用导数法证明不等式的思维策略——例谈2007年高考试题中不等式证明问题

利用导数证明或解决不等式问题
导数在解决不等式问题中起着非常重要的作用，利用导数可以轻松地证明和解决各种
不等式问题。

本文将通过一些具体的例子，来展示导数在不等式问题中的应用。

我们来看一个简单的例子：证明当x>0时，e^x\geq1+x。

我们可以利用导数来证明这
个不等式。

我们计算e^x和1+x的导数，分别为e^x和1。

然后我们发现e^x-1\geq x，这意味着在x>0时，e^x\geq1+x。

这样就利用导数证明了这个不等式。

除了证明不等式，我们还可以利用导数来解决不等式问题。

我们要求解不等式
x^2-5x+6>0。

我们可以通过求解x^2-5x+6的导数来判断x^2-5x+6的增减性。

首先求导得
到2x-5，然后令2x-5=0，解得x=\frac{5}{2}。

这说明在x<\frac{5}{2}时，x^2-5x+6<0，而在x>\frac{5}{2}时，x^2-5x+6>0。

不等式x^2-5x+6>0的解集是x<\frac{5}{2}或
x>\frac{3}{2}。

利用导数证明或解决不等式问题导数是微积分中的重要概念，在解决不等式问题中，导数可以发挥很大的作用。

下面我们将以一些具体的例子来说明如何利用导数证明或解决不等式问题。

例子1：证明不等式x^2≥0在实数域中恒成立。

解析：对于任意实数x，在实数域中，不管x取何值，其平方x^2都大于等于0。

我们可以通过导数来证明这个不等式。

对x^2进行求导，得到导函数2x。

我们知道，导数表示函数的变化率，对于x^2来说，导函数2x表示了函数的斜率，也就是说，无论x取何值，函数x^2的斜率总为正数或者0。

因为函数的斜率总是非负的，所以x^2≥0在实数域中恒成立。

例子2：求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点。

解析：要求函数f(x)的极值点，我们可以先求出函数的导数f'(x)，然后将f'(x)=0进行求解。

导数为0的点即为极值点。

将f'(x)=3x^2-6x+2=0进行求解，可以得到x=1或者x=2。

接下来，我们可以求出函数在x=1和x=2处的函数值，并比较求出极值点。

f(1)=1^3-3*1^2+2*1=0f(2)=2^3-3*2^2+2*2=0对f(x)进行求导，得到导函数f'(x)=3x^2-6。

接下来，我们可以将x轴上的一些点带入函数f'(x)进行判断。

当x<−√2时，f'(x)>0；当−√2<x<√2时，f'(x)<0；当x>√2时，f'(x)>0。

由此可见，函数f(x)=x^3-6x在区间(−∞,−√2)，(−√2,√2)，(√2,+∞)上是单调的。

导数证明不等式的方法介绍导数证明不等式的方法介绍利用导数是可以证明很多定律的，比如不等式之类的。

下面就是店铺给大家整理的利用导数证明不等式内容，希望大家喜欢。

利用导数证明不等式方法11.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)设函数f(x)=x-ln(x+1)求导，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数f(x)>f(1)=1-ln2>o所以x>ln(x+12..证明：a-a^2>0 其中0F(a)=a-a^2F'(a)=1-2a当00;当1/2因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0即有当003.x>0,证明：不等式x-x^3/6先证明sinx因为当x=0时，sinx-x=0如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，求导数有sinx-x的导数是cosx-1因为cosx-1≤0所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，知sinx再证x-x³/6对于函数x-x³/6-sinx当x=0时，它的值为0对它求导数得1-x²/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。

利用导数证明不等式方法2要证x²/2+cosx-1>0 x>0再次用到函数关系，令x=0时，x²/2+cosx-1值为0再次对它求导数得x-sinx根据刚才证明的当x>0 sinxx²/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0x²/2-cosx-1<0 x>0所以x-x³/6-sinx是减函数，在0点有最大值0得x-x³/6利用函数导数单调性证明不等式X-X²>0，X∈(0,1)成立令f(x)=x-x² x∈[0,1]则f'(x)=1-2x当x∈[0,1/2]时,f'(x)>0,f(x)单调递增当x∈[1/2,1]时,f'(x)<0,f(x)单调递减故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得f(0)=0,f(1)=0故f(x)的最小值为零故当x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。

导数与构造函数证明不等式的技巧导数是微积分中非常重要的概念，它是函数在某一点的变化率，也可理解为函数在该点的切线斜率。

在证明不等式中，有时可以通过求导来探究函数的性质，从而得到不等式。

构造函数也是证明不等式的常用技巧之一。

通过巧妙地构造函数，可以得到满足特定条件的变量之间的不等式，进而推导出原问题的不等式。

下面，我们将详细介绍导数和构造函数在证明不等式中的应用。

一、导数在证明不等式中的应用在微积分中，导数被称为函数的铁证，因为它可以准确描述出函数在某一点附近的性质。

在证明不等式时，导数也可以起到很好的作用。

1. 求导探究函数的特性如果一个函数在某一区间内是严格单调递增或严格单调递减的，那么这个函数在该区间内的大小关系也就确定了。

因此，我们可以通过求导来探究函数的单调性，进而得出函数的大小关系。

例如，我们要证明当$x>0$时，$e^x>1+x$。

此时我们可以定义函数$f(x)=e^x-(1+x)$，然后求$f(x)$的导数，即$ f'(x)=e^x-1$。

根据导数的定义可知，当$f'(x)>0$时，$f(x)$单调递增；当$f'(x)<0$时，$f(x)$单调递减。

因此，我们只需要证明在$x>0$时，$f'(x)>0$即可。

显然，$e^x>1$，因此$f'(x)=e^x-1>0$，即$f(x)$单调递增。

由于$f(0)=0$，因此当$x>0$时，$f(x)>0$，即$e^x-(1+x)>0$，也就是$e^x>1+x$。

2. 利用中值定理证明不等式中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明如果一个函数在某一区间内满足一定的条件，那么这个函数在该区间内至少有一点的导数等于这一区间的函数增量的比率。

在证明不等式时，我们可以用中值定理来探究函数的性质。

$$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}-\frac{1}{x}$$可以发现，$f'(x)<0$当且仅当$x>\sqrt{2}$，因此我们只需要证明当$x>\sqrt{2}$时，$f(x)>0$。

导数与构造函数证明不等式的技巧导数与构造函数是微积分中的重要概念，它们在证明不等式中起着重要作用。

本文将介绍一些导数与构造函数在证明不等式中的技巧，并通过具体的例子来加深理解。

1. 利用导数的性质进行不等式证明在证明不等式时，可以通过导数的性质来进行推导。

当需要证明一个函数在某个区间上单调递增或单调递减时，可以通过求导数并分析导数的正负性来进行证明。

假设一个函数f(x)在区间[a, b]上可导，求出其导数f'(x)并分析f'(x)的正负性，如果f'(x)恒大于零，那么函数f(x)在区间[a, b]上就是单调递增的；如果f'(x)恒小于零，那么函数f(x)在区间[a, b]上就是单调递减的。

通过这种方法，可以利用导数的性质来证明函数的单调性质，从而进一步推导出不等式。

2. 构造函数进行不等式证明构造函数是指通过一些技巧将原函数进行变形，从而更好地应用各种数学性质来进行不等式证明。

当需要证明一个不等式时，可以通过构造一个辅助函数来简化原不等式的证明过程。

通过巧妙地构造函数，可以使得不等式的证明更加直观、简单。

例1：证明当x>0时，有e^x>1+x。

解：可以通过在函数f(x) = e^x - (1+x)上应用导数的性质来证明这个不等式。

求导数得f'(x) = e^x - 1，显然f'(x)恒大于零，因此f(x)在区间(0, +∞)上单调递增。

又当x=0时，有f(0) = e^0 - (1+0) = 0，因此在区间(0, +∞)上有f(x)>0，即e^x>1+x。

通过导数的性质，成功证明了不等式e^x>1+x。

通过以上两个例子，可以看到导数与构造函数在不等式证明中的重要作用。

通过分析导数的性质以及巧妙地构造辅助函数，可以更好地理解、应用和证明各种不等式。

在实际的数学问题中，通常会遇到各种复杂的不等式，通过灵活运用导数与构造函数的技巧，可以更加轻松地解决这些问题。

导数的应用——利用导数证明不等式导数是微积分中的重要概念，它不仅在数学中有广泛的应用，还能帮助我们解决一些实际问题。

利用导数来证明不等式是导数的另一个重要应用之一、在本文中，我们将探讨如何使用导数来证明一些不等式。

在开始之前，我们需要回顾一下导数的定义。

对于函数f(x)，如果在特定点x处的导数存在，那么导数的定义为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

证明不等式的基本方法是比较函数在一些区间内的导数大小关系。

如果可以证明在这个区间内，一个函数的导数始终大于另一个函数的导数，那么我们可以推断出，这个区间内的一个函数始终大于另一个函数，从而得到不等式的证明。

下面将通过一些具体的例子来说明如何利用导数证明不等式。

例1：证明当x>0时，e^x>1+x首先，我们定义函数f(x)=e^x-(1+x)，我们需要证明当x>0时，f(x)>0。

对于上述函数，我们可以计算它的导数f'(x)=e^x-1、现在我们只需要证明当x>0时，f'(x)>0即可。

对于x>0，显然有e^x>1，因此f'(x)=e^x-1>1-1=0，即f'(x)>0。

由此可知，当x>0时，f(x)是递增函数。

由此得到，f(x)>f(0)，即e^x-(1+x)>1-(1+0)=0。

因此，当x>0时，e^x>1+x。

例2：证明当 x>-1 时，(1+x)^n>1+nx在这个例子中，我们需要证明当 x>-1 时，(1+x)^n>1+nx，其中 n是正整数。

我们定义函数 f(x) = (1+x)^n-(1+nx)，我们需要证明当 x>-1 时，f(x)>0。

同样地，我们计算这个函数的导数f'(x)=n(1+x)^(n-1)-n。

利用导数证明不等式的方法导数是微积分中的重要概念，它在数学中有着广泛的应用。

在证明不等式时，导数也可以发挥重要的作用。

本文将介绍如何利用导数证明不等式，并通过具体的例子来说明这一方法的实际应用。

我们需要了解导数的定义。

在微积分中，导数表示函数在某一点上的变化速率。

对于函数f(x)，它在点x处的导数可以通过极限的方式来定义，即f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h。

导数可以帮助我们研究函数的变化趋势和性质。

在证明不等式时，我们可以利用导数的性质来推导。

首先，我们需要找到函数的临界点，即导数为0或不存在的点。

在这些点上，函数的极值可能出现。

然后，我们可以通过导数的正负来判断函数的增减性。

如果导数在某个区间上恒大于0，则说明函数在该区间上是递增的；反之，如果导数在某个区间上恒小于0，则说明函数在该区间上是递减的。

通过这些性质，我们可以推导出不等式的成立。

假设我们要证明一个不等式f(x) ≤ g(x)，我们可以定义一个新的函数h(x) = f(x) - g(x)。

然后，我们可以通过研究h(x)的导数来证明不等式的成立。

如果h(x)的导数恒小于等于0，则说明h(x)在整个定义域上是递减的，即h(x) ≤ 0，从而得到f(x) ≤ g(x)。

类似地，如果h(x)的导数恒大于等于0，则说明h(x)在整个定义域上是递增的，即h(x)≥ 0，也能得到f(x) ≤ g(x)。

下面，我们通过一个具体的例子来说明这一方法。

假设我们要证明不等式x^2 ≤ 2x。

我们可以定义函数h(x) = x^2 - 2x，并求出h(x)的导数。

通过计算，我们可以得到h'(x) = 2x - 2。

我们注意到h'(x)是一个一次函数，且导数恒大于等于0。

因此，根据上述的推导方法，我们可以得出结论x^2 ≤ 2x。

通过这个例子，我们可以看到利用导数证明不等式的方法的实际应用。

例谈用导数证明数列型不等式的
策略
利用导数证明数列不等式，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，巧妙地将函数、导数、数列、不等式结合在一起。

证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到。

已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex＞x＋1可化为lnx≤x－1等。

导数与构造函数证明不等式的技巧在高中数学中，不等式是经常会遇到的题目类型，也是数学竞赛中经常涉及到的一类题目。

在证明不等式的过程中，我们可以运用导数与构造函数等技巧来简化证明难度，提高证明效率。

一、运用导数证明不等式当我们需要证明一个函数的值在某个范围内时，我们可以考虑用导数来帮助我们进行证明，具体可分为以下步骤：1、确定函数的定义域和值域，并确定要证明的不等式形式。

2、通过求导得到函数的单调性或极值点。

3、根据函数的单调性或极值点，利用数轴或图象来确定函数的取值范围及是否满足要证明的不等式。

例如，要证明关于 $x$ 的不等式 $\frac{3}{2}x^2-6x+5>0$ 成立，可按以下步骤进行证明：1、由不等式左边的式子可得到 $f(x)=\frac{3}{2}x^2-6x+5$，其定义域为实数集，值域为 $[0,\infty)$。

2、对 $f(x)$ 求导，得到 $f'(x)=3x-6$。

当 $f'(x)>0$ 时，$f(x)$ 单调上升，当$f'(x)<0$ 时，$f(x)$ 单调下降。

当 $f'(x)=0$ 时，$f(x)$ 有极值，即当 $x=2$ 时，$f(x)$ 取得极小值 $-1$。

3、据此得到 $f(x)$ 的图象如下图所示，可知在 $x<2$ 和 $x>2$ 的区间内，$f(x)$ 的取值为正，因此原不等式成立。

构造函数法是一种运用代数方法构造一个函数来满足指定条件的证明方法。

具体可分为以下步骤：1、根据不等式的形式或特点，分析解析式中可能出现的约束条件或不等式关系。

2、构造一个函数并确定其满足条件的范围。

3、证明所构造的函数满足所要证明的不等式条件。

1、根据不等式的形式，可考虑构造分式函数。

2、构造函数 $f(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}$，其定义域为$D=\{(x,y)\mid x\neq0,y\neq0,x\neq y\}$。

利用导数证明不等式的几种策略导数在数学中起着至关重要的作用，不仅可以用来求函数的极值点和拐点，还可以用来证明不等式。

在证明不等式时，我们可以利用导数的性质来进行推导。

下面将介绍几种利用导数证明不等式的策略。

1.利用单调性证明不等式对于一个给定的函数，在其定义域内，如果函数在一段区间上是单调递增或者单调递减的，则可以利用该函数的导数证明一些不等式。

例如，我们要证明对于任意正实数x，有ln(x+1) < x。

我们可以设函数f(x) = x - ln(x+1)，然后计算导数f'(x) = 1 - 1/(x+1)。

观察导数的符号可以发现，当x > 0时，导数f'(x) < 0，即函数f(x)在x > 0上是单调递减的。

因此，我们可以得出结论：ln(x+1) < x 对于任意正实数x成立。

2.利用极值点证明不等式对于一个给定的函数，如果该函数在一些点处取得极大值或者极小值，我们可以通过证明该极值点处的函数值与其他点处的函数值之间的关系，来证明不等式。

例如，我们要证明对于任意非负实数x，有x^3-3x^2+1>=0。

我们可以设函数f(x)=x^3-3x^2+1，然后计算导数f'(x)=3x^2-6x。

观察导数的零点可以发现，f'(x)=0时，x=0或者x=2，即函数f(x)在x=0和x=2处取得极小值或者极大值。

进一步计算f(0)=1和f(2)=-1可以发现，f(0)是函数f(x)在其定义域内的最小值。

因此，我们可以得出结论：x^3-3x^2+1>=0对于任意非负实数x成立。

3.利用泰勒展开证明不等式对于一个给定的函数，在一些点的邻域内，我们可以使用该函数的泰勒展开式来近似表示该函数。

通过比较泰勒展开式的高阶项可以得出一些不等式。

例如，我们要证明对于任意正实数x，有e^x>x^2、我们可以使用泰勒展开式来近似表示函数e^x和函数x^2，在x=0处进行展开。

ʏ浙江省杭州育新高级中学 周小锋证明不等式在高考数学试卷中是一个永恒的难题,充分体现了数学基础知识的交汇性与综合性,数学思想方法的创新灵活多样性,经常出现在高考试卷的压轴题的位置㊂而导数作为一种数学工具,对于证明不等式问题更是一种具有创新性的应用㊂本文结合实例,就利用导数证明不等式的几种常见方式,合理总结证明技巧方法与规律㊂一㊁构建函数利用待证不等式的结构特征来构建相应的函数,利用导数法及其函数的单调性来化归与转化,是证明一些涉及函数的不等式问题中最常用的技巧方法,而其他方法技巧中往往也离不开构建函数这一关键步骤㊂例1 已知函数f (x )=1-l n xx,g (x )=a e e x +1x -b x ,若曲线y =f (x )与曲线y =g (x )在公共点A (1,1)处的切线相互垂直㊂(1)求实数a ,b 的值;(2)证明:当x ȡ1时,f (x )+g (x )ȡ2x ㊂解析:(1)对f (x )求导得f '(x )=l n x -1x2,则f '(1)=-1㊂对g (x )求导得g'(x )=-a e e x-1x2-b ,则g '(1)=-a -1-b ㊂联立方程组f '(1)g'(1)=-1,g (1)=1,即a +1+b =-1,a +1-b =1,解得a =b =-1㊂(2)由(1)可得g (x )=-e ex +1x +x ㊂令函数h (x )=f (x )+g (x )-2x(x ȡ1),则h (x )=1-l n x x -e e x -1x +x ,求导得h '(x )=-1-l n x x 2+e e x +1x2+1=l n x x 2+eex +1㊂因为x ȡ1,所以h '(x )>0,所以h (x )在[1,+ɕ)上单调递增,所以h (x )ȡh (1)=0,即1-l n x x -e ex -1x +x ȡ0㊂所以当x ȡ1时,f (x )+g (x )ȡ2x㊂点评:当证明含参不等式问题时,经常通过合理构建一边含参,一边为常数(往往是0或1等),对应构建形如 左减右 型(或 复杂减简单 型,以及除式等特殊形式)的函数,进而利用新函数的构建与求导,结合函数的单调性㊁极值与最值等知识来合理分析与转化,得以合理巧妙证明相应的不等式㊂二㊁放缩法放缩法证明不等式是在综合导数及其应用,以及函数的单调性等的基础上,进一步利用不等式的性质㊁重要不等式的结论(l n x ɤx -1,e xȡx +1,当且仅当x =1时取等号),借助导数法的应用来综合分析,实现不等式的证明㊂例2 已知函数f (x )=2l n x +2ex㊂(1)试确定f (x )的单调区间;(2)证明:当x >0时,都有f '(x )l n (x +1)<2e x +2ex +2㊂解析:(1)对f (x )求导得f '(x )=2(1-x -x l n x )x e x(x >0)㊂令函数g (x )=1-x -x l n x ,则g (1)=0㊂当0<x <1时,1-x >0,-x l n x >0,所以g (x )>0,f '(x )>0;当x >1时,1-x <0,-x l n x <0,所以g (x )<0,f'(x )<0㊂所以函数f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+ɕ)上单调递减㊂(2)要证明f '(x )l n (x +1)<2e x +2ex +2,即证(1-x -x l n x )l n (x +1)<1+1e2x ㊂12解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.令函数g (x )=1-x -x l n x ,求导得g'(x )=-1-(l n x +1)=-2-l n x ㊂当0<x <1e 2时,g '(x )>0;当x >1e2时,g'(x )<0㊂所以函数g (x )在0,1e2上单调递增,在1e2,+ɕ 上单调递减,所以g (x )ɤg 1e 2=1-1e 2+2e 2=1+1e2,所以1-x -x l n x ɤ1+1e2㊂要证明(1-x -x l n x )l n (x +1)<1+1e2x ,只需证明l n (x +1)<x 即可㊂结合重要不等式,可知l n x ɤx -1,当且仅当x =1时取等号(直接利用重要不等式的结论,证明略),所以0<l n (x +1)<x ㊂综上所述,当x >0时,都有f '(x )㊃l n (x +1)<2e x +2ex +2㊂点评:在证明一些含有l n x 与e x型的超越函数所对应的复杂不等式问题时,经常利用相应的重要不等式结论l n x ɤx -1㊁e xȡx +1等进行合理放缩处理,巧妙转化,进而得以证明相应的不等式㊂三㊁切线法切线法证明不等式问题,往往是数形结合的 产物 ,也是问题前后联系的进一步应用,利用前面问题所探求的切线方程,巧妙利用导数㊁函数的单调性及图像特征来分析与转化㊂例3 已知函数f (x )=e x-x2㊂(1)求函数f (x )的图像在x =1处的切线方程;(2)求证:当x >0时,e x+(2-e )x -1xȡl n x +1㊂解析:(1)对f (x )求导得f '(x )=e x-2x ,所以f '(1)=e -2,f (1)=e -1,所以函数f (x )的图像在x =1处的切线方程为y =(e -2)(x -1)+e -1,即y =(e -2)x +1㊂(2)令函数g (x )=f '(x )(x >0),求导得g '(x )=e x-2㊂当x <l n 2时,g'(x )<0;当x >l n 2时,g'(x )>0㊂所以函数g (x )=f'(x )在(0,l n 2)上单调递减,在(l n 2,+ɕ)上单调递增,则g (x )m i n =g (l n 2)=f '(l n 2)=2-2l n 2>0,所以函数f (x )=e x -x 2在(0,+ɕ)上单调递增㊂由函数f (x )的图像在x =1处的切线方程为y =(e -2)x +1,f (1)=e -1,可猜测:当x >0时,f (x )ȡ(e -2)x +1㊂证明如下:设函数h (x )=f (x )-(e -2)x -1(x >0),求导得h '(x )=e x-2x -e +2㊂令函数m (x )=h '(x ),求导得m '(x )=e x-2㊂当x <l n 2时,m '(x )<0;当x >l n 2时,m '(x )>0㊂所以h '(x )在(0,l n 2)上单调递减,在(l n 2,+ɕ)上单调递增,则h '(1)=0,0<l n 2<1,所以h '(l n 2)<0㊂又h '(0)=3-e >0,所以存在x 0ɪ(0,l n 2),使得h '(x 0)=0㊂故当x ɪ(0,x 0)ɣ(1,+ɕ)时,h '(x )>0;当x ɪ(x 0,1)时,h '(x )<0㊂所以h (x )在(0,x 0)上单调递增,在(x 0,1)上单调递减,在(1,+ɕ)上单调递增㊂因为h (0)=h (1)=0,所以h (x )ȡ0,即f (x )ȡ(e -2)x +1,当且仅当x =1时取等号,所以当x >0时,e x -x 2ȡ(e -2)x +1,变形可得e x+(2-e )x -1xȡx ㊂又x ȡl n x +1,当且仅当x =1时取等号(直接利用重要不等式的结论,证明略),所以e x+(2-e )x -1x ȡl n x +1,当且仅当x =1时取等号㊂点评:该题的第(1)问是求曲线的切线方程,要注意其切线方程是后续切线法证明不等式的 台阶 ,可运用切线放缩法进行放缩解决问题㊂此类综合应用问题往往呈现特殊的规律性:多步设问,层层递进,上问结果,用于下问㊂巧妙利用切线法来转化,合理有效证明相应的不等式㊂四㊁极值点偏移法证明一些含有函数的极值点或零点等的特殊不等式时,往往利用极值点偏移法,巧妙22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.通过消参或消元等方式,合理构建函数,结合导数的运算与应用,以及函数的单调性㊁极值㊁最值等来综合应用,进而证明对应的不等式成立㊂例4 已知f (x )=x l n x -12m x 2-x ,m ɪR ㊂若函数f (x )的两个极值点x 1,x 2满足x 1<x 2,求证:x 1x 2>e 2㊂证明:欲证x 1x 2>e 2,需证l n x 1+l n x 2>2㊂由函数f (x )有两个极值点x 1,x 2,可得f'(x )有两个零点,又f '(x )=l n x -m x ,所以x 1,x 2是方程f '(x )=0的两个不同实根㊂证法一:于是有l n x 1-m x 1=0,l n x 2-m x 2=0㊂①②由①+②可得l n x 1+l n x 2=m (x 1+x 2),即m =l n x 1+l n x 2x 1+x 2;由②-①可得l n x 2-l n x 1=m (x 2-x 1),即m =l n x 2-l n x 1x 2-x 1㊂所以l n x 2-l n x 1x 2-x 1=l n x 1+l n x 2x 1+x 2,则l n x 1+l n x 2=(l n x 2-l n x 1)(x 2+x 1)x 2-x 1=1+x 2x 1l n x 2x 1x 2x 1-1㊂又0<x 1<x 2,设t =x 2x 1,则t >1,因此l n x 1+l n x 2=(1+t )l n tt -1,t >1㊂要证l n x 1+l n x 2>2,即证(t +1)l n tt -1>2(t >1),即证当t >1时,有l n t >2(t -1)t +1㊂令函数g (t )=l n t -2(t -1)t +1(t >1),求导得g '(t )=1t-2(t +1)-2(t -1)(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2>0,所以函数g (t )在(1,+ɕ)上单调递增,因此g (t )>l n 1-2ˑ(1-1)1+1=0㊂于是当t >1时,有l n t >2(t -1)t +1,所以有l n x 1+l n x 2>2成立,即x 1x 2>e 2㊂证法二:由于f '(x 1)=f '(x 2)=0,令f'(x )=0,则l n xx=m ㊂令函数h (x )=l n xx,则h (x 1)=h (x 2)=m ,h '(x )=1-l n xx2㊂由h '(x )>0,得0<x <e ;由h '(x )<0,得x >e ,所以函数h (x )在(0,e)上单调递增,在(e ,+ɕ)上单调递减,故0<x 1<e<x 2㊂令函数H (x )=h (x )-h e2x(0<x <e ),求导得H '(x )=h '(x )+e 2x 2h 'e2x=1-l n x x 2+e 2x 2㊃1-l n e2x e4x2=1-l n x x 2+l n x -1e 2=(1-l n x )1x 2-1e2=(1-l n x )e 2-x2e 2x2㊂因为0<x <e,所以1-l n x >0,e 2-x 2>0,所以H '(x )>0,所以H (x )在(0,e )上单调递增,易得H (x )<0,所以当x ɪ(0,e )时,h (x )<he2x㊂因为h (x 1)=h (x 2),所以h (x 2)<he2x 1㊂因为x 2ɪ(e ,+ɕ),e 2x 1ɪ(e ,+ɕ),h (x )在(e,+ɕ)上单调递减,所以x 2>e2x 1,即x 1x 2>e 2㊂点评:利用导数证明不等式问题时,关键就是合理消参,或合理消 变 ,或减少参数个数,或减少变量个数,合理借助新函数的构建与导数的运算,利用函数的单调性㊁极值与最值等来转化与应用㊂利用导数证明不等式问题时,其实质就是借助导数的应用,结合导数的运算,以及函数的单调性㊁极值或最值等相关知识,从而达到 数 与 形 的联系,合理依托端点效应,巧妙缩小变量的取值范围,借助直观分析,合理寻找临界,进而巧妙实现对应的不等式证明问题,全面提升函数与导数的综合应用与巧妙转化,提高数学能力,培养数学核心素养㊂(责任编辑 王福华)32解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年5月Copyright ©博看网. 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导数与构造函数证明不等式的技巧数学中，不等式是一种非常重要的工具，可以用来证明和描述各种性质和现象。

在证明不等式时，我们常常需要运用导数和构造函数的技巧。

下面，本文将介绍导数和构造函数证明不等式的技巧。

一、导数证明不等式当我们需要证明一个函数的某个性质或者不等式时，可以通过计算其导数来得到一些有用的信息。

具体来说，如果一个函数在某一点的导数为正数，则意味着函数在该点的值越大，导函数也就越大；而如果函数在某一点的导数为负数，则意味着函数在该点的值越大，导函数也就越小。

考虑一个简单的例子：证明二次函数 $f(x)=x^2+4x+3$ 在 $x\geqslant-2$ 的区间内严格单调递增。

我们首先计算 $f(x)$ 的导数：$$f'(x)=2x+4$$然后，我们发现，在 $x\geqslant-2$ 的区间内，$f'(x)$ 是恒正的，因此$f(x)$ 在该区间内是严格单调递增的。

因此，不等式 $f(x_1)<f(x_2)$ 成立当且仅当$x_1<x_2$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 均在 $x\geqslant-2$ 的区间内。

另一种证明不等式的常用技巧是构造函数。

具体来说，我们可以构造一个新的函数$g(x)$，使得 $g(x_1)<g(x_2)$ 成立当且仅当 $f(x_1)<f(x_2)$ 成立。

考虑一个简单的例子：证明当 $a>1$ 时，有 $a^2>a+\sqrt{a}$。

我们首先构造一个函数 $f(x)=x^2-x-\sqrt{x}$，并计算其导数：$$f'(x)=2x-1-\frac{1}{2\sqrt{x}}$$接下来，我们构造一个新的函数 $g(x)=af(x)+(a-1)x$。

由于 $a>1$，因此$g'(x)=af'(x)+(a-1)>0$，因此 $g(x)$ 在 $x>1$ 的区间内是严格单调递增的。

利用导数证明或解决不等式问题不等式问题是数学中常见的问题类型之一，对于不等式问题的解答，有时我们可以利用导数的概念进行证明或解决。

导数是微积分中的重要概念，它可以帮助我们分析函数的增减性和凹凸性，从而帮助我们解决不等式问题。

在本文中，我们将探讨利用导数证明或解决不等式问题的方法和思路。

我们将简要介绍导数的概念，然后结合具体的不等式问题，探讨利用导数证明或解决不等式问题的方法和例子。

导数的概念在微积分中，函数的导数是描述函数变化率的重要概念。

一个函数在某一点的导数可以用来表示这个函数在该点的变化速率，也可以用来表示函数图像在该点的切线斜率。

函数在某一点的导数可以通过下面的极限来定义：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]\(f'(x)\) 表示函数 \(f(x)\) 在点 \(x\) 处的导数。

导数的定义可以直观地理解为函数图像在某一点的切线斜率，也可以理解为函数在该点的变化速率。

导数有许多重要的性质，例如导数可以用来判断函数的增减性、凹凸性以及极值点等。

利用导数证明不等式在数学中，我们常常遇到需要证明不等式是否成立的问题。

利用导数可以帮助我们证明一些不等式。

对于一个实数函数 \(f(x)\) ，如果我们要证明在某个区间上 \(f(x)\)大于等于某个常数，我们可以利用导数的定义来进行证明。

假设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 内可导，且在该区间上 \([a,b]\) 上函数的导数 \(f'(x)\) 大于等于零（\(f'(x) \geq 0\)），则可以得出在该区间上函数 \(f(x)\) 单调递增。

那么对于任意 \(x \in [a,b]\)，都有 \(f(x) \geq f(a)\) 成立。

我们可以利用导数的性质，证明函数在某个区间上大于等于某个常数。

导数与构造函数证明不等式的技巧证明不等式的技巧和导数有关的主要有两个方面：一是利用导数的性质来求极值，二是利用导数的中值定理来证明不等式。

一、利用导数的性质来求极值1. 极值的存在性：如果函数在开区间(a,b)上连续，在闭区间[a,b]上可导，并且在区间内部有两个不同的点x1和x2使得f'(x1)和f'(x2)异号，则在(a,b)内存在至少一个点c，使得f(c)取得极值。

这个性质可以通过把函数图像在区间内部画出来来直观地理解。

2. 极值的判定条件：设函数f在开区间(a,b)内可导，如果f'(x)在点x=c处为0或者不存在，且f'(c)在从c的左侧和右侧分别取有限不等的符号，则f(c)为极值点。

如果f'(c)在从c的左侧和右侧分别取相等的符号，则f(c)不是极值点。

3. 极值的求解方法：求解极值有两种方法，一种是使用判定条件找到可能的极值点，然后对极值点进行求导计算；另一种是直接对函数进行求导计算，然后通过对导数方程求解，找到可能的极值点。

二、利用导数的中值定理来证明不等式导数的中值定理是数学中一个非常重要的定理，它的表述是：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。

这个定理可以用来证明一些不等式的性质。

利用导数的中值定理来证明不等式的基本步骤如下：1. 将不等式转化为两个函数的差值形式，即设函数g(x)=f(x)-h(x)，其中f(x)和h(x)是要证明不等式的两个函数。

2. 判断g(x)在[a,b]上的连续性和在(a,b)内的可导性。

3. 在(a,b)内找到一个点c，使得g'(c)=(f(c)-h(c))/(b-a)。

4. 根据g(x)的符号来确定f(x)和h(x)之间的关系，进而证明不等式的成立。

利用导数证明不等式 沁阳一中 尚思红导数是高中新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是与高等数学接轨的有力点。

而不等式证明是高中数学的重要内容，也是不等式的难点，虽然证明不等式有众多的方法，但有些问题也很难下手。

导数这一工具性知识的引入，为我们证明不等式开辟了一条新的路径，将导数与不等式证明有机结合起来，不仅可以设计出新颖题型，相信也必将成为高考命题的新方向。

下面，通过一些具体实例，来就利用导数证明不等式的基本方法做一探讨。

1.直接做差构造函数.：关键点①做差后证明函数的单调性②找到新函数的零点(通常为最值点) 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。

解:1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证），现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 例2：当0>x 时，证明不等式2211x x e x++>成立。

导数证明不等式的几个方法在高等数学中，我们学习了很多种方法来证明不等式。

其中一种常见的方法是使用导数。

导数是用来描述函数变化率的概念，因此可以很好地用来证明不等式。

本文将介绍几种使用导数证明不等式的方法。

一、利用导数的正负性来证明不等式这种方法是最直接的方法之一、假设我们要证明一个函数f(x)在一个区间上大于等于0，我们可以先求出函数f(x)的导数f'(x)，然后根据f'(x)的正负性来判断f(x)的增减情况。

如果f'(x)大于等于0，则说明f(x)在整个区间上是递增的；如果f'(x)小于等于0，则说明f(x)在整个区间上是递减的。

根据递增或递减的性质，我们可以得出f(x)大于等于0的结论。

例如，我们要证明函数f(x)=x^2在区间[0,∞)上大于等于0。

首先求出f(x)的导数f'(x)=2x。

然后我们发现在整个区间上，f'(x)大于等于0，说明f(x)是递增的。

由于f(0)=0，因此可以得出f(x)大于等于0的结论。

二、利用导数的单调性来证明不等式这种方法是一种延伸和推广。

与前一种方法类似，我们可以根据导数的单调性来判断函数f(x)的增减情况。

如果f'(x)在一个区间上是递增的，那么f(x)在该区间上是凸的；如果f'(x)在一个区间上是递减的，那么f(x)在该区间上是凹的。

利用这个性质，我们可以得出一些重要的结论。

例如，如果我们要证明一个凸函数在一个区间上大于等于一个常数c，那么只需要证明在这个区间的两个端点上的函数值大于等于c，同时导数在这个区间上是递增的。

三、利用导数的极值来证明不等式这种方法利用了导数的极值特性。

如果一个函数f(x)在一些点x0处的导数为0，并且在这个点的左右两侧的导数符号发生了改变，那么我们可以得出结论，在x0处取得极值。

如果f(x)在x0处取得最大值，那么在这个点的左侧函数值都小于等于f(x0)，而在这个点的右侧函数值都大于等于f(x0)；反之，如果f(x)在x0处取得最小值，那么在这个点的左侧函数值都大于等于f(x0)，而在这个点的右侧函数值都小于等于f(x0)。

利用导数证明或解决不等式问题在数学中，不等式问题是一个重要且常见的问题类型。

不等式问题涉及到数学中的大小关系，通过比较不同数值的大小关系来判断不等式的成立或者不成立。

在解决不等式问题的过程中，利用导数进行证明和解决不等式问题是一种常见的方法。

导数是函数在某一点的变化率，它可以帮助我们很好地理解函数的性质，并且在解决不等式问题时起到了重要的作用。

本文将详细介绍如何利用导数证明或解决不等式问题。

让我们回顾一下导数的基本概念。

在数学中，导数衡量了函数在特定点的变化率。

对于函数y=f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)，表示函数在点x处的斜率或者变化率。

导数可以被理解为函数曲线在某一点的切线的斜率，它告诉我们函数在这一点的变化方向和速度。

导数的正负号以及大小可以帮助我们判断函数在该点附近的增减性，从而帮助我们理解函数的性质。

在利用导数证明或解决不等式问题时，我们通常需要借助导数的性质和相关定理来进行推导和证明。

在一元函数的情况下，我们可以通过求导和导数的性质来分析函数的单调性、极值、凹凸性等，从而进一步解决不等式问题。

下面通过具体的例子来介绍如何利用导数证明或解决不等式问题。

例1：证明不等式x^2>0成立。

解：我们将函数y=x^2进行求导，得到y'=2x。

首先我们观察到当x=0时，有y=0，因此0为该函数的一个根。

对于x≠0的情况，函数的导数始终为正数，说明函数在整个实数域上是单调递增的，因此函数的值始终大于0。

我们通过导数的信息证明了不等式x^2>0成立。

解：首先我们将不等式2x^2-3x+1>0转化为函数f(x)=2x^2-3x+1>0，然后求出函数的导数f'(x)=4x-3。

我们找出函数f(x)的驻点，即f'(x)=0的点，求解方程4x-3=0得到x=3/4。

然后我们观察驻点处的导数的正负号，由于3/4是f'(x)的零点，所以我们取x=0和x=1来代入f'(x)进行验证。

高考中利用导数证明不等式的一些策略【摘 要】本文从利用导数证明不等式的五种类型结合一些实例，介绍了一些既简单又易操作的通性通法.【关键词】函数与导数；不等式证明；构造法从多年的全国卷及多省自主命题的试卷来看，函数与导数作为压轴题像是已经成了永恒的真理，而其中频频涉及的“不等式证明” 让学生处理颇感困难，但不管问题的种类、解题的思想方法如何千变万化，究其精髓还是构造辅助函数, 将不等式证明转化为利用导数解决函数的单调性和最值问题.构造函数的过程要多用分析法去思考，并遵循一切从简的原则，这需要掌握变形的一些基本技巧，如：替换变量（换元法）、避免分式的出现、寻找符号已确定的式子、e x与lnx 的优先隔离、时刻记得数形结合等. 下面我从利用导数证明不等式的五种类型结合一些实例，介绍一些既简单又易操作的通性通法,供各位同仁探讨.类型一、可直接构造一个函数来证明的不等式例1 已知1->x 证明：1)1ln()1(1≥++x x 分析：可构造函数)1ln()1(1(x)++=x xf ，通过求)(x f 的导数来进行证明，但)('x f 的符号需要对其求二阶导数才能确定，如果构造函数1)1ln((x)+++=x xx f 就避免了这种麻烦.证明：欲证原不等式，即证01)1ln(≥+++x x x ，令1)1ln()(+++=x x x x f ，则2'1)(）（+=x x x f ,0)(),0(;0)()0,1(''>+∞∈<-∈x f x x f x 时，当时，当即)(x f 在)0,-1(上为减函数，在),0(+∞上为增函数，故函数)(x f 在),1(+∞-上有≥)(x f 0)0()(min ==f x f ，即01)1ln(≥+++x xx , ∴1->x 时1)1ln()1(1≥++x x成立. 评注：此类问题一般先构造函数(x)f ,再由导数判断函数的单调性,最后求出最值来证明不等式.类似地，通过这种证法还可以得到教材上的很多重要的结论，如：,1ln 1x x e ex x x <<<-<-,1+>x e x 1x 1)-2(x ln +≥x )1(≥x ..sin x x <类型二、需隔离成两个函数的不等式1 . 若变量相同例2 （2014年全国卷1第21题改编）已知函数1)(,2ln (x)1>+=-x f xe x ef x x证明：分析：直接求导来证明，不仅求导困难，而且导数的符号难以判断，观察不等式的特征可将e x与lnx 进行隔离.证明：欲证1)(>x f ，只要证x e x e x x >+2ln ，令1ln )(02ln )('+=>+=x x g x ex x x g ，则，, ,0)(),1(;0)()1,0(''>+∞∈<∈x g e x x g e x 时，当时，当即)(x g 在)1,0(e 上为减函数，在),1(+∞e 上为增函数，故e e g x g x g 1)1()()(min ==≥令x x e x x h x e x x h -=>=1)(0)('，则，,,0)(),1(;0)()1,0(''<+∞∈>∈x h x x h x 时，当时，当即)(x h 在)1,0(上为增函数，在),1(+∞上为减函数，故eh x h x h 1)1()()(max ==≤ 又，于是有不同取得与e x h x g 1)()(x exe x x >+2ln 即1)(>x f 得证. 评注：一般情况下不等式中含有e x与lnx ，可优先考虑将它们进行隔离，转化成即可，求证的问题，然后利用导数max min )()()()(x h x g x h x g >>例2的原理如图1所示，但也有遇到无法隔离成这样的情况，我们 来看下面这个例子.例3 （2013年全国卷2第21题改编）0)2ln(>+-x e x 证明： 分析：本题可以采用构造一个函数来解决但无法采用例2的方法， 如果利用一些重要的结论就会把问题变得简单.证明：由结论1ln -<x x 及,1+>x e x得),2ln(1+>+>x x e x即原不等式得证.评注：此证明方法的本质是利用函数)2ln(+==x y e y x与的公 切线1+=x y 进行了过渡.原理如图2所示.2. 若不等式两侧变量不同,则可分为以下三种情形情形1 max min 212211)()()()(,,x g x f x g x f M x M x >⇔>∈∀∈∀,同理 min max 212211)()()()(,,x g x f x g x f M x M x <⇔<∈∀∈∀.情形2 max max 212211)()()()(,,x g x f x g x f M x M x >⇔>∈∀∈∃,同理 min min 212211)()()()(,,x g x f x g x f M x M x <⇔<∈∀∈∃.情形3 min max 212211)()()()(,,x g x f x g x f M x M x >⇔>∈∃∈∃,同理 max min 212211)()()()(,,x g x f x g x f M x M x <⇔<∈∃∈∃. 这里不再举例说明.类型三、多元常数类不等式例4 当m N n m m n n∈>>时，证明：),(1*证明：欲证n m nm mn >，只需证1ln 1ln ->-m m m n n n ,令,1,1ln )(>-=x x x x x f 则,)1(ln 1)(2'---=x xx x f 再令,1,ln 1)(>--=x x x x ϕ则0)(,1,1)(''>>-=x x xx x ϕϕ故）为增函数，，在（∞+1)(x ϕ于是 ,1)(,0)(,0)1()('）为增函数，在（∞+>=>x f x f x ϕϕ而1>>m n ，所以.),()(即原不等式得证m f n f >例5 （2015年湖南省中学数学教师解题比赛高中组初赛试卷第16题）设+∈R ,,z y x ,且1=xyz .令xyz c z y x b z y x a 3,,333=++=++=.试将c b a ,,组成单调序列,并说明理由.分析：本题难点是证b a ≥,这是一个对称轮换不等式，这类不等式新课标中没有提及，在高考中已不太可能出现了，但是在自主招生或竞赛中可能会出现，这类不等式可以通过构造函数利用切线来证明，这就是所谓切线法证明不等式.证明：令)1(2),1(2)0,1()(,,)(33-≥--=∈-=+x x x x y x f R x x x x f 于是的切线为在点易求所以，0)33(2)3(2)()(3333=-≥-++≥++-++=-xyz z y x z y x z y x b a ，于是b a ≥,而.刚才已证c b ≥综上有.c b a ≥≥评注：例4，例5都是构造函数，一个是利用了函数的单调性，一个是利用切线来进行证明，类似地，还有很多，如：1.已知：.e n m >>求证：n m m n >.（提示：来进行证明可构造函数xxx f ln )(=） 2.已知： 210x x <<，求证：nnn x x x x ⎪⎭⎫⎝⎛+>+222121（提示：凹凸性来进行证明并通过求其二阶导判断构造函数)()(x f x x f n =）3.已知：,1021ln )(≤≤≤++=a b x x x f ，求证：2)()(34<--<ba b f a f （提示：理来进行证明也可用拉格朗日中值定来进行证明与可构造函数,34)()(2)()(x x f x h x x f x g -=-=）类型四、与数列相关的不等式例6 143)1ln()(->+-+=x x xx x f ，已知函数 )141...1319151(3)1ln()2(0)()1(+++++>+>n n x f 证明：证明： 分析：第一问略，第二问可利用第一问结论进行证明. 略证：由(1)令143)1ln(1+>+=n n n n x 得，左边展开累加可得)141...1319151(3)1ln(+++++>+n n 评注：这一类问题在高考中一般须注意前一问的结论，观察结构特征利用替换构造，在2010年、2011年高考各省自主命中出现得比较多，而且难度比较大，例如(下列各题前一问结论已直接给出)：1.证明：11211ln 13121-+++<<+++n n n (利用结论n x x x x x 1)1ln(1=<+<+，并令) 2.证明：）（4211+）（4311+）（411n+ e <(e 为自然对数，*N n ∈，2≥n ). (提示：变形累加放缩得证并令）（利用结论210,1l 2x x x x x n =><+)3.1111ln(1)(1)232(1)n n n n n +++⋅⋅⋅+>++≥+证明：(提示：变形累加得证并令）（利用结论nn x x x xx 1)1(ln 121+=≥≥-） 4.证明：①当2x >时，ln(1)2x x -<-；②*1ln (1)(,1)14ni in n n N n i =-<∈>+∑. (利用结论变形累加得证并令21ln n x x x =-<)5. 证明： 121()()()()(*)1n n n n n n en n n n n e -++⋅⋅⋅++<∈-N 其中. (利用结论变形累加得证并令nkx e x x -=<+1)类型五、需消元再构造函数的不等式例7 （2016年永州市高三二模第21题）已知函数x e ax x f -=2)(有两个极值点m,n 求证：m+n>2 分析：由已知消去a 得到m+n 与m-n 的关系，再构造函数证明.证明：由x e ax x f -=2)(得x e ax x f -=2)(‘，所以n m n m e e n m a e an e am +=+==)(2,2,2于是有，nme e n m a -=-)(2，消去a 得)(11n m ee n m nm n m -+=+--—，令n m n m t >-=这里不妨设,t e e n m t t ⋅+=+11—则，欲证m+n>2，只需证02)2(>++-t e t t ,2)2()(++-=t e t t t ϕ令,则1)1()('+-=t e t t ϕ,0)(''>=t te t ϕ,0)0()()('''=>ϕϕϕt t 为增函数，,0)0()()(=>ϕϕϕt t 为增函数，即02)2(>++-t e t t ，也就是m+n>2.评注：此类题型含有参数并与零点或极值有关问题出现,只要消去参数，构造函数即可，又如：一道只要稍加改造就能变成另外对数原出于指数，证明的两个不同零点为,2:,,)(>+-=n m n m ae x x f x 下一例题对数型函数题型，请看.例8 已知函数ax x x f -=ln )(有两个零点m,n 求证：2ln 1ln 1>+nm . 分析：采用类似于例7的方法.明证：由m,n 为函数ax x x f -=ln )(的两个零点得an n am m ==ln ,ln ， )(ln ln ),(ln ln n m a n m n m a n m -=-+=+，mn a n m 2ln ln =,这里不妨设m>n>0 nm m n n m nm n m mn n m amn n m n m n m n m ln ln ln ln ln ln ln ln 1ln 1-=--⋅+=+=+=+于是, 欲证2ln 1ln 1>+nm ，只需证0ln 2<+-m n n m n m令1,0,>>>=t n m n m t 这里01ln 2<+-tt t 则只需证， t t t t 1ln 2)(+-=ϕ令,则0)1()(22'<--=tt t ϕ, 0)1()()(=<ϕϕϕt t 为减函数，, 即0ln2<+-m n n m n m ，所以2ln 1ln 1>+nm . 评注：这里重点仍然是消参变形，又如：)ln ()2(23)(23x x x a x a x x f ----=有两个极值点m,n,且m>n>0,求证：0)2('>+nm f ，消参后要注意为了使所证函数变得简洁，一定要记得本文开头所说的那几点.以上只是个人在近些年解题中的一些粗浅的看法，导数证明不等式的题型还有很多，如：变量多次转换问题、单峰函数的广义对称问题等.总而言之，本人认为函数与导数中的不等式证明题中绝大部分是通过构造函数，并需要导数知识，需要考虑构造几个函数、变量是否相同、是否需要切线过渡、分析法思考如何变形使构造的函数变得简洁等，值得注意的是我们要让数形结合的思想贯穿于解题的始终.参考文献：[1]彭海燕.导数证明不等式中构造函数的策略[期刊论文] .中学数学月刊.2006( 2)[2]曾凡祥.分类例说利用导数证明函数不等式[期刊论文] .试题与研究：新课程论坛. 2012 (14) [3]贺云昊.函数与导数题中不等式的证明方法[期刊论文] .科学时代 2013(6) [4]冯中秋.利用导数证明不等式的方法[期刊论文].新课程 .中学.2015(6)。