如图所示，如果，且，则 (▲ )A． B． C． D．1参考答案：B5. 的值为（）A． B． C． D．参考答案：B略6. 中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.7. 甲、乙两棉农，统计连续五年的面积产量（千克∕亩）如下表：A．棉农甲，棉农甲B．棉农甲，棉农乙C．棉农乙，棉农甲D．棉农乙，棉农乙参考答案：B【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据所给的两组数据，写出两个人的平均数，再做出两个人产量的方差，把两组数据的平均数和方差进行比较，得到结论．甲的平均数较高，乙的产量比较稳定，【解答】解：甲的平均数乙的平均数=69，甲的方差是乙的方差是比较两组数据的平均数和方差，得到甲的平均数较高，乙的产量比较稳定，故选B．8. 已知P，Q为△ABC中不同的两点，若3+2+=，3，则S△PAB：S△QAB为（）A． 1：2 B． 2：5 C． 5：2 D． 2：1参考答案：B考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由已知向量等式得到S△PAB=S△ABC，S△QAB=S△ABC，可求面积比．解答：解：由题意，S△PAB=S△ABC，S△QAB=S△ABC，所以，S△PAB：S△QAB=2：5．故选：B．点评：本题主要考查了向量的计算与运用．考查了学生综合分析问题的能力．9. 已知等差数列的前项和为，且满足，，则（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：B10. 设数列是公差为为0的等差数列，是数列的前项和，若成等比数列，则（）A．3 B．4 C．6 D．7参考答案：无略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点A（2，4）在抛物线y2=2px上，且抛物线的准线过双曲线=1（a＞0，b ＞0）的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意求出p，得到抛物线的准线方程，进一步求出双曲线的半焦距，结合离心率求得a，再由隐含条件求出b，则双曲线方程可求．【解答】解：∵点A（2，4）在抛物线y2=2px上，∴16=4p，即p=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣2．又抛物线的准线过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，则c=2，而，∴a=1，则b2=c2﹣a2=4﹣1=3．∴双曲线方程为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了双曲线方程的求法，是基础题．12. 函数的定义域是 .参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念.【试题分析】依题意可知，，即，所以函数的定义域为。

广东省揭阳市2020届高三下学期线上教学摸底测试数学试题（理）说明：本自测题共16题，分为两个部分，第一部分（1-12题），第二部分（13-16题），均为单项选择题.其中第1小题5分，其余15小题每题3分，满分50分，测试时间40分钟.第一部分（1-12题）1.已知集合A 为自然数集N ，集合{}2|3,B x x x N =>∈，则（ ） A. {1}A B ⋂= B. {}0,1A B ⋃= C. A B B ⋃= D. A B A ⋃=『答案』D『解析』因为{}2|3,B x x x N =>∈{}2,3,4,=，故可得,A B B A B A ⋂=⋃=. 故选：D.2.已知复数z 满足(1)(1)32i z i -+=+，则z =（ ） A.52i- B.52i+ C.152i-- D.152i-+ 『答案』C『解析』因为(1)(1)32i z i -+=+，故可得()()()()32132151111122i i iz i i i i +++=-=-=-+--+. 故可得z =1522i --. 故选：C.3.已知平面向量()a 1,2=, ()b 2,m =-, 且a //b , 则b = ( )A.B.C. D. 『答案』D『解析』由题意，向量//a b ，则122m=-，解得4m =-，即(2,4)b =--，所以2(2)b =-=D ．4.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a =A. 3-B. 5-C. 3D. 5『答案』C『解析』等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S ==()232a a +，920S ==59a ,5235205,2592a a a a d =+==-,联立两式得到7,18d =75+2 3.a a d == 故答案为C.5.已知正数a 、b满足23a b +=ab 的最大值为（ ）A.19B.14 C.13D.12『答案』B『解析』因为正数a 、b满足23a b +=故可得()()()2111123236644ab a b a b =⨯⨯≤⨯+=，当且仅当23,23a b a b =+=a b ==时取得最大值. 故选：B.6.已知函数12()log f x =(1)x x+，则下列判断：①()f x 的定义域为(0,)+∞； ②()f x 值域为[)1,-+∞；③()f x 是奇函数；④()f x 在（0,1）上单调递增.其中正确的是（ ） A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④『答案』C『解析』因为12()log f x =(1)x x+，则其定义域为10x x+>且0x ≠，解得0x >，故①正确； 因为12x x+≥，故()1f x ≤-，则②错误； 因为其定义域不关于原点对称，故不是奇函数，则③错误；的当()0,1x ∈，1y x x=+单调递减，又12log y x =也单调递减， 故()f x 单调递增，故④正确. 故选：C.7.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos +cos b B a C c A =，则B 的大小为（ ） A.2πB.3π C.4π D.6π 『答案』B『解析』因为2cos cos +cos b B a C c A =，即2bcosB b =， 解得12cosB =，又因为()0,B π∈，故可得3B π=. 故选：B.8.要得到2()2cos g x x =()x R ∈的图象，只需把2()(sin cos )f x x x =+()x R ∈的图象（ ） A. 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移2π个单位 D. 向右平移2π个单位 『答案』A『解析』因为2()(sin cos )f x x x =+21sin x =+；()22cos 21sin 212g x x cos x x π⎛⎫==+=++ ⎪⎝⎭，故只需将()f x 向左平移4π个单位即可得到()g x . 故选：A.9.我国古代数学名著《九章算术》有“勾股容圆” 曰：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何”. “勾股容圆”相当于给出了一个直角三角形的两条直角边长（勾8股15），求其内切圆直径的问题.若在“勾股容圆”问题中，从直角三角形内随机取一点，则此点取自其内切圆的概率是（ ）A.10πB.320π C.5π D.4π 『答案』B『解析』根据题意，可得直角三角形的三边长分别为8,15,17，设其内切圆半径为r ，根据等面积法可得()118158151722r ⨯⨯=++⨯， 解得3r =，故内切圆面积为29r ππ=，三角形面积为1815602⨯⨯=，直角三角形内随机取一点，则此点取自其内切圆的概率936020P ππ==. 故选：B. 10.已知(,)42x ππ∈，sin a x =，cos b x =，则（ ） A. a b a a > B. a a a b <C. log 1a b <D. b a a b >『答案』D 『解析』因为(,)42x ππ∈，故可得10a b >>> 根据指数函数xy a =是减函数，故可得a b a a <；根据幂函数ay x =是增函数，故可得a a a b >；根据log a y x =是单调减函数，且()0,1b ∈，故可得log log 1a a b a >=； 由上述判断可知，b a a a a b >>，则b a a b >. 故选：D.11.已知抛物线2:12M x y =和椭圆2222:1x y N a b+=（0a b >>），直线l 与抛物线M 相切，其倾斜角为4π，l 过椭圆N 的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点，AF BF =<，则椭圆N 的离心率为（ ）A.12B.C.D.『答案』B『解析』根据题意，作图如下：因为212x y =，故可得211,126y x y x =='， 根据直线斜率为tan14π=，解得切点为()6,3，故直线l 的方程为36y x -=-，整理得3y x =- 故可得椭圆右焦点坐标为()3,0F . 过A 点作x 轴垂直，垂足为H ，则在AHF ∆中，由45AF AFH =∠=︒，容易得1FH AH ==，则可得()4,1A ，又A 点在椭圆上， 故可得221611a b+=，结合222,3a b c c =+=，解得3a c ==，故离心率为2c a ==. 故选：B.12.已知△ABC 中，∠B =90º，DC ⊥平面ABC ，AB =4，BC =5，CD =3，则三棱锥D ABC -的外接球表面积为（ ） A.503πB. 25πC. 50πD.『答案』C『解析』根据题意，在长方体中截取满足题意的几何体，如下所示：的如图所示，该长方体长宽高分别为4,5,3，且棱锥的几何特点均满足题意要求， 故三棱锥D ABC -与长方体有相同外接球.故可得外接球半径2r ==.则其表面积2450S r ππ==. 故选：C.第二部分（13-16题）13.已知偶函数()f x 满足2()2x f x x -=+(0)x ≤，则()f x 在(0,)+∞上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先递增后递减 D. 先递减后递增 『答案』A『解析』当0x ≤时，2,2xy x y -==都是单调减函数，故可得()f x 也是单调减函数；又因为()f x 是偶函数，故可得()f x 在区间()0,+∞上单调递增. 故选：A.14.已知数列{}n a 满足22log log 3n a n =+，则24620a a a a ++++值为（ ）A. 113(24)⨯- B. 123(24)⨯-C. 11445-D. 1144-『答案』D 『解析』因22log log 3n a n =+，故可得2log 3232n n n a +==⨯，故可得{}2n a 是首项为12，公比为4的等比数列， 则24620a a a a ++++为数列{}2n a 的前10项和，则()1010121414S -==-1144-.故选：D.15.抛出4粒骰子（每粒骰子的六个面分别有1~6共六个不同的点数），恰有3粒向上的点数不小于5的概率为（ ）A.281B.481C.881D.427『答案』C『解析』抛掷一粒骰子点数不小于5的概率为2163=， 故可得抛掷4粒骰子，恰有3粒点数不小于5的概率为3341283381C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.16.在三角形OAB 中，M 、N 分别是边OA 、OB 的中点，点R 在线段MN 上（不含端点），且OR xOA yOB =+，则代数式ln x ey +的最大值为（ ） A. 22e-B. 21e-C.12e - D.22e - 『答案』D『解析』根据题意，作图如下：设MR MN λ=，()0,1λ∈，故可得1122222OR OA AB OA OB λλλ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭， 故可得122x λ=-，2y λ=，则12x y +=，且1,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12y x =-， 构造函数()1122h x lnx e x lnx ex e ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，则()1ex h x x ='-，令()0h x '=，解得1x e=， 故()h x 在区间10,?e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在区间11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 故可得()122maxeh x h e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：D.。

6 23 正视图俯视图左视图图1揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数()1lg(63)f x x x =+-的定义域为（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞ （C ）[1,2)- （D ）[1,2]- （2）已知复数iia z 213++=(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则||z 为 （A ）32（B ）152（C ）6（D ）3（3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知1sin cos 3αα-=，则cos(2)2πα-= （A ）89- （B ）23 （C ）89（D 17 （5）已知01a b c <<<<，则（A ）b aa a >（B ）a bc c >（C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1 所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（A ）14 （B ）212π+（C ）π+12（D ）π238+ （7）设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用j 表示），则判断框中应填入的条件是 （A ）?58<i （B ）?58≤i （C ）?59<j（D ）?59≤j（8）某微信群中四人同时抢3 则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为 （A ）14 （B ）34 （C ）53 （D ）21 （9）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若 y x z 2-=的最小值为-3，则a 的值为（A ）1（B ）23 （C ）2 （D ）37（10）函数x x x f )21()(2-=的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（11）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（A ）64 （B ）128 （C ）192 （D ）384 （12）已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内有零点，则ω的取值范围是（A ）155(,)(,)484+∞U （B ）)1,85[]41,0(Y （C ）1155(,(,)8484U （D ）115(,)(,)848+∞U第Ⅱ卷O P QQD E F COBAP 图4图3F E DBCA本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题:第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题:第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=-r r 满足||||a b a b ⋅=-⋅r r u u r r，则 x = .（14）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 .（15）在△ABC 中，已知AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°，||2AC =u u u r ，则||AB uuu r 的取值范围是 .（16）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的离心率为2，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，A 为左顶点、B (0,)b ，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，1)1(21+++=+n na n a nn ． （I ）求证：数列}1{+nan 是等比数列；（II ）求数列}{n a 的前n 项和为n S ． (18)（本小题满分12分）已知图3中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //，CD EF //，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，OQ 与EF的交点为P ，OP =1，PQ =2，现将梯形ABCD 沿EF 折起，使得3=OQ ，连结AD 、BC ，得一几何体如图4示．(Ⅰ)证明：平面ABCD ⊥平面ABFE ；(Ⅱ)若图3中，45A ∠=o ，CD=2，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值． （19）（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智 力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n *)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5 是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估 计概率．(Ⅰ)估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； (Ⅱ)估计小明在3 次游戏中至少过两关的平均次数； (Ⅲ)估计小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率．（20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，设线段AB 的中点为),(00y x C ，求0x 的取值范围．(21)（本小题满分12分）设函数2)()(a x x f -=（a R ∈），x x g ln )(=，(Ⅰ) 试求曲线)()()(x g x f x F +=在点))1(,1(F 处的切线l 与曲线)(x F 的公共点个数； (Ⅱ) 若函数)()()(x g x f x G ⋅=有两个极值点，求实数a 的取值范围． （附：当0<a ，x 趋近于0时，xax -ln 2趋向于∞+） 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==ty t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（6）易得该几何体为一底面半径为2、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： 21()24311222ππ⨯⨯+⨯⨯=+.（8）3个红包分配给四人共有34A 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为2213223432214322C A A A ⋅⨯⨯==⨯⨯． （9）如右图，当直线y x z 2-=过点(2,)A a a -时，z 取得最小值，即2231a a a --=-⇒=.（10）由(0)1f =-可排除（D ），由044)2(=-=-f ，01616)4(=-=-f ，可排（A ）（C ），故选（B ）. （11）以投影面为底面，6=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=．(12) 1cos sin 1())2224x x f x x ωωπω-=+-=-，由(41)()0()4k f x x k Z πω+=⇒=∈令2ω=得函数)(x f 有一零点98x π=(,2)ππ∈，排除（B ）、（C ），令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：12210,,33x x ππ==L ，显然1x ∉)2,(ππ，2x ∉)2,(ππ可排除（A ），故答案为（D ） 【法二：)4sin(22)(πω-=x x f ，由0)(=x f 得ππωk x =-4，当)2,(ππ∈x 时，)42,4(4πωππωππω--∈-x ，由题意知存在Z k ∈，)42,4(πωππωππ--∈k ，即)412,41(--∈ωωk ，所以41)41(21+<<+k k ω，由0>ω知0≥k ，当Λ,2,1,0=k 时，4181<<ω，4585<<ω，4989<<ω，…，所以选D ．】 二、填空题：(15) 由AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°知30B ∠=o ,由正弦定理得： ||||4sin sin 30ABAC C ==ou u u r u u u r||4sin AB C ⇒=u u u r ,又0150C <<o得0||4AB <≤u u u r . （16）易得1c b ==，设(,)P x y 则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-u u u r u u u u r 225x y =+-，显然，当OP AB ⊥时，22x y +取得最小值， 由面积法易得22min4()5x y +=，故12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最小值为421555-=-. 三、解答题：（17）解：（I ）证法1：由已知得1211+⋅=++nan a n n ，-----------------------------1分 ∴)1(2111+=+++nan a n n ，--------------------------------------------------------3分 又211=+a ，得01≠+n a n ，∴21111=++++na n a nn ，---------------------------------------5分 ∴数列}1{+nan 是首项为2，公比为2的等比数列．-----------------------6分【证法2：由1)1(21+++=+n na n a nn 得12(1)(1)n n na n a n n +=+++，----------------1分 由01>a 及递推关系，可知0>n a ，所以01≠+na n， ∴111(1)2(1)2(1)12(1)(1)(1)(1)1n n n n n n a na n n n a n n n a n a n n n a n n n+++++++++===+++++++，------------------5分∴数列}1{+nan 是首项为2，公比为2的等比数列．----------------------------------6分】（II ）由（I ）得n n nna 22211=⋅=+-，∴n n a n n -⋅=2，---------------------------8分 23122232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ])1(321[n n +-++++-Λ，设23122232(1)22n nn T n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ，-------------①Q D EF COBAP则2341222232(1)22n n n T n n +=+⨯+⨯++-+⋅L ，---------② ①式减去②式得23122222n n n T n +-=++++-⋅L12(12)212n n n +-=-⋅-22)1(1---=+n n ，得22)1(1+-=+n n n T ，------------------------------------------------------------------10分又(1)123(1)2n n n n +++++-+=L ， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=--+．-----------------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)证明：在图3中，四边形ABCD 为等腰梯形，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，∴OQ 为等腰梯形ABCD 的对称轴，又AB//CD EF //，∴OP ⊥EF 、PQ ⊥EF ，①---------------------2分 在图4中，∵222PQ OP OQ =+，∴OP OQ ⊥--------------3分 由①及P PQ OP =I ，得EF ⊥平面OPQ ，∴EF ⊥OQ ，----------------4分 又OP EF P =I ，∴OQ ⊥平面ABFE ，----------------------------------5分又⊂OQ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABFE ；-------------------------------------6分 (Ⅱ)在图4中，由45A ∠=o ，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分以O 为原点，PO 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系xyz O -，如图所示， 则)0,4,0(B 、)0,3,1(-F、C得)0,1,1(--=BF，(0,BC =-u u u r-------8分 设(,,)m x y z =r是平面BCF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥m BF m ρρ，得030m BF x y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u rr ， 取z =3，得(m =u r ---------9分同理可得平面ADE的一个法向量(n =r-------------------------------------10分 设所求锐二面角的平面角为θ，则|||||||,cos |cos n m n m n m ρρρρρρ⋅⋅=><=θ35= 所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为35．-------------------------------12分 （19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ的分布列为-------------------2分ξ的期望值41.0161.082.043.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；----------------4分(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，-----------------------------5分 设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X ，可知)7.0,3(~B X ，则X 的平均次数1.27.03)(=⨯=X E ；------------------------------------------7分(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次16=ξ和两次8=ξ，恰好二次16=ξ，恰好三次16=ξ，---------------------------------------------------------------8分213)8()16(=⋅=ξξP P C 003.01.01.032=⨯⨯=，---------------------------------9分)16()16(223≠⋅=ξξP P C =027.0)1.01(1.032=-⨯⨯，------------------------10分333)16(=ξP C 001.01.03==------------------------------------------------------------11分所以小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为031.0001.0027.0003.0=++．------12分 （20）解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，----------------1分 得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由25||2=QF 得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-------4分 由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-----------------------------------------------------6分 （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则89922210+-=+=k x x x <0， 由91122>=mk ，得10->x ，∴0x 的取值范围是)0,1(-．--------------12分（21）解：（Ⅰ）∵2)1()1(a F -=，xa x x F 1)(2)('+-=，切线l 的斜率为a F 23)1('-=，---------------------------------------------1分∴切线l 的方程为)1)(23()1(2--=--x a a y ，即2)23(2-+-=a x a y ，-----2分联立x a x x F y ln )()(2+-==，得02ln 32=++-x x x ； 设2ln 3)(2++-=x x x x h ，则x x x h 132)('+-=xx x )1)(12(--=，----------3分 由0)('>x h 及0>x ，得210<<x 或1>x ， ∴)(x h 在)21,0(和),1(∞+上单调递增，可知)(x h 在)1,21(上单调递减，----4分 又0)1(=h ，031)1(242<-=ee e h ，所以∈∃0x )21,0(，0)(0=x h ，-----------5分∴方程02ln 32=++-x x x 有两个根：1和0x ，从而切线l 与曲线)(x F 有两个公共点．--6分 (Ⅱ)由题意知0)1ln 2)(()('=-+-=xax a x x G 在),0(∞+至少有两不同根，----------------7分 设xa x x r -+=1ln 2)(， ①当0>a 时，a x =1是0)('=x G 的根，由1ln 2+=x y 与x a y =（0>a ）恰有一个公共点，可知01ln 2=-+xax 恰有一根2x ， 由a x x ==12得a =1，不合题意，∴当0>a 且1≠a 时，检验可知a x =1和2x 是)(x G 的两个极值点；-----------------8分 ②当0=a 时，0)1ln 2()('=+=x x x G 在),0(∞+仅一根，所以0=a 不合题意；--9分③当0<a 时，需01ln 2)(=-+=xax x r 在),0(∞+至少有两不同根， 由02)('2>+=x a x x r ，得2a x ->，所以)(x r 在),2(∞+-a上单调递增，可知)(x r 在)2,0(a-上单调递减，因为0<a ，x 趋近于0时，)(x r 趋向于∞+，且1>x 时，0)(>x r ，由题意知，需0)(min <x r ，即03)2ln(2)2(<+-=-aa r ，解得232-->e a ，------11分∴0223<<--a e．综上知，32(2,0)(0,1)(1,)a e -∈-+∞U U ．---------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈---------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分 其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分 ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆|cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】 （23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分（Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分 故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分 【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．------------------------------------10分】。