确定圆的条件 (4)

5.4确定圆的条件鞍湖实验学校九年级数学备课组学习目标1、了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法2、了解三角形的外接圆、三角形外心等概念3、形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神学习重、难点重点：不在同一直线上的三点确定一个圆以及三角形的外心难点：掌握解决问题策略的多样性学习过程：一、情境创设1、确定一个圆需要几个要素？（两个要素，一是位置，二是大小，而圆心确定它的位置，半径确定它的大小，只有圆心和半径都确定了，圆才能被确定）2、经过平面内一点可以作几条直线？过两点呢？三点呢？（经过操作探索可知：过平面内一点可作无数条直线，经过两点只能作一条直线，过三点要分两种情况，一是三点在同一直线上，可作一条直线，而三点不在同一直线上，不能作直线）3、在平面内过一点可以作几个圆？经过两点呢？三点呢？二、探索活动活动一操作、思考Array1、过平面内一点A作圆只需以平面内不同于AA的距离为半径作圆即可，即可作无数个圆。

2、过平面内两点A、B作圆如何作一个圆，使之过平面内两点A、B这两点在要作的圆上，所以它们到这个圆的圆心的距离要相等，并且都等于这个圆的半径，因此要作过这两点的圆就是要找到这两点的距离相等的点作为圆心，而这样的点应在这两点连线的垂直平分线上，而半径即为这条直线上的任意一点到点A 或点B 的距离，这样也可以作无数个圆。

3、过平面内三点A 、B 、C 作圆线的垂直平分线的交点。

而如果A 、B 、C 两点连线的垂直平分线互相垂直，不会出现交点，也就作不出过这三点的圆，所以只能过不在同一平面内的三点才能作圆。

由以上操作可得结论： 不在同一直线上的三点确定一个圆。

活动二 用直尺和圆规作锐角△ABC 的外接圆1、三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做个圆的内接三角形。

2、作法如活动一中过不在同一直线上的三点作圆。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。

圆的一般方程满足的条件【摘要】圆是平面几何中常见的几何图形，其一般方程可以用来描述圆的性质和特点。

本文首先介绍了圆的定义，然后详细解释了圆的一般方程的基本形式和条件。

接着，探讨了直线与圆的位置关系，以及圆的一般方程满足的条件。

列举了一些常见的误区，帮助读者更好地理解圆的性质。

通过本文的阐述，读者可以深入了解圆的性质和方程，避免常见的误区，从而更好地应用和理解圆的相关知识。

【关键词】引言：圆的定义正文：圆的一般方程的基本形式、一般方程的条件、直线与圆的位置关系、圆的一般方程满足的条件、常见误区结论：总结关键词：圆, 一般方程, 条件, 直线, 位置关系, 满足条件, 误区, 总结1. 引言1.1 圆的定义圆是平面几何中的一种基本图形，定义为平面上所有点到一个固定点的距离相等的集合。

这个固定点称为圆心，而相等的距离称为半径。

圆可以看作是平面上无数条直径相等的简单闭合曲线。

圆在数学中具有重要的地位，被广泛应用于几何学、代数学以及实际问题的解决中。

圆是一种经典几何图形，在我们的日常生活中随处可见。

轮胎、软木塞、蛋杯等都是圆形的。

圆形的图形更容易处理，其性质也更为简单明了，因此研究圆形有助于发展几何学及代数学相关理论。

圆的定义为平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合，这就是说，圆是一个连续的无限曲线，由无数的点组成，这些点到圆心的距离都相等。

半径是圆的重要性质之一，定义为圆心到圆上任意点的距离。

圆的半径决定了圆的大小，不同大小的圆可以通过半径进行区分。

圆形在几何学和代数学中都有着重要的应用，是数学研究中的基本概念之一。

2. 正文2.1 圆的一般方程的基本形式对于平面上的一个圆，其一般方程可以表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2其中(a,b)为圆心的坐标，r为圆的半径。

这个方程描述了圆上所有点(x,y)与圆心的距离都等于半径r。

通过这个基本形式，我们可以方便地描述圆的几何性质和特征。

也可以利用这个方程来解决与圆相关的数学问题。

3.4 确定圆的条件学习目标:通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题的策略．学习重点:1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”．2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．学习难点:分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨．学习方法:教师指导学生自主探索交流法.学习过程:一、举例：【例1】下面四个命题中真命题的个数是（）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个【例2】在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．【例3】如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．【例4】阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的图所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm．【例5】已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．【例6】如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分．二、随堂练习一、填空题1．经过平面上一点可以画个圆；经过平面上两点A、B可以作个圆，这些圆的圆心在．2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作个圆．3．锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．二、选择题4．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆C ．四边形都有一个外接圆D ．圆有且只有一个内接三角形5．下列命题中的假命题是（ ）A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B ．三角形的外心到三角形三边的距离相等C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心6．下列图形一定有外接圆的是（ ）A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形三、课后练习1．下列说法正确的是（ ）A ．过一点A 的圆的圆心可以是平面上任意点B ．过两点A 、B 的圆的圆心在一条直线上C ．过三点A 、B 、C 的圆的圆心有且只有一点D ．过四点A 、B 、C 、D 的圆不存在2．已知a 、b 、c 是△ABC 三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是（ ）A ．a=15，b=12，c=1B ．a=5，b=12，c=12C ．a=5，b=12，c=13D ．a=5，b=12，c=14 3．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（ ）A ．任意三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm5．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．A ．23B ．33C ．3D ．216．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（ ）A ．2B ．6C ．12D ．77．三角形的外心具有的性质是（ ）A ．到三边距离相等B ．到三个顶点距离相等C ．外心在三角形外D ．外心在三角形内8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9．下列说法错误的是（）A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆B．任意一个圆都有无数个内接三角形C．任意一个三角形都有无数个外接圆D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上10．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有个．12．直角三角形三个顶点都在以为圆心，以为半径的圆上，直角三角形的外心是．13．若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．14．△ABC的三边3，2，13，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH= ．15．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为．16．外心不在三角形的外部，这三角形的形状是．17．锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向边移动，∠A=90°，外心位置是．18．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．19．如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心．20．求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．21．已知线段a、b、c．求作：（1）△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；（2）⊙O使它经过点B、C，且圆心O在AB上．（作⊙O不要求写作法，但要保留作图痕迹）22．已知点P在圆周上的点的最小距离为5cm，最大距离为15cm，求该圆的半径．23．如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观．为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径？。

确定圆的条件定理1. 你知道吗，不在同一直线上的三个点就能确定一个圆！就像盖房子，三根柱子立好了，房子的框架不就出来啦！比如我们要在操场上画个圆做游戏，找三个不在一条直线上的点，用绳子一拉，嘿，圆就出来啦！2. 圆心和半径也能确定圆呀！这就好像是给圆找到了家，半径就是圆的活动范围。

好比你要做一个特定大小的蛋糕，知道了中心和半径，就能做出那个完美的圆蛋糕啦！3. 一个圆的圆心确定了，不就像人有了心脏一样重要嘛！有了它，圆才有了灵魂。

想想看，画圆的时候，先确定圆心，就像给圆安了家，多神奇啊！比如画一个钟的表面，确定圆心才能把时针分针都放对位置呀！4. 半径呀，那可是确定圆的关键角色呢！没有半径，圆怎么能有大小呢？这就如同汽车没了轮子怎么跑呀！像我们做手工，要剪个圆形卡片，知道半径才能剪出合适大小的圆呢！5. 确定圆的条件定理真的好有趣啊！当你知道了这些，不就像掌握了圆的秘密武器嘛！比如说要给小伙伴画个秘密基地的范围，确定圆心和半径，不就清晰明了嘛！6. 嘿，你想想看，要是没有这些确定圆的条件定理，那我们周围得乱成啥样呀！就像没有方向的船在海上漂。

比如要建个圆形的花坛，不按照定理来，那可就歪七扭八啦！7. 确定圆的条件定理真的是太重要啦！这就像人不能没有目标一样。

好比做一个圆形的披萨，按照定理来，才能做出美味又好看的披萨呀！8. 哇塞，确定圆的条件定理简直就是魔法呀！能把那些点和线变成完美的圆。

就像变魔术一样神奇呢！比如画一个漂亮的圆形气球，不就是靠这些定理嘛！9. 你说，确定圆的条件定理是不是很了不起呀！它们让一切变得有章可循。

就像给混乱的世界带来秩序。

像我们做一个圆形的灯笼，靠的就是这些定理呀！10. 确定圆的条件定理，那就是圆的根本呀！没有它们，圆都不知道会变成啥样呢！比如要在地上画个圆做游戏标记，不就是靠这些定理嘛！我的观点结论：确定圆的条件定理真的非常重要，在我们的生活中处处都能用到，它们让我们能准确地画出、做出各种圆形的东西，给我们带来了很多便利和乐趣呀！。

圆的概念及确定1.圆定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

固定的端点O叫做圆心。

(确定圆的位置）线段OA叫做半径.（确定圆的大小)记法：以点O为圆心的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”注意：（1)圆指的是“圆周”而不是“圆面"。

（2）半径指的是线段，为了方便也把半径的长称为半径。

圆的确定：（1）一个圆心一个半径（2）圆心、圆上一个一个的已知点（3）直径2. 圆的集合定义:(1）角平分线上的点到角两边的距离相等.到角两边距离相等的点在角的平分线上。

所以：角平分线可以看做是到角的两边距离相等的点的集合。

（2）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的点的集合。

*把一个图形看成是满足某种条件的点的集合，必须符合：a。

图形上的每一点都满足某个条件,b.满足某个条件的每一个点,都在这个图形上。

（3）圆上各点到定点（圆心O)的距离都等于定长(半径r)，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

(圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形）圆的集合定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合.点和圆的位置关系有：点在圆内、圆上,圆外三种，设⊙O的半径为r，点P和圆心O的距离为d，则有:点在圆内；点在圆上;点在圆外。

6. 理解定理，不在一直线上的三点确定一个圆，并掌握不在同一条直线上三点作圆的方法。

7。

会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆。

8. 了解三角形外心的概念.9。

过三点的圆确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径(定长),确定圆的大小。

只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定。

此外，下列条件都可以确定圆心和半径，因而都能确定圆：(1)经过不在一直线上的三点的圆；（2）已知圆心和圆上一点的圆;(3）以已知线段为直径的圆。

第04讲确定圆的条件1.了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。

2.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法。

3.能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。

知识点1 点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。

知识点2 过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

【题型1 根据线段长度判断点与圆的位置关系】【典例1】（2023•增城区一模）已知⊙O的半径为5，当线段OA＝6时，则点A 与⊙O的位置关系是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定【变式11】（2023•拱墅区模拟）已知⊙O的半径为4，若PO＝3，则点P与⊙O 的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断【变式12】（2023•越秀区校级一模）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（）A．⊙O的内部B．⊙O的外部C．⊙O上或⊙O的内部D．⊙O上或⊙O的外部【变式13】（2023•徐汇区模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内【题型2 根据点坐标判断点与圆的位置关系】【典例2】（2023•南海区校级模拟）已知在平面直角坐标系中，P点坐标为（3，4），若以原点O为圆心，半径为5画圆，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．不能确定【变式21】⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．点P在⊙O上或⊙O外【变式22】（2021秋•青冈县期末）一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为（）A．6cm或16cm B．3cm或8cm C．3cm D．8cm【变式23】（2022秋•荔湾区校级期末）已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定【题型3 根据点与圆的距离求半径】【典例3】（2023•东洲区模拟）在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（）A．3B．4或6C．2或3D．6【变式31】（2022秋•宛城区校级期末）已知点P为平面内一点，若点P到⊙O 上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为．【变式32】（2022•鄞州区校级开学）已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是．【题型4确定圆的条件】【典例4】（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个【变式41】（2022秋•裕华区校级期末）下列条件中，不能确定一个圆的是（）A．圆心与半径B．直径C．平面上的三个已知点D．三角形的三个顶点【变式42】（2022秋•沙坪坝区校级月考）下列条件中能够确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知三个点D．过一个三角形的三个顶点【变式43】（2022•湖里区校级二模）平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），确定一个圆，（填“能”或“不能”）．【题型5根据三角形的外接圆的性质求角度】【典例5】（2022秋•信都区校级期末）如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（）A．100°B．160°C．150°D．130°【变式51】（2023春•朝阳区校级月考）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD的度数是（）A．24°B．28°C．34°D．56°【变式52】（2023•方城县模拟）如图，△ABC和△ABD内接于⊙O，∠ABC＝80°，∠D＝50°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【变式53】（2023春•株洲期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为5cm，若BC＝5cm，则∠A的度数为（）A．30°B．25°C．15°D．10°【题型6根据三角形的外接圆的性质求线段长度】【典例6】（2023•雁塔区校级模拟）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．2B．C．D．【变式61】（2023•灞桥区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，△BCD内接于⊙O，若∠BCD＝60°，则圆心O到弦BD的距离是（）A．5B．3C．2D．1【变式62】（2023•雁塔区模拟）如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝4，则BC的长为（）A．5B．C．D．【变式63】（2023•成县三模）如图，△ABC是圆O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝10，则AC的长为（）A．B．C．5D．5 1．（2023•巴中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（）A．25°B．50°C．60°D．65°2．（2023•自贡）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（）A．41°B．45°C．49°D．59°3．（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得△ABC的外心为O，求BC的长度为何（）A．4B．5C．D．4．（2022•梧州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（）A．60°B．62°C．72°D．73°5．（2023•常州）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则⊙O的直径AD＝．6．（2023•金昌）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝°．7．（2023•广安）如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为7，∠BAC＝60°，则弦BC的长度为．8．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为cm．10．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来．11．（2022•南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．过A，D，E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F．（1）求证AF⊥BC；（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长．1．（2023秋•文成县期中）在同一平面内，已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，则OA的长度可以等于（）A．6B．5C．3D．02．（2023秋•玄武区期中）平面内，已知⊙O的半径是4cm，线段OP＝5cm，则点P（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定3．（2022秋•大洼区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（4，2）B．（4，3）C．（5，3）D．（5，2）4．（2023秋•萧山区期中）已知点A在直径为8cm的⊙O内，则OA的长可能是（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm 5．（2023秋•西城区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A的度数为（）A．30°B．50°C．80°D．100°6．（2023秋•福州期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，∠AED＝45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为（）A．B．C．D．7．（2023•鼓楼区校级三模）如图，矩形ABCD的宽为10，长为12，E是矩形内的动点，AE⊥BE，则CE最小值为（）8．（2023秋•长沙期中）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（）A．2B．5C．1D．5或1 9．（2023秋•溧阳市期中）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，3），以点B为圆心，2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值是（）B．2C．25D．3 10．（2023秋•江阴市期中）下列语句：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）三角形的外心到三角形各边的距离相等；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2023秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为5的圆，则以下四个点在圆上的是（）A．（3，0）B．（0，6）C．（2，4）D．（3，4）12．（2023秋•乐清市期中）如图，D是等边△ABC外接圆上的点，且∠CAD ＝20°，则∠ACD的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．45°13．（2023秋•龙湾区月考）如图，直角坐标系中A（0，4），B（4，4），C（6，2），经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM＝4，则点D与⊙M的位置关系为（）A．点D在⊙M上B．点D在⊙M外C．点D在⊙M内D．无法确定14．（2023秋•普兰店区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的半径是（）A．10B．5C．4D．3 15．（2023•黄山一模）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）16．（2023秋•上城区期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图上标出圆心M，圆心M的坐标为；（2）判断点D（6，﹣2）与⊙M的位置关系，并说明理由．17．（2023•市南区校级二模）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．18．（2022秋•荔湾区校级期末）如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的直径；（2）延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC＝DE；（3）若BC＝5，CD＝4，求BE长．。

5.4确定圆的条件知识点1： 1、定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2、三角形的外接圆．定义：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形3、三角形的外心:（l）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．练习1：按图填空：（1）是⊙O的_________三角形；（2）⊙O是的_________圆，2、.经过一点作圆可以作个圆；经过两点作圆可以个圆，这些圆的圆心在这两点的上；经过的三点可以作个圆，并且只能作个圆。

3、Rt⊿ABC中，∠C=900，AC=6cm,BC=8cm,则其外接圆的半径为。

4、等边三角形的边长为a,则其外接圆的半径为 .练习2：判断题：（1）经过三点一定可以作圆；（）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（）练习3：钝角三角形的外心在三角形（）（A）内部（B）一边上（C）外部（D）可能在内部也可能在外部4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8.求Rt△ABC的外接圆的半径和面积。

5.已知AB=7cm,则过点A，B，且半径为3cm的圆有（）A 0个B 1个C 2个D 无数个6.如图，平原上有三个村庄A，B，C，现计划打一水井P，使水井到三个村庄的距离相等。

在图中画出水井P的位置。

巩固提高一、选择题1．三角形的外心是（）A．三条中线的交点B．三条边的中垂线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点2．下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个3．（2010•大庆）在直角坐标系中，⊙P、⊙Q的位置如图所示．下列四个点中，在⊙P外部且在⊙Q内部的是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（2，-1）D．（3，1）4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块5．下图中，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=60°，AC=6，则△ABC 外接圆的半径为（ ）A ．23B ．33C ．3D ．37．在△ABC 中，I 是外心，且∠BIC=130°，则∠A 的度数是（ ）A ．65°B．115°C．65°或115°D．65°或130°8．正三角形的外接圆的半径和高的比为（ ）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．1：39．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n 个圆，那么n 的值不可能为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC=5，CD=3，AB=42 ，则⊙O 的直径等于（ ）A ．225 B ．3 2 C ．52 D ．7二、填空题1．已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm 和8cm ，则这个直角三角形的外接圆的半径为 cm ．2．（2002•辽宁）△ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若BC=23 ，则∠A 的度数为 。

确定圆的条件与圆内接四边形【知识要点】1．确定圆的条件是什么？2．过平面任意三点可以作圆吗？若能，如何作？3．锐角、直角、钝角三角形的外接圆圆心位置有什么规律吗？4．三角形的外接圆（1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。

三角形的外心到各顶点的距离相等．（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径2cR =(c 为斜边长)． 5．三角形的内切圆 （1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部． （2）若三角形的面积为ABC S ∆，周长为a+b+c,则内切圆半径为:cb a S r ABC++=∆2，当b a ,为直角三角形的直角边，c 为斜边时，内切圆半径c b a ab r ++=或2cb a r -+=.6．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形． 6．两个结论：圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．【典型例题】例1．填空和选择（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 （2）如右图，I 是ABC ∆的内心，则下列式子正确的是（ ）A 、∠BIC=︒180-2∠AB 、∠BIC=2∠AC 、∠BIC=︒90+∠A/2D 、∠BIC=︒90-∠A/2·IA BC（3）ABC ∆外切于⊙O ，E 、F 、G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ∆的外心是ABC ∆的 。

（4）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ． （5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为R r ,，则R r := ． （6）等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于 ．（7）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 ．（8）ABC ∆的内切圆⊙I 与AB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F 点，且∠FID=∠EID=︒135，则ABC ∆为 ．例2．如图，△ABC 中，I 是内心，AI 交BC 于D ，交△ABC 的外接圆于E 。

圆知识点总结一．圆的定义1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．二．同圆、同心圆、等圆1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；#2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3．半径相等的圆叫做等圆．三．弦和弧1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．*3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．四．与圆有关的角及相关定理1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．…圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角．圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角．【圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半． 5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． ：五．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2．其它正确结论：⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． \3．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法：⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT △，用勾股，求长度；⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 相关题目： {1．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径 2．（08郴州）已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD ，是两条平行弦，且86AB CD ==，，则弦AC 的长为__________．． 六．点与圆的位置关系 1．点与圆的位置有三种：⑴点在圆外⇔d r >；⑵点在圆上⇔d r =；⑶点在圆内⇔d r <.》2．过已知点作圆⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个． ⑵经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A B 、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． ⑷过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． —注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．4．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.|⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.图3图2图1CBCC五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：四．切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．、2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3. 切线长和切线长定理：⑴在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．：五．三角形内切圆1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设O O、⊙⊙的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：|位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．—d R r>+⇔两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．d R r=+⇔两圆外切相交#两个圆有两个公共点．R r d R r-<<+⇔两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．d R r=-⇔两圆内切内含>两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．0d R r≤<-⇔两圆内含说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．七．正多边形与圆，1. 正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．~3. 正多边形的性质：⑴正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．八、圆中计算的相关公式设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，、1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线） 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法。

圆的知识点概念公式大全一．圆的定义1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．二．同圆、同心圆、等圆1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3．半径相等的圆叫做等圆．三．弦和弧1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的弧记作»AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．四．与圆有关的角及相关定理1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角．圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角．圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半．5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．五．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2．其它正确结论：⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．3．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法：⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT △，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．相关题目：1．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径2．（08郴州）已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD ，是两条平行弦，且86AB CD ==，，则弦AC 的长为__________．． 六．点与圆的位置关系 1．点与圆的位置有三种：⑴点在圆外⇔d r >；⑵点在圆上⇔d r =；⑶点在圆内⇔d r <. 如下表所示：2．过已知点作圆⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C、、三点、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．⑷过n()4n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．4．三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.图3图2图1CBCC五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：四．切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3. 切线长和切线长定理：⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．五．三角形内切圆1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形．六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定设12O O 、⊙⊙的半径分别为R r 、（其中R r >），两圆圆心距为d ，则两圆位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定外离两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．d R r >+⇔两圆外离外切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．d R r=+⇔两圆外切相交两个圆有两个公共点．R r d R r-<<+⇔两圆相交内切两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．d R r=-⇔两圆内切内含两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．0d R r≤<-⇔两圆内含说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．七．正多边形与圆1. 正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3. 正多边形的性质：⑴正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．八、圆中计算的相关公式设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ， 1. 弧长公式：π180n Rl =2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+（l 为母线） 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： ① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法。

2021年八年级数学《暑假作业�新课程无忧衔接》（苏科版）考点13确定圆的条件【知识点梳理】确定圆的条件1.经过一个已知点能作无数个圆2.经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；3.不在同一直线上的三个点确定一个圆.4.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.【新课程预习练·无忧衔接】一、单选题1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．①B．①C．①D．①【答案】A【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据三角形外接圆的圆心的确定方法知第①块可确定半径的大小．【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【点睛】考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．2．已知O的半径为6cm，点P在O上，则OP的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】C【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．【详解】①①O的半径为6cm，点P在①O上，①OP=6cm．故选：C．【点睛】考查了点与圆的位置关系：设①O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外①d＞r；点P在圆上①d=r；点P在圆内①d＜r．3．O的直径为10cm，圆心O到点A的距离为6cm，则点A与O的位置关系是（）A．点A在O外B．点A在O上C．点A在O内D．无法确定【答案】A，点在圆上，d＜r，点在【分析】由点与圆心的距离d与圆的半径r的关系：d＞r，点在圆外，d r圆内，可得答案．【详解】解：O的直径为10cm，∴O的半径为5cm，圆心O到点A的距离为6cm，而6＞5，∴点A在O外，故选：.A=，【点睛】考查的是点与圆的位置关系，掌握点与圆心的距离d与圆的半径r的关系：d＞r，点在圆外，d r 点在圆上，d＜r，点在圆内，是解题的关键．4．在ABC中，①C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，以3为半径画圆，则点C与①A的位置关系是（）A．在①A外B．在①A上C．在①A内D．不能确定【答案】B【分析】根据勾股定理求出AC的值，根据点与圆的位关系特点，判断即可．【详解】解：由勾股定理得：3,AC===①AC=半径=3，①点C与①A的位置关系是：点C在①A上，故选：B．【点睛】考查了点与圆的位置关系定理和勾股定理等知识点的应用，点与圆（圆的半径是r，点到圆心的距离是d）的位置关系有3种：d=r时，点在圆上；d＜r点在圆内；d＞r点在圆外5．下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；①三角形有且只有一个外接圆；①平分弦的直径垂直于弦；①过三点有且只有一个圆．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】根据中心对称图形的定义、圆周角的性质、三角形的外接圆、垂径定理、圆的确定依次判断即可.【详解】①等边三角形是中心对称图形不是中心对称图形，故错误；①在圆中一条弦所对的圆周角有两个，则在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，故错误；①三角形有且只有一个外接圆，故正确；①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；①过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，故错误；故是真命题的是①，故选：A.【点睛】考查真命题：正确的命题是真命题，正确掌握中心对称图形的定义、圆周角的性质、三角形的外接圆、垂径定理、圆的确定是解此题的关键.6．如图，在等边①ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为①ABC内一点，且①BPD ＝90°，则线段PE的最小值为（）A．2B．2C．4D．8【答案】C【分析】以BD为直径作①O，连接OE交①O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：以BD为直径作①O，连接OE交①O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，过点E作EF①AB于点F，在Rt①AEF中，①A＝60°，AE＝6，①AF＝3，EF＝在Rt①OEF中，EF＝OF＝5，①OE＝①PE＝4，即线段PE的最小值为4，故选：C．【点睛】考查了圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意判断出EP最小的情况是解题关键．7．已知①ABC的外接圆①O，那么点O是①ABC的（）A．三条中线交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线交点【答案】C【分析】根据三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，即可求得.【详解】已知①O是①ABC的外接圆，那么点O一定是①ABC的三边的垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】考查三角形外接圆圆心的确定，属基础题.8．下列说法正确的是（）A．经过三个点一定可以作一个圆B．圆中优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长C．圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一条优弧D．任意一个三角形有且只有一个外接圆【答案】D【分析】根据优弧，劣弧的定义，“不在同一条直线上的三点，确定一个圆”，三角形的外接圆的定义，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】①经过不在同一条直线上的三点，一定可以作一个圆，①A错误，①在同一个圆中，优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长，不同圆中，无法比较，①B错误，①当圆上两点的连线是直径时，两条弧都是半圆，①C错误，①任意一个三角形有且只有一个外接圆，①D正确．故选D．【点睛】考查圆的相关概念，掌握优弧，劣弧的定义，“不在同一条直线上的三点，确定一个圆”，三角形的外接圆的定义9．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：①连接AB和BC；①在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点A、B、C；①以点O为圆心，OA为半径作O；①分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O；正确的操作步骤是（）A．①①①①B．①①①①C．①①①①D．①①①①【答案】B【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是①ABC的外接圆，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，所求的圆形玻璃是①ABC的外接圆，①这块玻璃镜的圆心是①ABC三边垂直平分线的交点，①正确的操作步骤是①①①①故选：B．【点睛】考查垂径定理的应用．10．下列语句中，正确的是A．同一平面上三点确定一个圆B．菱形的四个顶点在同一个圆上C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点D．三角形的外心到三角形三边的距离相等【答案】C【分析】根据确定圆的条件，三角形的外心的定义，以及圆内接四边形的对角互补的性质对各选项分析判断后利用排除法．【详解】A选项：同一平面上三点必须不在同一直线上才可以确定一个圆，故选项A错误；B选项：菱形的对角相等，但不一定互补，所以四个顶点不一定在同一个圆上，故选项B错误；C选项：三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，是外心定义，故选项C正确；D选项：三角形的外心到三角形三个定点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故选项D错误；故选C.【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，确定圆的条件，掌握三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，确定圆的条件是解题的关键.11．如图①，若BC是Rt①ABC和Rt①DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图①，①ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图①中“四点共圆”的组数为（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【详解】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选D．【点睛】考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．12．下列四个命题中，正确的个数有（）①圆的对称轴是直径所在的直线；①经过三点可以确定一个圆；①弦长相等，则弦所对的弦心距也相等；①平分弦的直径垂直于弦；①三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据对称轴的概念、过三点的圆、弧、弦、圆心角的关系定理、三角形的外心的概念、垂径定理判断即可．【详解】解：圆的对称轴是直径所在的直线，①正确；经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，①错误；在同圆或等圆中弦长相等，则弦所对的弦心距也相等，①错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，①错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，①正确；故选B．【点睛】考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题13．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是_____【答案】（﹣2，﹣1）【分析】根据外心的定义作图即可．【详解】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．①点A的坐标为（﹣3，2），①点O的坐标为（﹣2，﹣1）．【点睛】考查了三角形外心，熟练掌握外心的定义，准确求作线段的垂直平分线是解题的关键．14．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．【答案】5个【分析】连接AB、BC，然后分别作AC、AB的垂直平分线，进而可作①ABC的外接圆，然后根据图形可求解．【详解】如解图，连接AB、BC，先作AC，AB边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，再以OA 为半径作圆．格点与圆相交的有8个点．除A，B，C三点外，还有5个点．故答案为5个．【点睛】考查圆的作图，熟练掌握圆的尺规作图是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系x O y中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么①ABC的外接圆的圆心坐标为____．【答案】(5，5)【分析】分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案．【详解】①B(0，3)，C(3，0)，①在网格中，BC可以看作边长为3的正方形的对角线，根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，如图所示，①A(0，7)，B(0，3)，①点E纵坐标为5，①由图可得，E(5，5)．故答案为：(5，5)．【点睛】考查了坐标与图形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关键．16．如图1是一扇旋转门，它由一个圆柱形空间的三片旋转翼组成，三片旋转翼将圆柱形空间等分为三个扇形空间，AB与CD处为出入口，在旋转过程中，当某一片旋转翼的一端与点B重合时，另两片中的一片旋转翼的一端与点D重合；继续旋转，当某一片旋转翼的一端与点A重合时，另两片中的一片旋转翼的一端则与点C重合。