寒假作业之向量

寒假作业〔15〕平面向量的概念1、以下说法不正确的选项是( )A.零向量是没有方向的向量B.零向量的方向是任意的C.零向量与任一向量共线D.零向量只能与零向量相等2、以下命题中正确的选项是( )A.温度是向量B.速度、加速度是向量C.单位向量相等D.假设||||a b =,那么a 和b 相等3、以下说法正确的选项是( )①假设向量,a b 共线,向量,b c 共线,那么a 与c 也共线;②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点;③向量a 与b 不共线,那么a 与b 都是非零向量;④假设a b =,b c =,那么a c =.A.1B.2C.3D.44、设0a 为单位向量,a 为平面内的某个非零向量,给出以下说法:①0||a a a =;②假设a 与0a 平行,那么0||a a a =;③假设a 与0a 平行且||1a =,那么0a a =. 其中不正确的说法的个数是( )A.0B.1C.2D.35、有以下说法:①两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同;②假设非零向量AB 与CD 是共线向量,那么,,,A B C D 四点共线;③假设非零向量a 与b 共线,那么a b =;④假设a b =,那么||||a b =.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.36、以下四个命题正确的选项是( )A.两个单位向量一定相等B.假设a 与b 不共线,那么a 与b 都是非零向量C.共线的单位向量必相等D.两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同7、以下命题中不正确的选项是( )A.向量AB 与向量BA 的长度相等B.任何一个非零向量都可以平行移动C.假设//a b ,且0b ≠,那么0a ≠D.两个有共同起点且共线的向量,其终点不一定相同8、把平面上所有单位向量的起点平移到同一点P ,这些向量的终点构成的几何图形为( )A.正方形B.圆C.正三角形D.菱形9、以下命题中，正确的个数是〔 〕①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③假设,a b 满足||||a b >且a 与b 同向，那么a b >；④假设两个向量相等，那么它们的起点和终点分别重合；⑤假设//a b ，//b c ，那么//a c ．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10、给出以下命题:①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等;②向量a 与向量b 平行,那么a 与b 的方向相同或相反;③两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同;④两个有公共终点的向量,一定是共线向量;⑤向量AB 与向量CD 是共线向量,那么点A ,B ,C ,D 必在同一条直线上.⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为( )A.2B.3C.4D.511、以下命题正确的有__________.(填序号)①向量AB 与向量BA 的长度相等、方向相反;②a 与b 平行,那么a 与b 的方向相同或相反;③两个相等向量的起点相同,那么其终点必相同;④AB 与CD 是共线向量,那么,,,A B C D 四点共线.12、以下命题中正确的选项是_______.①单位向量都相等；②任一向量与它的相反向量不相等；③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB DC；④模为0是一个向量方向不确定的充要条件.13、有以下命题:(1)单位向量一定相等;(2)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;(3)相等的非零向量,假设起点不同,那么终点一定不同;(4)方向相反的两个单位向量互为相反向量;(5)起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆.其中正确的命题的个数为__________个.14、如图 ,某人想要从点A出发绕阴影局部走一圈 ,他可按图中提供的向量行走 ,那么这些向量排列的顺序为__________.(提示:注意数形结合)答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：零向量的长度为0,方向是任意的,零向量与任一向量是共线的.应选A.2答案及解析：答案：B解析：温度只有大小,没有方向,不是矢量,A 错误,速度有大小和方向,应该是向量,加速度是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值.由于速度是矢量,速度的变化既可能有大小上的变化,同时也可能有方向上的变化,因此速度的变化量应该是一个既有大小又有方向的一个量,即是一个矢量.时间的变化,只有大小,是一个标量.因此加速度是一个矢量,也就是向量,B 正确;向量既有大小也有方向,单位向量都是长度为1的向量,但方向可能不同,C 错误;||||a b =,但a 与b 的方向不一定相同,那么a 与b 不一定相等,D 错误.3答案及解析：答案：B解析：由于零向量与任意向量都共线,故当b 为零向量时,,a c 不一定共线,所以①不正确;两个相等的非零向量可以在同一直线上,故②不正确;向量a 与b 不共线,那么a 与b 都是非零向量,否那么不妨设a 为零向量,那么a 与b 共线,与a 与b 不共线矛盾,故③正确;a b =,那么a 与b 的长度相等且方向相同,b c =,那么,b c 的长度相等且方向相同,所以,a c 的长度相等且方向相同,故a c =,④正确.4答案及解析：答案：D解析：向量是既有大小又有方向的量,a 与0||a a 的模相等,但方向不一定相同,故①说法错误;假设a 与0a 平行,那么a 与0a 同向或反向,反向时,有0||a a a =-,故②③说法错误.综上所述,不正确的说法的个数是3.5答案及解析：答案：B、、、四点不共线,解析：①显然时错误的;在平行四边形ABCD中,AB与CD共线,但A B C D②错误;两个非零向量共线,说明这两个向量方向相同或相反,而两个非零向量相等,说明这两个向量大小相等,方向相同,因而共线向量不一定是相等向量,但相等向量却一定是共线向量,③错误;向量相等,即大小相等、方向相同,④正确.6答案及解析：答案：B解析：7答案及解析：答案：C解析：向量AB与向量BA的长度相等,方向相反,A正确;任意一个非零向量都可以平行移动,B 正确;假设//b≠,那么a可能为零向量,C错误;两个有共同起点且共线的向量,方向a b且0相反时,中点可以不相同,D正确.8答案及解析：答案：B解析：因为单位向量的模都是单位长度,所以同起点时,终点构成单位圆.9答案及解析：答案：A解析：对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，0b c，那么a与c不一定平行．b=时，//a b，//综上，以上正确的命题个数是0．应选A．10答案及解析：答案：C解析：11答案及解析：答案：①③解析：①正确;②可能存在a或b其中之一为0,由0方向具有任意性,知②错误;③正确;共线的两个向量可能不在同一直线上,故④错误.12答案及解析：答案：③④解析：①不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同.②不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.③正确，④正确.13答案及解析：答案：3解析：(1)不正确,因为忽略方向;(2)方向相同,模相等的向量是相等向量,与起点无关,故(2)正确.(3)、(4)正确;(5)不正确,轨迹是个球面.14答案及解析：答案：a,e,d,c,b解析：此题借助有一定实际背景的问题,帮助我们体会向量的大小、方向,向量可以平移.用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性,为以后学习向量提供了几何方法,这也表达了数形结合的数学思想.应该注意的是有向线段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段.。

1 64 寒假作业（16）平面向量的运算1给出下面四个命题：① AB BA ^0 ；②② AB BC =AC ；③② AB -AC BC ；③ O ・AB=0其中正确的个数为（） A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个2、 在四边形 ABCD 中，若AC = AB AD ，则（） A. ABCD 是矩形B. ABCD 是菱形C. ABCD 是正方形D. ABCD 是平行四边形3、 如图，正六边形 ABCDEF 中，BA C D =（）4 A. 0B BE C.7D T T T T —i 4、向量 (AB MB) (BO BC) OM,化简后等于（ ) __ 1A. AM 4B.0C. 0 —ID. AC ABCD 两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（ D. CF A . T AB AD = T =CA B. T T OA-OC =0 C . BD -CD D. BO OC = 6、 化简AC - BD CD --H -AB 得( ) A . —1AB B. DA C. —* BC D. 4 05、若点 O 是平行四边形 7、已知边长为 DA 1的菱形ABC ［中厂BAD =60°,点E 满足BE =2?,则AE BD 的值是（A. -1B. -丄C. -1D.-8 F 列四式中不能化简为 AD 的是（）9、已知A ABC 是边长为1的等边三角形，点D,E 分别是边AB , BC 的中点，连接DE 并延A.B.C.D.在△ ABC 中，C =90，点 D 在 AB 上,AD CB平面向量a 与b 的夹角为60 , a =2,b=1,则13、如图，正六边形 ABCDEF 中，有下列四个命题： _ —T —I ① AC AF 2BC ; ② AD =2AB 2fF\ ③ AC AD AD AB ；T T T T T T④ AD AF EF =AD AF EF ..（写出所有真命题的序号） 14、已知菱形ABCD 的边长为2,・BAD =60 ,则AB BC 二A. H AB CD BC C.MB AD -BM D. OC -OA CD长到点F ，使得=2戸，则AF BC 的值为（A. _5B. 8 1C. 1D.10、已知六边ABCD EF 是,则 AB BC CF 的值为（ 11、12、其中真命题的序号是12，答案以及解析1答案及解析:答案：C解析：2答案及解析:答案：D解析：3答案及解析:答案：D解析：4答案及解析:答案：D解析：5答案及解析:答案：C解析：6答案及解析:答案：D解析：7答案及解析:答案：D 解析：方法一：如图，由 BE =2EC 知2 2 BE BC AD ,3 3T T T T 2T — ■ ■ 所以 AE 二 AB BE 二AB AD , BD =AD -AB 3依题意知AB AD =|AB|A D'COS NBAD =丄T12，182 2 2 2 AE BD =(AB AD) (AD _AB) = AB AD AD-AB 2 -3 3 2 2 ■ AB AD AD 3 3 1 2 -AB AD 1 3 3 3 1 1 1 —X —= 一— 3 2 6 方法二：如图，以AD 所在直线为x 轴，过点A 且与AD 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐 标系则叫却（污），又式后，则E （6撐）'故忑谆T 兄 i 故 AE =— -3 8答案及解析:答案：C 解析：由题意得T T T T A ：（AB CD ） BC 二 AB CD BC 二 AC CD 二 AD B: T T T T T T T T T —T T T 彳 T (AD MB) (BC CM)二 AD MB BC CM 二 AD CM CM 二 AD 0二 AD ， T R T R TTTT T c ： (MB AD)-BM = MB AD MB = 2MB AD ，所以 C 不能化简为 AD ， TT TTTTTTT D ： (OC-OA) CD=OC-OA CD 二AC CD 二 AD ，故选：C.9答案及解析: 答案：B F 「 T 扌 一! 1 —f 1 呻. 解析：设 BA a , BC 二b , ••• DE AC b - a , 2 2 1 3 5 3 [ a b -a a b , 2 4 4 43 3 DF DE b -a , AF = AD DF 2 45 3 42 --AF BC a b b — 4 4故选B10答案及解析：答案：D解析：如图,AB BC CF AB BF 1 、.3cos 書=—㊁，选 D.11答案及解析:答案：12则由 C B =4 知 B 4,0 ，设 A 0,t ,D Xoyo 由 AD =3DB 知 x 。

高二数学寒假作业（人教A 版必修五）立体几何中的向量方法1．平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2解析：∵α∥β，∴两平面法向量平行，∴－21＝－42＝k －2，∴k ＝4. 答案：C2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相关B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内解析：∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面．则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．答案：D3．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P(2，3，3)B ．P(－2，0，1)C ．P(－4，4，0)D ．P(3，－3，4)4．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为B C 的中点．则AM 与PM 的位置关系为( )A ．平行B ．异面C ．垂直D ．以上都不对解析：以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.依题意，可得，D(0，0，0)，P(0，1，3)，C(0，2，0)，A(22，0，0)， M(2，2，0)．∴PM →＝(2，2，0)－(0，1，3)＝(2，1，－3)，AM →＝(2，2，0)－(22，0，0)＝(－2，2，0)，∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2，0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM.答案：C5．如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，所以A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知，A 1M ∥面DCC 1D 1，A 1M ∥面D 1PQB 1.①③④正确．答案：C6．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010 B.15 C.31010 D.35解析：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，D 1(0，0，2)．所以BE →＝(0，－1，1)，CD 1→＝(0，－1，2)．所以cos 〈BE →，CD 1→〉＝BE →·CD 1→|BE →|·|CD 1→|＝32×5＝31010. 答案：C7．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( ) A.216 a B.66a C.156 a D.153a 解析：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A(a ，0，0)，C 1(0，a ，a)，N(a ，a ，a 2)．设M(x ，y ，z)，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， (x －a ，y ，z)＝12(－x ，a －y ，a －z) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3. 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216 a. 答案：A8．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33 D.22解析：以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E(1，0，12)，D(0，1，0)，答案：B9．已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：如图所示：S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VABC A 1B 1C 1＝S △ABC ·OP ＝334·OP ＝94，∴OP ＝ 3. 又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3， 又0<∠OAP<π2，∴∠OAP ＝π3. 答案：B10．在四面体P-ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，设PA ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为( )A.63B.33aC.a 3D.6a 解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P xyz ，则P(0，0，0)，A(a ，0，0)，B(0，a ，0)，C(0，0，a)．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．∵PA ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心．又△ABC 为等边三角形，∴H 为△ABC 的重心，则H ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，a 3.∴PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－02＝33a. ∴点P 到平面ABC 的距离为33a. 答案：B11．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________． 解析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设n ＝(x ，y ，z)为平面A 1BC 1的法向量．则n·A 1B →＝0，n·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －z ＝0，－x ＋2y ＝0，令z ＝2，则y ＝1，x ＝2， 于是n ＝(2，1，2)，D 1C 1→＝(0，2，0)设所求线面角为α，则sin α＝|cos 〈n ，D 1C 1→〉|＝13. 答案：1312．如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．解析：以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则EF →＝(0，－1，1)，BC 1→＝(2，0，2)，∴EF →·BC 1→＝2，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12， ∴EF 和BC 1所成的角为60°.答案：60°13．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A BD C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO.建立如图所示坐标系，设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B(0，－12，0)， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0. ∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0. 设平面ABD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则BA →·n ＝0，且BD →·n ＝0，∴y 02＋32z 0＝0且32x 0＋y 02＝0， 解之得y 0－3z 0，且y 0＝－3x 0，取x 0＝1，得平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，由于OA →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量． ∴cos 〈n ，OA →〉＝55，∴sin 〈n ，OA →〉＝255. 答案：25514．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是________．15．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．解析：以C 1为坐标原点建立如图所示的坐标系．∵A 1M ＝AN ＝2a 3，则M(a ，2a 3，a 3)，N(2a 3，2a 3，a)， ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，0，23a . 又C 1(0，0，0)，D 1(0，a ，0)，∴C 1D 1→＝(0，a ，0)，∴MN →·C 1D 1→＝0，∴MN →⊥C 1D 1→.又C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C.答案：MN ∥平面BB 1C 1C16．如图，四棱锥P ABCD 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点．求证：(1)PB ∥平面EFH ；(2)PD ⊥平面AHF.证明：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，H(1，0，0)．(1)∵PB →＝(2，0，－2)，EH →＝(1，0，－1)，∴PB →＝2EH →，∴PB ∥EH.∵PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB ∥平面EFH.(2)PD →＝(0，2，－2)，AH →＝(1，0，0)，AF →＝(0，1，1)，∴PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD ⊥AF ，PD ⊥AH ，又∵AF∩AH＝A ，∴PD ⊥平面AHF.17．如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D.证明：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1＝2，∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A 1(0，0，1)．由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1，1，1)．∵A 1C →＝(－1，0，－1)，BD →＝(0，－2，0)，BB 1→＝(－1，0，1)，∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·B 1B →＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，又BD∩BB 1＝B ，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D.18．如图，在直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．(1)证明：易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所成直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t ，0，0)，B 1(t ，0，3)，C(t ，1，0)，C 1(t ，1，3)，D(0，3，0)，D 1(0，3，3)．从而B 1D →＝(－t ，3，－3)，AC →＝(t ，1，0)，BD →＝(－t ，3，0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0，解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1，0)．因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0， ∴AC →⊥B 1D →，则AC ⊥B 1D.。

舒城中学高三年级2021─2021学年寒假作业制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。

数学局部专题〔四〕空间向量在立体几何中的应用一．利用空间向量求空间角和间隔〔一)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a ，b 的方向向量为,a b ，其夹角为θ，那么cos φ＝|cos θ|＝a b a b (其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．[例19] 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4， AD ＝3，AA 1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝FBEC 1与FD 1所成角的余弦值．解：以A 为原点，AB ，AD ，1AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，那么D (0,3,0)、D 1(0,3,2)、E (3,0,0)、F (4,1,0)、C 1(4,3,2)，于是EC 1＝(1,3,2)，FD 1＝(－4,2,2)．设EC 1与FD 1所成的角为β，那么 cos β＝1111EC FD EC FD＝222222143222132422⨯-+⨯+⨯++⨯-++＝2114.变式训练43,直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点． 〔1〕求证：CE ⊥A ′D ；〔2〕求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．变式训练44,在几何体A －BCED 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥平面ABC ，平面BCED 为梯形，且AC ＝CE ＝BC ＝4，DB ＝1.〔1〕求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；〔2〕试探究在DE 上是否存在点Q ，使得AQ ⊥BQ ，并说明理由．〔二〕直线和平面所成的角的求法如下图，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，那么有sin φ＝|cos θ|＝n e n e .[例20]如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．求AB 与平面SBC 所成角的大小．解：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如下图的空间直角坐标系C —xyz 。

高二年级向量寒假作业试题小结
的面积之比为___.
13.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意，都有，若f(1)=1, , 则的值为 .
14.定义在上的函数：当时， ;当时， .给出以下结论：
① 的最小值为; ②当且仅当时，取最大值;
③当且仅当时， ;
④ 的图象上相邻最低点的距离是 .
其中正确命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上).
二、解答题
15.已知
(1)求值;
(2)求的值.
16.已知向量a=(sin，1)，b=(1，cos)，-2.
(1)若ab，求(2)求|a+b|的最大值.
17.已知函数，，(其中 ).
(1)求函数的值域;
(2)若函数的最小正周期为，则当时，求的单调递减区间.
18.已知两个向量m= ，n= ，其中，且满足mn=1.
(1) 求的值; (2) 求的值.
上述提供的2019年高二年级向量寒假作业试题小结，希望能够符合大家的实际需要!。

一，选择题： 1、下列命题正确的是 （ ）A 、若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c 。

B 、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。

C 、向量AB 的长度与向量BA 的长度相等 ,D 、若非零向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。

2、已知向量(),1m =a ，则 m = （ ）A ．1 C. 1± D.3、在ABC ∆+ABC ∆一定是 （ ） A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定4、已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥，则a b 与的夹角等于 （ ）A ．0120B 060C 030D 90o二、填空题：（5分×4=20分）5、已知向量a 、b -+=6、已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ,则x ＝7、已知 三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos ∠BAC =8、.把函数742++=x x y 的图像按向量a 经过一次平移以后得到2x y =的图像，则平移向量a 是 （用坐标表示）三，解答题：9、设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P P 的坐标10、已知两向量),1,1(,),31,,31(--=-+=b a 求与b 所成角的大小，11、已知向量=（6，2），=（－3，k ），当k 为何值时，有（1）a ∥b ? （2）a ⊥b ? （3）a 与b 所成角θ是钝角 ？12、设点A （2，2），B （5，4），O 为原点，点P 满足=+t ，（t 为实数）；（1）当点P 在x 轴上时，求实数t 的值；（2）四边形OABP 能否是平行四边形？若是，求实数t 的值 ；若否，说明理由，13、已知向量=（3, －4）, =（6, －3）,=（5－m, －3－m ）,（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．14、已知向量.1,43),1,1(-=⋅=且的夹角为与向量向量π （1）求向量n ； （2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x ==向量，其中R x ∈， 若0=⋅a n ，试求||+的取值范围.平面向量单元测试题答案：一，选择题： C D C A二，填空题： 5，23； 5，6； 7，13132 8，)3,2(- 三，解答题：9，解法一： 设分点P （x,y ），∵P 1=―22PP ，λ=―2∴ (x ―4,y+3)=―2(―2―x,6―y),x ―4=2x+4, y+3=2y ―12, ∴ x=―8,y=15, ∴ P (―8,15)解法二：设分点P （x,y ），∵P 1=―22PP ， λ=―2∴ x=21)2(24---=―8, y=21623-⨯--=15, ∴ P(―8,15) 解法三：设分点P （x,y ），∵212PP P P =, ∴ ―2=24x +, x=―8, 6=23y +-, y=15, ∴ P(―8,15) 10，解：a =22, b =2 , cos ＜a ,b ＞=―21, ∴＜a ,b ＞= 1200， 11，解：（1），k=－1; (2), k=9; (3), k ＜9, k ≠－112，解：（1），设点P （x ，0）， AB =(3,2),∵OP =OA +AB t ，∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),⎩⎨⎧+=+=,22032,t t x 则由 ∴ ⎩⎨⎧-=-=,11t x 即(2),设点P （x,y ），假设四边形OABP 是平行四边形，则有OA ∥BP , ⇒ y=x ―1,OP ∥AB ⇒ 2y=3x ∴ ⎩⎨⎧-=-=32y x 即 …… ①,又由OP =OA +AB t ，⇒ (x,y)=(2,2)+ t(3,2),得 ∴ ⎩⎨⎧+=+=ty t x 2223即 …… ②,由①代入②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2534t t ， 矛盾，∴假设是错误的， ∴四边形OABP 不是平行四边形。

寒假作业（16）平面向量的运算1、给出下面四个命题： ① 0AB BA +=； ② AB BC AC +=； ③ AB AC BC -=；④ 00AB ⋅=其中正确的个数为 （ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2、在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则（ ） A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABCD 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形3、如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=( )A.0B.BEC.ADD.CF4、向量()()AB MB BO BC OM ++++,化简后等于（ ）A.AMB.0C.0D.AC5、若点O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（ ） A. AB AD CA += B. 0OA OC →-= C. BD CD BC -= D. BO OC DA += 6、化简AC BD CD AB -+-得（ ） A. AB B. DA C. BC D. 07、已知边长为1的菱形ABCD 中,60BAD ∠=°,点E 满足2BE EC =,则AE BD ⋅的值是( )A.13-B.12-C.14-D.16-8、下列四式中不能化简为AD 的是( )A ．()AB CD BC ++ B ．()()AD MB BC CM +++C ．()MB AD BM +-D ．()OC OA CD -+9、已知ABC △是边长为1的等边三角形,点,D E 分别是边,AB BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得2DE EF =,则AF BC ⋅的值为( ) A. 58-B. 18C. 14D. 11810、已知六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形,则()AB BC CF ⋅+的值为( ) A.32B. 2C.34 D. 32-11、在ABC △中，90C =︒，点D 在AB 上,3AD =,4DB CB =,则CB CD ⋅= .12、平面向量a 与b 的夹角为60︒, 2,1,a b ==则2a b +=__________. 13、如图,正六边形ABCDEF 中,有下列四个命题: ①2AC AF BC +=; ②22AD AB AF =+; ③AC AD AD AB ⋅=⋅;④()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅.其中真命题的序号是__________.(写出所有真命题的序号)14、已知菱形ABCD 的边长为2,60BAD ∠=︒,则AB BC ⋅=__________答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：D 解析：3答案及解析： 答案：D 解析：4答案及解析： 答案：D 解析：5答案及解析： 答案：C 解析：6答案及解析： 答案：D 解析：7答案及解析： 答案：D解析：方法一：如图，由2BE EC =知2233BE BC AD ==, 所以23AE AB BE AB AD =+=+，BD AD AB =- 依题意知1cos 2AB AD AB AD BAD ⋅=∠=，故2()()3AE BD AB AD AD AB ⋅=+⋅-2223AB AD AD AB =⋅+--22221333AB AD AD AB AB AD ⋅=-+⋅211113326=-+⨯=-.方法二:如图，以AD 所在直线为x 轴，过点A 且与AD 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系,则13((22D C ，又2BE EC =，则7(6E ，故7(6AE =，1(,2BD =，故7311246AE BD ⋅=-=-.8答案及解析： 答案：C 解析：由题意得 A ：()AB CD BC AB CD BC AC CD AD ++=++=+=，B ：()()0AD MB BC CM AD MB BC CM AD CM CM AD AD +++=+++=++=+=，C ：()2MB AD BMMB AD MB MB AD +-=++=+，所以C 不能化简为AD ，D ：()OC OA CD OC OA CD AC CD AD -+=-+=+=，故选：C ．9答案及解析： 答案：B解析：设BA a =,BC b =,∴()1122DE AC b a ==-, ()3324DF DE b a ==-,()13532444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+,∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=,故选B10答案及解析： 答案：D解析：如图, ()53162AB BC CF AB BF π⋅+=⋅==-,选D.11答案及解析： 答案：12解析：方法一：由题意可得()33134444CD CA AD CA AB CA AC CB CA CB =+=+=++=+所以 213134444CB CD CB CA CB CB CA CB ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+ ⎪⎝⎭2304124=+⨯= 方法二：以CB ,CA 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示则由4CB =知()4,0B ,设()()000,,A t D x y 由3AD DB =知()()0000,34,x y t x y -=--，则0013,4x y ==故()3,,4,04t CD CB ⎛⎫== ⎪⎝⎭故()4,03,430124t CB CD ⎛⎫⋅=⋅=⨯+= ⎪⎝⎭12答案及解析：答案：解析：13答案及解析： 答案：①②④解析：14答案及解析：答案：2解析：。

高二（上）寒假作业（5）——空间向量与立体几何1．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且P A ∥平面BDM ．（1）求证：M 为PC 中点；（2）求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．2．如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，AC =BC = 4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，122BD AE ==,O M CE AB 、分别为、的中点，求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值．3．如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ， AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 的中点．（1）证明：PE ⊥BC ；（2）若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值．A P BC D M AM B C O D E4．如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3．（1）证明：AC⊥B1D；（2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．5．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝22AB．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D－A1C－E的正弦值．6．如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，C是AB的中点，D为AC的中点．（1）证明：平面POD⊥平面P AC；（2）求二面角B－P A－C的余弦值．7．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1－DN－M的大小为θ．（1）当θ＝90°时，求AM的长；（2）当cos θ＝66，求CM的长．8．四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．（1）求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值．(完)。

专题十八（理）、空间向量及其运算1．已知,,,O A B C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一组基底，则( ) A ．,,,O A B C 四点不共线 B ．,,,O A B C 四点共面，但不共线 C ．,,,O A B C 四点中任意三点不共线 D ．,,,O A B C 四点不共面 2．已知(2,1,3)a →=-，(1,4,2)b →=--，(7,5,)c λ→=，若,,a b c →→→三个向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B. 637 C. 647 D. 6573．与向量(1,3,2)a →=-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1(,1,1)3B ．(1,3,2)--C ．13(,,1)22-- D．3,--4．在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a →→=，11A D b →→=， 1A A c →→=.则下列向量 中与1B M →相等的向量是（ ） A ．1122a b c →→→-++ B ．1122a b c →→→++C ．1122a b c →→→-+D ．1122a b c →→→--+5．在下列条件中，使M 与,,A B C 一定共面的是（ ）A ．2OM OA OB OC →→→→=-- B ．111532OM OA OB OC →→→→=++C ．0MA MB MC →→→→++=D ．0OM OA OB OC →→→→→+++=6．若(2,3,1)a →=-，(2,1,3)b →=-，则a →，b →为邻边的平行四边形的面积为 ．7．(1,0,1)A ，(4,4,6)B ，(2,2,3)C ，(10,14,17)D 这四个点________(填“共面”或“不共面”)．8. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点,E F 分别是,AB AD 的中点，计算：(1) EF BA →→∙； (2) EF BD →→∙； (3) EF DC →→∙.答案详解1. 解析：OA →，OB →，OC →为空间的一组基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面，故选D ．2. 解析：由于a →，b →，c →三向量共面．所以存在实数,m n 使得c m a n b →→→=+，即有72,54,32,m n m n m n λ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩解得331765,,777m n λ===.故选D.3. 解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即0,//b a b a b λ→→→→→→≠⇔=，故选C.4.解析：显然111111()222B M B B BM AD AB AA a b c →→→→→→→→→=+=-+=-++，故选A.5. 解析：空间的四点,,,P A B C 共面只需满足OP xOA y OB z OC →→→→=++且1x y z ++=既可．只有选项C ．6.解析：2co s ,7||||a b a b a b →→→→→→∙<>==-，得sin ,7a b →→<>=，||||sin ,S a b a b →→→→=<>=7. 解析:(3,4,5),(1,2,2),(9,14,16)AB AC AD →→→===，设AD x AB y AC →→→=+.即(9,14,16)(34,42,52)x y x y x y =+++，所以2,3,x y =⎧⎨=⎩从而A 、B 、C 、D 四点共面．8. 解析:(1)12EF BA BD BA →→→→∙=∙111||||cos ,cos 60224BD BA BD BA →→→→︒=<>==.(2)111cos 0222EF BD BD BD →→→→︒∙=∙==.(3)1111||||cos ,cos1202224EF DC BD DC BD DC BD DC →→→→→→→→︒∙=∙=<>==-.注：1、页面设置：装订线1厘米，上边距2.5厘米，下边距2厘米，左边距2.5厘米。

一、基础知识：1.向量的基本概念（1）向量的基本要素：大小和方向.（2）向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a 坐标表示法 a ＝ｘi ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. （3）向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. 22||a x y =+ 2.向量的运算（1）向量的加法： （2）向量的减法：几何方法：1.平行四边形法则2.三角形法则 几何方法：三角形法则=+ =-坐标方法：1212(,)a b x x y y +=++ 坐标方法： 1212(,)a b x x y y -=--（3）实数与向量的积：（i ）a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ= 坐标方法： 12(,)a x x λλλ=(ii)λ>0时, a a λ与方向相同 ;λ<0时, a a λ与方向相反 ;λ=0时, 0a λ=.3．运算性质：（1）a b b a +=+ （2）()()a b c a b c ++=++（3）()()a a λμλμ= (4)()a a a λμλμ+=+(5) ()a b a b λλλ+=+二、基础练习1．下列命题中：（1）两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同（2）若非零向量AB 与CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共线（3）若a ∥b ,且b ∥c ,则 a ∥c（4）四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ，真命题的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ） 32.下列命题中，正确的是（ ） （A ）a =b ⇒ a = b （B ）a >b ⇒a >b（C ）a =b ⇒a ∥b （D ）a =0 ⇒a =03．化简下列各式，结果为零向量的个数为（ ）（1）AB BC CA ++ （2）AB AC BD CD -+- （3） OA OD AD -+（4）NQ QP MN MP ++- （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ） 44.在平行四边形ABCD 中，若 AB AD AB AD +=-，则必有（ ）（A ）0AD = （B ）0AB =或0AD =（C ）ABCD 是矩形 （D ）ABCD 是正方形5．下列各选项中，a 与b 不共线的是：（ ）（A ）a =-2e ，b =2e （B ）a =1e -2e ，b =-21e +22e（C ）a =21e -152e ，b =1e -1102e （D ） a =1e +2e ，b =21e -2e 且1e ，2e 不共线 6.若AD 是三角形ABC 的中线，已知,,AB a BC b ==则AD =（ ）（A ） 12（a -b ）（B ）12（b -a ）（C ）12（a +b ）（D ）-12（a +b ） 7．若k 1e + 2e 与1e +k 2e 共线，（1e ，2e 为不共线的非零向量），则实数k 为（ ） （A ） 1 （B ） -1（C ）±1 （D ） 不能确定8.若向量a =（3，2），b =（0，-1），则向量2b - a 的坐标为（ ）（A ）（3，-4）； （B ）（-3，4）； （C ）（3，4） （D ）（-3，-4）9.已知A(1，2)，B(3，2)且a =（x+3，x 2-3x-4）若a 与AB 相等，则x 值为（ ）（A ）-1或4； （B ）4； （C ）-1； （D ）1或-4 10．设向量a =（2，-1），向量b 与a 共线且同向，b =25，则b =11.若向量a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，2）则c =（ ）（A ）-12a +32b ； （B ）12a -32b ； （C ）32a -12b ； （D ）-32a +12b12．已知向量a =（3，2），b =（-2，-1），c =（7，-4）若c =λa +μb ,则λ= ,μ=。

高三数学寒假作业专题10向量的含义及其应用（学）学一学------基础知识结论1.向量的有关概念（1）矢量：既有大小又有方向的量称为矢量；向量的大小称为其模（2）零向量：长度为零的向量，其方向是任意的（3）单位向量：长度等于1的向量（4）平行向量：方向相同或相反的零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的加法与减法向量运算加法定义求两个向量的和的运算法则（或几何意义）三角形a+bba运算律则：交换律：a?b?b?a.结合律：法(a?b)?c?a?(b?c)平行四边形法则：ba+ba减法向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a?(?b)?a?b.a?b?a?(?b)ba-ba三角形法则3.向量的运算及其几何意义（1）定义：实数?与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作?a，它的长度与方向规定如一下：4.共线向量定理向量a（a?0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数?，使b??a.5.平面向量基本定理平面上的任何向量都可以用两个不共线的向量来表示。

6平面向量的量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则数量积记作a?b，即向量与任何一向量的数量积为0，即0?a?0.（2）几何意义：数量积a?b等于a的长度7.平面向量的性质及其坐标表示设向量A.BA.bcos？。

指定零a与b在a的方向上投影的长度的乘积.A.（x1，y1），b？（x2，y2）？是向量a和B之间的角度a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，（1）向量的加、减、乘和模?a?(?x1,?y1)，（2）向量共线：a?x12?y12.ab?x1y2?x2y1A.B0 x1x2？y1y2？0（3）向量垂直的充分条件：a?b即（4）A.Bab22？x1x2？y1y2？x12？y12？x2？Y2ba（当且仅当等号成立）。

一、选择题1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ）A ． 1B ．51 C ． 53 D ． 57 2．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=（ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－13．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．OM ++=B ．OM --=2C ．1123OM OA OB OC =++D ．OC OB OA OM 313131++= 4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为 （ ）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180°5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．37．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则−→−AB +1()2BD BC +等于（ ）A ．−→−AGB ． −→−CGC ． −→−BCD ．21−→−BC8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ）A ． +-a b cB ．-+a b cC ． -++a b cD ． -+-a b c9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( )A ．715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 107(,1,)33-D ．573(,,)222- 11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅，则△BCD 是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定12．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53D ．101013 若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（ ） A 2 B 2- C 2-或552 D 2或552- 14 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A 不等边锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等边三角形 15 若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A 取最小值时，x 的值等于（ ）A 19B 78- C 78 D 1419 16 空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（ ）A 21B 22 C －21 D 0 二、填空题 1 若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ，则(23)(2)a b a b -+=__________________ 2 若向量,94,2k j i b k j i a ++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________3 已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-= ，若a ⊥b ，则=x ______；若//a b 则=x ______4 已知向量,3,5k r j i b k j i m a ++=-+=若//a b 则实数=m ______，=r _______5 若(3)a b +⊥)57(b a -，且(4)a b -⊥)57(b a -，则a 与b 的夹角为____________6 若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5(2,1,)8C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a = ，则=z y x ::________________7 已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且c C O b B O a A O ===,,，用a ，b ，c 表示N M ，则N M =_______________8 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为9．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是 ．10．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m ，n 的夹角为 ．11．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,〈〉d b ＝ ．三、解答题1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD，且12PA AD DC===，1AB=，M是PB的中点（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小2 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形， 侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2PA =，E 为PD 的中点求直线AC 与PB 所成角的余弦值；3、如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；（2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值．4、在正方体1111D C B A ABCD -中，如图Ｅ、Ｆ分别是1BB ，ＣＤ的中点，（1）求证：⊥F D 1平面ADE ；（2）cos 1,CB EF ．D C B A Vz y xSB C D A 5、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F.（1）证明 ∥PA 平面EDB ；（2）证明⊥PB 平面EFD ．6、如图，四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12． （1）求SC 与平面ASD 所成的角余弦；（2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦．。

专题10 空间向量及其运算【背一背】一、空间向量的有关概念：１.在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模（ABu u u r ），向量也用有向线段表示（AB a u u u r r，）．２．零向量：长度为０的向量叫做零向量，记为0r．３．单位向量：长度为１的向量称为单位向量．４.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．５．相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -r．二、空间向量的加减法与运算律空间向量 的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a b +r r ；CA →＝OA →－OC →＝a b -r r.加法运 算律(1)交换律：a ＋b ＝b a +r r(2)结合律：(a ＋b)＋c ＝+)a b c +r r r（；向量的数乘运算及运算律(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作a λr，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同，λ<0时，λa 与向量a 方向相反，a 的长度是a 的长度的λ倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．分配律：(+)a b a b λλλr r r r＝＋ ；结合律：()()a aλμλμr r ＝共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)对空间任意两个向量a 、b(b≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a b λ=r r(3)方向向量：如图l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l上的充要条件是存在实数t ，使OP OA ta =+u u u r u u u r r，其中向量a 叫做直线l 的方向向量．共面向量(1)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)如果两个向量a 、b 不共线，那么向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y)，使p xa yb =+u r r r．对空间任意一点O ，点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y)，使OP OA x AB y AC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ．六、空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角记法 ,a b 〈〉r r范围[0,]π,想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？ 2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律(3)数量积的性质两个向 量数量 积的 性质①若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔0a b ⋅=r r.②若a 与b 同向，则a·b ＝a b⋅r r；若反向，则a·b ＝a b-⋅r r .特别地：a·a ＝|a|2或|a|＝a·a.③若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a b a b⋅⋅r rr r④|a·b|≤|a|·|b|.七，空间向量运算的坐标表示 1．空间向量的直角坐标运算律设a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)，则 (1)a ＋b ＝112233()a b a b a b ＋，＋，＋； (2)a －b ＝112233()a b a b a b ---，，；(3)λa ＝123()a a a λλλ，，(λ∈R)；数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b ＝()a b λ⋅r r 交换律 a·b ＝b a ⋅r r 分配律 a ·(b ＋c)＝a b a c ⋅+⋅r r r r(4)a·b ＝112233a b a b a b ＋＋；(5)a ∥b ⇔112233()a b a b a b λλλλ∈R ＝，＝，＝；(6)a ⊥b ⇔1122330a b a b a b =＋＋.2．几个重要公式(1)若A(x1，y1，z 1)、B(x2，y2，z2)，则AB →＝212121()x x y y z z －，－，－_.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． (2)模长公式：若a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a ＝222123a a a ++，|b|＝b·b ＝222123b b b ++.(3)夹角公式：cos 〈a ，b 〉＝112233222222123123a a a b b b ++++ (a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3))．(4)两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．则AB u u u r ＝2AB u u u r =_()()()222212121x x y y z z ++---.。

专题11 立体几何中的向量方法制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日【背一背】一、空间向量与平行关系 1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或者重合的向量，一条直线的方向向量有无数个． 2．平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，那么向量a 叫做平面α的法向量． 3．空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a1，b1，c1)，b ＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，那么l ∥m ⇔//a b ⇔a b λ=2220)a b c ≠.(2)线面平行设直线l 的方向向量为a ＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u ＝(a2，b2，c2)，那么l ∥α⇔a u⊥⇔0a u ⋅=⇔1212120a a b b c c ＋＋＝. (3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u ＝(a1，b1，c1)，v ＝(a2，b2，c2)，那么α∥β⇔//u v ⇔u vλ=⇔111222a b c a b c ==222(0)a b c ≠ 空间向量与垂直关系 1．空间垂直关系的向量表示a b ⊥_//a u u v⊥线线垂直线面垂直面面垂直①证明两直线的方向向量的数量积为0．①证明直线的方向向量与平面的法向量是一共线向量．①个法直．②证明两直线所成角为直角②证明直线与平面内的相交直线垂直. ②面面角空间向量与空间角1．空间中的角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量⎝⎛0，,a b a b a b⋅〉=⋅＝所成的角为θ，l 的方向向量的法向量为n ，那么sin θ＝,a n a n a n⋅〉=⋅⎣⎡设二面角α—l —β的平面角为θ，平面α、β向量为n1，n2，那么|cos θ|＝121212,n n n n n n ⋅〉=⋅_________[0解决立体几何问题时，注意求解方法既可以用传统的几何方法解决，又可用向量方法处理，在求直线和平面所成的角、二面角时，正确求出法向量的坐标是关键，下面总结两种常见的求法向量坐标的方法，希望大家掌握这个一重要技能. 方程法利用直线与平面垂直的断定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种根本的方法，容易承受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设置可灵敏，法向量有无数个，它们是一共线向量，取一个就可以了. 双0速算法在实际中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现2个0，就可以快速求得法向量，而且正确率高，在考试中作用明显，举例说明例题：向量,a b 是平面α内的两个不一共线向量，且(1,2,0)a =，(3,0,4)b =，求平面α的一个法向量解：先找一个与(1,2,0)a =垂直的向量n ，因为0n a ⋅=，故可先取n 的,x y 坐标分别为2,1-，z 的值待定，即(2,1,)n z =-，又因为0n b ⋅=，即640z +=，所以32z =-，取3(2,1,)2n =--.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

资料（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业 专题10 向量的含义及其应用（背）1.向量的有关概念（1）向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模. （2）零向量：长度为零的向量，其方向是任意的. （3）单位向量：长度等于1的向量.（4）平行向量：方向相同或相反的零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的加法与减法 向量运算 定义法则（或几何意义） 运算律加法求两个向量的和的运算三角形法则：a+bba平行四边形法则：a+b ba交换律：a b b a +=+. 结合律：()()a b c a b c ++=++减法向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即()a b a b +-=-.a-bba三角形法则()a b a b -=+-3.向量的运算及其几何意义（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a λ，它的长度与方向规定如下：资料4.共线向量定理向量a （0a ≠）与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b a λ=. 5.平面向量基本定理平面任一向量可以由不共线的两个向量表示. 6.平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量积记作a b ⋅，即cos a b a b θ⋅=⋅.规定零向量与任何一向量的数量积为0，即00a ⋅=. （2）几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度a与b 在a 的方向上投影的长度的乘积.7.平面向量的性质及其坐标表示 设向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，θ为向量a 与b 的夹角.（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，11(,)a x y λλλ=，2211a x y =+.（2）向量共线：1221a b x y x y ⇔-（3）向量垂直的充分条件：a b ⊥即121200a b x x y y ⋅=⇔+=.（4）a b a b⋅≤（当且仅当b a 时等号成立）222212121122x x y y x y x y ⇔+≤+++.8.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：1221(0)0a b a b b x y x y λ⇔=≠⇔-=(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔-=(3)求夹角问题，利用夹角公式：121222221122cos x x y y a b a bx y x y θ+⋅==⋅+++9.向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考察向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，出了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识. 10.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关只是来解答，坐标的运算是考察的主体.资料。

（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业 专题10 向量的含义及其应用（测）（含解析）时间：45分钟 满分：100分 一.选择题（每小题5分，共50分）1、（2009丰台区理）设a ，b 为基底向量，已知向量AB =a – k b , CB = 2a +b ,CD = 3a –b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于（ ） A ．– 2 B ．2 C ．– 10D ．102、（2009丰台区文）已知向量a = ( 1 , 3 )，b = ( 3 , n )若2a –b 与b 共线，则实数n 的值是 （ ）A ．323+B 323-C ．6D ．93、（2009石景山区）在ABC ∆中，︒=∠90C ，)1,(x BC =，)3,2(=AC ，则x 的值是 （ ）A ．5B ．5-C ．23D ．23-4、（2009昌平区文）(sin ,cos ),(cos ,sin ),a b a b αααα===已知向量向量则 （ ）A ． sin 2α B. sin 2α- C.cos2α D. 15、（2009东城区）已知a (3,4)=，(6,8)=--b ，则向量a 与b （ ） A.互相平行 B. 夹角为60 C.夹角为30 D.互相垂直6、（2009西城区）若向量(12)=，a ，(3,4)-b =，则()()⋅a b a +b 等于（ ） A.20 B.(10,30)- C.54 D.(8,24)-7、（2009宣城区理）已知非零向量,,b a 若,1==b a 且,b a ⊥又知),4()32(b ka b a -⊥+则实数k 的值为（ ）A.6-B.3-C. 3D. 6 【答案】D 【解析】8、（2009福州三中）已知点O 为∆ABC 所在平面内一点，且222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则O 一定为∆ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．垂心 D ．重心9、（2009龙岩一中第五次月考理）已知02=+⋅AB BC AB ，则△ABC 一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形10、（2009龙岩一中第六次月考理）在△ABC 中，)3,2(),1,(,90==︒=∠AC k AB C ，则k 的值是（ ）A ．5B ．－5C ．23D ．23-考点：1.向量的加减.2.向量的数量积.二.填空题（每小题5分，共20分）11、（2009福州市）已知(tan,1),(1,2)a bθ=-=-，若()()a b a b+⊥-，则tanθ=．12、（2009龙岩一中第五次月考文）已知向量13(,sin),(,cos)22a bαα==v v，且av与bv共线，则锐角α等于．13、（2009丰台区）已知向量a= ( 2cosα, 2sinα),b= ( 3sosβ, 3sinβ)，向量a与b的夹角为30°则cos (α–β)的值为_______________________14、（2009海淀区理）已知直线2022=+=++yxmyx与圆交于不同的两点A、B，O是坐标原点，|,|||mABOBOA那么实数≥+的取值范围是.三.解答题（每小题15分，共30分）15、（2009福建省）△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,向量m =(-1,1),n =(cosBcosC,sinBsinC-23),且n m ⊥.(I)求A 的大小；(Ⅱ)现给出下列四个条件：①a=1；②b=2sinB ；③2c-(3+1)b=O ；④B=45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的△ABC 的面积. (注：只需选择一个方案答题,如果用多种方案答题,则按第一种方案给分)(Ⅱ)方案一：选择①③可确定△ABC.………………………………………………7分 ∵A=30°,a=1,2c-(3+1)b=0.由余弦定理232132)213(1222∙+∙-++=b b b b ,…………………………9分整理得2b =2,b=2,c=226+.…………………………………………………11分∴41321226221sin 21+=⨯+⨯⨯==∆A bc S ABC .………………………13分16、（2009龙岩一中）已知()1f x a b =⋅-，其中向量a ＝（3sin2,cos x x ），b ＝（1，2cos x ）（x R ∈）（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()2f A =，3a =，4B π=，求边长b 的值．【答案】（1）,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ （k ∈Z ）；（2）6【解析】试题解析：解：⑴f (x)＝a ·b －1＝（3sin2x ，cosx ）·（1，2cosx ）－1＝3sin2x ＋2cos2x －1＝3 sin2x ＋cos2x ＝2sin （2x ＋6π） 3分 由2k π－2π≤2x ＋6π≤2k π＋2π 得k π－3π≤x ≤k π＋6π∴f (x)的递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ （k ∈Z ） 6分。

卜人入州八九几市潮王学校专题11立体几何中的向量方法【测一测】一、选择题1．平面α的一个法向量为n=(1,2,0),平面β的一个法向量为m=(2,-1,0),那么平面α和平面β的位置关系是()(A)平行(B)相交但不垂直(C)垂直(D)重合【答案】C【解析】试题分析：∵n=(1,2,0),m=(2,-1,0),∴m·n=2-2+0=0,即m⊥n，∴α⊥β.α的法向量为(1，2，-2)，平面β的法向量为(-2，-4，k)，假设α∥β，那么k等于()(A)2 (B)-4 (C)4 (D)-23．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，那么B点的坐标为()A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)4.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且12AF AD a==，G是EF的中点，那么GB与平面AGC所成角的正弦值为〔〕A．66 B.33 C.63 D.234题【答案】C【解析】试题分析：由可知图中直线,,AB AF AD 两两垂直，因此我们以此为空间的直角坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出GB 与平面AGC 所成角的正弦值.OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是边,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量,,OA OB OC 表示向量OG 是〔〕A ．111633OG OA OB OC =++B ．112633OG OA OB OC =++C ．2233OG OA OB OC =++D ．122233OG OA OB OC =++【答案】A【解析】 试题分析：因为31114633=+=+=++OG OM MG OM MN OA OB OC ,选A6.非零向量a,b 及平面α，假设向量a 是平面α的法向量，那么a ·b=0是向量b 所在直线平行于平面α或者在平面α内的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件7.AB ＝(1，5，-2)，BC ＝(3，1，z)，假设AB BC ⊥，BP ＝(x-1,y,-3)，且BP ⊥平面ABC ，那么实数x,y,z 分别为() (A)3315,77-,4 (B)4015,77-,4(C)407,-2,4 (D)4,407,-15 【答案】B【解析】试题分析：∵AB BC ⊥,∴AB BC ⋅⊥平面ABC ，∴BP AB ⋅＝x-1+5y+6=0,①，BP BC ⋅＝3x-3+y-3z=0,②，由①②5题可得x=407,y=157-. α-l-β,点A ∈α,AC ⊥l,C 为垂足，B ∈β,BD ⊥l,D 为垂足.假设AB ＝2，AC ＝BD ＝1，那么D 到平面ABC 的间隔等于() (A)23 (B)33 (C)63 (D)1【答案】C【解析】试题分析：∵AB AC CD DB,=++∴2222AB AC CD DB =++,∴|CD |2=2.在Rt △BDC 中，BC ＝3.∵平面ABC ⊥平面BCD ，过D 作DH ⊥BC 于H ，那么DH ⊥平面ABC ，∴DH 的长即为D 到平面ABC 的间隔，∴DH ＝DB DC 126BC 33⋅⨯=＝. (,5,21)A x x x --，(1,2,2)B x x +-，当AB取最小值时，x 的值等于〔〕． A ．19B ．78-C ．78D ．14191111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D P D B λ=．当APC ∠为钝角时，那么λ的取值范围为()A.(0,1)B.1(,1)3 C.1(0,)3 D.(1,3)二、填空题11.二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，那么该二面角的大小为___________.12.正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，那么直线BC与平面PAC所成的角等于_______．)3,2,1(A ,)2,1,2(,)2,1,1(P 点Q 在直线OP 上运动，那么当QB QA ⋅获得最小值时，Q 点的坐标． 【答案】），，（383434【解析】试题分析：设Q 〔x ，y ，z 〕由点Q 在直线OP 上可得存在实数λ使得OP OQ λ=，那么有Q 〔λ，λ，2λ〕 )23,2,1(λλλ---=QA ,)22,1,2(λλλ---=QB ,当=⋅QB QA 〔1-λ〕〔2-λ〕+〔2-λ〕〔1-λ〕+〔3-2λ〕〔2-2λ〕=2〔3λ2-8λ+5〕根据二次函数的性质可得当34=λ时，获得最小值32-,此时Q ），，（383434.14.在棱长为1的正方体中ABCD=A1B1C1D1，M 、N 分别是AC1、A1B1的中点．点P 在正方体的外表上运动，那么总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于________.三、解答题15.如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中ABCD 为矩形，ADEF 为梯形，AF ∥DE ，AF ⊥FE ，AF ＝AD ＝2DE ＝2．(Ⅰ)求异面直线EF 与BC 所成角的大小；(Ⅱ)假设二面角A －BF －D 的平面角的余弦值为13，求AB 的长．B(－2，0，x)，所以DF ＝(130)，BF ＝(2，0，－x)．因为EF ⊥平面ABF ，所以平面ABF 的法向量可取1n ＝(0，1，0)． 设2n ＝(x1，y1，z1)为平面BFD 的法向量， 那么111120,30,x z x x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以可取2n ＝3，123x ． 因为cos<1n ，2n >＝1212||||n n n n ⋅⋅＝13，得x 2155，所以AB 215516.如图，三棱锥P ABC -中，PB ⊥平面ABC ，PB BC ==4CA =，90BCA ∠=，E 为PC 中点. 〔1〕求证：BE ⊥平面PAC ；〔2〕求二面角E AB C --的正弦值.平面ABC 法向量为)1,0,0(1=n ， 设平面ABE 法向量为()2,,n x y z =， 那么02=⋅n BA 02=⋅n BE ⎩⎨⎧=+=+022044z x y x .令z=1,得x=-1,y=1,. 即)1,1,1-(2=n ，设二面角E-AB-C 为θ,那么cos n n θ33故二面角C AB E --.。

向量的基本概念和线性运算一、基础知识：1.向量的基本概念（1）向量的基本要素：大小和方向.（2）向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a 坐标表示法 a ＝ｘi ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.（3）向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. 2||a x y =+2.向量的运算（1）向量的加法： （2）向量的减法： 几何方法：1.平行四边形法则2.三角形法则 几何方法：三角形法则AC BC AB =+ AB OA OB =-坐标方法：1212(,)a b x x y y +=++ 坐标方法： 1212(,)a b x x y y -=-- （3）实数与向量的积：（i ）a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ= 坐标方法： 12(,)a x x λλλ= (ii)λ>0时, a a λ与方向相同 ;λ<0时, a a λ与方向相反 ;λ=0时, 0a λ=.3．运算性质：（1）a b b a +=+ （2）()()a b c a b c ++=++（3）()()a a λμλμ= (4)()a a a λμλμ+=+(5) ()a b a b λλλ+=+二、基础练习1．下列命题中： （1）两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同（2）若非零向量AB 与CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共线（3）若a ∥b ,且b ∥c ,则 a ∥c（4）四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ，真命题的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ） 3 2.下列命题中，正确的是（ ）（A ）a =b ⇒ a = b （B ）a >b ⇒a >b（C ）a =b ⇒a ∥b （D ）a =0 ⇒a =03．化简下列各式，结果为零向量的个数为（ ）（1）AB BC CA ++ （2）AB AC BD CD -+-（3） OA OD AD -+（4）NQ QP MN MP ++-（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ） 44.在平行四边形ABCD 中，若 AB AD AB AD +=-，则必有（ ）（A ）0AD = （B ）0AB =或0AD =（C ）ABCD 是矩形 （D ）ABCD 是正方形5．下列各选项中，a 与b 不共线的是：（ ）（A ）a =-2e ，b =2e （B ）a =1e -2e ，b =-21e +22e（C ）a =21e -152e ，b =1e -1102e （D ） a =1e +2e ，b =21e -2e 且1e ，2e 不共线 6.若AD 是三角形ABC 的中线，已知,,AB a BC b ==则AD =（ ）（A ） 12（a -b ）（B ）12（b -a ）（C ）12（a +b ）（D ）-12（a +b ） 7．若k 1e + 2e 与1e +k 2e 共线，（1e ，2e 为不共线的非零向量），则实数k 为（ ） （A ） 1 （B ） -1（C ）±1 （D ） 不能确定8.若向量a =（3，2），b =（0，-1），则向量2b - a 的坐标为（ ）（A ）（3，-4）； （B ）（-3，4）； （C ）（3，4） （D ）（-3，-4）9.已知A(1，2)，B(3，2)且a =（x+3，x 2-3x-4）若a 与AB 相等，则x 值为（ ）（A ）-1或4； （B ）4； （C ）-1； （D ）1或-410．设向量a =（2，-1），向量b 与a 共线且同向，b =2b = 11.若向量a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，2）则c =（ ）（A ）-12a +32b ； （B ）12a -32b ； （C ）32a -12b ； （D ）-32a +12b 12．已知向量a =（3，2），b =（-2，-1），c =（7，-4）若c =λa +μb ,则λ= , μ=。