最新鲁教版五四制九年级数学上册《二次函数》教学设计-评奖教案

鲁教版数学九年级上册3.4《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》教学设计一. 教材分析《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》是鲁教版数学九年级上册3.4节的内容。

这部分内容主要让学生了解二次函数的图象和性质，掌握二次函数的一般形式，学会通过观察图象来分析二次函数的特点和规律。

教材通过具体的例子引导学生探究二次函数的图象和性质，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的一般形式，对一次函数和二次函数的图象和性质有一定的了解。

但学生对二次函数的图象和性质的理解还停留在表面，缺乏深入的理解和运用。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过具体的例子和实际操作，引导学生深入理解二次函数的图象和性质，提高学生的数学思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数y=a2+b+c的图象和性质，能够通过观察图象来分析二次函数的特点和规律。

2.过程与方法：通过探究二次函数的图象和性质，培养学生观察、分析、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数y=a2+b+c的图象和性质的掌握。

2.难点：如何引导学生深入理解二次函数的图象和性质，提高学生的数学思维能力。

五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的例子和实际操作，引导学生观察和分析二次函数的图象和性质。

2.问题驱动法：通过提问和讨论，激发学生的思考，引导学生深入理解二次函数的图象和性质。

3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

六. 教学准备1.教师准备：备好相关的教学材料和例子，制作好PPT，准备好黑板和粉笔。

2.学生准备：学生提前预习本节课的内容，准备好相关的学习材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的例子，如y=x2，引导学生观察其图象，让学生回顾一下二次函数的一般形式。

二次函数与一元二次方程
一、教学目标：
1、方法与过程：体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；
2、知识与技能：理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
3、情感与态度：培养观察、分析、总结的能力，培养学生热爱数学、主动探究的能力
二、教学重点：把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．
三、教学难点：应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．
四、教具准备：多媒体课件。

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一、教学目标：1、方法与技能：会用描点法画出二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象；2、知识与技能：能结合图象确定抛物线y=ax2+k与y=a(x-h)2的对称轴与顶点坐标3、情感与态度：通过比较抛物线y=ax2+k与y=a(x-h)2同y=ax2的相互关系，培养观察、分析、总结的能力培养学生热爱数学、主动探究的能力二、教学重点：画出形如y=ax2+k 与形如y=a(x-h)2的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.三、教学难点：理解函数y=ax2+k、 y=a(x-h)2与y=ax2及其图象间的相互关系四、教具准备：多媒体课件五、教学流程教师活动学生活动设计说明一、复习引入1．什么是二次函数？2．我们已研究过了什么样的二次函数？3．形如y=ax2的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？学生思考后回答复习引入为下面的知识准备二、议一议函数y=2x2+1的图象是什么形状? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?它与y=2x2的图象有什么相同和不同?你知道函数y=3x2-1的大致图象和位置吗?二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2的图象当c > 0 时向上平移c个单位得到.当c < 0 时向下平移-c个单位得到. 学生先想象然后作图验证根据演示思考区别探讨图象一般性质并作出对比本节小结本节课学习了二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象的画法，主要内容如下表一：抛物线开口方向对称轴顶点坐标表二：抛物线开口方向对称轴顶点坐标学生填表回答总结回顾思考。

二次函数教学目标1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.教学重点1.经历探索二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.教学难点经历探索二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.教学方法探索—总结—运用法.课程资源与利用教学课件.教学内容及过程设计意图一、问题思考1.某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a(m)，则每个正方体需要涂漆的表面积S(m2)如何表示？2.2008年7月，我国发行奥运纪念版人民币受到广大收藏者的喜爱，原面值10元.经过两次增长(增长率相同)，若设增长率为x，奥运纪念版人民币面值为y元，则y与x的关系式如何表示？二、知识回顾函数的定义及函数的分类.三、探究新知1.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.2.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).3. (1)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75 cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？(2)两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？四、思考归纳1.二次函数的定义.2.二次函数的判断.五、新知运用1.下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3(x-1)2+1；(2)；(3)s=3-2t2；(4)；(5)y=(x+3)2-x2；(6)v=10πr22.下列函数中不是二次函数的是( )A.y=3x2+4；B.y=-x2；C.y=-x2+x3-5；D.y=(x+3)(x-2).3.函数y=(m-n)x2+mx+n是关于x的二次函数的条件是( )A.m、n为常数，且m≠0B.m、n为常数，且m≠nC.m、n为常数，且n≠0D.m、n可以为任何常数4.已知函数y=ax2+bx+c(其中a，b，c是常数)，____是二次函数；____时，是一次函数；____时，是正比例函数.5.函数y=(m+2)xm2-2+2x-1是关于x的二次函数，则m=____.6.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？7.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件.现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件.若他将每件商品售出价提高为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式.六、总结回顾1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.3.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型.4.二次函数是某些单变量最优化问题的数学模型.对二次函数的研究为进一步学习函数，体会函数思想奠定基础，积累经验.七、布置作业体会函数的生活化，激发学生的学习兴趣.课后，结合组内老师的评课，我自己也进行了认真反思：成功之处：1.对二次函数的学习，本节课通过丰富的现实背景，通过学生感兴趣的问题，使学生感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值.对二次函数的学习，通过学生的探究性活动(经历数学化的过程)，通过学生之间的合作与交流，通过分析实际问题，如探究橙子的数量与橙子树之间的关系、及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，使学生感受二次函数与生活的密切联系.2.设计大量的可以表示为二次函数、利用所学的二次函数知识可以解决的实际问题，发展学生的数学应用能力；利用“想一想”，提出进一步的最大产量的问题；用统计的方法得到关于最大产量的一种猜想，问题的最后让学生初步感受二次函数能解决最优化的实际问题.在“做一做”的活动中，把两年后的本息和y与年利率x的关系表示为二次函数；在以上两例的基础上，给出二次函数的定义，并举出以前所见到的一些二次函数关系式，为新知的理解做好了铺垫.3.在新知的巩固应用环节，我精心设计了不同题型的问题，很好巩固应用了本节的新知，课堂达到了较好的教学效果.4.本节课我注重训练学生书写的规范性，让学生养成良好的答题规范习惯.不足之处：1.在分组教学时，对用统计的方法得到关于最大产量的一种猜想，课堂上有一部分学生没有充分参加计算，此处给学生的时间少一些.2.在“做一做”的活动中，把两年后的本息和y与年利率x的关系表示为二次函数的过程中，没有让学生有更多的交流和互相评价，有些学生对列函数关系式不是完全理解.总之，通过本节课，让我真正意识到：对于每节课的教学不能仅仅凭经验设计.在每节课的课前，一定要进行精心的预设.在课堂中，同时要结合课堂的实际效果和学生的情况注意灵活处理课堂生成.课堂上在进行分组教学时，提前预设好教学时间，在每节课上，既要放的开，同时又要注意在适当的时机收回，以保证每节教学基本任务完成.。

《二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》教案教学目标(一)教学知识点1.能够作出函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能理解它们与y=ax2的图象的关系.2.能够正确说出y=a(x-h)2图象的开口方向､对称轴和顶点坐标.(二)能力训练要求1.通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.2.经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.(三)情感与价值观要求1.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地､清晰地阐述自己的观点.2.让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.教学重点能够作出y=a(x—h)2的图象，并能理解它们与y=ax2的图象的关系.教学难点能够作出y=a(x-h)2的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系.教学过程Ⅰ.创设问题情境､引入新课我们已学习过二次函数，即y=ax2，知道它是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值.顶点都是原点.Ⅱ.新课讲解比较函数y=2x2与y=2(x-1)2的图象的性质.(1)完成下表，并比较2x2和2(x-1)2的值，它们之间有什么关系？(2)(3)函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？(4)x取哪些值时，函数y=2(x-1)2的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，函数y=2(x-1)2的值随x值的增大而减小？请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结.(1)第二行从左到右依次填:18，8，2，0，2，8，18，32；第三行从左到右依次填32，18，8，2，0，2，8，18.(2)用描点法作出y=2(x-1)2的图象.(3)二次函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，y=2(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，0).(4)当x>1时，函数y=2(x-1)2的值随x值的增大而增大，x<1时，y=2(x-1)2的值随x值的增大而减小.能否用移动的观点说明函数y=2x2与y=2(x-1)2的图象之间的关系呢？y=2(x-1)2的图象可以看成是函数y=2x2的图象整体向右平移得到的.能像上节课那样比较它们图象的性质吗？相同点:a.图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同.b.都是轴对称图形.c.都有最小值，最小值都为0.d.在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随x的增大而增大.不同点:a.对称轴不同.y=2x2的对称轴是y轴.y=2(x-1)2的对称轴是x=1.b.它们的位置不同.c.它们的顶点坐标不同.y=2x2的顶点坐标为(0，0)，y=2(x-1)2的顶点坐标为(1，0).联系:把函数y=2x2的图象向右移动一个单位，则得到函数y=2(x-1)2的图像.大家还记得y=2x2与y=2x2-1的图象之间的关系吗？将函数y=2x2的图象向下移动1个单位，就得到了函数y=2x2-1的图象；向上移动1个单位，就得到函数y=2x2+1的图象；将y=3x2的图象向右平移动1个单位，就得到函数y=2(x-1)2的图象；向左移动1个单位，就得到函数y=2(x+1)2的图象；下面我们就一般形式来进行总结.一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数为y=ax2+c，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的图象.(1)将y=ax2的图象上下移动便可得到函数y=ax2+c的图象，当c>0时，向上移动，当c<0时，向下移动.(2)将函数y=ax2的图象左右移动便可得到函数y=a(x-h)2的图象，当h>0时，向右移动，当h<0时，向左移动.议一议(1)二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？(2)对于二次函数y=2(x+1)2，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？Ⅲ.课堂练习随堂练习Ⅳ.课时小结本节课进一步探究了函数y=2x2与y=2(x-1)2的图象有什么关系，对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题.并作了归纳总结，还能利用这个结果对其他的函数图象进行讨论.。

3.2二次函数【教学目标】1.掌握二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.2.经历二次函数概念的自我建构过程及用二次函数表示变量之间关系的过程，学会与人合作并获得数学学习的一些方法.3.通过丰富的数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会二次函数的模型思想.【教学的重点和难点】重点：二次函数的概念.难点：识别二次函数，表示简单变量之间二次函数关系.【学前准备】函数的概念.设计意图：学生复习，回顾全等三角形的有关知识，起到温故而知新的目的。

【教学过程】（一）探究新知——走进数学之基1、圆的半径为x，圆的面积y可以表示为.2.有x个同学聚会，相互握手为1次，握手的次数y怎样用x表示呢?3、某工厂一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量。

如果每年比上一年产量的增长率都为x ，那么两年后这种产品的产量为y 万件，请表示y 与x 的关系.设计意图:三个有梯度的题目，提起学生的学习兴趣.思考：上述三个问题中的所列函数解析式具有哪些共同的特征?设计意图:通过学生归纳、总结二次函数的概念.二次函数定义：形如y=ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，a 叫做二次函数的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项．(二)学以致用——感悟数学之魂1.辨析下列函数中,哪些是二次函数?2.请举出符合以下条件的y 关于x 的二次函数的例子：()3222228)6(23)5()1()4()1()3(1)2(11-x 3)1(r v t s xx y x x y x x y y π=-=--=-=-=+=（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任意值.（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.设计意图:加深对二次函数的项及系数的理解.3.例题：关于x 的函数 m m x m y -+=2)1( 是二次函数, 求m 的值. （教师引导，学生独立完成）设计意图:字母系数的二次函数是难点，突破难点.a 取何值时，函数是 y=(a-2)x |a| +(a-3)x+a 是二次函数？（三）拓展延伸——开启数学之妙关于x 的函数1.m 取什么值时，此函数是正比例函数？2.m 取什么值时，此函数是反比例函数？3.m 取什么值时，此函数是二次函数？设计意图:对初中所学的三类函数进行回顾与整理。

鲁教版数学九年级上册3.6《二次函数的应用》教学设计一. 教材分析《二次函数的应用》是鲁教版数学九年级上册3.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的。

教材通过实例引入二次函数的应用，让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。

教材内容主要包括两个方面：一是二次函数在几何中的应用，二是二次函数在实际生活中的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，对于二次函数在实际生活中的应用，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要通过实例让学生了解二次函数在实际生活中的应用，并培养学生的数学应用意识。

三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数在几何中的应用，掌握二次函数在实际生活中的应用。

2.过程与方法：通过实例分析，培养学生的数学应用意识，提高学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在几何中的应用，二次函数在实际生活中的应用。

2.难点：二次函数在实际生活中的应用，如何将实际问题转化为二次函数问题。

五. 教学方法采用实例教学法，通过具体的实例让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。

同时，采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的应用，提高学生解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.教师准备：准备好相关的实例，制作好PPT。

2.学生准备：预习相关内容，准备好笔记本。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，让学生了解二次函数在几何中的应用。

例如，抛物线的定义及性质，让学生初步感受二次函数的应用。

2.呈现（15分钟）呈现一个实际问题，让学生尝试用二次函数来解决。

例如，一个农场想要建一个最大的矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，另外两边的长度分别为6米和4米，问如何建鸡舍才能使鸡舍的面积最大？3.操练（15分钟）学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题，并求解。

二次函数y=a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计留格初中一．教材分析（一）教材所处的地位和作用本节课研究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，是在学完函数y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a(x －h)2的图象基础上进行的，它既是前面知识的延伸与综合，又是学好y＝ax2＋bx＋c的图象的关键，起着承上启下的作用，同时也为高中进一步学习函数知识奠定基础．另外，本节课也是培养学生观察、实验、分析、比较、归纳能力的重要素材，对培养学生探索精神和创新意识都有重要意义．（二）教学目标：1.知识与技能目标：使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

2．过程与方法目标：让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质；3.情感态度与价值观：通过比较抛物线y=a(x－h)2＋k同y=ax2的相互关系，培养观察、分析、总结的能力培养学生热爱数学、主动探究的能力教学重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。

教学难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质二、学情分析学生对函数y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2的图象和性质及它们之间的位置关系掌握较好,学生对用数形结合思想研究二次函数的图象和性质及抛物线平移规律有一定基础．初三学生好动手、好动脑，有积极探究的热情．三、教法、学法分析1. 本着“为了每一位学生的发展”的教育理念，我采取了启发式、发现教学法、直观教学法，小组活动互相辅助的教学方法，把教学的重心放在如何促进学生的“学”上，引导学生通过观察、实验、自主探索、小组活动、集体交流等多样化的学习方式，进一步领悟运动变化、数形结合思想，充分体验探索的快乐与数学的美感，实现学生的主体地位，促使学生发现学习和探索式学习的日益成熟，老师要做好学生的激发者、合作者，为学生的发展创造一个和谐、开放的思考、讨论、探索的气氛，创造一个“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂教学境界．2. 利用多媒体辅助教学，用明亮的色彩，动态的画面，激发学习兴趣，让学生带着热情、经验、灵感、思考、兴致参与课堂教学活动，从而使课堂教学充满智慧、生气．3，本着“学会学习，为终身学习做准备”的教育理念，本节课引导学生在通过观察、实验、对比、分析、概括的过程中，体验“结合情景，自主参与，合作交流”的探索式学习方法．这样做，能增加学生参与的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，真正实现“学生的主体地位”，同时，也使学生由“学会”向“会学”转化，最终达到“乐学”的目的．四、教学过程环节一：学生预习,教师导学：1.填写下表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=-0.5x2得到y=-0.5x2+1y=-0.5x2-1二次函数y=ax²+k对称轴为顶点坐标为抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=-0.5x2得到y=-0.5x2+1y=-0.5x2-1二次函数y=a(x-h)²对称轴为________,顶点坐标_____ .【设计意图】：目的是为了复习引入为下面的知识做准备环节二：学生合作，教师参与：1、在同一坐标系内,画出函数的图象的图象。

《二次函数》教案教学目标1.使学生理解并掌握二次函数的概念.2.能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式.3.能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式，体会函数的模型思想.教学重点1.经历探索二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.教学难点经历探索二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.教学过程一、复习引入（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？函数定义－在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.本节课我们将开始教学二次函数.二、新课1、由实际问题探索二次函数问题1某水产养殖户用长40米的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，它的长应是多少米？要想解决上面的问题就需研究围成的矩形水面面积与其长之间的关系.设围成的矩形水面长是x米，那么，它的宽应为(20-x)米，它的面积是S平方米，则S=x(20-x)问题2一种商品售价为每件10元，一周可卖出50件，市场调查表明：这种商品每件涨价1元，每周少卖5件，每降价1元，每周可多卖5件，已知该商品进价每件8元，问每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最大？设每件商品涨价x元，每周获得的利润为y元，那么y关于x的函数关系式应是怎样的呢？涨价后每件商品的利润为(10+x-8)元，一周可卖出(50-5x)件，则有y=(10+x-8)(50-5x)问题1中的函数关系式为S=x(20-x)=-x2+20x问题2中的函数关系式为y =(10+x -8)(50-5x )=-5x 2+40x +100这两个问题中，函数关系式是用自变量的二次式表示的.2、做一做1.正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x ，表面积为y ，那么y 与x 的关系可表示为？y =6·x ·22.n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系？21322d n n =- 3、二次函数的定义一般地，形如y ＝ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数.注意：定义中只要求二次项系数a 不为零(必须存在二次项)，一次项系数b 、常数项c 可以为零.最简单形式的二次函数:y ＝a ·x 2例如，y ＝-5x 2+100x +60000和y ＝100x 2+200x +100都是二次函数．我们以前学过的正方形面积s 与边长a 的关系s =a 2，圆面积s 与半径r 的关系(20-x )s =πr 2等也都是二次函数的例子．三、随堂练习1、函数y =(m ＋2)·x ^2＋2x －1是二次函数，则m =________．2、下列函数中是二次函数的有( )①y =x ＋1；②y =3[(x -1)]2＋2；③y =(x +3)2－x 2；④y =x 3＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．引伸：1．已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式． 2．已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．3.已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式．(四)小结1.二次函数的一般形式：y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数且a ≠0)2.用尝试求值的方法探索函数的最大值.。

鲁教版九年级上册《3.2 二次函数》教学设计一、教材分析：本节课的内容是鲁教版九年级上册第三章第二节《二次函数》，这是一节概念课，根据概念教学的规律和学生认知特点，关注二次函数概念形成的过程。

二次函数是初中数学学习中的重要内容之一,它是在学习了正比例函数、一次函数、反比例函数后的学习内容。

二次函数是初中阶段研究的最后一个函数，也是中学阶段整个函数知识体系中最重要的，在历年来中考题中占较大比例，而且也为高中继续学习函数打下基础。

本节内容的教学安排符合学生的认知需求和整个函数体系的自然发展，对培养学生的数学思维，学生的终身发展需求有着重要的作用。

而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后面学习二次函数的图象、性质及二次函数与一元二次方程的关系的做铺垫。

所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。

让学生在经历实际问题情境的探究，体验二次函数产生的过程中，体会它是实际生活的产物，并逐步让学生体会怎样建立实际问题的函数模型，培养他们用函数思想分析、解决问题的意识和能力。

二、学情分析：九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。

前面已经掌握正比例函数、一次函数、反比例函数，初步具备了用函数解题的思考方法及表达能力，具有了初步的函数思想和数形结合思想的意识，为自然过渡奠定了基础。

但是由于概念较为抽象，学生用函数刻画某些实际问题中变量之间的关系的能力还有待提高。

这节课学习无论是对概念的引入、概念的形成、概念的辨析和应用巩固，我都设计让学生自己通过观察、思考、归纳和概括后得出结论，使学生完全参与到整个教学过程．通过自主探索，让学生发现规律，建立概念，从而真正理解概念的实质和内涵。

由于本班学生的基础原因他们对知识遗忘现象比较严重，在用函数刻画某些实际问题中变量之间的关系的能力可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明了，深入浅出的剖析。

明了，深入浅出的剖析。

三、教学目标◆知识与技能：（1）理解二次函数的意义，掌握二次函数的一般形式。

《二次函数的应用》教案教学目标(一)教学知识点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．(二)能力训练要求1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．(三)情感与价值观要求1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．教学难点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题．教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求函数的最大值，实际上就是用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题．Ⅱ．新课讲解一、例题讲解如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1)设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的长度如何表示？(2)设长方形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？[师]分析：(1)要求AD 边的长度，即求BC 边的长度，而BC 是△EBC 中的一边，因此可以用三角形相似求出BC ．由△EBC ∽△EAF ，得AF BC EA EB =即304040BC x =-．所以AD ＝B C ＝43(40－x )． (2)要求面积y 的最大值，即求函数y ＝AB ·AD ＝x ·43(40－x )的最大值，就转化为数学问题了．下面请大家讨论写出步骤．[生](1)∵BC ∥AD ，∴△EBC ∽△EAF ．∴AFBC EA EB =． 又AB ＝x ，BE ＝40－x ， ∴304040BC x =-．∴BC ＝43(40－x )． ∴AD ＝BC ＝43(40－x )＝30－43x ． (2)y ＝AB ·AD ＝x (30－43x )＝－43x 2＋30x ＝－43(x 2－40x ＋400－400) ＝－43(x 2－40x ＋400)＋300 ＝－43(x －20)2＋300． 当x ＝20时，y 最大＝300．即当x 取20m 时，y 的值最大，最大值是300m 2．[师]很好．刚才我们先进行了分析，要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x 的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗？[生]不很难．[师]下面我们换一个条件，看看大家能否解决．设AD 边的长为x m ，则问题会怎样呢？与同伴交流．[生]要求面积需求AB 的边长，而AB ＝DC ，所以需要求DC 的长度，而DC 是△FDC 中的一边，所以可以利用三角形相似来求．解：∵DC ∥AB ，∴△FDC ∽△F AE ． ∴FAFD AE DC =． ∵AD ＝x ，FD ＝30－x ． ∴303040x DC -=． ∴DC ＝34(30－x )． ∴AB ＝DC ＝34(30－x )． y ＝AB ·AD ＝x ·34(30－x ) ＝－34x 2＋40x ＝－34(x 2－30x ＋225－225) ＝－34(x －15)2＋300． 当x ＝15时，y 最大＝300．即当AD 的长为15m 时，长方形的面积最大，最大面积是300m 2．二、做一做某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m ．当x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m )？此时，窗户的面积是多少？[师]通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗？[生]可以．分析：x 为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x 与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy ＋2πx 2最大，而由于4y ＋4x ＋3x ＋πx ＝7x ＋4y ＋πx ＝15，所以y ＝4715x x π--．面积S ＝21πx 2＋2xy ＝21πx 2＋2x ·4715x x π--＝21πx 2＋2715)x x (x π--＝－3.5x 2＋7.5x ，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可． 解：∵7x ＋4y ＋πx ＝15，∴y ＝4715x x π--． 设窗户的面积是S (m 2)，则S ＝21πx 2＋2xy ＝21πx 2＋2x ·4715x x π-- ＝21πx 2＋2715)x x (x π-- ＝－3.5x 2＋7.5x ＝－3.5(x 2－715x ) ＝－3.5(x －1415)2＋3921575． ∴当x ＝1415≈1.07时， S 最大＝3921575≈4.02． 即当x ≈1.07m 时，S 最大≈4.02m 2，此时，窗户通过的光线最多．[师]大家做得非常棒．三、议一议[师]我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．[生]首先是理解题目，然后是分析已知量与未知量，转化为数学问题．[师]看来大家确实学会了用数学知识解决实际问题，基本思想如下：解决此类问题的基本思路是(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等.在总结思路之前，大家已经做得相当出色了，相信以后会更上一层楼的．Ⅲ．课堂练习1．一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？解：设AB长为x m，则BC长为(116－2x)m，长方形面积为S m2，根据题意得S＝x(116－2x)＝－2x2＋116x＝－2(x2－58x＋292－292)＝－2(x－29)2＋1682．当x＝29时，S有最大值1682，这时116－2x＝58．即设计成长为58m，宽为29m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682m2．Ⅳ．课时小结本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值．。

《二次函数专题----平行四边形存在性》教学设计一、学习目标1、能熟练的根据平行四边形的性质，构造全等三角形，分类解决平行四边形的存在性问题。

2、学会利用平行四边形顶点坐标公式，借助方程的思想，分类解决平行四边形的存在性问题。

3、培养运用数形结合、分类讨论及转化的数学思想解决二次函数问题的能力，能体验成功的喜悦。

二、教学重难点1、重点：运用几何和代数的方法灵活解决平行四边形存在性类型题。

2、难点：熟练地进行分情况讨论和运用平行四边形顶点坐标公式解决问题。

三、教学手段多媒体、电子白板、微视频四、设计理念学好数学的关键在于学会问题解决和方法的再创造，这需要学生自己在已有问题解决的基础上，能在老师的指导下或者自己不断探索、发现更好的问题解决的方法。

因此在课堂上，旨在让学生能经历数学创造的过程，体验数学规律生成的过程，人人都能分享自己学习的收获，体验成功的快感。

五、评价设计1、“知识引领”和“知识延伸”环节是对学生的诊断性评价，完成学习目标1.2、在问题解决中对学生进行平行四边形顶点坐标公式的形成性评价，完成学习目标2.3、在“老题新解”和“一招制胜”环节对学生进行能力评价，完成学习目标3. 六、教学过程 (一)知识引领 【多媒体播放】已知不在同一直线上的三点A ，B ，C ，请在平面内确定一点D ，使A ，B ，C ，D 四点组成的四边形是平行四边形。

【电子白板演示思考过程】 【学生活动】学生思考交流【设计意图】借助学生熟悉的已知平行四边形的三个顶点，确定平行ACB四边形的第四顶点入手，让学生熟悉构造平行四边形的基本思路。

“三定一动”类型探究 【多媒体播放】在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2-2x+a 与x 轴交于A （-1,0），B 两点，交y 轴于点C 。

①若点D 是平面内一动点，以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请写出相应的点D 的坐标。

【学生活动】学生独立思考，汇总交流.【教师活动】提出问题：你是如何构图来求点D 的坐标呢？ 【学生活动】3位同学到黑板讲解交流思路。

二次函数教学目标(一)知识与技能1．探索并归纳二次函数的定义．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．(二)过程与方法1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．(三)情感态度与价值观1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．教学重点：二次函数的概念教学难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程教学过程：一、由实际问题探索二次函数某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量?(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产量y=(100+z)(600—5x)=-5x2+100x+60000． 二、想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多?我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试．三．做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的.也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)． 四、二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数(quadratic function)注意：定义中只要求二次项系数不为零，一次项系数、常数项可以为零.例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系A=a2，圆面积s 与半径r 的关系s=Try2等也都是二次函数的例子． 五、随堂练习1.下列函数中(x,t 是自变量)，哪些是二次函数? y=-+3x²．y=x²-x³+25,y=2²+2x,s=1+t+5t²2．圆的半径是1㎝，假设半径增加x ㎝时，圆的面积增加y ㎝²． (1)写出y 与x 之间的关系表达式；(2)当圆的半径分别增加1cm 、㎝、2㎝时，圆的面积增加多少? 【答案】1.是二次函数y=-+3x²，s=1+t+5t²2．圆的半径是l ㎝，假设半径增加x ㎝时，圆的面积增加y ㎝²． (1)22y x x ππ=+2121221(2)3π，2π+，8π 六、课时小结1．经历探索和表示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义及一般形式. 2．用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多. 七、活动与探究 若()22mmy m m x -=+是二次函数，求m 的值.【答案】2 八、作业 习题.1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系是：h=4.9t²，填表表示物体在前5s 下落的高度：⒉某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m. （1）长方体的长和宽用x(m)表示，长方体需要涂漆的表面积S(㎡)如何表示？(2)如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需要费用用y(元)表示，那么y 的表达式是什么？ 【答案】1.⒉（1）262S x x =+(2)23010y x x =+九、教后反思。

鲁教版数学九年级上册3.3《二次函数y=a2的图象和性质》教学设计一. 教材分析《二次函数y=a2的图象和性质》是鲁教版数学九年级上册3.3节的内容。

本节课的主要内容是让学生掌握二次函数y=a2（a≠0）的图象和性质，包括图象的形状、顶点坐标、对称轴等。

通过学习本节课，学生能够熟练运用二次函数的性质解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a≠0），并掌握了函数的图象和性质。

但针对特殊形式的二次函数y=a2（a≠0），学生可能存在一定的理解难度。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生运用已学的知识去理解和掌握二次函数y=a^2的图象和性质。

三. 教学目标1.让学生掌握二次函数y=a^2（a≠0）的图象和性质。

2.培养学生运用二次函数的性质解决实际问题的能力。

3.提高学生分析问题、解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数y=a^2（a≠0）的图象和性质。

2.难点：如何运用二次函数的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生理解二次函数y=a^2的应用。

2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探究二次函数y=a^2的图象和性质。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学PPT：包括二次函数y=a^2的图象和性质的相关内容。

2.实例：生活中的实际问题，用于引导学生理解二次函数y=a^2的应用。

3.练习题：用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例，如篮球投篮、抛物线运动等，引导学生思考二次函数y=a2的应用。

让学生认识到学习二次函数y=a2的图象和性质的重要性。

2.呈现（10分钟）教师利用PPT展示二次函数y=a^2的图象和性质，包括图象的形状、顶点坐标、对称轴等。

同时，引导学生运用已学的知识去理解和掌握这些性质。

3.操练（10分钟）教师提出问题，引导学生运用二次函数y=a2的性质解决问题。