学案高中数学第1章立体几何初步1.1_1.1.4直观图画法练习苏教版必修4

第章立体几何初步
空间几何体
直观图画法
组基础巩固
．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线
段说法错误的是( )．原来垂直的线段仍垂直
．原来相交的线段仍相交．原来共点的线段仍共点
．原来平行的线段仍平行解析：根据斜二测画法可知，原来垂直的线段未必垂直．
答案：．建立坐标系，得到的两个正三角形的直观图不是全等三角形
的一组是( )
解析：由斜二测画法规则易知、、中的直观图全等．
答案：
．利用斜二测画法画边长为
的正方形的直观图，正确的是( )
解析：正方形的直观图应为平行四边形且平行于′轴的线段的长
度减半，故只有正确．
答案：．下图为一平面图形的直观图，因此平面图形可能是( )
解析：根据直观图，平面图形的一边在′轴上，另一边与′轴平行，
故此平面图形是左边为直角腰的直角梯形．
答案：
．如图所示，△′′′是△的直观图，其中′′＝′′，那么△是( )
．直角三角形
．等腰三角形
．钝角三角形
．等腰直角三角形
解析：由直观图看出，三角形中有两边分别和两轴平行且相等，
由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行，即有两边垂直且不等，
所以原三角形为直角三角形．
答案：
．利用斜二测画法得到的：
①
三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形；⑤梯形的直
观图是梯形．以上结论，正确的是(填序号)．解析：因平行性不改变，故②正确，①也正确，梯形的两底保持。

1.1.4 直观图画法1．了解斜二测画法的概念．(重点)2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点、易错点) 3．会根据平面图形及空间几何体的直观图还原出平面图形及空间几何体．(难点)[基础·初探]教材整理1 平面图形直观图画法阅读教材P 15例1解题步骤，完成下列问题． 画平面图形直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O .画直观图时，把它们画成对应的x ′轴与y ′轴，两轴交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段．(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变．(√) (2)原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，长度变为原来的12.(√)(3)画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45°.(×) (4)在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．(√)2．如图1－1－29是水平放置的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′，A ′B ′∥y ′轴，则△ABC 的形状是______三角形．图1－1－29【解析】由斜二测画法规则知，在直观图中，AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形．【答案】直角教材整理2 立体图形的直观图画法阅读教材P15例2解题步骤，完成下列问题．斜二测画法的规则(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．1．下列说法：①相等的角，在直观图中仍相等；②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行；④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直．其中正确的说法是________．【解析】由斜二测画法规则知，角度、长度都可能改变，平行性不变，所以①②④错误，③正确．【答案】③2．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________ cm.【解析】由空间直观图的画法知，在z轴上或平行于z轴的线段长度保持不变，所以两顶点间的距离为2 cm＋3 cm＝5 cm.【答案】 5[小组合作型]画水平放置的平面图形的直观图画出如图1－1－30所示水平放置的等腰梯形的直观图．图1－1－30【精彩点拨】 建系――→依据斜二测画法定点―→连线成图【自主解答】 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .(3)连结B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连结成线段．[再练一题]1．画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)．【解】 如图(1)在平行四边形上建立坐标系xOy ，再建立坐标系x ′O ′y ′，如图(2)在x ′轴上截取O ′A ′＝OA ，O ′B ′＝OB .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过D ′作线段D ′C ′＝DC 且D ′C ′∥A ′B ′，连结B ′C ′，A ′D ′，则A ′B ′C ′D ′即为▱ABCD 的直观图．(1) (2)画空间几何体的直观图有一个正三棱锥，底面边长为3 cm ，高为3 cm ，画出这个正三棱锥的直观图． 【精彩点拨】 根据斜二测画法，选择恰当的坐标系画出正三角形的直观图，进而确定出正三棱锥的顶点即可．【自主解答】 (1)先画出水平放置的边长为3 cm 的正三角形的直观图，如图(1)所示． (2)过正三角形中心O ′建立z ′轴，画出正三棱锥顶点V ′，使V ′O ′＝3 cm ，连结V ′A ′，V ′B ′，V ′C ′，如图(2)所示．(3)擦去辅助线，遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图(3)．(1) (2) (3)1．用斜二测画法作空间图形的直观图时，应建立适当的空间直角坐标系，常寻找原图中共点且互相垂直的三条直线为坐标轴，或利用图形的对称性建系．2．在画棱柱、棱台的直观图时，可确定下底面的直观图，确定好高度后，再把坐标系平移上来再画上底面的直观图即可．3．z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．[再练一题]2．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．【解】(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面：在平面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长．(4)成图：顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图(2)所示．(1) (2)[探究共研型]将直观图还原为原平面图形探究1 如图1－1－31所示，一个平面图形的直观图为平行四边形，则四边形ABCD的实际形状是什么图形？图1－1－31【提示】矩形．因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．探究2 如图1－1－32，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，这个平面图形本身是等腰梯形吗？其面积是多少？图1－1－32【提示】 不是等腰梯形，是直角梯形．根据斜二测画法，等腰梯形A ′B ′C ′D ′的高为22，所以A ′B ′＝1＋2×22＝1＋2，在平面图形中，AB 的长为1＋2，CD 的长为1，AD 的长为2，所以这个平面图形的面积为12(1＋1＋2)×2＝2＋ 2.如图1－1－33，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的直观图，将其还原成平面图形．图1－1－33【精彩点拨】 画直角坐标系―→利用平行、长度定点―→连接点，得图【自主解答】 (1)画直角坐标系xOy ，在x 轴的正方向上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′； (2)过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于D ′，如图(1)所示，在OA 上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，且使DB ＝2D ′B ′；(3)连结AB ，BC ，得△ABC .则△ABC 即为△A ′B ′C ′对应的平面图形，如图(2)所示．由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴，y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连结即可．[再练一题]3．已知△ABC 的直观图A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求原△ABC 的面积.【导学号：41292011】【解】 建立如图所示的坐标系xOy ′，△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ′轴上，A ′B ′边在x 轴上，把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，在y 轴上取点C ，使OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，C ′D ′为△A ′B ′C ′边A ′B ′上的高，C ′D ′＝32a ，∴OC ′＝2·32a ＝62a ， ∴OC ＝6a ，故S △ABC ＝12A ′B ′·OC ＝12a ·6a ＝62a 2.1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是________．①原来相交的仍相交；②原来垂直的仍垂直；③原来平行的仍平行；④原来共点的仍共点．【解析】 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直． 【答案】 ②2．用斜二测画法画水平放置的圆，得到的图形形状是________． 【答案】 椭圆3．平面直角坐标系中的点M (4,4)在直观图中对应点M ′，则M ′的坐标为________.【导学号：41292012】【解析】 由斜二测画法知，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的变为原来的12，故M ′的坐标为(4,2)．【答案】 (4,2)4.水平放置的△ABC 的直观图如图1－1－34所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上中线的实际长度为________．图1－1－34【解析】 在原平面图中CA ＝C ′A ′＝3，CB ＝2C ′B ′＝2B ′C ′＝4，∴AB ＝CA 2＋CB 2＝42＋32＝5，∴AB 边的中线长度为AB 2＝52.【答案】 525.如图1－1－35所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23，C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.图1－1－35试画出原四边形的形状，并求原图形的面积．【解】 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连结BC ，即得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD ＝2.所以面积为S ＝2＋32×2＝5.。

1.1.4 直观图的画法预学案（2）一、预习1、预习内容：课本15页例22、预习目标：（1）会用斜二侧画法画出空间图形的直观图（2）会由三视图想象实物图，在画出直观图3、还记得上一课学的如何画水平放置的平面图形的直观图吗？用法，要点是2、①已知正三角形ABC的边长为a,求ABC∆的平面直观图的面积②已知ABC∆的平面直观图是边长为a的正三角形，那么原三角形的面积是____.3、看例2试体会空间图形直观图的画法，与画水平放置的平面图形的直观图相比有什么联系与区别？填空：画立体图形的直观，在画轴时，要多画一条与垂直的轴o'z轴，其他与平面图形的直观图。

4、探求空间几何体的直观图的画法试用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。

（我要认真按部就班地画好每一步！）5、思考：如何根据三视图，用斜二测画法画它的直观图？如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。

Array想一想：三视图与直观图有何联系与区别？6、预习自测：课本第16页练习3 、第16页习题4二、课上点拨1、组内展示交流（兵教兵)2、班内展示（教师在学生讲的基础上概括点拨）3、根据情况酌情补充：①怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？②已知几何体的三视图请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画法画出它的直观图。

教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同学解疑，引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。

再展示三、当堂反馈1、如图所示的直观图的原平面图形是（）A．任意三角形B．直角梯形C.任意四边形D.平行四边形2、第17页习题5四、总结提问1、通过预习我已掌握了2、我还有要交流的问题有3我的建议是。

第4课时直观图的画法
一、学习目标
1．掌握斜二侧画法的规则，
2．会用斜二侧画法来画一些简单的空间几何体的直观图．
二、数学活动
1．你会画长方体，你能画出长、宽、高分别为4cm，3 cm，2 cm的长方面体吗？
2．请你画一个长、宽、高分别为4cm，3 cm，2 cm的长方面体，并把所画的图形与你的同桌比较。

由于你俩是画的同一几何体，各个线段的长度应相等，是这样的吗？
请将你俩比较的结果记下来：
3．试一下，画一个底面直径和高都是4 cm的圆柱。

三、数学建构
1．斜二测画法的规则：
2．用斜二测画法画几何体的直观图的步骤是：
四、数学应用
例1 画水平放置的正三角形的直观图．
思考：边长为a 的正三角形应用斜二测画法得到的直观图的面积为_________．
例2 画棱长为2cm 的正方体的直观图．
变式：如图水平放置的ABO ∆的直观图'''A B O ∆，由图判断原图形中AB 、BO 、BD 、OD 由小到大的顺序为 .
五、巩固与小结
1．《必修二》P16 练习T1
2．《必修二》P16 练习T2
3．《必修二》P16 练习T3
4．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的平面图形OABC的直观图，求它的原来的图形OABC的面积．。

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1.1。

4 直观图画法【教学目标】1.了解中心投影的概念及物体的透视图；2.理解平行投影（斜投影）在作物体直观图的实际意义及其应用；3．掌握斜二测画法的基本步骤及画法的基本特征。

【教学重点】斜二测画法的基本步骤。

【教学难点】用斜二测画法作空间物体的直观图。

【过程方法】通过组织学生画空间几何图形的直观图,进一步培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力;通过师生之间、同学之间相互交流，培养学生合作学习的习惯.【教学过程】1．中心投影、斜投影、直观图在中心投影（透视）中，水平线（或铅直线）仍保持水平（或铅直）,但斜的平行线则会相交,交点称为消点.用透视法所得的图形称为透视图.中心投影（透视)虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影来画空间图形的直观图。

2．斜二测画法规则①在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于O点,再取z轴,使0xOy=∠,且90 0∠；90yOz=②画直观图时把它们画成对应的'x轴、'y轴和'z轴，它们相交于'O，并使045∠（或'y'O'x= 0∠,'x轴、'y轴所确定的平面表示水平平面；'z'O'x=135)，090③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于'x轴、'y轴和'z轴的线段；④已知图形中平行于x轴、z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段,其长度变为原来的一半。

1．1．1 构成空间几何体的基本元素1．了解几何体的基本元素．2．理解平面的概念．3．掌握平面的画法及表示方法．1．几何体如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)长方体由六个矩形(包括它的内部)围成，围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面；相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱；棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点．(2)长方体有6个面，12条棱，8个顶点．(3)点、线、面是构成几何体的基本元素．3．空间点、线、面的特征(1)线有直线(段)和曲线(段)之分，面有平面(部分)和曲面(部分)之分．平面是处处平直的面，而曲面就不是处处平直的．(2)在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成无限延展的．平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名，如图中的平面α、平面β、平面ABCD或平面AC等．(3)在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．(4)一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．(5)直线平行移动，可以形成平面或曲面．固定射线的端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成锥面．4．几个定义的比较位置关系定义图形符号表示平行线面如果直线和平面没有公共点，则说直线和平面平行AB∥平面α面面如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行平面α∥平面β垂直线面如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则说直线与平面垂直l⊥平面α面面如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，则说这两个平面互相垂直平面α⊥平面β距离点面点到平面的垂线段的长度，称作点到平面的距离两平面夹在两平行平面间垂线段的长度称作两平面间的距离1．关于平面下列说法正确的是( )A．平行四边形是一个平面B．平面是有大小的C．平面是无限延展的D．长方体的一个面是平面答案：C2．下列说法中错误的是( )A．平面用一个希腊字母就可以表示B．平面可用表示平面的平行四边形对角顶点的两个英文字母表示C．三角形ABC所在的平面不可以写成平面ABCD．一条直线和一个平面可能没有公共点答案：C3．直线平行移动一定形成平面吗？解：不一定，还可能形成曲面．平面概念的理解判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都是一个平面；(3)圆和平面多边形都可以表示平面；(4)若S▱ABCD>S▱A′B′C′D′，则平面ABCD大于平面A′B′C′D′；(5)用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界．【解】(1)不正确．平行四边形只是平面的一种表示方式，它不能延展，而平面能无限延展，平面没有确定的形状；(2)不正确．任何一个平面图形，如点、线都不是平面；角、圆、多边形等都是平面的一部分，而不是平面；(3)正确．这样的图形可以表示平面，点、线这样的平面图形是平面的基本元素；(4)不正确．平面是不可度量的，不涉及大小；(5)不正确．平面是无限延展的，无边界．本题主要考查平面的特征等基础知识以及空间想象能力．给出下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A．平面无大小、无厚度、无边际，所以只有④是正确的．应选择A．构成空间几何体的基本元素下列元素属于构成几何体的基本元素的有( )①点；②线；③曲面；④平行四边形(不含内部的点)；⑤长方体；⑥线段．A．3个B．4个C．5个D．6个【解析】①②③⑥均为构成几何体的基本元素，只有④⑤不属于构成几何体的基本元素，故选B．【答案】 B点、线、面是构成几何体的基本元素，任何一个几何体都是由这些基本元素组成的，而其他图形有时也能构成另外复杂的几何体，但是不能称之为基本元素．以下结论中正确的是( )A．“点动成线”中的线一定是直线B．直线运动的轨迹一定是平面或曲面C．曲面上一定没有直线D．平面上一定有曲线答案：D长方体中基本元素间的位置关系如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：(1)与直线B1C1平行的平面有哪几个？(2)与直线B1C1垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC1平行的平面有哪几个？(4)与平面BC1垂直的平面有哪几个？【解】(1)与直线B1C1平行的平面有：平面AD1，平面AC．(2)与直线B1C1垂直的平面有平面AB1，平面CD1．(3)与平面BC1平行的平面有：平面AD1．(4)与平面BC1垂直的平面有：平面AC，平面A1C1，平面AB1，平面DC1．若本例中的题干不变，将问题(1)(2)中的“直线B1C1”改为“直线BC1”，再去解答前两个小题．解：(1)与直线BC1平行的平面有：平面AD1．(2)所给6个平面中，与直线BC1垂直的平面不存在．以长方体为载体研究几何体中的点、线、面的关系，有助于形成空间观念，也可以利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．1．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．3．平面的记法(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；(2)平面图形顶点法．4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．通常所说“点动成线，线动成面，面动成体”中的线可能是曲线或直线，面也可能是平面或曲面，到底是哪一种，取决于其运动的方向与方式．1．下列命题：①正方形是一个平面；②平面是有边界的；③20个平面重合在一起比一个平面厚20倍．其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案：A2．飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为________．答案：点动成线3．一个平面将空间分成________部分；两个平面将空间分成________部分．答案：2 3或4,[学生用书P77(单独成册)])[A 基础达标]1．下列不属于构成几何体的基本元素的是( )A．点B．线段C．曲面D．多边形(不含内部的点)解析：选D．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．已知下列三个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面是矩形的形状；③一个平面的面积可以等于1 m2．其中正确结论的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选A．在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个矩形来表示一个平面，但并不是说平面就是矩形，故②错．3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与对角线BD1既不相交又不平行的棱有( )A．3条B．4条C．6条D．8条解析：选C．在平面A1B1C1D1上的四条棱中有A1B1，B1C1，在平面ABCD上的四条棱中有AD，CD，上、下两底面之间的四条棱中，有AA1，CC1，故与BD1既不相交又不平行的棱共有6条．4．下面给出的四个平面图形能制作成正方体的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D．可制作成上述四个平面图形，然后折叠而得．5．下列命题正确的是( )A．直线的平移只能形成平面B．直线绕定直线旋转肯定形成柱面C．直线绕定点旋转可以形成锥面D．曲线的平移一定形成曲面解析：选C．直线的平移，可以形成平面或曲面，命题A不正确；只有当两直线平行时旋转形成柱面，命题B不正确；曲线平移的方向与曲线本身所在的平面平行时，不能形成曲面，D不正确，只有C正确．故选C．6．在以下几种几何体的图形中，正方体ABCD­A1B1C1D1不可以由四边形________(填序号)平移而得到．①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1．解析：①ABCD，②A1B1C1D1，③A1B1BA，按某一方向平移可以得到正方体ABCD­A1B1C1D1，④A1BCD1平移不能得到正方体ABCD­A1B1C1D1．答案：④7．把如图的平面沿虚线折叠可以折叠成的几何体是________．解析：图中由六个长方形组成，可以动手折叠试验，得到长方体．答案：长方体8．下列关于长方体的说法中，正确的是________．①长方体中有3组对面互相平行；②长方体ABCD­A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；④长方体ABCD­A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等．解析：如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD，BC，AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，故③正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1的长度是长方体中面ABCD 和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故答案是①③④．答案：①③④9．下列各题说法对吗？(1)点运动的轨迹是线；(2)线运动的轨迹一定是面；(3)面运动的轨迹一定是体．答案：(1)正确；(2)错误；(3)错误10．已知长方体ABCD­A1B1C1D1的长、宽、高分别为5、4、3，试分别求面ABCD与面A1B1C1D1，面ADD1A1与面BCC1B1，面ABB1A1与面DCC1D1间的距离．解：因为面ABCD∥面A1B1C1D1，AA1与该两平面垂直．且长方体的高为3．所以面ABCD与面A1B1C1D1之间的距离为3．同理：面ADD1A1与面BCC1B1之间的距离为5．面ABB1A1与面DCC1D1之间的距离为4．[B 能力提升]11．下列几何图形中，可能不是平面图形的是( )A．梯形B．菱形C．平行四边形D．四边形解析：选D．四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．12．下列说法：①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD(水平放置)上各点沿铅垂线方向向上移动相同的距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．其中正确命题的序号是________．解析：①是错误的，面与矩形是不同的．答案：②③13．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断平面AB1D1和平面BC1D的位置关系．解：因为平面AB1D1和平面BC1D不论怎样延展都是没有交点的，所以它们互相平行．14．(选做题)要将一个正方体模型展开成平面图形，需要剪断多少条棱？你能从中得出什么规律来吗？解：需要剪断7条棱．因为正方体有6个面，12条棱，两个面有一条棱相连，展开后六个面就有5条棱相连，所以剪断7条棱．规律是正方体的平面展开图只能有5条棱相连，但是，有5条棱相连的6个正方形图形不一定是正方体的平面展开图．。

1．1 简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．( )(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．( )(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ( )(4)圆柱的任意两条母线相互平行．( )(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引] 根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析] ①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[答案] ①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1] 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] ②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[答案] C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引] 圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解] 如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2] 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析] 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[答案] 91．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析] 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[答案] D2．下列命题正确的个数为( )①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有( )A．一条 B．两条 C．三条 D．无数[解析] 经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[答案] D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[答案] ②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.[答案] B2．下列说法不正确的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．[答案] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[答案] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r ＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°. [答案] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( ) A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[答案] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析] 作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13， ∴r ＝1. [答案] 17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________． [解析] 设球心到平面的距离为d ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，∴r ＝1.设球的半径为R ，则R ＝d 2＋r 2＝2，故球的直径为2 2.[答案] 2 2 8．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体； ②球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ③球的直径是球面上任意两点间的连线； ④用一个平面截一个球，得到的是一个圆． 其中正确的序号是________．[解析] 球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确． [答案] ①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径. [解] 设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q2.所以此圆柱的底面半径为Q2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R＝6，∴圆锥的底面圆的面积S＝πR2＝36π，圆锥的高h＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A错误，C正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B、D都不正确．故选C.[答案] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析] 截面图形应为图C所示的圆环面．[答案] C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析] 外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[答案] B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm 2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3，所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[答案] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r ＝6－x 3， ∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6， ∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。

201８版高中数学第一章立体几何初步１.1．4 直观图画法学案苏教版必修2编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（２0１８版高中数学第一章立体几何初步１.1．4 直观图画法学案苏教版必修２)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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１.1.4 直观图画法学习目标 1。

掌握斜二测画法的作图规则.2。

会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.知识点斜二测画法思考１边长为２ｃm的正方形ＡBCD水平放置的直观图如下，在直观图中,Ａ′B′与Ｃ′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，ＡＢ与Ａ′B′相等吗?ＡD与Ａ′Ｄ′呢?思考２正方体AＢCD－Ａ1B1Ｃ1D1的直观图如图所示,在此图形中各个面都画成正方形了吗?梳理(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(2）立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时,要多画一条与平面ｘ′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于Ｏ′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法．类型一平面图形的直观图例１画出如图水平放置的直角梯形的直观图．引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形,其直观图如何?反思与感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一,一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点。

原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段。

确定多边形顶点的位置是关键之二,借助于平面直角坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连结即可。