20福建赛区2014年全国初中数学竞赛预赛赛题及答案

2014年全国初中数学联合竞赛预赛试题参考答案（八年级组）第一试一、选择题1．C 2．D 3．A 4．B 5．B （5.由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2014=4×503+2，所以2014x =2） 二、填空题6．20°7．－48．919．5（小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为5块）10．23（对角四边形的面积之和相等）第二试一、（1）证明：∵2233x x y y =+=+，，∴22x y x y -=-∴ 1 ()x y x y +=≠……………………………………………………6分（2）解：∵2233x x y y =+=+，，∴323233x x x y y y =+=+，， 43243233x x x y y y =+=+，，54354333x x x y y y =+=+，，∴5543433223223339339x y x x y y x x x x y y y y +=+++=++++++3+ 22712712x x y y =+++223()2()1921192119()4261x y x y x y x y =+++=+++=++=.………15分 二、解：方程两边分解因式得 （2x +y ）（x +y ）=2×19×53．………………………………5分不妨先设x ≥y ≥1，则有2x +y ≥x +2y >x +y >1． 由此，只有三种情况： 253,2106,210238,219,2 2.x y x y x y x y x y x y+=+=+=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩或或…………………………10分当253,238,x y x y +=⎧⎨+=⎩时，解得15,23,x y =⎧⎨=⎩当2106,21007,219,2 2.x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或时，不符合题意.故原方程的正整数解为15,23.x y =⎧⎨=⎩………………………………………………15分俯视图2 12三、解：设本次比赛钓到的鱼的总数是x 条．则钓到3条或3条以上的人共钓到鱼的条数为：()()14+26=16x x -⨯⨯-，钓到()16x -条的人数为165x -；…………………………………………………………5分 类似地，钓到10条或10条以下的人共钓到鱼的条数为：()()114+12213=81x x -⨯⨯+-，钓到这些鱼的人数为815x -；………………10分 根据题意，可知参加本次比赛的总人数得，()167465x -+++=()814215x -+++，解得x =541．因此，本次比赛共钓到541条鱼．……………………………………………………15分四、证明：∵AD 为△ABC 的角平分线，∴12∠=∠．（1）∵CE ∥AD ，∴1E ∠=∠，23∠=∠.∴3E ∠=∠． ∴AC =AE ．∵F 为EC 的中点，∴AF ⊥BC ． ∴90AFE FAD ∠=∠=︒．∴AF ⊥AD ．…………………………………………………………10分（2）延长BA 与MN 延长线于点E ，过B 作BF ∥AC 交NM 延长线于点F .∴3C ∠=∠，4F ∠=∠．∵M 为BC 的中点∴BM ＝CM ． 在△BFM 和△CNM 中，4,3,,F C BM CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFM ≌△CNM （AAS ）． ∴BF ＝CN ． ∵MN ∥AD ，∴1E ∠=∠，245∠=∠=∠. ∴5E F ∠=∠=∠． ∴AE ＝AN ，BE ＝BF ．设CN =x ，则BF =x ， AE ＝AN ＝AC －CN ＝10－x ，BE ＝AB ＋AE ＝6＋10－x ． ∴6＋10－x ＝x ．解得 x ＝8．∴CN ＝5.5，AN =2． ………………………………………………25分2014年全国初中数学联合竞赛预赛试题参考答案（九年级组）第一试一、选择题A MDCBNE F35 41 21．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 二、填空题7．1792（两边同时乘以a +b +c ）8．-8 9．25-=x （提示：[]x ≤x ＜[]x +1，原方程化为[]x ≤2[]x +27＜[]x +1，解得[]x =－3，代入原方程求出x .）10．（1，21）（1011,51-）（提示：除直角三角形ABC 斜边的中点外，直线AB 上与该中点关于斜边上高的垂足对称的点也满足题意）第二试一、解：设甲仓库供应给A 校，B 校，C 校的电脑分别为x 台，y 台，()[]y x -12+台，则乙仓库供应给A 校，B 校，C 校的电脑分别为（9-x ）台，（15-y ）台，()[]y -15x -9-20+台， 设总运输费为S 元，则S=10x +5y +6()[]y x -12++4（9-x ）+8（15-y ）+15()[]y -15x -9-20+，得S=15x +6y +48=9x +6(x +y )+48，…………………………………………………………10分 又0≤x ≤9，0≤y ≤15，4≤x +y ≤12，S≥9×0+6×4+48=72，………………………………………………………………………15分 此时，x =0，y =4，又()[]y x -12+=8，故甲仓库供应给A 校，B 校，C 校的电脑分别为0台，4台，8台.……………………20分二、(1)证明：由AB =AD ，知∠ABD =∠ADB =α,由等弧对等圆周角知，∠ACD =∠ACB =α.令∠DFC =β则∠BAD =∠BFC =2β，故∠ABD +∠ADB +∠BAD =α+α+2β=180°，于是α+β=90°，∠CDF =90°.又∠FBC =180°-α-2β=α=∠FCB ，所以FB =FC …………………………10分 (2)解：设边BC 的中点为M ，连接FM . 易知△FCD ≌△FBM ,BC =2CD 又AC 是∠BCD 的角平分线，由角平分线定理，得2==CDBCDE BE …………………25分三、解：点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 坐标为（0，﹣3）．∵y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4， ∴顶点D 的坐标为（1，﹣4）；点E 的坐标为（1，0）．………………………………5分 （1）当点M 在对称轴右侧时．①若点N 在射线CD 上，如图，延长MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ． ∵∠CMN =∠BDE ，∠CNM =∠BED =90°， ∴△MCN ∽△DBE ，∴21==DE BE MN CN ， ∴MN =2CN ． 设CN =a ，则MN =2a ．∵∠CDE =∠DCF =45°，∴△CNF ，△MGF 均为等腰直角三角形， ∴NF =CN =a ，CF =a ， ∴MF =MN +NF =3a ，∴MG =FG =223a ， ∴CG =FG ﹣FC =22a ，∴M （223a ，﹣3+22a ）．代入抛物线解得a =927，∴M （37，﹣920）； ………………………………………………………………13分②若点N 在射线DC 上，如图，MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ． ∵∠CMN =∠BDE ，∠CNM =∠BED =90°， ∴△MCN ∽△DBE ，∴21==DE BE MN CN ， ∴MN =2CN ．设CN =a ，则MN =2a ． ∵∠C DE =45°，∴△CNF ，△MGF 均为等腰直角三角形， ∴NF =CN =a ，CF =a ， ∴MF =MN ﹣NF =a ，∴MG =FG =22a ， ∴CG =FG +FC =223a ，∴M （22a ，﹣3+223a ）．代入抛物线y =（x ﹣3）（x +1），解得a =5， ∴M （5，12）；………………………………………………………………………………21分 （2）当点M 在对称轴左侧时． ∵∠CMN =∠BDE ＜45°， ∴∠MCN ＞45°，而抛物线左侧任意一点K ，都有∠KCN ＜45°，∴点M 不存在．…………………………24分综上可知，点M 坐标为（37，﹣920）或（5，12）．……………………………………25分2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（3月7日下午4：00—6：00）班级：: 姓名： 成绩：第2题图DACB第4题图DACB考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。

中国教育学会中学数学教学专业委员会2014年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交．一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）12．已知关于x 的不等式组255332x x x t x +⎧->-⎪⎨+⎪-<⎩，恰有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）．（A ）6-＜t ＜112-（B ）6-≤t ＜112-（C ）6-＜t ≤112-（D ）6-≤t ≤112-3．如图，在Rt△ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）85．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****L 的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．设33a =，b 是a 的小数部分，c 是2a 的小数部分，则(4)b b c ++的值为 ．7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．444444222222121231991001121231991001++++++++++-+-+-…的值为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC∠CBE．12．设△ABC的外心、垂心分别为O H、，若B C H O、、、共圆，对于所有的△ABC，求BAC∠所有可能的度数．13．如图，设点D 在△ABC 外接圆上，且为»BC的中点，点X 在»BD 上，E 是»AX 的中点，过△ABC 的内心I 作直线R T 平行于DE ，分别与BC ，AX 交于点R ，T ，设直线DR 与ET 交于点S ．证明：点S 在△ABC 的外接圆上．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得6-＜t ≤112-． 3．D解：因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC ＝·AD AB 不一定是有理数．4．C解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．C解：设201320124m ***=L ，则()20132012433m ****=*L 32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*L 3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．2解：由于2123a a <<<<，故1=-b a ，22=-c a ．所以223(4)(1)(124)(1)(1)12b b c a a a a a a a ++=--+-+=-++=-=．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3， 12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4， 15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5， 18＝6＋6＋6．记掷三次正方体面朝上的数分别为x ，y ，z ．则使x ＋y ＋z 为3的倍数的（x ，y ，z ）中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组．故所求概率为83263616663⨯⨯+⨯+=⨯⨯．8．2013解：由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数） 解：由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b 由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10解：设0k >，那么=11111(1)1k k k k ⎡⎤⎫=+=+-⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦． 上式对1=k ，2，…，99求和，得原式11991100100100⎫⎫=+-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．三、解答题11．解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25．因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠． 所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．解：分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠>︒，因为2BHC A BOC A ∠=∠∠=∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得3180A ∠=︒，于是60A ∠=︒．…………15分（iii ）若△ABC 为直角三角形．当90A ∠=︒时，因为O 为边BC 的中点，B C H O ，，，不可能共圆，所以A ∠不可能等于90︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠=︒，此时点B 与H 重合，于是总有B C H O ，，，共圆，因此A ∠可以是满足090A ︒<∠<︒的所有角．综上可得，A ∠所有可能取到的度数为所有锐角及120︒．…………20分13．证明：如图，设DR 与△ABC 的外接圆交于点S '，AX 与S E '交于点T '，连接S C CD S A AE AD ''，，，，．由D 为»BC 的中点知，A ，I ，D 三点共线，且∠CS D '=∠RCD ，△S CD '∽△CRD ，所以S D CDCD RD'=， ① 即2CD S D RD '=⋅． ②…………5分由E 为»AX 的中点知，∠AS E '=∠T AE '，△AS E '∽△T AE '，所以 S E AEAE T E'='， ③ 即2AE S E T E ''=⋅． ④由IR ∥DE ，知180IRD S'DE S'AE ∠=︒-∠=∠．又因为IDR S DA S EA ''∠=∠=∠，所以△IRD ∽△S AE '，则有ID S ERD AE'=． ⑤ …………10分由I 为△ABC 的内心，连接CI ，由CID CAI ACI DCB BCI ICD ∠=∠+∠=∠+∠=∠知ID CD =．由式①，⑤，得S D S ECD AE''=， 即S D CDS E AE'='． ⑥ 由式②，④，得22CD S D RDAE S E T E'⋅=''⋅． ⑦ 由式⑥，⑦得S D RDS E T E'=''， …………15分于是RT '∥DE ．又RT ∥DE ，故点T '与T 重合，即点S '在直线ET 上．从而，点S '与S 重合，即点S 在△ABC 的外接圆上．…………20分14．解：若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12na a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．…………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10k i m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()k j i -，从而7|()j i -，矛盾．故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．…………20分。

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，错误！未找到引用源。

则x y +的可能的值有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-? ，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y ì=-ïí=ïî，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则错误！未找到引用源。

＝（ ）ABCD【答】 B .因为A D B C ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2B C B D =，所以BD =DP =.又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅==. 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B．3 C．1(32D ．1 【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.由13x x +=解得1(32x =，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x +=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒错误！未找到引用源。

2014年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，错误！未找到引用源。

则x y +的可能的值有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-? ，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y ì=-ïí=ïî，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则错误！未找到引用源。

＝（ ）ABCD【答】 B .因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2B C B D=，所以BD =DP =. 又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅==.4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B．3 C．1(32D ．1 【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.由13x x +=解得1(32x =，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x +=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒错误！未找到引用源。

2014年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分.） 1.已知x 、y 、z 满足2x =3y-x =5z+x ，则5x-yy+2z的值为（ ）（A ）1 （B ）13 （C ）-13 （D ）12【答】B ．解：设 2x =3y-x =5z+x =1k 则x=2k ，y-z=3k ，z+x=5k ，即x=2k ，y=6k ，z=3k 。

所以5x-y y+2z =5·2k-6k 6k+6k =13，故选B.2.已知等腰三角形的周长为12，则腰长a 的取值范围是（ ）（A ）a ＞3 （B ）a ＜6 （C ）3＜a ＜6 （D ）4＜a ＜7 【答】C.解：腰长为a ，则底长为12-2a ，由2a ＞12-2a 及12-2a ＞0可得3＜a ＜6 故选C. 3.设 21x x 、 是一元二次方程032=-+x x的两根，则 1942231+-x x 等于（ ）（A ）-4 （B ）8 （C ）6 （D ）0 【答】D.解：将21x x 、代入方程，将目标整式降次，利用两根之和求解.4．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）14【答】D.解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为 (1)(1)44224a ab a b++++++=， 于是 4423421444a b a b ++++-=. 故选D.5. 如图，正方形A BCD 和EFGC 中，正方形EFGC 的边长为a ，用a 的代数式表示阴影部分△AEG 的面积为（ ）（A ）232a （B ）223a （C ）212a （D ）2a【答】C ．6.若△ABC 的三条边a,b,c 满足关系式a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）等边三角形（C ）直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 【答】D.解法一：原方程左边变形为 （a 4-b 4）+（b 2c 2-a 2c 2）=0， （a 2+b 2）（a 2-b 2）+（b 2-a 2+）c 2=0，∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a=b 或c 2=a 2+b 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解法二：应用配方法a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0， （a 4-a 2c 2）-（-b 2c 2+b 4）=0 （a 2-22c ）2 -（22c -b 2）2=0 ∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a 2-b 2=0,或a 2+b 2-c 2=0. ∴a=b 或c 2=a 2+b 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选D.7．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万元，随着影响的扩大，第n (n ≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次突破10万元时(参考数据: 51.22.5≈，61.2 3.0≈，71.2 3.6≈)，相应的n 的值为（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 【答】D.8．如图：点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD = ∠DAB = 60°，AC = 3 ，AB = 6，则AD 的长度是（ ）（A ）2 （B ）2.5 （C ）3 （D ）3.5 【答】A.解：如图，作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，在Rt △ABE 中， ∠BAE= 60° ∴∠ABE= 30° ∴AE=21AB = 3 由勾股定理得BE =33∴21BCA s △AC ·BE =329 ∵∠CAD = ∠DAB = 60°同理得△ADC 和△ABD 中AD 边上的高分别是323和33 ∴=CD A s △343AD ,=B DA s △323AD 又CD A s △+B DA s △=BC A s △ ∴343AD + 323AD =329 ∴AD = 2 故选A9.若m=20132+20132×20142+20142，则m ( )（A ）是完全平方数，还是奇数 （B ）是完全平方数，还是偶数 （C ）不是完全平方数，但是奇数 （D ）不是完全平方数，但是偶数 【答】A.解 ：原式=20132-2×2013×2014+20142+2×2013×2014+20132×20142=(2013-2014)2+2×2013×2014+(2013×2014)2=1+2×2013×2014+(2013×2014)2=(2013×2014+1)2所以(2013×2014+1)2是一个完全平方数，末尾数字是9，所以也是奇数. 故选A. 10、设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ） （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1 【答】A.解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故 2()0a b c ++=．于是 2221()2ab bc ca a b c ++=-++， 所以22212ab bc ca a b c ++=-++．故选A.二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）11.已知整数1234a a a a ⋅⋅⋅，，，，满足下列条件：10a =，21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =-+，…，依次类推，则2012a 的值为 ．【答】1006-12.如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°， BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝ ．【答】解：.如图，可以通过旋转变换将△ABE 绕点B 逆时针旋转90°，得到△CBF.证明出四边形BFDE 是正方形,且它的面积是8，则边长是或者过点B 作BF ⊥BE ，交DC 延长线于F. 证明△ABE ≌△CBF ，其余思路同上。

全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y，则x y 的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y ，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y ，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝（ ）ABCD 【答】 B .因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BCBP BE ⋅=⋅=，又2BC BD =，所以BD =DP=又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅== 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B．3 C．1(32D ．1 【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.由13x x +=解得1(32x =±，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A．4- B．2- C．11)2D1【答】 A.过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB . 设EF x =，则2BE x =，22AE x =-，)DE x =-，1DF AC ==，故2221)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<，故可得2x =故24BE x ==-二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0. 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.A当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠， 而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒， 11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．【答】36.设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有2111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ==，则1b mn =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n <.又111a b c ++=，故111()111d a b c ++=，即22()111d m n mn ++=. 注意到222212127m n mn ++≥++⨯=，所以1d =或3d =.若1d =，则22111m n mn ++=，验算可知只有1,10m n ==满足等式，此时1a =，不符合题意，故舍去.若3d =，则2237m n mn ++=，验算可知只有3,4m n ==满足等式，此时27,36,48a b c ===，符合题意.因此，所求的36b =.第二试 （A ）一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b+的值．解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， ……………………5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ……………………10分D若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ……………………15分若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，已知O 为△ABC 的外心，AB AC =，D 为△OBC 的外接圆上一点，过点A 作直线OD 的垂线，垂足为H .若7BD =，3DC =，求AH .解 延长BD 交⊙O 于点N ，延长OD 交⊙O 于点E ，由题意得NDE ODB OCB OBC CDE ∠=∠=∠=∠=∠，所以DE 为BDC ∠的平分线. ……………………5分又点D 在⊙O 的半径OE 上，点C 、N 在⊙O 上，所以点C 、N 关于直线OE 对称，DN DC =. ……………………10分延长AH 交⊙O 于点M ，因为O 为圆心，AM OD ⊥，所以点A 、M 关于直线OD 对称，AH MH =.因此MN AC AB ==.……………………15分 又FNM FAB ∠=∠，FBA FMN ∠=∠，所以△ABF ≌△NMF ，所以MF BF =，FN AF =. ……………………20分因此，AM AF FM FN BF BN BD DN BD DC =+=+==+=+ 7310=+=，即210AH =，所以5AH =. ……………………25分三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？ 解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P ；取1x y ==，0z =，可得33321103110=++-⨯⨯⨯，所以2具有性质P ；…………………5分 若3具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得33()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|3，这是不可能的，所以3不具有性质P . ……………………10分（2）记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++N＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ①……………………15分不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .……………………20分 又若33|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++，则33|()x y z ++，从而3|()x y z ++，进而可知39|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++.综合可知：当且仅当93n k =+或96n k =+（k 为整数）时，整数n 不具有性质P .。

中国教育学会中学数学教学专业委员会2014年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交．一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）12．已知关于x 的不等式组255332x x x t x +⎧->-⎪⎨+⎪-<⎩，恰有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）．（A ）6-＜t ＜112-（B ）6-≤t ＜112-（C ）6-＜t ≤112-（D ）6-≤t ≤112-3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不．一定．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）85．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．设33a =，b 是a 的小数部分，c 是2a 的小数部分，则(4)b b c ++的值为 ．7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．444444222222121231991001121231991001++++++++++-+-+-…的值为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC ∠CBE．12．设△ABC的外心、垂心分别为O H、，若B C H O、、、共圆，对于所有的△ABC，求BAC∠所有可能的度数．13．如图，设点D 在△ABC 外接圆上，且为BC 的中点，点X 在BD 上，E 是AX 的中点，过△ABC 的内心I 作直线R T 平行于DE ，分别与BC ，AX 交于点R ，T ，设直线DR 与ET 交于点S ．证明：点S 在△ABC 的外接圆上．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得6-＜t ≤112-． 3．D解：因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC =都是有理数，而AC＝·AD AB 不一定是有理数． 4．C解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．C解：设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．2解：由于2123a a <<<<，故1=-b a ，22=-c a ．所以223(4)(1)(124)(1)(1)12b b c a a a a a a a ++=--+-+=-++=-=．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3， 12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4， 15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5， 18＝6＋6＋6．记掷三次正方体面朝上的数分别为x ，y ，z ．则使x ＋y ＋z 为3的倍数的（x ，y ，z ）中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组．故所求概率为83263616663⨯⨯+⨯+=⨯⨯．8．2013解：由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数） 解：由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b 由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10解：设0k >，那么=11111(1)1k k k k ⎤⎫=+=+-⎪⎥++⎝⎭⎣⎦． 上式对1=k ，2，…，99求和，得原式11991100100100⎫⎫=+-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．三、解答题11．解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25． 因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．解：分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠>︒，因为2BHC A BOC A ∠=∠∠=∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得3180A ∠=︒，于是60A ∠=︒．…………15分（iii ）若△ABC 为直角三角形．当90A ∠=︒时，因为O 为边BC 的中点，B C H O ，，，不可能共圆，所以A ∠不可能等于90︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠=︒，此时点B 与H 重合，于是总有B C H O ，，，共圆，因此A ∠可以是满足090A ︒<∠<︒的所有角．综上可得，A ∠所有可能取到的度数为所有锐角及120︒．…………20分13．证明：如图，设DR 与△ABC 的外接圆交于点S '，AX 与S E '交于点T '，连接S C CD S A AE AD ''，，，，．由D 为BC 的中点知，A ，I ，D 三点共线，且∠CS D '=∠RCD ，△S CD '∽△CRD ，所以S D CDCD RD'=， ① 即2CD S D RD '=⋅． ②…………5分由E 为AX 的中点知，∠AS E '=∠T AE '，△AS E '∽△T AE '，所以S E AEAE T E'='， ③ 即2AE S E T E ''=⋅． ④由IR ∥DE ，知180IRD S'DE S'AE ∠=︒-∠=∠．又因为IDR S DA S EA ''∠=∠=∠，所以△IRD ∽△S AE '，则有ID S ERD AE'=． ⑤ …………10分由I 为△ABC 的内心，连接CI ，由CID CAI ACI DCB BCI ICD ∠=∠+∠=∠+∠=∠知ID CD =．由式①，⑤，得S D S ECD AE''=， 即S D CDS E AE'='． ⑥ 由式②，④，得22CD S D RDAE S E T E'⋅=''⋅． ⑦ 由式⑥，⑦得S D RDS E T E'=''， …………15分于是RT '∥DE ．又RT ∥DE ，故点T '与T 重合，即点S '在直线ET 上．从而，点S '与S 重合，即点S 在△ABC 的外接圆上．…………20分14．解：若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12na a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．…………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10k i m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()k j i -，从而7|()j i -，矛盾．故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．…………20分。

2014年全国初中数学竞赛九年级预选赛试题参考答案本卷由蕲春县濒湖晨光学校石子据外来试题影相录制并解答，正确性不保一．选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）1．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行，则b 小时甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的（ ）倍． A ．a ＋b b B ．b a ＋b C ．a ＋b b －a D ．a ＋b a －b【分析】a (v 甲＋v 乙)＝b (v 甲－v 乙)，由此可得C 正确． 2．方程(x 2＋x －1)x ＋3＝1的所有整数解共有（ ）个． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【分析】分三种情况：①a 0＝1，a ≠0，x ＋3＝０，x ＝－3,此时x 2＋x －1＝5≠0；②1n ＝1，x 2＋x －1＝1，x ＝－2或1；③(－1)2n ＝1，x 2＋x －1＝－1，x ＝－1或0，但x ＝0时，不满足；故x ＝－3, －2, －1，1，选B ．3．已知A (－1，2)、B (3，2)，C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的C 点共有（ ）个． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【分析】本题参照图解的5种情况，选C ．4．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数分别为x 、y 、z ，则 1x ＋1y ＋1z 的值为（ ）．A ．1B ．23C ．12D ．13【分析】据平面密铺的定义，参与密铺的三个多边形各出一个内角，三内角之和为360°．即 (x －2)180° x ＋(y －2)180° x ＋(z －2)180° x ＝360°，或者先求外角再求内角，所列方程则为： 180°－360°x ＋180°－ 360°y ＋180°－ 360°z ＝360°，整理两者，均可得 1x ＋1y ＋1z ＝12；选C ． 5．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ，然后原地逆时针旋转α（0°＜α＜180°），被称为一次操作．若5次操作后，发现赛车回到出发点，则α为（ ）． A ．72° B ．108°或144° C ． 144° D ．72°或144° 【分析】考虑两种情况，如下两图所示，本题选D ．第5二.填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．代数式x 2＋4 ＋(12－x )2＋9 的最小值是 ．【分析】考虑数形结合，运用勾股定理构图如下：AP ＋BP ≥AB ＝52＋122 ＝13．第6题图BA123x12－x32P’CPN M BA7．如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于P ，交角为45°，若PE 2＋PF 2＝8，则AB ＝ ． 【分析】作OC ⊥EF 于C , FD ⊥AB 于D ,连接OE 、OF , 设OC ＝a , PD ＝b ,则PC ＝a , OP ＝2a , BF ＝b , PF ＝2b , CE ＝CF ＝a ＋2b , PE ＝2a ＋2b ，记OE ＝OF ＝R ，在△OCE 中，a 2＋(a ＋2b )2 ＝R 2，则R 2＝2a 2＋22ab ＋2b 2 ；又PE 2＋PF 2＝8，即(2a ＋2)2＋(2b )2＝8，所以a 2＋2ab ＋b 2 ＝2，故R ＝2，AB ＝2R ＝4． 8．已知a 、b 为正整数， a ＝b －2005，若关于x 的方程x 2－ax ＋b ＝0有正整数解，则a 的最小值是 ．【分析】由根与系数关系知：x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝b ，又a ＝b －2005，∴ x 1＋x 2 ＝x 1x 2－2005， x 1x 2－x 1－x 2＋1＝2006，∴(x 1－1)(x 2－1)＝1×2006＝2×1003＝2×17×59＝34×59，(x 1，x 2) ＝(2，2007)，(3，1004)，(35，60)，由此知a ＝x 1＋x 2＝2009，1007，95，则最小值是95． 9．双曲线y ＝k x 和y ＝1 x 在第一象限内的图象如图所示，P 在y ＝kx的图象上，PC ⊥x 轴于C ，交y ＝1 x 的图象于A ，PD ⊥y 轴于D ，交y ＝1 x 的图象于B ，当P 点在y ＝kx的图象上运动时， 下列结论：①△OBD 与△OAC 的面积相等；②四边形P AOB 的面积保持不变；③P A ＝PB ；④ 若A 是PC 的中点，则B 是DP 的中点．其中一定正确的的序号是 ．FEDCBA【分析】由k 的几何意义知S △OBD ＝S △OAC ＝ 12；S 四边形P AOB ＝k －1；仅当P （k ，k ）时，P A ＝PB ；令P （2a ，2b ），则A （2a ，b ），B （a ，2b ），由此知B 是DP 的中点． 故①②④ 均正确．10．如图，一个圆作滚动运动，它从A 位置开始，滚运与它相同的其他6个圆的上部，到达B 位置．则该圆共滚过 圈．【分析】设圆的半径为R ,则总路径长是120360·2π·2R ·2＋60360·2π·2R ·4＝163πR ，则共转了163πR ÷2πR ＝ 83（圈）． 三.解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是AD 、CD 上两个动点，且满足AE ＋CF ＝2．（1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）记△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围． 【解】（1）△BEF 是等边三角形，理由如下：∵AE ＋DE ＝AE ＋CF ＝2，∴DE ＝CF ，又菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，∴△ABD 与△BCD 均为等边三角形，∴∠ABD ＝∠C ＝60°， BD ＝BC ， ∴△BDE ≌△BCF ，∴ BE ＝BF ，∠DBE ＝∠CBF ，∵∠CBF ＋∠DBF ＝60°， ∴∠DBE ＋∠DBF ＝60°，即∠EBF ＝60°，∴△BEF 是等边三角形． （2）∵△BEF 为等边三角形，∴S ＝3 4BF 2，当E →D ，F →C ，BF 最大，BF ＝2； 当BF ⊥CD 时，BF 最小，BF ＝ 3 ；故3 34≤S ≤ 3 ．12．预计用1500元购买甲商品x 个，乙商品y 个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数量少10个，但总金额仍多用29元；若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数量少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元． （1）求x 、y 的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205而小于210，求x、y的值．【解】（1）设甲商品原单价为a元，乙商品原单价为b元，则ax＋by＝1500 ①(a＋1.5)(x－10)＋(b＋1)y＝1529 ②(a＋1)(x－5)＋(b＋1)y＝1563.5 ③联立可得0.5x＋y＝93，即y＝93－0.5x；（2）205＜2x＋y＜210，又y＝93－0.5x，∴7423＜x＜78，又x为整数，∴x＝75，76，77，但x＝75，77时，y不是整数，∴x＝76，y＝55．13．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程x2＋kx＋3x－1＝3x＋k的解，求实数k的取值范围．【解】原方程可化为2x2－3x－k－3＝0 ，首先考虑增根：k＝2x2－3x－3，令x＝1，则k＝－4；k＝－4时，2x2－3x＋1＝0，(2x－1)(x－1)＝0，x1＝12，x2＝1（增根舍去）令f(x)＝2x2－3x－k－3，∵a＝2＞0在x轴的正半轴上，于是分两种情况：ⅰ）△＝0时，k＝－338，此时x＝34；ⅱ）x1x2≤0，即－k＋32≤0，k≥－3．特别地，当k＝－3时，2x2－3x＝0，x1＝32，x2＝0（舍去）综上所述，k＝－4，－338或k≥－3．14．如图，A（0，1），B是y轴的负半轴上的一个动点，以AB为边作菱形ABCD，其对角线的交点M恰好落在x轴上．记D（x，y）．（1）求M点的坐标；（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若P是（2）中函数图象上的动点，Q（0，t）是定点，是否存在平行于x轴的直线l，使得直线l被以线段PQ为直径的圆截得的弦长始终为定值？若存在，求t的取值范围和直线l的解析式（用含t的代数式表示）；若不存在，请说明理由．14x 2【解】（1）M (x2，0)；（2）作DE ⊥OA 于E ，则OE ＝y ，AE ＝1－y ，DE ＝x ，AD ＝AB ＝1＋y ，在Rt △ADE 中，(1－y )2＋x 2＝(1＋y )2，故 y ＝14x 2，由于B 是y 轴的负半轴上的一个动点，所以x ≠0； （3）设)4,(2m m p ，则圆心)812,2(2m t m E +，作EF ⊥MN 于F ，MN 就是直线l ：n y =被⊙E 所截得的弦长，则22222)812()2(m t n m EQ EN --+==，222)812(m t n EF --=，则在△EFN 中，222222)812()812()2(m t n m t n m FN -----+=22)1(41n nt m t n -+-+=，考虑到m 为变量，当1+=n t 时，1-=t n ，122-=-=t n nt FN ≥0，此时t ≥1，即12-=t MN ， 即当1-=t y 时，弦长12-=t MN （定值），t ≥1．原题上传后，李先传先生就第2现已作修正，并提示第3问的解法，用垂径定理解决弦长，从而避开圆的方程，根据提示，录排如上． 此法避免了圆的方程． 附第3问用圆的方程求解设)4,(2m m P ,则圆心为)82,2(2m t m +，圆的方程为 ])4([41)82()2(222222m t m m t y m x -+=--+-，化简，得041412222=+--+-t m yt y m y mx x设直线的方程为n y =，则041412222=+--+-t m nt n m n mx x ，设交点的横坐标为21,x x ，aac b x x 4221-=-，本处1=a ，则t m nt n m n m ac b x x 22222221444-++-=-=-=2244)1(n nt m t n -+-+考虑到m 为变量，当1+=n t 时，1-=t n ，)1(44221-==-t n x x ≥0，此时t ≥1，即当1-=t y 时，上式为定值，即弦长为1221-=-t x x ，t ≥1．本题经动态试验，选择二图上传，可见无论x 的取值范围如何，其结论都正确：对不同的t 值，弦长不同；对同一t 值，弦长一定；这一定值是相对于确定的t 值而言，寓动于静．MN = 2.82843厘米2MN = 2.82843厘米2本题第3问初次做感觉很难．。

2014年全国初中数学联赛决赛试题一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3xyxyxy，则x y 的可能的值有【】A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ，则22t xy yz zx 的最大值为【】A ．47B ．59C ．916D ．12253．在△ABC 中，ABAC ，D 为BC 的中点，BE AC 于E ，交AD 于P ，已知3BP ，1PE，则AE ＝【】A ．62B ．2C ．3D ．64．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是【】A ．12B ．25C ．23D ．345．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t tt .已知实数x 满足33118xx，则1{}{}x x 【】A ．12B ．35C ．1(35)2D ．16．在△ABC 中，90C，60A ，1AC ，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形,90ADE ,则BE 的长为【】A ．423B ．23C ．1(31)2D ．31二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,,a b c 满足1a b c ，1111abcbc ac ab，则abc____．2．使得不等式981715n nk对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为．3．已知P 为等腰△ABC 内一点，ABBC ，108BPC ，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC．4．已知正整数,,a b c 满足:1ab c ，111a b c ，2b ac ，则b．三、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a ，(1)8a b b ，求2211ab的值．四、．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECDACB , AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F. 证明：DFE AFB ．五、（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333nxyzxyz ，则称n 具有性质P .（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？FCA BDE2014年全国初中数学联赛决赛试题和参考答案一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3xyxyxy，则x y 的可能的值有【】A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答】 C. 由已知等式得2244224423x y xyx yxyx y x y，显然,x y 均不为0，所以x y ＝0或32()xy x y .若32()xy x y ，则(32)(32)4x y .又,x y 为整数，可求得12,x y，或21.x y，所以1x y 或1x y .因此，x y 的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1xyz，则22txyyzzx 的最大值为【】A ．47B ．59C ．916D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xyyzzx x yz yz x y z y z 212(1)(1)4x x x 2731424xx2734()477x，易知：当37x ，27yz时，22t xy yzzx 取得最大值47.3．在△ABC 中，ABAC ，D 为BC 的中点，BEAC 于E ，交AD 于P ，已知3BP ，1PE，则AE ＝【】A ．62B ．2C ．3D ．6【答】 B.因为AD BC ，BE AC ，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ，又2BCBD ，所以6BD，所以3DP.又易知△AEP ∽△BDP，所以AE PE BDDP，从而可得1623PE AEBD DP.4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是【】A ．12B ．25C ．23D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205.5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t tt .已知实数x 满足33118xx，则1{}{}x x【】A ．12B ．35C ．1(35)2D ．1【答】 D. 设1x a x，则32223211111()(1)()[()3](3)xxxxxa axxxxx，所以2(3)18a a，因式分解得2(3)(36)0a a a ，所以3a .由13xx解得1(35)2x，显然1{}1,0{}1x x ，所以1{}{}x x1.6．在△ABC 中，90C，60A ，1AC，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形,90ADE ,则BE 的长为【】A ．423B ．23C ．1(31)2D ．31【答】 A.过E 作EF BC 于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB .设EFx ，则2BEx ，22AEx ，2(1)DEx ，1DFAC ，故2221[2(1)]x x，即2410x x .又01x ，故可得23x.故2423BE x .二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,,a b c 满足1a b c ，1111abcbc ac ab，则abc____．【答】0. 由题意知1111121212cab，所以(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c 整理得22()8a b c abc ，所以abc 0.2．使得不等式981715n n k对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为．【答】144. 由条件得7889k n，由k 的唯一性，得178k n且189k n，所以FEBCAD2118719872k k nnn，所以144n .当144n 时，由7889k n可得126128k ，k 可取唯一整数值127.故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，ABBC ，108BPC ，D 为AC 的中点，BD与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ．【答】48.由题意可得PEA PEB CED AED ，而180PEA PEB AED ，所以60PEA PEB CED AED ，从而可得30PCA . 又108BPC ，所以12PBE ，从而24ABD . 所以902466BAD ，11()(6630)1822PAEBAD CAE ，所以183048PAC PAE CAE 4．已知正整数,,a b c 满足:1ab c ，111a b c ，2b ac ，则b．【答】36. 设,a c 的最大公约数为(,)a c d ，1aa d ，1c c d ，11,a c 均为正整数且11(,)1a c ，11a c ，则2211bacd a c ，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d （1b 为正整数），则有2111ba c ，而11(,)1a c ，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ，则1b m n ，,m n均为正整数，且(,)1m n ，mn .又111a b c ，故111()111d a b c ，即22()111d m nmn .注意到222212127m nmn，所以1d或3d .若1d ，则22111mnmn ，验算可知只有1,10m n 满足等式，此时1a ，不符合题意，故舍去.若3d，则2237m nmn ，验算可知只有3,4m n 满足等式，此时27,36,48a bc，符合题意.EDAB PC因此，所求的36b .三、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a ，(1)8a b b ，求2211ab的值．解由已知条件可得222()40a bab ，()8ab a b .设a b x ，ab y ，则有2240xy，8xy，…………5分联立解得(,)(2,6)x y 或(,)(6,2)x y .………10分若(,)(2,6)x y ，即2a b ，6ab ，则,a b 是一元二次方程2260tt 的两根，但这个方程的判别式2(2)24200，没有实数根；……………15分若(,)(6,2)x y ，即6ab，2ab ，则,a b 是一元二次方程2620tt 的两根，这个方程的判别式2(6)8280，它有实数根.所以2222222222211()262282a ba b ab aba b a b.………20分四、．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB , AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ．证明由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECDACB DAF .………5分又A 、B 、F 、D四点共圆，所以B D CA B D，…………　….10分所以△ECD ∽△DAF ，………15分所以ED CD AB DFAFAF.………20分又EDFBDF BAF ，所以△EDF ∽△BAF ，故DFE AFB .……………………25分五、（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333nxyzxyz ，则称n 具有性质P .FCA BDE（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？解取1x ，0y z ，可得3331103100，所以1具有性质P ；取1xy，0z，可得33321103110，所以2具有性质P ；…………………5分若3具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得33()3()()xy z x yz xyyzzx ，从而可得33|()x y z ，故3|(x yz，于是有39|()3()()x y z x yz xyyzzx ，即9|3，这是不可能的，所以3不具有性质P .……………………10分（2）记333(,,)3f x y z xy zxyz ，则33(,,)()3()3f x y z x y zxy x y xyz 3()3()()3()xy z x y z x yz xy x y z ＝3()3()()xy z xy z xy yz zx 2221()()2x y z x yzxy yzzx 2221()[()()()]2xyz x y y z zx . 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2xy z xy yz z x ①……………………15分不妨设xy z ，如果1,0,1x y y z x z ，即1,x z y z ，则有(,,)31f x y z z ；如果0,1,1x y y z x z ，即1x yz ，则有(,,)32f x y z z ；如果1,1,2xyyzxz，即2,1xz y z ，则有(,,)9(1)f x y z z ；由此可知，形如31k 或32k或9k（k 为整数）的数都具有性质P .……………………20分又若33|(,,)()3()()f x y z xyz x y z xy yz zx ，则33|()x y z ，从而3|()x yz ，进而可知39|(,,)()3()()f x y z xyz xyz xyyzzx .综合可知：当且仅当93n k 或96n k （k 为整数）时，整数n 不具有性质P .又2014＝9×223＋7，所以，在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数共有224×2＝448个.…………………25分我们对服务人员的配备以有经验、有知识、有技术、懂管理和具有高度的服务意识为准绳，在此基础上建立一支高素质的物业管理队伍，为销售中心的物业管理创出优质品牌。

2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分）以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则的值为【】（A）2013（B）2014（C）2015（D）0【答】D．解：最大的负整数是－1，∴=－1；绝对值最小的有理数是0，∴=0；倒数等于它本身的自然数是1，∴=1.∴==0.2. 已知实数满足则代数式的值是【】（A）（B）3（C）（D）7【答】A．解：两式相减得3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN在图2中的对应线段是【】（A）（B）（C）（D）【答】C．解：将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN和△ABM所在的面为组合面，则△AMN和△ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，首先确定B点，所以线段d 与AM重合，MN与线段c重合.4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列7个代数式，，，，，，中，其值为正的式子的个数为【】（A）2个（B）3个（C）4个（D）4个以上【答】C．解：由图象可得：，，，∴，，.抛物线与轴有两个交点，∴.当=1时，，即.当=时，，即.从图象可得，抛物线对称轴在直线=1的左边，即，∴.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个.5. 如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A点在反比例函数（x>0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【】（A）（x<0）（B）（x<0）（C）（x<0）（D）（x<0）【答】B．解：如图，分别过点分别做轴的垂线，那么∽，则，故.6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF 的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】（A）1 （B）2 （C）3 （D）6【答】B．解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G为PS的中点, 即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点G移动的路径长为=2.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．已知，化简得.【答】．解：∵，∴，，原式=.8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为.【答】．解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得，即=10，所以P（摸出一个红色玻璃球）=.9. 若，则= .【答】8．解：∵，∴.则，即.∴10．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为.【答】．解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，∴AO=CO=，BO=DO=4，∴阴影部分面积====.11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1= .【答】．解：过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4－x，在Rt△A1BM中，，∴=，∴x =A1M=，∴在等腰Rt△A1CM中，C A1=.12．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m是关于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为.【答】20．解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75.又∵a+b+c+d =5，∴m =20.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，则有，.易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34,……………………………………4分∴，，即.∵x，y，z均为正整数，≥0，即0＜z≤14∴z只能取14，9和4 (8)分①当z为14时，=2，=28. .②当z为9时，=26，=18. .③当z为4时，=50，=8. .综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支.……………………………………………………………………14分14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6.（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式；（2）若AE=2EB.①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长；②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）14、解：（1）在Rt中，…………………………………………………………5分（2）①∽.………………………7分若⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的左侧，过点作于，则可设. 解得…………………10分若⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的右侧，过点作于，则可设解得即满足条件的圆的半径为或6.…………………………………………13分②6个.………………………………………………………………………………………16分15. 如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA =AB=BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.（1）连接PA、PE，求证：PA=PE；（2）连接PC，若PC+P E=，试求AB的最大值；（3）在（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△M NC为钝角三角形时，求m的范围.解：（1）证明：如图1，连接AE.…………………………………………………………5分(2)∵PC+P E=，∴PC+PA=.显然有OB=AC≤PC+P A=.……………7分在Rt△B OC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=，∴≤，∴≤2.即AB的最大值为2.…………………………10分(3) 当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.分三种情况讨论：①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥M N时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△M NC为钝角三角形.过N作NF⊥x轴，垂足为F，∵A点坐标为（1，），∴可设N点坐标为（，），则D F=a－m，NF=，FC=4－a. ∵△O MD∽△FN D∽△FCN，∴.解得，，即当0<<时，△M NC为钝角三角形； (14)分②当N点在AB上时，不能满足△M NC为钝角三角形； (15)分③当N点在BC上时，如图3，若CN⊥M N时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足△M NC为钝角三角形.∴当<<4时，△M NC为钝角三角形.综上所述，当0<<或<<4时，△M NC为钝角三角形 (1)。

2014年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若0x >，0y >= ）A. 1B. 2C. 3D. 42．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则错误！未找到引用源。

＝（ ） A ．16 B ．15 C ．13 D ．12 3．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，错误！未找到引用源。

则x y +的可能的值有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ ） A ．21 B ．20 C ．31 D ．305．已知实数,,x y z 1()2x y z =++，则xyz 的值为 （ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．不确定6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝ （ ）A ．1813B ．2013C ．2213 D ．2413 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝___________． 2．使得不等式981715n n k <<+错误！未找到引用源。

对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ___________． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC ∠=___________．4．已知n 为正整数，且432261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝___________．第二试一、（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记221145224M a ab b a b =-++-+，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．二、（本题满分25分）在直角△ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，90EDF ∠=︒，已知4CE =，2AE =，32BF CF -=，求AB .三、（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足2221222bc ac aba bcb ac c ab++=+++，求a b c++的值.2014年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若0x >，0y >= ）A. 1B. 2C. 3D. 42．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则错误！未找到引用源。

ABCD2014年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、化简23231+--的值是（ ） A 、0 B 、32 C 、32- D 、4 2、实数a ，b ，c 满足0=++c b a ，则a ，b ，c 中正数的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、33、在一个圆柱形水池内，有一个进水管和一个出水管，进水管流水速度是出水管流水速度的两倍。

开始时有一满池水，出水管开始放水，到池水只有一半池时，打开进水管放水（此时出水管不关）直到放满池水关闭进水管，再由出水管放完池水。

则在这一过程水池中的水量V 随时间t 的变化关系的图像是（ ）4、如图，在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，AE 是BAD ∠的平分线，EF 垂直于AE ，则AF 的长为（ ）A 、23B 、4C 、52D 、10 5、方程1|3||2|=---x x 的解得个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、无数个 6、在ABC ∆中，B ∠和C ∠的角平分线交点是I ，则BIC ∠是（ ） A 、锐角 B 、直角 C 、钝角 D 、无法确定 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、用火柴棍按照如下图所示的规律搭建三角形，“……”表示按照前面的规律一直搭建下去，当搭建到第n 个编号三角形的时候，所用火柴棍的根数是 根（用含有n 的式子表示）。

2、若a 为整数，则关于x 的方程()11+=-a x a 的所有整数解得和是 .3、a ，b 为常数，且对任何实数x ，都有()()2121322222+++=+++x bx a x x x 成立，则___=a b . EFCB D A4、在长方形纸片ABCD 中，1=AB ，2=BC ，设E 为BC 的中点，现将纸片折叠，使得A 、E 重合，则折痕将长方形纸片分成两部分中，较大部分面积与较小部分面积之比的值为 .三、（本大题满分20分） 解不等式：13|2|-<-x x四、(本大题满分25分)如图，在等腰梯形ABCD 中，BC AD //，BC DE ⊥于E ，若3=DE ，5=BD ，求梯形ABCD 的面积。